第25课 一次函数的图象与性质-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第25课 一次函数的图象与性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解一次函数图象的意义，会画一次函数的图象. 2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点. 3.利用函数图象了解一次函数的性质. 4.会根据自变量的取值范围求一次函数的取值范围. 5.会利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 一次函数的图象 1. 正比例函数y＝kx的图象为过(0，0)，(1，k)两点的一条直线． ①当k＞0时，函数y＝kx的图象经过第一、三象限； ②当k＜0时，函数y＝kx的图象经过第二、四象限； 2.一次函数y＝kx+b的图象是过点，的一条直线. ①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 知识点02 一次函数的性质 一次函数的性质： 对于一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）当k＞0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 知识点03 一次函数的图象变换 　　图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． ( 能力拓展 )考点01 一次函数的图象 【典例1】1．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【思路点拨】先根据一次函数y＝kx+b的图象判断出k，b的符号，进而可得出结论． 【解析】解：由一次函数y＝kx+b的图象可知，k＜0，b＞0， ∴﹣b＜0， ∴一次函数y＝﹣bx+k的图象经过二、三、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【即学即练1】一次函数y＝mx+n（m、n为常数且mn≠0）与正比例函数y＝mnx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】根据一次函数的性质和正比例函数的性质，可以判断哪个选项中的图象符合题意． 【解析】解：选项A中，一次函数y＝mx+n中的m＞0，n＞0，则mn＞0，正比例函数y＝mnx中的mn＜0，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数y＝mx+n中的m＞0，n＜0，则mn＜0，正比例函数y＝mnx中的mn＞0，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数y＝mx+n中的m＞0，n＜0，则mn＜0，正比例函数y＝mnx中的mn＜0，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数y＝mx+n中的m＜0，n＞0，则mn＜0，正比例函数y＝mnx中的mn＞0，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 考点02 一次函数的性质 【典例2】已知一次函数y＝（m﹣3）x﹣m2+9（m是常数）． （1）m为何值时，y随x的增大而增大？ （2）m满足什么条件时，该函数图象经过原点？ 【思路点拨】（1）依据题意，由一次函数y＝（m﹣3）x﹣m2+9，y随x的增大而增大，进而可以判断得解； （2）依据题意，由一次函数y＝（m﹣3）x﹣m2+9过原点，进而计算可以得解． 【解析】解：（1）由题意，∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣m2+9，y随x的增大而增大， ∴m﹣3＞0． ∴m＞3． （2）由题意，∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣m2+9过原点， ∴． ∴m＝﹣3． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【即学即练2】设一次函数y＝a（x﹣2）+1（a是常数，a≠0）． （1）若点（4，3）在该一次函数图象上，求a的值． （2）当2≤x≤3时，该函数的最大值是3，求a的值． 【思路点拨】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（4，3）代入y＝a（x﹣2）+1中可求出a的值； （2）分类讨论：a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝3时，y有最大值3，然后代入函数关系式可计算出对应a的值；a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝2时，y有最大值3，然后代入函数关系式可计算对应a的值； 【解析】解：（1）把（4，3）代入y＝a（x﹣2）+1得：a（4﹣2）+1＝3，解得a＝1； （2）①a＞0时，y随x的增大而增大， 则当x＝3时，y有最大值3，把x＝3，y＝3代入函数关系式得：3＝a（3﹣2）+1，解得a＝2； ②a＜0时，y随x的增大而减小， 则当x＝2时，y有最大值3，把x＝2，y＝3代入函数关系式得 3＝a（2﹣2）+1，此方程无实数解， 所以a＝2； 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降. 考点03 一次函数的图象变换 【典例3】在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，10）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线AB向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【思路点拨】（1）直接把点A（﹣1，1）和B（2，10）代入一次函数y＝kx+b，求出k，b的值即可得出函数解析式； （2）求出直线平移后的函数解析式，再求出直线与坐标轴的交点，利用三角形的面积公式即可得出结论． 