福建省南安市昌财实验中学2024-2025学年高一上学期第三次考试数学试卷

1 高一上数学第三次考试 一、单选题 1．集合  | 3, ZA x x x   ，  1,0,2,3B   ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A． 3, 2,1  B ． 2,1,3 C ． 1,0,2 D ． 1,0,2,3 2．“ 2a  ”是“函数    2 2 1 3f x x a x     在  , 3  上单调递增”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知  1 2f x x x   ，则 ( )f x 的解析式为（ ） A． 2( ) 1f x x  B． 2( ) 1( 1)f x x x    C． 2( ) 1( 1)f x x x    D． 2( ) 1f x x  4．已知函数 (2 1)y f x  的定义域是[ 1,3] ，则 ( ) 2 f xy x   的定义域是（ ） A． ( 2,5] B ． ( 2,3] C ．[ 1,3] D．[0，2] 5．函数 ( ) 1 1g x x x   的单调递减区间为（ ） A． 1, 2     B． 11, 2      C．  1, D．  1, 1,2       6．若对任意的 ,x yR ，函数  f x 满足       2 f x y f x f y    ，则  1f （ ） A．6 B ．4 C．2 D ．0 7．已知函数 2( ) 2 3f x x x   的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对 ( , )a b 的不可能 的值为（ ） A． ( 2, 4) B． ( 2,1) C． (1, 4) D． ( 1,1) 8．已知函数 2 3 , 1 ( ) (4 ) 9, 1 mx x f x x m x x         在 R上单调递增，则实数 m的取值范围为（ ） A． ( 4,2] B． 3,2 C． 3( , 2] 2 D． 2,3 2 二、多选题 9．下列说法正确的是（ ） A．若 a b ，则 2 2ac bc B．命题“ Rx  ， 21 2x  ”的否定是“ Rx  ， 2 1x  或 2 2x  ” C．若 Rx ，则函数 2 2 14 4 y x x     的最小值为 2 D．当 Rx 时，不等式 2 1 0kx kx   恒成立，则 k的取值范围是 0,4 10．已知   3 2f x x  ，   2 2g x x x  ，设              , , g x f x g x F x f x f x g x     ，则关于  F x 的 说法正确的是（ ） A．最大值为 3，最小值为 1 B．最大值为7 2 7 ，无最小值 C．单调递增区间为  , 2 7  和  1, 3 ，单调递减区间为  2 7,1 和  3, D．单调递增区间为  , 0 和  1, 3 ，单调递减区间为  0,1 和  3, 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基 米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR ，用 [ ]x 表 示不超过 x的最大整数，则 [ ]y x 称为高斯函数，如[3.2] 3 ，[ 1.6] 2   .若 ( ) [ ]f x x x  ，    1xg x x   ，则下列说法正确的是（ ） A． ( 1) ( )f x f x  B．函数 ( )f x 的值域为[0,1) C． ( )g x 在 (1,+ ) 单调递减 D．当 1x  时，函数  g x 的值域为  1,2 二、填空题 12.设  f x 是定义在R 上的函数，已知  f x 满足    3 2 1 4f x f x x   ，则  f x 的解析式 为_____________________． 13．已知函数  f x 是定义在  0, 上的单调递减函数，则使不等式    5 2 1f fa a  成 立的实数 a的取值范围是__________. 3 14．设定义在 1,3 函数       21 , 1, , 1, ,3 . x x af x ax x a        当 0a  时，  f x 的值域为 ； 若  f x 的最大值为 1，则实数 a的所有取值组成的集合为____________. 四、解答题 15．求下列函数的值域： (1) 2 3y x x   ； (2) 3 1 2 xy x    ,  ,0 (2,4]x   . 16.设 0a  ， 0b  ，函数 2( )f x ax bx a b    . (1)求不等式 ( ) (1)f x f 的解集； (2)若 ( )f x 在 0,1 上的最大值为b a ，求 b a 的取值范围； 17．