专题03 轴对称（7大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题03 轴对称 一、题型01 轴对称图形的识别 1．（22-23八年级上·昆明·期末）下面四幅图是由体育运动项目抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·昆明·期末）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 3．（22-23八年级上·云南昆明·期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·云南普洱·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列第19届杭州亚运会的运动图形中，属于轴对称图形的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（23-24八年级下·云南普洱·期末）汉字的历史悠久是其魅力所在的重要因素，这种文字形式起源于古代中国，与深厚的中华文明紧密相连．有的汉字是轴对称图形，下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A．爱 B．我 C．中 D．华 二、题型02 折叠中的角度问题 7．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，，将沿折痕折叠，使点A恰好落在的延长线上的点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，点E，F分别是上的点，沿着将折叠得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·云南德宏·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片折叠，使点、落在边上的点、处，折痕为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，若．则重叠部分（即）的面积是（    ） A．80 B．40 C．30 D．24 11．（23-24八年级上·云南文山·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为 ． 12．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，、两点落在、若得，则的度数为 ．    13．（22-23八年级上·云南楚雄·期末）如图，中，，，是的高，将沿折叠得到，点落在线段上． (1)求的度数． (2)过点作的平分线交于点，若，求的长． 14．（23-24八年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动，请帮助他们完成相关的计算和证明． 【探究一】如图1，在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．同学们发现，若，，借助，可以计算出的面积．请你完成填空：__________； 【探究二】在“图1”的基础上，过点E作的平分线交BD于点P，连接AP，如图2．同学们发现，沿直线AP折叠这个三角形，与重合，即AP是的角平分线．请你证明：AP平分； 【探究三】在“图2”的基础上，过点P作于点H，如图3．同学们通过测量发现，AH与BH的积是AC与BC的积的一半．请你证明：． 三、题型03 线段垂直平分线的性质和判定 15．（20-21八年级上·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（20-21八年级上·云南红河哈尼族·期末）如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（   ） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（　　） A．8 B． C． D． 19．（21-22八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，连接．若，的周长为，则的长为 ．    20．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为 ． 21．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是边上的垂直平分线，，的周长为，求的周长 ． 22．（22-23八年级上·云南德宏·期末）如图，中，是的平分线，，，、为垂足，连接交于求证：垂直平分． 四、题型04 画轴对称图形 23．点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 24．（23-24八年级上·云南红河·期末）若点与点关于x轴对称，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．（23-24八年级上·云南德宏·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则点所在的象限是(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（23-24八年级上·云南昭通·期末）若点与点关于y轴对称，则 ． 27．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的图形． (2)求的面积； (3)在x轴上找一点P，使得 最小，请直接写出点 P 的坐标． 28．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 29．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． (3)在直线上求作一点P，使最小． 30．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，的三个顶点坐标分别为． (1)作于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)在边上找一点，使得将分成两个面积相等的三角形，直接写出点的坐标． 五、题型05 等腰三角形等边对等角 31．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，在正八边形 中，连接 ， 的度数为（    ） A． B． C． D． 33．（2012·浙江衢州·一模）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　） A． B． C．或 D．或 34．（23-24八年级上·云南普洱·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一个内角为另一个内角的2倍，那么该等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C．或 D．或 36．（12-13八年级上·浙江杭州·阶段练习）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 37．（22-23八年级上·云南大理·期末）在等腰中，，，为直线上一个动点，当时，则的度数为 ． 38．（20-21八年级上·云南红河·期末）在中，，的垂直平分线交于，交于，，则 ． 39．（23-24八年级上·云南保山·期末）等腰三角形一个外角是，求一腰上的高与另一腰的夹角是 ． 40．（22-23八年级上·云南保山·期末）如图，在中，，点D在线段上且，连接，已知与交于点E．求证：． 41．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在 中， 于D， E为线段上一点， 连接交于点 F， 已知 (1)求证： (2)若 ，求 的度数． 六、题型06 等腰三角形三线合一 42．（22-23八年级上·云南保山·期末）如图，在中，的面积等于36，边的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 43．（23-24八年级上·云南德宏·期末）如图，在等腰中，． （1）尺规作图过程如下： ①作边上的中线； ②在边上求作一点，使得． （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 45．（2015·江苏苏州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（  ） A．35° B．45° C．55° D．60° 46．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，为的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 47．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是的平分线，，，则下列说法中，①；②；③；④，正确的有（    ）      A．个 B．个 C．个 D．个 48．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，点是边的中点，连结，，若点，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 49．（2021八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 . 50．（10-11七年级上·甘肃陇南·期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF． 七、题型07 含30�的直角三角形 51．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 52．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 53．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，， ①以点 O 为圆心，适当长为半径作弧交 于点 C，交 于点 D； ②分别 以 C，D 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 内部相交于点 P； ③画射线 ．若在 射线 上截取线段 ．则点 M 到 的距离为（     ） A．8 B．6 C．4 D．3 54．（16-17八年级·湖北十堰·期中）如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 55．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，，，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 56．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． (1)当时，求的长； (2)过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 57．（19-20八年级上·河南商丘·期中）如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 58．（23-24八年级上·云南德宏·期末）如图，在中平分于，连接，交于点． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，求的长． 59．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我们知道在解与角平分线有关的问题时，通常过角平分线上的一点作角两边的垂线，构造全等三角形，请完成下列问题． 【初步探究】（1）如图 1， ， 平分， 点 C 是射线 上一点，， 且与， 分别交于点 D， B， 求证：． 【类比探究】（2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点C逆时针旋转使点 D落在的反向延长线上． 请探究线段，和之间的数量关系，写出结论并证明． 【拓展应用】（3）如图3，其他条件不变，将图1的绕点C顺时针旋转使点 B落在的反向延长线上． 请直接写出线段，和之间的数量关系． （不用证明）    八、题型08 等腰三角形的性质和判定 60．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，已知在和中，，，与相交于点E，过点E作于点F．下列说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 61．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）在中，，，在直线上找点，使是等腰三角形，则 ． 62．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，于D，E为线段上一点，连接交于点F，已知．若，则的度数为 °． 63．（20-21八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 64．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且．若，，求的周长． 65．（13-14八年级上·湖北黄冈·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 66．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图所示，和都是等腰直角三角形，是斜边，点C是直线上的一动点，点C不与D、E重合，连接． (1)在图①中，当点C在D、E两点之间时，求证：； (2)在图②中，当点C在的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请你猜想此时的数量关系，并说明理由． 67．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，的角平分线过点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，若，求证：． 九、题型09 等边三角形的性质和判定 68．（23-24八年级上·云南大理·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与 交于点． 则下列结论正确的有（   ） ①连接，则直平分线段；②是等边三角形：③若，则；④若，，则 ． A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④ 69．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 70．（23-24八年级上·云南昆明·期末）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到．    (1)如图1，若，则______． (2)如图2，点在延长线上，且． ①试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②若，求的长． 71．（23-24八年级上·云南普洱·期末）在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点是中点时，求证：． (2)当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 72．（23-24八年级上·云南昆明·期末）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中大小的例子．    (1)【特例探究】 如图①，在等边中，点D，E分别是线段上的点，且，与交于点猜想： ______（选填“”、“”或“”），______ 度； (2)【问题推广】 如图②，在等边中，若点D，E分别在的延长线上，且，猜想的度数，并给出证明． (3)【拓展延伸】 如图③，在等腰中，，是锐角，点O在上且，点D，E分别在的延长线上，，与的延长线交于点F，若，则______ 度． 73．（23-24八年级上·云南昆明·期末）小官同学在学完等腰三角形后发现一个有趣的现象： 若与是等腰三角形，，，且，连接交于点O．当与处于不同位置时总有．    【探究规律】 （1）你认同小官同学的发现吗？如果认同，请以图1为例，证明结论；若不认同，请说明理由． （2）你还有其他的发现吗？请写出结论，简述理由． 【应用规律】 （3）如图2，在等边中，M是上一点，N是上一动点，以为边作等边，连接，猜想与之间的数量关系为_______． 74．