精品解析：山东省威海银滩高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 5. 已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足，且对于，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 7. 已知函数若函数（）有3个零点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的单调递增区间为 C. 对于实数，，若，则 D. 存在指数函数使得函数既是奇函数又是增函数 10. 已知函数为上的奇函数，对任意的，成立，又时，单调递增，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合，若，则______. 12. 已知实数，满足，则的最小值为______. 13. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，.若函数，，则函数的值域为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知集合，不等式解集为. （1）求： （2）集合，写出集合的所有子集； （3）集合，若，求实数的取值范围. 15. 已知二次函数满足，且. （1）求函数的解析式； （2）若函数的图象总在图象的上方，求实数的取值范围. 16. 某企业拟在足够大的平整场地上修建长方体形仓库，仓库占地面积，高.甲、乙两家工程公司的技术员给出不同的报价，甲公司：仓库房顶造价为每平方米100元，仓库前后墙壁平均造价为每平方米150元，左右墙壁平均造价为每平方米250元；乙公司则根据以往经验，给出整体报价为元（为经验参数，），设正面墙长为，地面不用修建. （1）甲工程公司的报价最低为多少？此时仓库的正面墙的长度为多少？ （2）如果你是乙公司的技术员，如何设置经验参数，可以使乙公司的报价不受仓库形状的变化，总低于甲公司？ 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求函数解析式： （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： （3）求不等式的解集. 18. 已知函数（）. （1）当时，求的最小值； （2）解关于的不等式： （3）存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，利用补集的定义可得出集合. 【详解】因为全集，，故. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题否定为：，. 故选：D. 3. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数的解析式，利用二次函数的对称性结合偶函数的性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为， 则二次函数图象的对称轴为直线， 因为函数为偶函数，则，解得. 故选：D. 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B 5. 已知函数，则下列函数图象关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移可得解. 【详解】因为， 所以当函数图象向左平移2个单位，再向下平移一个单位， 可得函数的图象， 由反比例函数图象知，关于原点对称. 故选：C 6. 已知定义在上的函数满足，且对于，恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性及对称性脱去“f”，解不等式得解. 【详解】由可知函数图象关于对称， 由，恒成立知函数在上单调递增， 所以由可知，， 平方后可得，解得或， 故选：D 7. 已知函数若函数（）有3个零点，则正实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数（）有3个零点，即的图像与直线（）有3个不同的交点，利用图像即可得解. 【详解】由，令，得， 由题意得，函数的图像与直线（）有3个不同的交点 的图像如图①所示，其中M，N 直线（）过定点，斜率， 直线AN，AM的斜率分别为，， 如图②，由图像可知， 函数的图像与直线（）有3个不同的交点， 所以， 即 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】解分式不等式，再由充分不必要条件的概念得解. 【详解】由 ， 所以成立的一个充分不必要条件为的真子集即可， 结合选项可知AD符合. 故选：AD 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数的单调递增区间为 C. 对于实数，，若，则 D. 存在指数函数使得函数既是奇函数又是增函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由定义域求法可判断A. 由单调性的定义和性质可判断B. 由函数和和的单调性确定函数的单调性，根据单调性判断C. 设函数，判断函数的奇偶性和单调性. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为，故A正确. 对于B，因为函数的定义域为，令， 则在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为 故B错误. 对于C，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，又因为， 即，所以，故C正确. 对于D，当时，， 因为函数和函数在上都单调递增， 又因为函数， 所以函数既是奇函数又是增函数. 故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数为上的奇函数，对任意的，成立，又时，单调递增，则（ ） A. B. 直线是图象一条对称轴 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数性质以及对赋值可判断选项. 