【解析】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，10）， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝3x+4； （2）∵一次函数的解析式为y＝3x+4， ∴将直线AB向上平移2个单位后所得直线的解析式为y＝3x+6， ∵当x＝0时，y＝6； 当y＝0时，x＝﹣2， ∴直线与坐标轴的交点为（0，6），（﹣2，0）， ∴平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积2×6＝6． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 【即学即练3】已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数关系式； （2）将所得函数图象平移，使它经过点（2，﹣1），求平移后直线的解析式． 【思路点拨】（1）根据y﹣3与x成正比例，图象经过点（2，7），用待定系数法可求出函数关系式； （2）将正比例函数的图象平移，过点（2，﹣1），同样可用待定系数法求． 【解析】解：（1）∵y﹣3与x成正比例， 设函数解析式为：y﹣3＝kx（k≠0）， 把x＝2时，y＝7代入，得7﹣3＝2k，k＝2； ∴y与x的函数关系式为：y＝2x+3， （2）设平移后直线的解析式为y＝2x+3+b， 把点（2，﹣1）代入得：﹣1＝2×2+3+b， 解得：b＝﹣8， 故平移后直线的解析式为：y＝2x﹣5． 【点睛】本题考查一次函数与几何变换，要注意利用一次函数的性质，列出方程组，求出k值，从而求得其解析式，另外求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1. 关干一次函数（x＞0）的图象，正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据自变量的取值范围判定正确的图象即可． 【解析】解：A、选项中的图象说明，自变量取值范围是全体实数，不符合题意； B、选项中的图象自变量取值范围不包括大于12的实数，故不符合题意； C、选项中的图象，自变量取值范围符合条件，故符合题意； D、选项中的图象自变量取值范围包括小于0的实数，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握自变量取值范围是解答本题的关键． 2. 若一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点（﹣1，3），则下列各点在该一次函数图象上的是（　　） A．（﹣2，2） B． C．（1，0） D．（2，﹣5） 【思路点拨】利用待定系数法求出函数解析式，再利用一次函数的图象上的点的特点即可求解， 【解析】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点（﹣1，3）， ∴3＝﹣2×（﹣1）+b， 解得：b＝1， ∴一次函数解析式为y＝﹣2x+1． A．当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+1＝5， ∴点（﹣2，2）不在该一次函数图象上，不符合题意； B．当时，， ∴点在该一次函数图象上，符合题意； C．当x＝1时，y＝﹣2×1+1＝﹣1， ∴点（1，0）不在该一次函数图象上，不符合题意； D．当x＝2时，y＝﹣2×2+1＝﹣3， ∴点（2，﹣5）不在该一次函数图象上，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 3. 点P1（﹣2，y1），点P2（1，y2）是一次函数y＝﹣3x+b图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 【思路点拨】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣2＜1，即可得出y1＞y2． 【解析】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点P1（﹣2，y1），点P2（1，y2）是一次函数y＝﹣3x+b图象上的两个点，且﹣2＜1， ∴y1＞y2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 4. 直线y＝2x﹣3向上平移7个单位后与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣4，0） C．（4，0） D．（0，4） 【思路点拨】根据平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【解析】解：直线y＝2x﹣3向上平移7个单位得，y＝2x﹣3+7＝2x+4， 令x＝0，则y＝2x+4＝2×0+4＝4， ∴与y轴的交点坐标为（0，4）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，掌握函数图象的平移规律是解题的关键． 5. 关于一次函数y＝﹣x+4的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数y＝﹣x+8的图象 D．图象与y轴的交点是（4，0） 【思路点拨】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴的交点进行分析判断． 【解析】解：A、由于一次函数y＝﹣x+4中的k＝﹣1＜0，b＝4＞0，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A错误，不符合题意； B、由于一次函数y＝﹣x+4中的k＝﹣1＜0，所以y随x的增大而减小，故B正确，符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数y＝﹣x的图象，故C错误，不符合题意； D、直线y＝﹣x+4，令x＝0可得：y＝4，函数图象与y轴的交点坐标为（0，4），故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题关键． 6. 已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 【思路点拨】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜﹣1＜1，即可得出y1＞y2＞y3． 【解析】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵﹣2＜﹣1＜1，且点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 7. 若函数y＝kx（k≠0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．0.5 D．1 【思路点拨】根据题意得y随x的增大而减小，可知系数小于零，即可求得答案． 【解析】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2， ∴y随x的增大而减小， ∴k＜0， 结合选项只有﹣2在k＜0的范围内． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，判断出y随x的增大而减小是解题的关键． 8. 若一次函数y＝（2m﹣1）x+5的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C． D． 【思路点拨】由当x1＜x2时，y1＞y2，利用一次函数的性质即可得出2m﹣1＜0． 【解析】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2， ∴2m﹣1＜0， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，准确理解一次函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣1过点P（a，b），则6a﹣3b+2020的值为 　2023　． 【思路点拨】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出b＝2a﹣1，变形后可得出2a﹣b＝1，再将其代入6a﹣3b+2020中，即可求出结论． 【解析】解：∵直线y＝2x﹣1过点P（a，b）， ∴b＝2a﹣1， ∴2a﹣b＝1， ∴6a﹣3b+2020＝3（2a﹣b）+2020＝3×1+2020＝2023． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出2a﹣b＝1是解题的关键． 10. 已知一次函数y＝2x+6﹣3a（a为常数）．当﹣1≤x≤2时，函数y有最大值﹣2，则a＝　4　． 【思路点拨】先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【解析】解：∵一次函数y＝2x+6﹣3a（a为常数）中，k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵当﹣1≤x≤2时，函数y有最大值﹣2， ∴当x＝2时，y＝﹣2，即2×2+6﹣3a＝﹣2， 解得a＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，先根据题意得出函数的增减性是解题的关键． 11. 已知一次函数y＝﹣2x+3中，自变量x的取值范围是﹣3≤x≤8，则当x＝　﹣3　时，y有最大值 　9　；当x＝　8　时，y有最小值 　﹣13　． 【思路点拨】先根据一次函数的系数判断出函数的增减性，再根据其取值范围解答即可． 【解析】解：∵一次函数y＝﹣2x+3中，k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵自变量取值范围是﹣3≤x≤8， ∴当x＝﹣3时，y的最大值为（﹣2）×（﹣3）+3＝9， 当x＝8时，y的最小值为（﹣2）×8+3＝﹣13， 故答案为：﹣3，9，8，﹣13． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，及一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，y随x的增大而减小． 12.已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题： （1）在所给直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）根据函数图象填空： ①图象与x轴的交点为A（ 　2　，　0　），与y轴的交点为B（ 　0　，　4　）． ②当x 　＜1　时，y＞2；当0≤y≤4时，相应x的取值范围是 　0≤x≤2　． 【思路点拨】（1）根据函数解析式，可以求得该函数与x轴和y轴的交点坐标，然后即可画出该函数的图象； （2）①根据函数图性质，可以直接写出点A和点B的坐标； ②根据函数图象，可以写出x当x为何值时，y＞2，当x取何值时，0≤y≤4． 【解析】解：（1）∵y＝﹣2x+4， 当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2， 即该函数图象过点（0，4），（2，0）， 函数图象如图所示， ； （2）①由图象可得， 图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B（0，4）， 故答案为：2，0；0，4； ②由图象可得， 当x＜1时，y＞2；当0≤y≤4时，相应x的取值范围是0≤x≤2， 故答案为：＜1；0≤x≤2． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答． 13.已知y﹣1与x成正比例，当x＝﹣2，y＝4，求： （1）y与x的函数解析式； （2）把（1）中函数图象向上平移2个单位，设点（a，﹣2）在这个平移图象上，求a的值； （3）如果x取值范围为﹣1≤x≤5，求y的取值范围； （4）如果y取值范围为﹣3≤y≤2，求x的取值范围． 【思路点拨】（1）设y﹣1＝kx，把x＝﹣2，y＝4代入即可得到一个关于k的方程，求得k的值，则函数的解析式即可求解； （2）先根据“上加下减”的平移规律得出向上平移2个单位后的函数解析式，再将（a，﹣2）代入，即可求出a的值； （3）分别计算出自变量为﹣1和5时的函数值，然后根据一次函数的性质确定y的取值范围； （4）先分别计算出函数值为﹣3和2所对应的自变量的值，然后根据一次函数的性质求解． 