第5章投影与视图（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第5章 投影与视图（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、中心投影 1）投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。 2）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 3）作一物体中心投影的方法：过投影中心与物体顶端作直线，直线与投影面的交点与物体的底端之间的线段即为物体的影子。 知识点二、平行投影及应用 1）平行投影的定义 太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影 当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影 2）平行投影的应用： 等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。 3）作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子的顶端确定的直线就是光线，故根据另一物体的顶端可作出其影子。 知识点三、三视图 1） 常见几何体的三视图 2）三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。 注意：在画物体的三视图时，对看得见的轮廓线用实线画出，而对看不见的轮廓线要用虚线画出。在三种视图中，主视图反映的是物体的长和高、俯视图反映的是物体的长和宽、左视图反映的是物体的宽和高.因此，在画三视图时，对应部分的长要相等。 3）由三视图还原几何体一般分为两种情况： 由三种视图判断几何体的形状；给出三种视图，求搭成该几何体的小正方体的个数。 考点1：三个概念 概念1：中心投影 【例题1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 【变式1】（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．皮影戏是利用 投影的一种表演艺术．（填写“平行或”中心”） 【变式3】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，线段，分别表示标杆，在地面上的影子，则这种投影应该是 （选填“中心投影”或“平行投影”）． 概念2：平行投影 【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，当物体与影子全等时（   ） A．物体与投影面平行 B．物体与投影面垂直 C．任一位置 D．不存在这种情况 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）矩形窗框在太阳光下的影子不可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．线段 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）太阳光线形成的投影称为 ． 概念3：三视图 【例题3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，漏斗是实验室中常见的一种仪器，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图所示的几何体图形中，俯视图是圆的有 （填序号）．    【变式3】（2023九年级上·全国·专题练习）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序号） 考点2：一个计算——与三视图有关的计算 【例题4】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示是某几何体的三视图，已知主视图和左视图都是面积为16的正方形，则俯视图的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22九年级上·山东济南·阶段练习）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为12，则a的值 ． 【变式2】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体． (1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 考点3：三个画法 画法1：画投影 【例题5】（21-22九年级上·全国·课后作业）树甲在阳光下的影子如图所示.    (1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）； (2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明． 【变式1】（九年级上·广东清远·期末）如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在阳光下的影子是．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的影子； (2)请用符号表示出图中相似的三角形，并说明理由． 【变式2】（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    请你在图中画出此时在阳光下的投影． 【变式3】（21-22九年级上·福建三明·期末）如图是两根木杆及其影子的图形． (1)这个图形反映的是中心投影还是平行投影？答： ． (2)请你在图中画出表示小树影长的线段AB． 画法2：画光源 【例题6】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，灯杆上挂有一盏灯，小颖和爸爸站在灯下，线段表示小颖的影子．    (1)请通过画图，确定灯杆上灯泡O所在的位置； (2)请你在图中画出表示爸爸影子的线段． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是两棵小树在同一个路灯下的影子． (1)请画出光线及路灯灯泡的位置； (2)在适当位置画出路灯杆； 【变式2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）； (2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）； 【变式3】（21-22九年级上·陕西西安·期中）如图，同一路灯下站着小明、小芳、小刚三人，请根据小芳和小刚的影长（粗实线为影子），标出图中路灯灯泡的位置，并画出小明在灯光下的影子．    画法3：画三视图 【例题7】（24-25九年级上·河南郑州·期中）画出如图所示几何体的三视图． 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，取得圆满成功．如图是小明制作的火箭模型的半成品，请你画出该模型的三视图． 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）某校举办运动会，在比赛中，运动员们奋勇争先，全力以赴．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图． 【变式3】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）画出以下两个几何体的三视图． (1)   (2)   考点4：两个应用 应用1：利用投影测高 【例题8】（24-25九年级上·上海闵行·期中）某一时刻，身高的小丽在阳光下地面上的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆地面上的影长是，那么该旗杆的高是（   ） A．5 B．20 C．40 D．8 【变式1】（23-24九年级上·河北邢台·期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则： （1）小山包的半径为 ； （2）小山包的高为 ．（取） 【变式2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，小丽在观察某建筑物AB. (1)请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物AB在阳光下的投影. (2)已知小丽的身高为1.65m，在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和30m，求建筑物AB的高. 