【详解】函数为上的奇函数，所以，所以 对于A，令，则，所以可得，故A正确； 对于B，由A知，所以可得， 令，可得， 由奇函数性质可得， 令，则可得，令，则可得 则，由此可知是函数的对称轴，故B正确； 对于C，由A知，令，则， 所以，又时，单调递增， 故，则，故C错误； 对于D，令，则，所以， 再根据奇函数性质可知，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知集合，若，则______. 【答案】14 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系得解. 【详解】因为，， 所以当时，，,不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意. 故答案为：14 12. 已知实数，满足，则的最小值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】由，得即为，变形后两次运用基本不等式即可求解 【详解】因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 13. 对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，.若函数，，则函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】换元后转化为二次函数求出函数值域，再由取整函数的定义得出值域. 【详解】,令, 由，可得， 则的对称轴为，开口向上， 所以时，有， 又，所以当时，有， 所以， 所以的值域为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14. 已知集合，不等式的解集为. （1）求： （2）集合，写出集合的所有子集； （3）集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. （2）由（1）求出集合C，再写出其所有子集. （3）求出，再利用交集的结果，结合集合和包含关系求出范围. 【小问1详解】 解不等式，即，得或，则， 不等式化为：或或， 解得或无解或，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则，因此， 所以的子集为，，，，，，，. 【小问3详解】 由（1）知，，由，得， 当时，，则； 当时，，无解； 所以的取值范围为. 15. 已知二次函数满足，且. （1）求函数的解析式； （2）若函数的图象总在图象的上方，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式. （2）将原式化为对恒成立，分情况讨论求出的取值范围. 【小问1详解】 设，则由，可得， ， 所以， 所以，， 所以，，， 所以. 【小问2详解】 函数的图象总在图象的上方， 所以对恒成立， 即恒成立， 当时，不恒成立； 当时，恒成立，所以； 当时，，可得或； 综上，的取值范围为. 16. 某企业拟在足够大的平整场地上修建长方体形仓库，仓库占地面积，高.甲、乙两家工程公司的技术员给出不同的报价，甲公司：仓库房顶造价为每平方米100元，仓库前后墙壁平均造价为每平方米150元，左右墙壁平均造价为每平方米250元；乙公司则根据以往经验，给出整体报价为元（为经验参数，），设正面墙长为，地面不用修建. （1）甲工程公司的报价最低为多少？此时仓库的正面墙的长度为多少？ （2）如果你是乙公司的技术员，如何设置经验参数，可以使乙公司的报价不受仓库形状的变化，总低于甲公司？ 【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲公司报价最低为84000元； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可求解. （2）根据题意可知，对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可求解. 【小问1详解】 因为仓库前墙长为米，地面面积为， 所以仓库的左右两侧墙的长度均为米（）， 设甲公司报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲公司报价最低为84000元； 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当设置经验参数时，乙公司报价总低于甲公司的报价. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求函数的解析式： （2）判断函数在定义域上的单调性，并用定义证明： （3）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出即可得解. （2）判断单调性，再利用单调性定义推理论证. （3）利用单调性脱去法则“f”，再解不等式组即得答案. 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 由，得，解得，， 所以函数的解析式，. 【小问2详解】 函数在上单调递增. 在内任取，令， 则 由，得，，， ，，则，即， 因此，所以在上单调递增. 【小问3详解】 依题意，，原不等式化为， 由（2）知在上单调递增，则，即， 解得或， 所以原不等式的解集为. 18 已知函数（）. （1）当时，求的最小值； （2）解关于的不等式： （3）存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数对称轴分类讨论求解； （2）化简后根据的大小关系，分类讨论即可； （3）转化为对任意恒成立，再转化为或有解问题，分离参数后求最值即可得解. 【小问1详解】 对称轴， ①当时，即，在上单调递增， 所以； ②当时，即，在上单调递减， 所以； ③当时，即，在上单调递减， 在上单调递增， 所以； 综上， 【小问2详解】 由题意知，即， ①，解得， ②，解得， ③，解得， 综上，不等式的解集为①，， ②，， ③，， 【小问3详解】 令，则，， 则对任意，存在，使得， 令，则恒成立， 即恒成立， ， ，即或， 存在，使得或， 或， 由，当且仅当时等号成立，知； 由在上单调递增知，当时，， 所以， 综上，或. 【点睛】关键点点睛：对于含有两个参数的问题，解题时要做到主次分明，首先以其中一个为主元，问题转化为关于主元的恒成立问题，转化后再注意分析次元的问题是恒成立还是存在性问题，继续进行合适的转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $