3.2双曲线课件-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

3.2 双曲线 3.2.1 双曲线的标准方程 广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑，广州塔的两侧轮廓线是什么曲线？有什么特点？ 可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线． 我们通过一个实验来完成． （1）取一条拉链，把它拉开分成两条，将其中一条剪短．把长的一条的端点固定在点F1 处，短的一条的端点固定在点F2处； （2）将笔尖放在拉链锁扣M 处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖 就画出一条曲线(图中右边的曲线)； （3）再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处．类似地，笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线)． ①如图(A)， |MF1|-|MF2|=2a ②如图(B)， 上面两条合起来叫做双曲线 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） （０ < 2a<|F1F2|） |MF2|-|MF1|=2a ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. （1）a<c ； o F 2 F 1 M 平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. （2）2a >0 ； 思考： (1)若2a=2c,则轨迹是什么？ (2)若2a>2c,则轨迹是什么？ 说明 (3)若2a=0,则轨迹是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a (1)两条射线 (2)不表示任何轨迹 (3)线段F1F2的垂直平分线 F 2 F 1 M x O y 求曲线方程的步骤： 双曲线的标准方程 1.建系. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.找限制条件 |MF1| - |MF2|=±2a 4.代入 5.化简 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 F 2 F 1 M x O y O M F2 F1 x y 若建系时,焦点在y轴上呢? 思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 看 前的系数，哪一个为正，就在哪一个轴上 例1 根据条件，求双曲线的标准方程． （1）焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6； （2）焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，双曲线上一点M的坐标为(2，-5) ． 解：（1）因为2c=14，2a=6，即c=7，a=3，所以b²=a²-c²=40 ． 由于双曲线的焦点在x 轴上，故双曲线的标准方程为 - =1． 例1 根据条件，求双曲线的标准方程． （1）焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6； （2）焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，双曲线上一点M的坐标为(2，-5) ． 又因为c=6，所以b²= c²-a²=36-20=16. 由题设可知，双曲线的焦点在y轴上．因此，双曲线的标准方程为 - =1 ． 解（2）由双曲线的定义知，||MF1|-|MF2||=2a，即 2a= 例2 已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距． （1） - =1 ；（2） x²-y²=-8． 解（1）因为含x项的系数为正数，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a²=32，b²=4 ．于是有 c²=a²+b²=32+4=36， 从而可得 c=6，2c=12 ． 所以，双曲线的交点坐标分别为(-6，0)、(6，0)，焦距为12 ． 例2 已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距． （1） - =1 ；（2） x²-y²=-8． 解（2）将双曲线的方程化为标准方程，为 - =1 因为含y的项的系数为正数，所以双曲线的焦点在y轴上，并且a²=8，b²=8 ．于是有 c²=a²+b²=16， 从而可得 c=4，2c=8 ． 所以，双曲线的交点坐标分别为(0，-4)、(0，4)，焦距为8 ． 练习 1. 根据条件，求双曲线的标准方程． （1）a=2、焦点在x轴上，且分别为F1(-4，0)、F2 (4，0)； （2）b=3，焦点在y轴上，且分别为F1(0，-5)、F2 (0，5) ． 2. 己知椭圆的焦距为2，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为 4，求双曲线的标准方程． 3.写出下列双曲线的焦点坐标和焦距．  （1）9x²-7y²=63；（2） - =1 ． 4.求证：双曲线-y²=1与椭圆9x²+25y²=225的焦点相同 ．   3.2.2 双曲线的几何性质 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。 2、对称性 1、范围 x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 3、顶点(与对称轴的交点) 探究双曲线 的简单几何性质 4、实轴虚轴 x y o -b b -a a 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线 （2） 5、渐近线 x y o a b （3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 思考（1）双曲线 的渐近线方程是？ （2）等轴双曲线的渐近线 方程是什么？ b (a,b) 思考（1）双曲线 的渐近线方程是？ 6、离心率 c>a>0 e >1 （1）定义： （2）e的范围？ （3）e的含义？ e是表示双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大 双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，记作e．即e = ． 小 结 关于x轴、y轴、原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a） 渐近线 . . y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 x B1 y O . F2 F1 B2 A1 A2 . F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) * * 知识要点3 类型一：已知双曲线的标准方程研究其简单的几何性质 例3.已知双曲线 9x2-16y2=144，求双曲线的实半轴和虚半轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程、离心率。 典例分析 类型二：根据几何性质求双曲线的标准方程 例4 求满足下列条件的双曲线的标准方程． （1）一个焦点的坐标为(10，0)，一条渐近线的方程为3x-4y=0； （2）焦距为12，离心率为 ． 例5 类型三：求双曲线的离心率或其取值范围 (1)如果双曲线 右支上总存在到双曲线的中心与右 焦点距离相等的两个相异点,则双曲线离心率的取值范围是　　. (2)设F1,F2是双曲线C: (a>0,b>0)的两个焦点,P是C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的 离心率为　　　　. (2015·山东高考)过双曲线C： (a>0,b>0)的右焦点，作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P，若点P的横坐标为2a，则C的离心率为 . 高考链接 高考链接 练习 1. 求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标，离心率与渐近线方程． （1）x²-9y²=81；（2） 9x²-4y²=-36 ． 2.求以椭圆+=1的焦点为顶点、以椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程． 练习 3.求满足下列条件的双曲线的标准方程． （1）焦点在x轴上，实轴长为8，虚轴长为3； （2）焦点在y轴上，焦距是16，e= ； （3）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8， e= ； （4）渐近线方程为y=± x为，其中一个焦点坐标为(0，-13) ． $$