【解析】解：（1）设y﹣1＝kx， 把x＝﹣2，y＝4代入得：4﹣1＝﹣2k， 解得：k＝﹣， 则y﹣1＝﹣x， 即y＝﹣x+1； （2）把y＝﹣x+1向上平移2个单位得y＝﹣x+3， 将（a，﹣2）代入，得﹣2＝﹣a+1， 解得a＝2； （3）∵y＝﹣x+1， 当x＝﹣1时，y＝﹣×（﹣1）+1＝2.5；当x＝5时，y＝﹣×5+1＝﹣6.5， ∴当﹣1≤x≤5，y的取值范围为﹣6.5≤x≤2.5； （4）当y＝﹣3时，﹣x+1＝﹣3，解得x＝； 当y＝2时，﹣x+1＝2，解得x＝﹣， 所以当﹣3≤y≤2时，x的取值范围为﹣≤x≤． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确理解正比例的定义，准确求出函数解析式是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象是由一次函数y＝﹣x+2的图象平移得到的，且经过点A（2，3）． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若点P（2m，4m﹣1）为一次函数y＝kx+b图象上一点，求m的值． 【思路点拨】（1）根据平移可得两个一次函数的k相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）将点P（2m，4m﹣1）代入解析式，即可求解． 【解析】解：（1）依题意，一次函数y＝kx+b的图象是由一次函数y＝﹣x+2的图象平移得到的，且经过点A（2，3）， ∴y＝﹣x+b经过点A（2，3）， ∴3＝﹣2+b， 解得b＝5； ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+5； （2）∵点P（2m，4m﹣1）在y＝﹣x+5上， ∴4m﹣1＝﹣2m+5， 解得m＝1． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． 题组B 能力提升练 15. 若mn＞0，则一次函数y＝mx+n的图象一定过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二象限 D．第四象限 【思路点拨】根据题意，在一次函数y＝mx+n中，mn＞0，结合函数图象的性质可得答案． 【解析】解：∵mn＞0， ∴m、n同号， 当m＞0，n＞0时，一次函数过第一、二、三象限， 当m＜0，n＜0时，一次函数过第二、三、四象限， ∴一次函数必过第二象限． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象的性质，应该识记一次函数y＝kx+b在k、b符号不同情况下所在的象限． 16. 在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+1向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是（　　） A． B． C． D．2 【思路点拨】先根据图形平移的性质得出平移后的解析式，再求出此直线与x、y轴的交点，利用三角形的面积公式即可求解． 【解析】解：设直线y＝2x+1与x轴的交点为A，与y轴交点为B， 将直线y＝2x+1的图象向上平移2个单位，得到y＝2x+3， 令x＝0，得y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，得x＝﹣1.5， ∴A（﹣1.5，0）， ∴OA＝1.5，OB＝3， ∴S△AOBOA•OB1.5×3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解答此题的关键是求出直线AB的解析式及与两坐标轴的交点． 17. 在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（　　） A．将1向右平移4个单位长度 B．将1向左平移4个单位长度 C．将1向上平移4个单位长度 D．将1向下平移4个单位长度 【思路点拨】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案． 【解析】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0）， ∴6（x+a）﹣2＝6x+2， 解得：a， 故将直线y＝6x﹣2向左平移个单位后得到直线y＝6x+2， 同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2， 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减． 18. 已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限，当﹣1≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为5，则k的值为 　　． 【思路点拨】先根据一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限判断出k、b的符号及增减性，再把x＝﹣1及x＝3代入求出y的表达式，由y的最大值与最小值的差为5即可得出结论． 【解析】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限， ∴k＜0，b≤0， ∴y随x的增大而减小， 当x＝﹣1时，y＝﹣k+b；当x＝3时，y＝3k+b， ∵当﹣1≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为5， ∴﹣k+b﹣（3k+b）＝5， 解得k． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 19. 若（x1，y1），（x2，y2）这两个不同点在y关于x的一次函数y＝（a+1）x﹣1图象上，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围 　a＜﹣1　． 【思路点拨】由点在函数图象上得y1＝（a+1）x1﹣1，y2＝（a+1）x2﹣1，从而可表示出y1﹣y2＝（a+1）（x1﹣x2），代入已知不等式，即可求解． 