【变式3】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在一条马路上有路灯（灯泡在点A处）和小树，某天早上9：00，路灯的影子顶部刚好落在点C处． (1)画出小树在这天早上9：00太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子； (2)若点E恰为的中点，小树高米，求路灯的高度． 应用2：利用投影测距离 【例题9】（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（　　） A．25米 B．15米 C．16米 D．20米 【变式1】（九年级上·全国·课后作业）如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为 m． 【变式2】（21-22九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，小欣在A处站立时的身高为，此时在路灯下的投影为．已知灯泡在线段上，，，点、A、在一条直线上． (1)请你画出灯泡所在的位置； (2)若投影，小欣与灯杆的距离，请求出灯泡到地面的距离． 【变式3】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为一盏路灯的灯杆，灯泡位于灯杆顶端的点O处，地面上有一个矩形木架，在灯泡O的照射下，木架落在地面上的影子为，地面上有一根标杆与木架在灯杆的两侧，已知在灯泡O的照射下，落在地面上的影子为，经测量木架长米，木架的高度米，木架的影长米，标杆米，标杆的影长米，已知图中所有的点都在同一平面内，E、B、F、C、P、N、H在同一水平直线上，于点P，于点B，于点C，于点N． (1)请在图中画出标杆的影子； (2)根据已知的测量数据，请计算标杆到路灯灯杆的距离． 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）如图所示几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·山东·中考真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·中考真题）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（    ） A．8 B．4 C． D． 5．（2020·贵州安顺·中考真题）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2021·山东菏泽·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 7．（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2021·江苏扬州·中考真题）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为的正方形，该果罐侧面积为 ． 9．（2023·四川成都·中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．    10．（2022·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米． 11．（2020·浙江金华·中考真题）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 cm2. 三、解答题 12．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）观察如图所示的某物体的三视图，请说出该物体的名称（   ） A．三棱锥 B．长方体 C．三棱柱 D．不能确定 2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 4．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）某几何体的三视图如图所示，则其俯视图的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示的圆柱体的左视图是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·山西长治·期中）《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．12米 D．16米 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列各种现象中，属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．阳光下旗杆的影子 C．台灯下的笔筒的影子 D．汽车灯光照射下行人的影子 8．（23-24九年级上·河北衡水·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（22-23九年级上·辽宁锦州·期末）如图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（    ）      A．   B．   C．   D．   10．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）几何体的三视图如图，其中俯视图是正六边形，则该几何体的侧面积为 ． 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）用10个个边长为的正方体摆放成如图的形状，像这样向下逐层累加摆放总共10层，其表面积是 13．（23-24九年级上·山东济南·期末）某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是 ． 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中左视图相同的是 ． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）在操场上高的旗杆，其影长为，那么同一时刻，身高的小强的影长应为 ． 16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最大值是 ． 17．（2023七年级上·全国·专题练习）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题： （1）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 个小正方体； （2）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 种不同形状． （3）用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有 种不同形状． 18．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 三、解答题 19．（21-22九年级上·河北唐山·期末）如图，是一个长方体的三视图，已知长方体的高为x，其俯视图和左视图的面积分别为，．    (1)用表示此长方体的长为______、宽为______； (2)当时，此时长方体的体积为______． 20．（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） (1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； (2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 21．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，这是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)请在网格中画出它的三视图． (2)如果在原图形基础上，让该几何体变成一个长方体，则至少需要添加________个这样的小正方体． 22．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 23．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． (1)请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） (2)请你求出路灯的高度． 