9.3.1 平面向量基本定理 习题课课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第9章 平面向量 9.3 向量基本定理及坐标表示 9.3.1 平面向量基本定理 1 题型分析 题型一 平面向量基本定理的理解 1.（2024广东深圳联考）如图所示,点为正六边形 的中 心,则可作为基底的一对向量是( ) B A., B., C., D., 【解析】 由题中图形可知与,与,与 共线,不能 作为基底.与 不共线,可作为基底. 2 2.如果,是平面 内两个不共线的向量,那么下列选项正确的是( ) A A.可以表示平面 内的所有向量 B.对于平面 内任一向量,使的实数对 有无穷多个 C.两向量,共线,则有且只有一个实数 ,使得 D.若,是平面内所有向量的一组基底,则, 也可以作为平面向量的基底 【解析】 由平面向量基本定理可知,选项A是正确的. 对于B,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么该平面内任意一个向量 在此基底下的实数对是唯一的. 对于C,当,时,不存在实数 ,使得 . 对于D,,则, 为共线向量,不可以作为平面向量的基底, 故D错误. 3 对基底的理解 （1）两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作为基 底,反之,则可作为基底. （2）一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以用这组基底唯一线性表 示出来.设向量与是平面内两个不共线的向量,若,则 （3）一个平面的基底不是唯一的,同一个向量用不同的基底表示,表达式不一样. 4 3.（2024江苏盐城期中）已知, 是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中不 能作为基底的一组是( ) B A.和 B.和 C.和 D.和 【解析】 因为,是平面内所有向量的一组基底,所以, 不共线. 若,共线,则 , 可得 无解, 所以, 不共线,可以作为基底； 因为 , 5 可知和 共线,所以不能作为基底； 若,共线,则 , 可得 无解, 所以, 不共线,可以作为基底； 若,共线,则 , 可得 无解, 所以, 不共线,可以作为基底. 题型二 用基底表示向量 4.（2024江苏南通海安高级中学月考）在中,,,若点 满足 ,以,作为基底,则 等于( ) A A. B. C. D. 7 【解析】 如图. 因为,所以,即 , 解得 . 鸡爪模型.因为点D满足,所以,所以 . 8 5.（2024江苏如东高级中学期中）已知,是两个不共线的向量, , , ,则( ) C A. B. C. D. 9 【解析】 待定系数法.因为,是两个不共线的向量,设 , 则 , 即解得 所以 . 方程思想.因为,是两个不共线的向量,, , 所以, , 所以 . 6.（2024广东深圳实验中学期中）如图,在平行四边形中, 是 的中点,且,,设, ,则下列选项正 确的是( ) C A. B. C. D. 11 【解析】 由题知 , , . 设 ,则 , 即 , 又, 不共线, 12 所以解得 所以 . 小课堂 用基底表示向量的两种方法 （1）线性运算法 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表 示为止.解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,找 到已知向量和未知向量的关系. （2）待定系数法 首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式,然后通过列 向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求待定系数. 14 题型三 利用平面向量基本定理求参数 题组一 7. （2024江苏镇江期中）已知向量,不共线, , ,且,则实数 ( ) B A.1或4 B.1或 C.或1 D. 或1 【解析】 因为,,且 ,所以 , 又向量,不共线,所以消去 得到,解得或 . 15 8.（2024河南郑州一中模拟）在平行四边形中,,为的中点,为 的 中点,若,,,则 和 的值分别为( ) D A., B., C., D., 16 【解析】 如图，因为为的中点,为 的中点, 所以, , 又 , 故, . 故 . 17 所以 , 故, . 因为为的中点,为的中点, , 题组二 9.（2024陕西商洛模拟）在中,是的中点,点分的比为, 与相交于点,设,,则向量 ( ) C A. B. C. D. 以,为基底,将 分别用两种方式表示,根据平面向量基本定理令系数对 应相等,即可得解. 19 【解析】 如图. 由题意得B,,三点共线,所以存在,使得 , 同理C,,三点共线,所以存在,使得 , 由平面向量基本定理可得 （方程思想）解得,,所以 . . . 