【解析】解：∵（x1，y1），（x2，y2）在一次函数图象上， ∴y1＝（a+1）x1﹣1， y2＝（a+1）x2﹣1， ∴y1﹣y2 ＝（a+1）x1﹣1﹣（a+1）x2+1 ＝（a+1）x1﹣（a+1）x2 ＝（a+1）（x1﹣x2）， ∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， ∴， ∵（x1，y1），（x2，y2）是两个不同点， ∴x1≠x2， ∴， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1； 故答案为：a＜﹣1． 【点睛】本题考查了点在函数图象上的意义，参数不等式；将不等式化为是解题的关键． 20. 若一次函数y＝kx+3的图象与坐标轴围成的三角形面积为3，则k＝ 　　． 【思路点拨】先求出一次函数y＝kx+3与坐标轴交点坐标，再利用面积公式，得到关于k的方程，即可求解． 【解析】解：当x＝0时，y＝k•0+3＝3， 当y＝0时，0＝kx+3，解得：， ∴一次函数y＝kx+3与坐标轴交于点（0，3），， 一次函数与坐标轴围成的三角形面积为：，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点，解题的关键是：熟练掌握求一次函数与坐标轴交点． 21. 若点P（﹣1，y1）和点Q（3，y2）是一次函数y＝（﹣k2﹣1）x+1的图象上的两点，y1与y2的大小关系是y1　＞　y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【思路点拨】由﹣k2﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，再结合﹣1＜3，即可得出y1＞y2． 【解析】解：∵﹣k2﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣1＜3， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是关键． 22. 已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6， （1）k满足何条件时，它的图象经过原点； （2）k满足何条件时，它的图象平行于直线y＝﹣x+1； （3）k满足何条件时，y随x的增大而减小； （4）k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限； （5）k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方． 【思路点拨】（1）将点（0，0）代入一次函数解析式y＝（2﹣k）x﹣2k+6，即可求出k的值； （2）根据两条直线平行的条件得出2﹣k＝﹣1且﹣2k+6≠1，即可求出k的值； （3）根据一次函数的性质，如果y随x的增大而减小，则一次项的系数小于0，由此得出2﹣k＜0，即可求出k的值； （4）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第一、二、四象限时，2﹣k＜0，且﹣2k+6＞0，即可求出k的范围； （5）先求出一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6与y轴的交点坐标，再根据图象与y轴的交点在x轴的上方，得出交点的纵坐标大于0，即可求出k的范围． 【解析】解：（1）∵一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6的图象过原点， ∴﹣2k+6＝0， 解得k＝3； （2）∵一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6的图象平行于直线y＝﹣x+1， ∴2﹣k＝﹣1且﹣2k+6≠1， 解得k＝3； （3）∵一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6的图象y随x的增大而减小， ∴2﹣k＜0， 解得k＞2； （4）∵该函数的图象经过第一、二、四象限， ∴2﹣k＜0，且﹣2k+6＞0， 解得2＜k＜3； （5）∵y＝（2﹣k）x﹣2k+6， ∴当x＝0时，y＝﹣2k+6， 由题意，得﹣2k+6＞0且2﹣k≠0， ∴k＜3且k≠2． 【点睛】此题考查了一次函数的定义与性质，是基础知识，需熟练掌握． 23.已知一次函数y＝kx+b的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是﹣5≤y≤﹣2，求这个一次函数的解析式． 【思路点拨】根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当k＞0时，y随x的增大而增大，把x＝﹣3，y＝﹣5；x＝6，y＝﹣2代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当k＜0时，y随x的增大而减小，把x＝﹣3，y＝﹣2；x＝6，y＝﹣5代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式． 【解析】解：分两种情况： ①当k＞0时，把x＝﹣3，y＝﹣5；x＝6，y＝﹣2代入一次函数的解析式y＝kx+b， 得， 解得， 则这个函数的解析式是yx﹣4（﹣3≤x≤6）； ②当k＜0时，把x＝﹣3，y＝﹣2；x＝6，y＝﹣5代入一次函数的解析式y＝kx+b， 得， 解得， 则这个函数的解析式是yx﹣3（﹣3≤x≤6）． 故这个函数的解析式是yx﹣4（﹣3≤x≤6）或者yx﹣3（﹣3≤x≤6）． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，注意要分情况讨论． 24已知：如图，直线l1：y1＝﹣x+n与y轴交于A（0，6），直线l2：y＝kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C，两条直线相交于点D，连接AB． （1）直接写出直线l1、l2的函数表达式； （2）求△ABD的面积； （3）在x轴上存在点P，能使△ABP为等腰三角形，求出所有满足条件的点P的坐标． 【思路点拨】（1）将点A坐标代入直线l1的解析式中，求出直线l1的解析式，将点B坐标代入直线l2的解析式中，求出直线l2的解析式； （2）先求出点C坐标，点D的坐标，最后用三角形的面积之和即可得出结论； （3）设出点P的坐标，再分三种情况，利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论． 