24．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）为测量清江浦中学旗杆的高度，初三活动小组进行如下实验：如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，一部分在旗杆旁的演讲台上测得旗杆在地面上的影长为，演讲台墙面上的影长为，演讲台上的影长为；同一时刻，竖立于地面长的木杆的影长为，求旗杆的高度． 25．（24-25九年级上·山西·期中）如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； (2)如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 26．（2023九年级·全国·专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 投影与视图（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、中心投影 1）投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面称为投影面。 2）中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影。 3）作一物体中心投影的方法：过投影中心与物体顶端作直线，直线与投影面的交点与物体的底端之间的线段即为物体的影子。 知识点二、平行投影及应用 1）平行投影的定义 太阳光线可以看成是平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影 当平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影 2）平行投影的应用： 等高的物体垂直地面放置时，太阳光下的影长相等。等长的物体平行于地面放置时，太阳下的影长相等。 3）作物体的平行投影：由于平行投影的光线是平行的，而物体的顶端与影子的顶端确定的直线就是光线，故根据另一物体的顶端可作出其影子。 知识点三、三视图 1）常见几何体的三视图 2）三视图的排列规则：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图的长度一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可简记为“长对正；高平齐；宽相等”。 注意：在画物体的三视图时，对看得见的轮廓线用实线画出，而对看不见的轮廓线要用虚线画出。在三种视图中，主视图反映的是物体的长和高、俯视图反映的是物体的长和宽、左视图反映的是物体的宽和高.因此，在画三视图时，对应部分的长要相等。 3）由三视图还原几何体一般分为两种情况： 由三种视图判断几何体的形状；给出三种视图，求搭成该几何体的小正方体的个数。 考点1：三个概念 概念1：中心投影 【例题1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：A. 阳光下沙滩上人的影子，是平行投影； B. 晚上人走在路灯下的影子，是中心投影； C. 中午用来乘凉的树影，是平行投影； D. 阳光下旗杆的影子，是平行投影； 故选：B． 【变式1】（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．皮影戏是利用 投影的一种表演艺术．（填写“平行或”中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 【详解】解：“皮影戏”中是用灯光向外散射形成的投影， “皮影戏”中的皮影是中心投影． 故答案为：中心投影 ． 【变式3】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，线段，分别表示标杆，在地面上的影子，则这种投影应该是 （选填“中心投影”或“平行投影”）． 【答案】中心投影 【分析】本题考查了中心投影，正确的作出图形是解题的关键．根据在同一时刻同一光源下立柱、形成的影子为与，连接、并延长交于点，据此判断即可． 【详解】解：如图所示，光线、相交于点，所以此光源下形成的投影是中心投影． 故答案为中心投影． 概念2：平行投影 【例题2】（2024九年级上·全国·专题练习）物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，当物体与影子全等时（   ） A．物体与投影面平行 B．物体与投影面垂直 C．任一位置 D．不存在这种情况 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据题意，由平行投影的性质即可解答． 【详解】解：当物体与投影面平行时，物体与影子全等，反之亦然， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，这是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子的图，下列选项是将它们按时间先后顺序进行排列，其中正确的是（   ） A．①②③④ B．④②①③ C．④①②③ D．①③④② 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影的特点和规律，在不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，据此即可判断求解，掌握平行投影的特点和规律是解题的关键． 【详解】解：∵就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∴影子的图按时间先后顺序进行排列为④②①③， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）矩形窗框在太阳光下的影子不可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．根据矩形的摆放方式与光线的夹角的不同，其投影的形状不同进行求解即可． 【详解】解：当太阳光斜射矩形窗框时，其投影为平行四边形， 当太阳光直射矩形窗框时，其投影为矩形， 当太阳光与矩形窗框平行时，其投影为线段． 故选：C． 【变式3】（2024九年级上·全国·专题练习）太阳光线形成的投影称为 ． 【答案】平行投影 【分析】此题主要考查了平行投影的特点．根据太阳光线的特点及平行投影的定义解答即可． 【详解】解：由平行光线所形成的投影称为平行投影，太阳光线形成的投影称为平行光线． 故答案为：平行投影． 概念3：三视图 【例题3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，漏斗是实验室中常见的一种仪器，其俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体的俯视图，掌握从上面看到的是俯视图是解题的关键． 根据从上面看到的是俯视图进行判断即可． 【详解】解：由题意知，俯视图如下； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的俯视图，根据从上面看到的圆锥是一个带圆心的圆，进行解答即可． 【详解】解：圆锥从上向下看是一个带圆心的圆，故C正确． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图所示的几何体图形中，俯视图是圆的有 （填序号）．    【答案】①④ 【分析】本题考查了几何体的三视图，理解 “从上面看几何体，所看到的视图是俯视图．”，会看出几何体的三视图是解题的关键． 【详解】 解：①圆柱的俯视图为  ； ②圆锥的俯视图是  ； ③长方体的俯视图是  ； ④球的俯视图是  ； 故答案：①④． 【变式3】（2023九年级上·全国·专题练习）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 .（写出所有正确答案的序号） 【答案】①②/②① 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答． 【详解】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形， 圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆， 圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆， 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 考点2：一个计算——与三视图有关的计算 【例题4】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示是某几何体的三视图，已知主视图和左视图都是面积为16的正方形，则俯视图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图．根据三视图，得到俯视图的直径为4，根据圆的面积公式进行进行求解即可． 【详解】解：∵主视图和左视图都是面积为16的正方形， ∴主视图的长为4， ∵主俯视图的长对正， ∴俯视图的直径为4， ∴俯视图的面积是； 故选D． 【变式1】（21-22九年级上·山东济南·阶段练习）一个正三棱柱的三视图如图所示，若这个正三棱柱的侧面积为12，则a的值 ． 【答案】 【分析】观察给出的图形可知，正三棱柱的高是2，正三棱柱的底面正三角形的高是a，根据勾股定理可得底面边长为a，根据长方形的面积公式和这个正三棱柱的侧面积为12，可得关于a的方程，解方程即可求得a的值． 【详解】解：观察给出的图形可知，正三棱柱的高是2，正三棱柱的底面正三角形的高是a，则底面边长为a， 依题意有a×2×3=12， 解得a=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，关键是由三视图得到正三棱柱的高和底面边长． 【变式2】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）根据所给立体图形的三视图． (1)写出这个立体图形的名称：________； (2)求出这个立体图形的表面积． 【答案】(1)圆锥 (2) 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的表面积．熟练掌握圆锥的表面积=侧面积+底面积，由三视图确定几何体时要遵从“主、俯视图长对正， 主、左视图高平齐， 俯、左视图宽相等”的特点，确定几何体的尺寸． （1）从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥； （2）由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5；利用圆锥表面积=侧面积+底面积即可求出. 【详解】（1）解：这是一个圆锥， 故答案为：圆锥. （2）解：母线长：， 底面圆周长：， 侧面积：， 底面积：， 表面积： 故这个圆锥的表面积为 【变式3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，是一个边长为3cm的正方体挖掉一个直径为1cm的圆柱组成的几何体． (1)请在网格中依次画出这个几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1cm）； (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——三视图，几何体的表面积等知识，解题关键是理解三视图的定义． （1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）根据表面积的定义求解即可． 【详解】（1）解：该几何体的三视图如图所示 （2）解：由图可知，该几何体的表面积． 考点3：三个画法 画法1：画投影 【例题5】（21-22九年级上·全国·课后作业）树甲在阳光下的影子如图所示.    (1)请在图中分别画出此时树乙和树丙的影子（用线段表示并说明）； (2)如果想让此时树乙的影子落在树甲的影子里，那么树甲至少要多高？请画图表示并说明． 【答案】(1)表示树丙的影子，表示树乙的影子 (2)见解析 【分析】本题考查了平行投影： （1）根据太阳光是平行光，则根据平行投影的特点作，进而可求解； （2）延长、相交于，根据平行投影的特点，即可求解； 熟练平行投影的特点是解题的关键． 【详解】（1）根据太阳光是平行光，则根据平行投影的特点作，如图：   表示树丙的影子，表示树乙的影子． （2）延长、相交于，根据平行投影的特点， 如图所示时，此时树乙的影子落在树甲的影子里，树甲的高度为 【变式1】（九年级上·广东清远·期末）如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在阳光下的影子是．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的影子； (2)请用符号表示出图中相似的三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）连结，过点作，交直线与点，即可解答； （2）利用太阳光线是一组平行光，证明，据此得出比例式，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示为所求．    （2） 理由是：∵和是直立 在地面上的两根立柱 ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似变换的实际应用、相似三角形的判定，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式2】（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    请你在图中画出此时在阳光下的投影． 【答案】见解析 【分析】本题考查了投影作图与相似三角形的判定与性质，熟记相关几何结论是解题关键．连接，过D作即可完成作图； 【详解】解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影：    【变式3】（21-22九年级上·福建三明·期末）如图是两根木杆及其影子的图形． (1)这个图形反映的是中心投影还是平行投影？答： ． (2)请你在图中画出表示小树影长的线段AB． 【答案】(1)中心投影 (2)图见详解 【分析】（1）根据木杆和影子画出投影线，根据投影线是否平行即可判断是中心投影还是平行投影； （2）根据路灯的位置，与小树顶端连线即可得到小树的影长AB． 【详解】（1）解：如图，分别过两根木杆的顶端与各自影子的顶端画两条直线，相交于点O， ∴这个图形反映的是中心投影； （2）解：如图，连接点O与小树的顶端，与水平线相交于点B，小树底端为A， 线段AB即小树影长． 【点睛】本题考查了平行投影和中心投影，根据投影线之间的关系判断出是哪一种投影是解题的关键． 画法2：画光源 【例题6】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，灯杆上挂有一盏灯，小颖和爸爸站在灯下，线段表示小颖的影子．    (1)请通过画图，确定灯杆上灯泡O所在的位置； (2)请你在图中画出表示爸爸影子的线段． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 【分析】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交于O，则点O即为灯泡所在的位置； （2）过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线于F，设爸爸所在点为E，则线段即为爸爸影子的线段．本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握中心投影的性质． 【详解】（1）过小颖影子的顶端A和头部顶端作直线，交于O，则点O即为灯泡所在的位置，如图：    （2）如上图，过灯泡O和爸爸头部顶端作直线交直线于F，设爸爸所在点为E，则线段即为爸爸影子的线段． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是两棵小树在同一个路灯下的影子． (1)请画出光线及路灯灯泡的位置； (2)在适当位置画出路灯杆； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心投影的作图，是基础知识要熟练掌握． （1）连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源； （2）分别作过两树的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，过点光源向地面作垂线即可， 【详解】（1）解：如图，为光线，路灯灯泡为点O， （2）解：为路灯杆； 【变式2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）； (2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定： （1）连接点A和小军的头部并延长，连接点D和小丽的头部并延长，两条射线交于点P，点P即为所求； （2）连接点P与小华的头部与地面交于E，则点E与小华脚部的连线线段即为所求； 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，线段即为所求； 【变式3】（21-22九年级上·陕西西安·期中）如图，同一路灯下站着小明、小芳、小刚三人，请根据小芳和小刚的影长（粗实线为影子），标出图中路灯灯泡的位置，并画出小明在灯光下的影子．    【答案】见解析 【分析】根据中心投影的特点可知，连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．所以分别把小芳和小刚的顶端和影子的顶端连接并延长可交于一点，即点光源的位置，再根据点光源的位置和小明的位置可得小明的影子． 【详解】解：路灯灯泡S的位置如图所示． 小明在灯光下的影子如图所示． ． 【点睛】此题考查的是影子形成原理的应用，中心投影的含义，确定路灯位置是解题的关键． 画法3：画三视图 【例题7】（24-25九年级上·河南郑州·期中）画出如图所示几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图．熟练掌握三视图中看得见的用实线，看不见的用虚线是解题的关键． 根据看得见的用实线，看不见的用虚线画图即可． 【详解】解：如图，三视图即为所作； 【变式1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）10月30日，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，取得圆满成功．如图是小明制作的火箭模型的半成品，请你画出该模型的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查画三视图，根据主视图就是从正面看得到的图形；左视图就是从左面看得到的图形；俯视图就是从上面看得到的图形画图即可，也是解题关键． 【详解】解：三视图如图所示： 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）某校举办运动会，在比赛中，运动员们奋勇争先，全力以赴．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图． 【答案】画图见解析． 【分析】此题主要考查了三视图，从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图，据此作答，解题的关键是正确理解三视图． 【详解】解：如图所示， 【变式3】（23-24九年级上·贵州毕节·期末）画出以下两个几何体的三视图． (1)   (2)   【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三视图的画法，解题的关键是根据三视图的画法分别画出它们的主视图、左视图、和俯视图即可． 【详解】（1）解：三视图如图所示：    （2）三视图如图所示： 考点4：两个应用 应用1：利用投影测高 【例题8】（24-25九年级上·上海闵行·期中）某一时刻，身高的小丽在阳光下地面上的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆地面上的影长是，那么该旗杆的高是（   ） A．5 B．20 C．40 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握三角形相似的性质：相似三角形对应边的比相等即“同一时刻物高与影长成比例”是解本题的关键． 设旗杆的高度为米，由同一时刻物高与影长成比例再列出方程，从而可得答案． 【详解】解：设旗杆的高度为米，由同一时刻物高与影长成比例可得： ， ， ， 所以旗杆的高度为20米， 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·河北邢台·期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则： （1）小山包的半径为 ； （2）小山包的高为 ．（取） 【答案】 【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【详解】连接，过作于， 由题意可知， ∴ ∵圆锥底面周长为． ∴，解得， ∵, ∴ ∴小山包的高为． 故答案为：，． 【变式2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，小丽在观察某建筑物AB. (1)请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物AB在阳光下的投影. (2)已知小丽的身高为1.65m，在同一时刻测得小丽和建筑物AB的投影长分别为1.2m和30m，求建筑物AB的高. 【答案】(1)见解析 (2)建筑物的高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，并利用相似三角形的性质求解是解题的关键． （1）根据投影的定义作图即可； （2）根据在同一时刻物高与影长成正比例，据此列比例式求解即可． 【详解】（1）解：如图，“即为在阳光下的投影” ． （2）解：如图，因为都垂直于地面，且光线， 所以， 所以，即，解得：，即建筑物的高为． 【变式3】（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在一条马路上有路灯（灯泡在点A处）和小树，某天早上9：00，路灯的影子顶部刚好落在点C处． (1)画出小树在这天早上9：00太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子； (2)若点E恰为的中点，小树高米，求路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2)路灯的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行投影，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）如图，连接，作，交直线l于点E，连接并延长交直线l于点F，则分别为在这天早上9：00太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子； （2）先证明，得到，再证明，得到，则． 【详解】（1）解：如图，连接，作，交直线l于点E，连接并延长交直线l于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴分别为在这天早上9：00太阳光下的影子和晚上在路灯下的影子． （2）解：∵点E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为． 应用2：利用投影测距离 【例题9】（22-23九年级上·山西晋中·期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（　　） A．25米 B．15米 C．16米 D．20米 【答案】D 【分析】根据题意得，利用相似三角形对应边成比例可得出小明的影子AM的长． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 则小明和路灯的距离为20米． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键． 【变式1】（九年级上·全国·课后作业）如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为 m． 【答案】4 【分析】根据题意得△ABC∽△EDC，相似三角形成比例得解． 【详解】∵△ABC∽△EDC， ∴，，CB=6，BD=6-2=4． 故BD为4m． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是清楚相似三角形的性质． 【变式2】（21-22九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，小欣在A处站立时的身高为，此时在路灯下的投影为．已知灯泡在线段上，，，点、A、在一条直线上． (1)请你画出灯泡所在的位置； (2)若投影，小欣与灯杆的距离，请求出灯泡到地面的距离． 【答案】(1)见解析； (2)12米． 【分析】（1）根据投影的性质作图即可； （2）证明，利用相似的性质即可求出． 【详解】（1）解：灯泡所在的位置如图所示： （2）解：由题可得：，， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴灯泡到地面的距离为12米． 