第 19届亚运会 2023年 9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明” 为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作 用，从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放 a个单 位（0 4a  且 Ra ）的试剂，它在水中释放的浓度 y（克/升）随着时间 x（天）变化的 函数关系式近似为  y af x ，其中     1 , 0,5 7( ) 11 , 5,11 2 x x xf x x x        ，若多次投放，则某一时刻水 中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂 的浓度不低于 4（克/升）时，它才能净化有效. 4 (1)若只投放一次 4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？ (2)若先投放 2个单位的净化剂，6天后再投放 m个单位的净化剂，要使接下来的 5天中， 净化剂能够持续有效，试求 m的最小值. 18．已知函数   2 6x bf x x a    ，且  0f 0   31 2 f  ． (1)求函数  f x 的解析式； (2)若  1,3x  ，使得不等式   1f x m  成立，求实数m的取值范围； (3)若  0,1n  ，  0,t   ，使得不等式   0 3 tf t nf s       成立，求实数 s的最小值． 高一上数学第三次考试解析 一、单选题 1. 集合A=fxllx<3.xez,B=f-1.0.2.3,则图中阴影部分所表示的集合为 ) C. -1,0.2 A.1-3.-2.1 B. (-2.13 D. (-1.0.2.3 【答案】B 【详解】集合A= -2-1.0.1.2AB= -2-1.0.1.2.3,AB=-1.0.2$ '.图中阴影部分表示的集合为:C。。(A一B)=(-2.1.3故选:B 2. “a<2”是“函数f(x)=-x-2(a+1)x+3在(-,-3上单调递增”的 。 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】f(x)=-x2-2(a+1)x+3开口向下,对称轴为x=- -2(a+1) -2 =-a-1: 要想f(x)=-r*-2(a+1)x+3在(-o,-3]上单调递增,则-a-1>-3,解得a<2, 故“a<2”是“函数f(x)=-x-2(a+1)x+3在(-o.-3l上单调递增”的充分不必要条件.故选:A 3. 已知/(VX-1)=x-2V,则/(x)的解析式为( ) A./()-2-1 B. /(x)=2+1(x-1) C. f(x)=x*-1(x-1) D. /(x)-x*+1 【答案】C 【详解】令t=¥-1t-1,由f(-1)=-2=(-1)-1,则f()=^-1.-1, 即f(x)=x2-1(x>-1) 4. 已知函数y=f(2x-1)的定义域是[-1.3],则y-f() x+2 -的定义域是() A.(-2.5] B.(-23] C. [-1,3] D. [0, 2] 【答案】A 【详解】因为函数y=f(2x-1)的定义域是[-1.3],即-1<x<3,则-3<2x-1<5, 所以y=f(x)的定义域为[-3.5].又x+2>0,即x>-2,所以y-f() X+2 的定义域为(-2.5].故选:A 5. 函数g(x)=xx+1+1的单调递减区间为( A. 1B. 1-] C. [1+o) D.(_]0) -# 【答案】B [r*-x+1x21 【详解】g(x)=xx-1+1- 1-r*+x+1.x<1 画出函数图象, 故选:B. f(x+y) 6. 若对任意的x.yeR,函数f(x)满足 A.6 B.4 C.2 D.0 【答案】D f(x+y) 【详解】令y=0,则由 f(x)+f(),可得/(x)=-2/(0), 2 所以f(x)为常数函数,令x=y=0,可得f(0)=0,故f(1)=0 故选:D. 7. 已知函数f(x)=-2x-3的定义域为[a,b,值域为[-4,5],则实数对(a.b)的不可能值为( ) A.(-2.4) B.(-2.1) C.:1.4) D.(-1,1) 【答案】D 【详解】画出f(x)=r-2x-3的图象如图所示; 由图可知:f(-2)=f(4)=5,f(1)=-4. 根据选项可知:当/f(x)=r-2x-3的定义域为[a.b,值域为[-4.5]时 (a.b)的可能值为(-2.4),(-2.1),(1.4),所以D错误故选:D 2>1 8. 已知函数/(x)= 。 在R上单调递增,则实数n的取值范围为( ) (4+n)x-9.x<1 C.,2 B. [-3.2] A.(-4.21 D. [-23] 【答案】B [2n-3 2x1 【详解】因为函数/f(x)= ,在R上单调递增, (4+n)x-9.x<1 当2n-3<o时,由于y=x和y 2n-3 均在x>1单调递增函数 故/(3)-x2--3在x21上单调递增,所以{4+n→3 [1+2m-3 4+m-9 2m-3<0 [2n-3c1 当2m-3>0时,若f(x)在x>1上单调递增,则{2m-3 1+2n-3>4+n-9 [x,x>1 ,此时f(x)={11 1-91' 显然满足f(x)在R上单调递增; 综上,-3<n<2. 故选:B 二、多选题 9. 下列说法正确的是() A. 若a>,则ac}→bc} B. 命题“{eR,1<x<2”的否定是“VxER,x1或x2” 1-的最小值为2 +4 D. 当xeR时,不等式}-x+1o恒成立,则k的取值范围是[o.4) 【答案】BD 【详解】对于A,a>b,当c=0时,ac^{}=0=bc^,A错误; 对于B,命题“{eR,1<x<2”是存在量词命题,其否定是“VxER,x<1或x*2”,B正确 >0 对于D,当k=0时,1>0恒成立,则k=0:当kz0时 △-h-40' 解得0<k<4,因此k的取值范围是[0.4),D正确 故选:BD [g(x)./(t)>g(x) 10.已知f(x)=3-2:g(x)=-2x,设F(t)= 则关于F(x)的说法正确的是( ) /(x),/(x)<g(x) A. 最大值为3,最小值为-1 B. 最大值为7-2/7,无最小值 C. 单调递增区间为(-o,2-V7)和(1.3). 单调递减区间为(2-V7.1)和(V3,+ D. 单调递增区间为(-o.0)和(1.3). 单调递减区间为(0.1)和(3,+o 【答案】BC 【详解】在同一坐标系中先画出f(x)与g(x)的图象 当f(x)g(x)时,F(x)=f(x),表示f(x)的图象在g(x)的图象下方就留下f(x)的图象 当f(x)2g(x)时,F(x)=g(x),表示g(x)的图象在f(x)的图象下方就留下g(x)的图象, 根据定义画出F(x), 容易看出F(x)有最大值,无最小值,故A错误; 当x<0时,由3+2x=x-2x,得x-2+7(舍)或x=2-7. 此时F(x)的最大值为:7-27,无最小值,故B正确 x>0时,由3-2x=x-2x,解得:x=3(-3舍去) 故F(x)在(-o,2-7),(13)递增,在(2-71)和(3,+o)递减 故C正确,D错误,故选:BC. 11. 高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列 为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设xeR,用[冈]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称 ) A./(x+1)=/(o) B. 函数/(x)的值域为[01) C. g(x)在(1,+co)单调递减 D.当x>1时,函数g(x)的值域为(1.2 【答案】ABD 【详解】对于A,因为VxER,ke乙,使得k<x<k+1,此时+1<x+1<k+2 从而f(x+1)-f(x)=x+1-(h+1)-(x-k)=0,正确: 对于B,由A选项分析可知,函数f(x)是以1为周期的周期函数,故只需讨论f(x)在[0.1)上的值域即可 当xe[0.1)时,f(x)=x-[xl=x-0=xe[0.1),即函数f(x)的值域为[01),正确: 显然选项C 错误; 当:=[3)4时,8-[1_-(17. 依次类推,当xE[n.n+1)(neN)时, 0[_# 取并集得函数g(x)的值域为(1.2],正确. 二、填空题 12.设f(x)是定义在R上的函数,已知f(x)满足3f(x)+2f(1-x)=4x,则f(x)的解析式为_. 【详解】由3f(x)+2f(1-x)=4x①,用1-x代替x可得3f(1-x)+2f(x)=4(1-x)② 13. 已知函数f(x)是定义在(0.+2)上的单调递减函数,则使不等式f(a+5)<f(2a+1)成立的实数a的取 值范围是 14.设定义在[-1.3]函数/(x)={ 1ax-1,xe[a3] 为1,则实数a的所有取值组成的集合为 [0.1)Uf-一13 12102⊙ 【答案】 【详解】因为1-x>0:故-1x1,故-1<a 1 [-x*,xe[-1.0) 当a=0时,/(x)-{ 1-1xe[03 当xe[-1.0)时,f(v)--r*,f(x)e[0.1),当xe[0.3]时,f(x)=-1. 故当a=0时,/(x)的值域为[0.1)f-1 若/(x)的最大值为1,则az0,又-1<a<1,故-1<a<0或0<a<1 若-1<a<o,当xe[-1.a)时,f(x)eo.-a),当xe[a3]时,f(x)e3a-1,a-1]. 因为-1<a<0,故a-1<01-a,此时f(x)无最大值,舍 若0cas1,当xe[-1.a)时,f(x)e[0.1],当xe[a3]时,f(t)e[a-1.3a-1], 四、解答题 15. 求下列函数的值域 (1) y=2-3x-: 3x+1 (②y= 2-t 【详解】(1)解:设t-2-3x·(>0.则x= ..........................分 3 .............................分 刁单调递减: 则y-2-3x-x在区间(-o. 所以y>- 2 3 (2)设t=x-2,1E(-o,-2)U(0.21则x=t+2, ....................................................... 10分 $6.设a0,b>0,函数f(x)=ar}-bx-a+b (1)求不等式f(x)<f1)的解集 n 【答案】(1)答案见解析 (2)[1+o) 【详解】(1)f(x)<f)即f(x)<0,即(x-1)(ax+a-b)<0. #解## .......4分.. a .................................6分.. 综上所述: 当b>2a→0时,解集为(1-#:当0<b<2a时,解架集为(6-1): 当 2-. ....................... # 2 a .......................9分 当0<- ..........................10分 故取值范围为[1,+). ....12分 17. 第19届亚运会2023年9月在杭州市举办,本届亚运会以“绿色、智能、节俭、文明”为办会理念,展 示杭州生态之美、文化之韵,充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用,从而促进经济快速发展,等备 期间,计划向某河道投放水质净化剂,已知每投放a个单位(0<a<4且aeR)的试剂,它在水中释放的 =0 浓度y(克/升)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y=af(x),其中/(x)= )若 多次投放,则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所释放的浓度之和,根据试验,当水 中净化剂的浓度不低于4(克/升)时,它才能净化有效 (1)若只投放一次4个单位的净化剂,则有效时间最多能持续几天? (2)若先投放2个单位的净化剂,6天后再投放n个单位的净化剂,要使接下来的5天中,净化剂能够持续 有效,试求n的最小值 【答案】(1)7天: 22 【详解】(1)因为一次投放4个单位的净化剂. [4+4x0<x55 所以水中释放的浓度为y-4/(t)-{7-x ............................... 22-2x.5<x<11 4(1+)24.解得3<x55: 当0x5时, ................................. 7-x 当5x<11时,22-2x>4,解得5x9,.. 综上,..x59.所以.次投放4个单位的净化剂,.则有效时间可持续7天..................-6分 -1-11-x+n- (3)设从第一次投放起,经过x(6<xs11)天后浓度为8(x)-(11-x)+n1+x-6 -5 7-(x-6) 13-: x-54即n (13-x)(x-7) 因为6<x<11,则13-x>0,x-5>0,所以11-x+m.- 13-x ......9分 -5 令x-5-t,te16]. ...................................................................................................... (t-2)(t-8) 所以n- ................................ ....................... 所以n.,故为使接下来的.天中能够持续有效m的最小值为.2...................................13分 18. 已知函数/(x)- (1)求函数f(x)的解析式 (2)若xre[1.3],使得不等式 /(x)-n<1成立,求实数n的取值范围: (2(1 【答案】(1)/(x)-6 ③3 x+3 d ...........................分. x2+3 (2)解:当xe[1.3]时, 因为函数y=x+3在[1,v3]上单调递减,在3.3]上单调递增, .........................4分... 当x-3时,y=x3-23;当x-1或x=3时,y=4. 所以=2540. 6分 不等式f(x)- 1,即-1<f(x)-m1. .............分 Vvs_[011.()-立,以((-0,则((. 而 +3+27 (t+3)(t*+27) # f>0 242 24 ()= #7. 30+2*-18:+12 12,....11分