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，，分别交，于点，，与交于点．    (1)求证：． (2)求的度数． 十、题型10 最短路径问题 75．（20-21八年级上·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 76．（23-24八年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，图形的五个顶点坐标如图所示，完成下列问题． (1)画出将图形向右平移5个单位的图形，并写出的坐标； (2)画出图形关于x轴对称的图形； (3)在x轴上找点P，使最小（保留作图痕迹）． 77．（22-23八年级上·广东中山·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线． (1)画出关于直线/的轴对称图形，并写出点，，的坐标． (2)直线上找一点，使得的周长最短，在图中标记出点的位置． (3)在内有一点，则点P关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含a，b的式子表示）． 78．（22-23八年级下·云南昭通·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、、、．    (1)请作出四边形关于轴对称的四边形，并写出点的对应点的坐标； (2)在直线上找一点，使得的周长最小，在图中标出的位置，并写出点的坐标（保留画图过程的痕迹）． 试卷第2页，共23页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 轴对称 一、题型01 轴对称图形的识别 1．（22-23八年级上·昆明·期末）下面四幅图是由体育运动项目抽象出来的简笔画，其中是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2．（23-24八年级上·昆明·期末）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（   ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等， 凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：A． 3．（22-23八年级上·云南昆明·期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 4．（23-24八年级上·云南普洱·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义，依次判断即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形分别沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形；而选项A中的图形不是轴对称图形． 故选： A． 5．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列第19届杭州亚运会的运动图形中，属于轴对称图形的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：第一个图形不是轴对称图形，故不合题意； 第二个图形不是轴对称图形，故不合题意； 第三个图形不是轴对称称图形，故不合题意； 第四个图形不是轴对称图形，故不合题意； 故选：A． 6．（23-24八年级下·云南普洱·期末）汉字的历史悠久是其魅力所在的重要因素，这种文字形式起源于古代中国，与深厚的中华文明紧密相连．有的汉字是轴对称图形，下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A．爱 B．我 C．中 D．华 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A、B、D都不能沿某一条直线对折后的两部分是完全重合，不符合轴对称图形的定义，只有选项C能沿某一条直线对折后的两部分是完全重合， 故选：C． 二、题型02 折叠中的角度问题 7．（23-24八年级下·云南文山·期末）如图，在中，，，将沿折痕折叠，使点A恰好落在的延长线上的点处，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据折叠得到，利用三角形外角性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵折叠， ∴， ∴； 故选D． 8．（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，点E，F分别是上的点，沿着将折叠得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形的内角和定理，根据可得，由翻折可得，由三角形的内角和可求得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由翻折可得：， ，， ， ， 由翻折可得：． 故选：A． 9．（22-23八年级上·云南德宏·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片折叠，使点、落在边上的点、处，折痕为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可求得：，，利用四边形的内角和求出，由补角的定义可求解． 【详解】解：由折叠可知：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查四边形的内角和外角，折叠的性质，补角．掌握四边形的内角和为是解题的关键． 10．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，若．则重叠部分（即）的面积是（    ） A．80 B．40 C．30 D．24 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得出，，然后根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形面积公式，掌握折叠的性质是解题的关键． 11．（23-24八年级上·云南文山·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查的是平行线的性质和翻折变换，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键． 先根据平行线的性质得出，再根据图形翻折的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知，． 故答案为：． 12．如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，、两点落在、若得，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，再根据，可得出的度数． 【详解】解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，邻补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 13．（22-23八年级上·云南楚雄·期末）如图，中，，，是的高，将沿折叠得到，点落在线段上． (1)求的度数． (2)过点作的平分线交于点，若，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质，解题词关键是熟练掌握直角三角形性质，折叠性质，等腰三角形的性质． （1）本题考查了直角三角形性质及折叠的性质，先由三角形内角和定理求出，再由直角三角形的性质求出，再根据折叠的性质得出； （2）本题考查了折叠性质及等腰三角形三线合一性质，先计算出，再由，得到．然后根据等腰三角形三线合一性质得出，即可求解． 【详解】（1），， ， 是的高， ， ， 将沿折叠得到， ， ． （2）由（1）知， ． ， ， ． 平分， ． ， ． 14．（23-24八年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组利用直角三角形纸片开展了如下的连续探究活动，请帮助他们完成相关的计算和证明． 