【解析】解：（1）∵直线l1：y1＝﹣x+n与y轴交于A（0，6）， ∴n＝6， ∴直线l1的解析式y1＝﹣x+6， ∵直线l2：y＝kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0）， ∴﹣2k+1＝0， ∴k＝， ∴直线l2的解析式y＝x+1； （2）由（1）知，直线l1的解析式y1＝﹣x+6①，直线l2的解析式y＝x+1②， 联立①②解得，x＝，y＝， ∴D（，）， 对于直线l2的解析式y＝x+1， 令x＝0，∴y＝1， ∴C（0，1）， ∴S△ABD＝（6﹣1）×（+2）＝； （3）设P（m，0）， ∵A（0，6），B（﹣2，0）， ∴AP2＝m2+36，BP2＝（m+2）2，AB2＝40， ∵△ABP是等腰三角形， ∴①当AP＝BP时， ∴m2+36＝（m+2）2， ∴m＝8， ∴P（8，0）， ②当AP＝AB时， ∴m2+36＝40， ∴m＝﹣2（舍）或m＝2， ∴P（2，0）， ③当BP＝AB时，（m+2）2＝40， ∴m＝﹣2+2， ∴P（﹣2+2，0）或（﹣2﹣2，0）， 即：点P的坐标为（﹣2﹣2，0）或（2，0）或（﹣2+2，0）或（8，0）． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，二元一次方程组的解法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 题组C 培优拔尖练 25. 若三条直线y＝2x、y＝﹣x+6、y＝kx+2不能围成三角形，则k的值为 　2或﹣1或1　． 【思路点拨】由题意可知，把y＝kx+2进行分类讨论，因为直线平行时，不会相交，所以第一种情况：y＝kx+2与y＝2x或y＝﹣x+6平行时；因为三条直线相交于一点也满足条件，所以第二种情况是先求出y＝2x与y＝﹣x+6的交点坐标，而y＝kx+2经过该交点坐标时即可知道k的值． 【解析】解：由题意可知，把y＝kx+2分类讨论， 第一种情况：y＝kx+2与y＝2x平行时，即k＝2， 或y＝kx+2与y＝﹣x+6平行时，即k＝﹣1； 第二种情况：由， 得2x＝﹣x+6，即x＝2，则y＝4， 所以y＝2x与y＝﹣x+6的交点坐标为（2，4） 把x＝2和y＝4代入y＝kx+2中， 得4＝2k+2，即k＝1； 综上所述：k的值为2或﹣1或1， 故答案为：2或﹣1或1． 【点睛】本题主要考查了三角形的构成以及一次函数性质等知识内容，掌握一次函数性质是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1）那么点A2024的纵坐标是 　22023　． 【思路点拨】罗列计算A1、A2、A3、•••的纵坐标得到规律，用规律解决问题即可． 【解析】解：作A1C1⊥x轴，A2C2⊥x轴，A3C3⊥x轴， A1的纵坐标是1＝20； 设B1C2＝m，则A2C2＝m， ∴OC2＝2+m， ∴A2（2+m，m），将坐标代入得：， 解得：m＝2， ∴A2的纵坐标是21； 设B2C3＝n， ∴OC3＝6+n， A3（6+n，n），将坐标代入得：， 解得：n＝4， ∴A3的纵坐标是4＝22； ••••••， ∴A2024的纵坐标为22023． 故答案为：22023． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列计算A1、A2、A3、•••的纵坐标得到规律是关键． 27. 一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值． 【思路点拨】（1）将点（1，0）和点（2，3）代入y1＝ax+b之中，求出a＝3，b＝﹣3，由此可得y1的表达式； （2）①根据一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0），得b＝﹣a，由此得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a，在根据点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，得p＝ma﹣a，p＝﹣na+a，进而可得ma﹣a＝﹣na+a，据此即可得出结论； ②先由①得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a，在根据y＝y1﹣y2，得y＝2ax﹣2a，根据a≠0，分两种情况讨论如下：（ⅰ）当a＜0时，对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而减小，因此当x＝﹣2时，y为最大，则2a×（﹣2）﹣2a＝6，由此可求出a的值；（ⅱ）当a＞0时，对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而增大，因此当x＝4时，y为最大，则2a×4﹣2a＝6，由此可求出a的值，综上所述可得出答案． 【解析】（1）解：∵一次函数y1＝ax+b经过点（1，0）和点（2，3）， ∴a+b＝0，2a+b＝3，解得：a＝3，b＝﹣3， ∴y1的表达式为：y1＝3x﹣3； （2）①证明：∵一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）， ∴a+b＝0， ∴b＝﹣a， ∴y1的表达式为：y1＝ax﹣a， ∵y2＝bx+a， ∴y2＝﹣ax+a， ∵点A（m，p）在一次函数y1＝ax﹣a的图象上， ∴p＝ma﹣a， ∵点B（n，p）在一次函数y2＝﹣ax+a的图象上， ∴p＝﹣na+a， ∴ma﹣a＝﹣na+a， 即ma+na＝2a， ∵a≠0， ∴m+n＝2； ②解：由①得y1＝ax﹣a，y2＝﹣ax+a， ∵y＝y1﹣y2， ∴y＝（ax﹣a）﹣（﹣ax+a）＝2ax﹣2a， ∵a≠0， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当a＜0时， 对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而减小， 又∵﹣2≤x≤4， ∴当x＝﹣2时，y为最大， ∴2a×（﹣2）﹣2a＝6， 解得：a＝﹣1 （ⅱ）当a＞0时， 对于y＝2ax﹣2a，y随x的增大而增大， 又∵﹣2≤x≤4， ∴当x＝4时，y为最大， ∴2a×4﹣2a＝6， 解得：a＝1， 综上所述：当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，a的值为﹣1或1． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上的点，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，理解一次函数的性质是解决问题的关键． 28. 探索函数的图象与性质需要经历“列表、描点、连线”后，根据函数图象来归纳其性质．下面运用这样的方法探索的性质． （1）①完成下面列表：其中m＝ 　﹣1　，n＝ 　1　； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣3 m 1 3 2 n … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； （2）结合函数图象，下列说法正确的是：　②　； ①函数图象有对称轴； ②当x＝1时，函数存在最大值，最大值为3； ③y随x增大而减小． （3）若直线y1＝kx+2与该函数图象始终有两个交点，k的取值范围是 　﹣1＜k＜1　． 【思路点拨】（1）①把x＝﹣1代入y＝2x+1求得m的值，把x＝3代入y＝﹣x+4求得n的值，②根据表格描点画图即可； （2）根据图象即可判断； （3）求得直线y1＝kx+2过点（1，3）时的k的值，结合图象即可求解． 【解析】解：（1）①把x＝﹣1代入y＝2x+1得，y＝﹣1， 把x＝3代入y＝﹣x+4得，y＝1， ∴m＝﹣1，n＝1； 故答案为：﹣1，1； ②函数图象如图所示： （2）①函数图象无对称轴，故错误； ②当x＝1时，函数存在最大值，最大值为3，故正确； ③当x≥1时，y随x增大而减小，故错误． 故答案为：②； （3）把点（1，3）代入y1＝kx+2得，3＝k+2，解得k＝1， 由图象可知，若直线y1＝kx+2与该函数图象始终有两个交点，k的取值范围是﹣1＜k＜1． 故答案为：﹣1＜k＜1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，数形结合是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25课 一次函数的图象与性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解一次函数图象的意义，会画一次函数的图象. 2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点. 3.利用函数图象了解一次函数的性质. 4.会根据自变量的取值范围求一次函数的取值范围. 5.会利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 一次函数的图象 1. 正比例函数y＝kx的图象为过(0，0)，(1，k)两点的一条直线． ①当k＞0时，函数y＝kx的图象经过第一、三象限； ②当k＜0时，函数y＝kx的图象经过第二、四象限； 2.一次函数y＝kx+b的图象是过点，的一条直线. ①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 知识点02 一次函数的性质 一次函数的性质： 对于一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）当k＞0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 知识点03 一次函数的图象变换 　　图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． ( 能力拓展 )考点01 一次函数的图象 【典例1】1．一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【即学即练1】一次函数y＝mx+n（m、n为常数且mn≠0）与正比例函数y＝mnx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 考点02 一次函数的性质 【典例2】已知一次函数y＝（m﹣3）x﹣m2+9（m是常数）． （1）m为何值时，y随x的增大而增大？ （2）m满足什么条件时，该函数图象经过原点？ 【即学即练2】设一次函数y＝a（x﹣2）+1（a是常数，a≠0）． （1）若点（4，3）在该一次函数图象上，求a的值． （2）当2≤x≤3时，该函数的最大值是3，求a的值． 考点03 一次函数的图象变换 【典例3】在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，10）． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将直线AB向上平移2个单位，求平移后的直线与坐标轴围成的三角形的面积． 【即学即练3】已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7． （1）求y与x的函数关系式； （2）将所得函数图象平移，使它经过点（2，﹣1），求平移后直线的解析式． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1. 关干一次函数（x＞0）的图象，正确的是（　　） A． B． C． D． 2. 若一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点（﹣1，3），则下列各点在该一次函数图象上的是（　　） A．（﹣2，2） B． C．（1，0） D．（2，﹣5） 3. 点P1（﹣2，y1），点P2（1，y2）是一次函数y＝﹣3x+b图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定 4. 直线y＝2x﹣3向上平移7个单位后与y轴的交点坐标是（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣4，0） C．（4，0） D．（0，4） 5. 