【点睛】本题考查投影的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握投影的性质以及相似三角形的判定及性质． 【变式3】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，为一盏路灯的灯杆，灯泡位于灯杆顶端的点O处，地面上有一个矩形木架，在灯泡O的照射下，木架落在地面上的影子为，地面上有一根标杆与木架在灯杆的两侧，已知在灯泡O的照射下，落在地面上的影子为，经测量木架长米，木架的高度米，木架的影长米，标杆米，标杆的影长米，已知图中所有的点都在同一平面内，E、B、F、C、P、N、H在同一水平直线上，于点P，于点B，于点C，于点N． (1)请在图中画出标杆的影子； (2)根据已知的测量数据，请计算标杆到路灯灯杆的距离． 【答案】(1)作图见解析 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记定理内容是进行几何推理的关键． （1）连接并延长与直线交于点H，即可完成作图； （2）延长交于点G，证得；再证得即可求解． 【详解】（1）解：标杆的影子如图所示． （2）解：延长交于点G，如图， 则米． ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴，， ∴． ∵米，米， ∴与的相似比为， ∵为的边上的高，为的边EF上的高， ∴，即， 解得米， ∴米． ∵，， ∴． 又， ∴， ∴，即， 解得米， 即标杆到路灯灯杆的距离为8米． 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）如图所示几何体的左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】 解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 故选：C． 2．（2023·山东·中考真题）一个几何体的三视图如下，则这个几何体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三视图还原出几何体，再利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式计算即可． 【详解】根据三视图可知，该几何体上面是底面直径为6，母线为4的圆锥，下面是底面直径为6，高为4的圆柱，该几何体的表面积为： ． 故选B． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图以及圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积公式，根据三视图还原出几何体是解决问题的关键． 3．（2024·浙江·中考真题）在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了俯视图．根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】 解：榫的俯视图是 故选：D． 4．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据题意，得到主视图为长为4，高为2的长方形，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形， ∴面积为； 故选A． 5．（2020·贵州安顺·中考真题）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例． 根据平行投影特点结合选项判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误； D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； 故选：D． 6．（2021·山东菏泽·中考真题）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三视图可以确定该几何体是空心圆柱体，再利用已知数据计算空心圆柱体的体积． 【详解】解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4，内圆直径是2，高是6． 空心圆柱体的体积为π×2×6-π×2×6=18π． 故选：B． 【点睛】本题主要考查由三视图确定几何体和求圆柱体的体积，考查学生的空间想象． 7．（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项 【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的上方，则上方的边长影子会更长一些， 故选D 【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键． 二、填空题 8．（2021·江苏扬州·中考真题）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为的正方形，该果罐侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱体的主视图为边长为10cm的正方形，得到圆柱的底面直径和高，从而计算侧面积． 【详解】解：∵果罐的主视图是边长为10cm的正方形，为圆柱体， ∴圆柱体的底面直径和高为10cm， ∴侧面积为=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是根据三视图得到几何体的相关数据． 9．（2023·四川成都·中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．    【答案】 【分析】根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解． 【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示，    ∴搭成这个几何体的小立方块最多有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 10．（2022·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米． 【答案】12 【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答． 【详解】解：设旗杆为AB，如图所示： 根据题意得：， ∴ ∵米，米，米， ∴ 解得：AB=12米． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 11．（2020·浙江金华·中考真题）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为 cm2. 【答案】20 【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积． 【详解】解：该几何体的主视图是一个长为5，宽为4的矩形，所以该几何体主视图的面积为20cm2． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 三、解答题 12．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB． 【答案】旗杆的高AB为3米． 【分析】证明△AOD∽△EFG，利用相似比计算出AO的长，再证明△BOC∽△AOD，然后利用相似比计算OB的长，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵AD∥EG， ∴∠ADO=∠EGF． 又∵∠AOD=∠EFG=90°， ∴△AOD∽△EFG． ∴． ∴． 同理，△BOC∽△AOD． ∴． ∴． ∴AB=OA−OB=3（米）． ∴旗杆的高AB为3米． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）观察如图所示的某物体的三视图，请说出该物体的名称（   ） A．三棱锥 B．长方体 C．三棱柱 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查由三视图确定几何体的形状，熟练掌握三视图是解题的关键． 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案． 【详解】解：根据三视图可知，该物体的名称为三棱柱， 故选C． 2．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处时，他在地上的影子逐渐变短； 故选：A． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）有两根等高电线杆在地面上形成了各自的影子，若以电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，则这种投影现象为（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影 【答案】D 【分析】本题合考查了平行投影和中心投影的特点和规律，平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．根据平行投影和中心投影的特点和规律，结合题意可得平行投影和中心投影都可能出现这种情况． 【详解】解：根据题意只知道电线杆与其影子分别作为三角形的两边，可以得到两全等三角形，平行投影和中心投影都可能出现这种情况，所以可能是平行投影也可能是中心投影． 故选：D． 4．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）某几何体的三视图如图所示，则其俯视图的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是数形结合．根据物体的三视图可得俯视图是长为、宽为的长方形，求出该长方形的周长即可． 【详解】解：由物体的三视图可得俯视图是长为、宽为的长方形， 俯视图的周长为， 故选：C． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示的圆柱体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了物体的三视图，根据圆柱体的左视图是圆形解答即可，解题的关键是熟记在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉． 【详解】解：圆柱体的左视图是， 故选：． 6．（24-25九年级上·山西长治·期中）《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．12米 D．16米 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设旗杆的高度为x米，由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，由题意得： ， 解得：； 故选D． 7．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列各种现象中，属于平行投影的是（   ） A．皮影戏中的影子 B．阳光下旗杆的影子 C．台灯下的笔筒的影子 D．汽车灯光照射下行人的影子 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心投影、平行投影；根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A. 皮影戏中的影子为中心投影，故此选项不合题意；     B. 阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意； C. 台灯下的笔筒的影子为中心投影，故此选项不合题意；     D. 汽车灯光照射下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意； 故选：B． 8．（23-24九年级上·河北衡水·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，在俯视图小正方形上标记主视图两列的个数，再分析即可． 【详解】解：综合俯视图和主视图，可得下图： ∴这个几何体的右边一列有3个小正方体，左边一列两层都是2个小正方体时，组成这个几何体的小正方块最多， 所以组成这个几何体的小正方块最多有块． 故选：B． 9．（22-23九年级上·辽宁锦州·期末）如图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据从正面看可得主视图，看不见的用虚线表示解答即可； 【详解】从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线 故选A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 10．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据平行投影性质得与是相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是， ， 与相似比是， ， 的面积为， ， 故选：C． 二、填空题 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）几何体的三视图如图，其中俯视图是正六边形，则该几何体的侧面积为 ． 【答案】108 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸，难度不大．观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，然后根据提供的尺寸求得其侧面积即可． 【详解】因为俯视图是正六边形，主视图和左视图是矩形，可知这个几何体是一个正六棱柱．将正六棱柱的侧面展开是一个矩形，如图， 矩形的一条边长是正六边形的周长，即为，矩形的另一条边长是主视图的高，即为6， 所以展开图的矩形的面积为.故该几何体的侧面积为108. 故答案为：108 12．（24-25九年级上·全国·课后作业）用10个个边长为的正方体摆放成如图的形状，像这样向下逐层累加摆放总共10层，其表面积是 【答案】 【分析】本题考查了几何体的表面积，图形的变化类的应用，主要考查学生的观察图形的能力，关键是能根据结果得出规律．从三视图看，每个视图都有：个正方形，据此求解即可． 【详解】若如此摆放10层， 其表面积是. 故答案为. 13．（23-24九年级上·山东济南·期末）某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图和俯视图求出左视图长为3，宽为1，即可求解． 【详解】由图可知，该长方体长、宽、高为4、3、1， 故左视图长为3，宽为1， 故面积为 故答案为：3． 14．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中左视图相同的是 ． 【答案】甲和乙 【分析】根据三个俯视图分别判断出几何体的左视图，即可得答案． 【详解】解：由已知条件可知，甲的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2； 乙的左视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2； 丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1． ∴左视图相同的是：甲和乙． 故答案为：甲和乙． 【点睛】本题考查几何体的三视图画法．解题的关键是掌握由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 15．（2024九年级上·全国·专题练习）在操场上高的旗杆，其影长为，那么同一时刻，身高的小强的影长应为 ． 【答案】0.3/ 【分析】本题主要考查了平行投影，明确同一时刻的物高与影子长度对应成比例是解题关键． 设小明影子长为，根据同一时刻物高与影子长度对应成比例，列出关于x 的方程，即可求出答案． 【详解】解∶ 设小明影子长为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为∶0.3． 16．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，利用俯视图，写出的值最大时小正方形的个数，可得结论．解题的关键是理解三视图的定义， 【详解】解：如图，的最大值为：． ∴m的最大值是． 故答案为：． 17．（2023七年级上·全国·专题练习）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完成下列问题： （1）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要 个小正方体； （2）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要 个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有 种不同形状． （3）用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有 种不同形状． 