20 10.（2024北京人大附中期中）如图,在四边形中, , 且,若,则 ___. 2 【解析】 由可得且 , 易得,则有, , 于是 （根据三角形相似,结合线 性运算找到 的另一个表达式）, 因为 , 所以由,解得 . . . 21 11.（2024辽宁大连期末）如图,在中,,,与相交于点 . 设, . （1） 试用基底,表示向量 ； 22 【答案】 因为,,三点共线,,, 三点共线,所以设 , , 则（根据,, 三点 共线,以,为基底表示,再转化为以, 为基底表示 ）, （根据,,三点共线,以, 为基底表示 ,再转化为以,为基底表示 ）, . . . . 23 所以 （利用算两次思想,根据系数相等列方程组） 解得 所以 . . . （2） 在线段上取一点,在线段上取一点,使过点,若, , 求 的值. 【答案】 由（1）知,因为,, 三点共线,所以 ,所以 . 25 能力提升 1.（2024福建厦门阶段练习）在中,点是上靠近的三等分点,是上靠近 的三等分点,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 如图，由点是上靠近A的三等分点,是 上靠近 C的三等分点, 得 . 26 2.（2024河北名校联盟期末）在中,,,,为线段 上 （不包含端点）不同的两个动点.若,则 ( ) C A.3 B.4 C.6 D.7 27 【解析】 因为, , 所以, , 设, , 则 , 又,且, 不共线,则 所以 . 3.［大招7］（重庆市万州第二高级中学月考）如图,在 中, 点在边上且,边上存在点 满足 ,直线和直线交于点,若 , 则 的值为( ) C A.2 B.3 C.4 D.5 29 【解析】 由 , 得 , 同理可得, （向量 的一种表示方法）. 因为直线和直线交于点 , 所以存在，使 （向量 的另一种表示方法）, . . . . 30 则两式作商得 , 解得 . 4.（2024江苏扬州期末）如图,在中,,是 上的两个三等 分点,,, ,则 的值为( ) B A.50 B.80 C.86 D.110 32 【解析】 已知, 的模以及两向量的夹角,可尝试用基底法求数 量积,以,为基底分别表示, ,从而求解. 因为在中,D,是上的两个三等分点,, , , 所以 （用已知向量线性表示未知向量）, , 所以 . . . . 33 . 5.（2024江苏无锡期中,多选）已知, 是平面内的一组基底,则下列也是平面内的一组 基底的是( ) BD A., B., C., D., 【解析】 由于,故, 共线,不能作为 基底; , 不共线,可以作为基底; 由于,所以, 共线,故不可以作为基底; , 不共线,可以作为基底. 35 6.（多选）设是已知的平面向量,向量,, 在同一平面内且两两不共线,则下列说法正 确的是( ) ABD A.给定向量,总存在向量,使 B.给定向量和,总存在实数 和 ,使 C.给定单位向量和正数 ,总存在单位向量和实数 ,使 D.若,存在单位向量,和正实数 , ,使,则 【解析】 给定向量,总存在向量,使,即,显然存在 . 因为向量,,在同一平面内且两两不共线,由平面向量基本定理可得总存在实数 和 ,使 . 当分解到方向的向量长度大于 时,向量没办法按, 分解. 存在单位向量,和正实数 , ,使 ,则由三角形的三边关系可得 . 36 7. （2024甘肃临夏州期末）如图,在中,是 边上 一点,且,点为 的延长线上一点,则使得 成立的 , 的一组数据 为 _ _______________________________________. （答案不唯一,一般解:,） 【解析】 由题意知,而,故 , 则 , 又点为的延长线上一点,故设 , 可取,则 , 故使得成立的 , 的一组数据为 . 37 8.（2024江苏扬州阶段练习）如图,在平面四边形 中, ,,, ,, 分 别是,的中点,为线段 上一点（除端点外）,且 ,设, . （1） 若,以,为基底表示向量与 ； 【答案】 依题意, , 所以 . 由,得 , 所以 . 38 （2） 求 的取值范围. 39 【答案】 由（1）知, , 依题意, , 由 ,, ,得 , 40 因此 , 显然,则 , 即 , 所以的取值范围为 . 情境素养 1. （2024河南模拟联考）对称性是数学美的一个 重要特征,几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.如图,在菱 形中, ,以菱形 的四条边为直径向外作四 个半圆,是这四个半圆弧上的一动点,若 ,则 的最大值为( ) D A.5 B.3 C. D. 【解析】 设,,是直线 与四个半圆弧的一个交点, 令,则 , ,又,所以 . 42 因为是四个半圆弧上的一动点,所以当 与图形下面 半圆相切时, 取得最大值，如图所示. 连接,设线段的中点为,线段的中点为 , 连接,连接并延长交于点 , 过点作,垂足为 , 设 , 因为 ，所以 , ,则 , 由,得 , 故 的最大值为 . 43 $$