关于一次函数y＝﹣x+4的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数y＝﹣x+8的图象 D．图象与y轴的交点是（4，0） 6. 已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＜y1＜y2 7. 若函数y＝kx（k≠0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＞x2时，y1＜y2，则k的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．0.5 D．1 8. 若一次函数y＝（2m﹣1）x+5的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C． D． 9. 在平面直角坐标系中，直线y＝2x﹣1过点P（a，b），则6a﹣3b+2020的值为 　　． 10. 已知一次函数y＝2x+6﹣3a（a为常数）．当﹣1≤x≤2时，函数y有最大值﹣2，则a＝　　． 11. 已知一次函数y＝﹣2x+3中，自变量x的取值范围是﹣3≤x≤8，则当x＝　　时，y有最大值 　　；当x＝　　时，y有最小值 　　． 12.已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题： （1）在所给直角坐标系中，画出此函数的图象； （2）根据函数图象填空： ①图象与x轴的交点为A（ 　　，　　），与y轴的交点为B（ 　　，　　）． ②当x 　　时，y＞2；当0≤y≤4时，相应x的取值范围 　 ． 13.已知y﹣1与x成正比例，当x＝﹣2，y＝4，求： （1）y与x的函数解析式； （2）把（1）中函数图象向上平移2个单位，设点（a，﹣2）在这个平移图象上，求a的值； （3）如果x取值范围为﹣1≤x≤5，求y的取值范围； （4）如果y取值范围为﹣3≤y≤2，求x的取值范围． 14. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象是由一次函数y＝﹣x+2的图象平移得到的，且经过点A（2，3）． （1）求一次函数y＝kx+b的表达式； （2）若点P（2m，4m﹣1）为一次函数y＝kx+b图象上一点，求m的值． 题组B 能力提升练 15. 若mn＞0，则一次函数y＝mx+n的图象一定过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二象限 D．第四象限 16. 在平面直角坐标系中，将直线y＝2x+1向上平移2个单位长度，平移后的直线与两坐标轴围成的三角形面积是（　　） A． B． C． D．2 17. 在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（　　） A．将1向右平移4个单位长度 B．将1向左平移4个单位长度 C．将1向上平移4个单位长度 D．将1向下平移4个单位长度 18. 已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限，当﹣1≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为5，则k的值为 　　． 19. 若（x1，y1），（x2，y2）这两个不同点在y关于x的一次函数y＝（a+1）x﹣1图象上，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则a的取值范围 　 　． 20. 若一次函数y＝kx+3的图象与坐标轴围成的三角形面积为3，则k＝ 　 　． 21. 若点P（﹣1，y1）和点Q（3，y2）是一次函数y＝（﹣k2﹣1）x+1的图象上的两点，y1与y2的大小关系是y1　 　y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 22. 已知一次函数y＝（2﹣k）x﹣2k+6， （1）k满足何条件时，它的图象经过原点； （2）k满足何条件时，它的图象平行于直线y＝﹣x+1； （3）k满足何条件时，y随x的增大而减小； （4）k满足何条件时，图象经过第一、二、四象限； （5）k满足何条件时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方． 23.已知一次函数y＝kx+b的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是﹣5≤y≤﹣2，求这个一次函数的解析式． 24已知：如图，直线l1：y1＝﹣x+n与y轴交于A（0，6），直线l2：y＝kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C，两条直线相交于点D，连接AB． （1）直接写出直线l1、l2的函数表达式； （2）求△ABD的面积； （3）在x轴上存在点P，能使△ABP为等腰三角形，求出所有满足条件的点P的坐标． 题组C 培优拔尖练 25. 若三条直线y＝2x、y＝﹣x+6、y＝kx+2不能围成三角形，则k的值为 　 　． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1）那么点A2024的纵坐标是 　 　． 27. 一次函数y1＝ax+b（a≠0）恒过定点（1，0）． （1）若一次函数y1＝ax+b还经过（2，3）点，求y1的表达式； （2）若有另一个一次函数y2＝bx+a． ①点A（m，p）和点B（n，p）分别在一次函数y1和y2的图象上，求证：m+n＝2； ②设函数y＝y1﹣y2，当﹣2≤x≤4时，函数y有最大值6，求a的值． 28. 探索函数的图象与性质需要经历“列表、描点、连线”后，根据函数图象来归纳其性质．下面运用这样的方法探索的性质． （1）①完成下面列表：其中m＝ 　　，n＝ 　　； x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣3 m 1 3 2 n … ②根据列表在下列平面直角坐标系中先描点，再连线； （2）结合函数图象，下列说法正确的是：　　； ①函数图象有对称轴； ②当x＝1时，函数存在最大值，最大值为3； ③y随x增大而减小． （3）若直线y1＝kx+2与该函数图象始终有两个交点，k的取值范围是 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$