【答案】 10 7 6 9 【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型． （ 1）在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论； （2 ）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可； （3 ）根据题意判断即可． 【详解】（1）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：（个），左视图如图所示． 故答案为：10． （2）搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要7个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有6种不同形状． 故答案为：7；6． （3）∵从俯视图可知下层有5块小正方体， ∴上层有3个小正方体， 当右侧放2个小正方体时，有3种形状， 当右侧放1块小正方体时，有种形状， ∴用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有种不同形状． 故答案为：9． 18．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为．则木杆在轴上的影长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了中心投影；利用中心投影，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：过作轴于，交于，如图， ． ， ， ∴， ， ， ， 故答案为：6． 三、解答题 19．（21-22九年级上·河北唐山·期末）如图，是一个长方体的三视图，已知长方体的高为x，其俯视图和左视图的面积分别为，．    (1)用表示此长方体的长为______、宽为______； (2)当时，此时长方体的体积为______． 【答案】(1)、 (2)48 【分析】考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算即可 （1）根据三视图可知几何体为长方体，然后由俯视图和左视图的面积可得长方体的长、宽、高，即可求出答案 （2）由（1）得出长方体的长、宽、高．根据长方体的体积长宽高，把代入即可求出答案． 【详解】（1）根据三视图可知几何体为长方体，如图   其俯视图和左视图的面积分别为， ， 长方体的长为、宽为； （2）由（1）得长方体的长为、宽为，高为x， 长方体的体积长宽高， 长方体的体积， 当时时， ， 即当时，此时长方体的体积为48． 20．（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图所示为一几何体的三种视图．（单位：） (1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的 ， ； (2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10，因此，b等于底面三角形的高； （2）三棱住的侧面积等于底面周长与高的乘积． 【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为三棱柱，底面为边长为4的等边三角形，高为10， 因此，， 故答案为：，； （2）解： ， 即这个几何体的侧面积为． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，求三棱柱的侧面积等知识点，解题的关键是根据所给三视图判断出几何体的形状． 21．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，这是由6个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)请在网格中画出它的三视图． (2)如果在原图形基础上，让该几何体变成一个长方体，则至少需要添加________个这样的小正方体． 【答案】(1)画图见解析 (2)6 【分析】本题考查了几何体的三视图， （1）根据从不同方向观察到的几何图形作图即可； （2）将该几何体变成一个的立方体时，需要添加的小正方体最少，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，该几何体的三视图如下． （2）解：根据题意得，在原图形基础上，让该几何体变成一个的长方体， ∴至少需要添加个这样的小正方体． 22．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 23．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． (1)请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） (2)请你求出路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：连接并延长交延长线于F，即可确定点F的位置； （2）先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明得到，最后代入数据求得的长即可． 【详解】（1）解：点F的位置如图所示． （2）解：由题意得：， ，， ， ， ． ，， ， ，即， ，即路灯的高度为． 24．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）为测量清江浦中学旗杆的高度，初三活动小组进行如下实验：如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，一部分在旗杆旁的演讲台上测得旗杆在地面上的影长为，演讲台墙面上的影长为，演讲台上的影长为；同一时刻，竖立于地面长的木杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查投影问题，矩形的性质，延长交于点F，为段的影长，据此求出的长度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F， 由题意可得四边形为矩形， ，， ， 即的影长为， 竖立于地面长的木杆的影长为， ， ， ， 即旗杆的高度为． 25．（24-25九年级上·山西·期中）如图，在路灯下，小华的身高用线段表示，他在地面上的影子用线段表示，小玉的身高用线段表示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； (2)如果小华的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，则灯泡的高为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，掌握中心投影的性质是解题的关键． （）连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； （）由中心投影的性质可得，从而，再将数据代入即可求解； 【详解】（1）如图所示，点P为灯泡位置，线段为小玉在灯下的影长． （2）解：由题意，得，， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 26．（2023九年级·全国·专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 【答案】(1)学校旗杆的高度为12m (2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2) 【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可； （2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：， ∴，即：， ∴； 答：学校旗杆的高度为． （2）解：①根据题意可知，， ∴，即． ∴， ∴灯罩底面半径的长为24 cm． ②∵太阳光为平行光， ∴， ∴， 由题意，可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴从正面看灯罩为矩形，面积为：， 从上面看灯罩为圆形，面积为：． 【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$