【探究一】如图1，在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．同学们发现，若，，借助，可以计算出的面积．请你完成填空：__________； 【探究二】在“图1”的基础上，过点E作的平分线交BD于点P，连接AP，如图2．同学们发现，沿直线AP折叠这个三角形，与重合，即AP是的角平分线．请你证明：AP平分； 【探究三】在“图2”的基础上，过点P作于点H，如图3．同学们通过测量发现，AH与BH的积是AC与BC的积的一半．请你证明：． 【答案】[探究一] 24；[探究二]见解析；[探究三]见解析 【分析】[探究一]根据已知条件可得，从而可以计算得解； [探究二]过点分别作、、边的垂线，垂足分别为点、、，利用全等性质，通过等量代换即可得到，通过角平分线性质即可得证； [探究三]过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，然后将整理化简，最后等量代换即可得证． 【详解】[探究一]解：由题可知，，，， ， 故答案为：24； [探究二]证明：如图，过点分别作、、边的垂线垂足分别为点、、， 由题可知，，， ， 平分， ， ， ， 则平分； [探究三]证明：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接， 由（2）可知，， ，，， ，，，四边形是正方形， ，，，，， ， ， 即， 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采用等量代换的方法是解题关键． 三、题型03 线段垂直平分线的性质和判定 15．（20-21八年级上·云南红河哈尼族·期末）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 16．（11-12八年级上·北京东城·期末）如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式进行求解即可. 【详解】解：∵是中边上的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B. 17．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，中边的垂直平分线分别交于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．由中，边的中垂线分别交于点D、E，，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长． 【详解】解：∵中，边的中垂线分别交于点D、E，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为：． 故选：D． 18．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，已知，以A，B两点为圆心的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，则的周长为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可知，垂直平分，则，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：A． 19．（21-22八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，连接．若，的周长为，则的长为 ．    【答案】7 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．由的垂直平分线交于E，交于D，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由的周长为，即可求得，然后由，即可求得的长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于E，交于D， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 20．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：线段的垂直平分线交于点， ， 的周长， ， 又， ， 故答案为：2 21．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是边上的垂直平分线，，的周长为，求的周长 ． 【答案】14 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出，题目比较典型，难度适中．根据线段垂直平分线得出，，根据已知得出，即可求出答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长是， ， ， 的周长是， 故答案为14 22．（22-23八年级上·云南德宏·期末）如图，中，是的平分线，，，、为垂足，连接交于求证：垂直平分． 【答案】证明详见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有，，，，等腰三角形的顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边．根据证，推出，根据等腰三角形性质推出即可． 【详解】证明：是的平分线， ，， ，， 在和中 ， ， ， 是的平分线， 垂直平分． 四、题型04 画轴对称图形 23．点关于x轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为； 故选C． 24．（23-24八年级上·云南红河·期末）若点与点关于x轴对称，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及判断点坐在象限，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b的值，从而得到点M的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴点所在的象限是第一象限， 故选：A． 25．（23-24八年级上·云南德宏·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则点所在的象限是(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题考查关于x轴对称的点的坐标，利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解． 【详解】由题意，得 ，， 故 在第四象限， 故选：D． 26．（23-24八年级上·云南昭通·期末）若点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】1 【分析】由关于轴对称的点的坐标的特点，即可计算．本题考查关于轴对称的点的坐标的特点，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， 故答案为：1． 27．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于y轴对称的图形． (2)求的面积； (3)在x轴上找一点P，使得 最小，请直接写出点 P 的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了作图轴对称变换，找到x轴、y轴，即可找到对称点，要注意点的坐标相对应． （1）找到A、B、C关于y轴的对称点即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）作B点关于x轴对称的对称点，连接，与x轴交点即为P． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）的面积； （3）如图所示，点P即为所求； ∴． 28．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形； (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)6 【分析】本题主要考查了做轴对称图形， 线段最短，网格求四边形面积等知识．掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标相等得出点，，，，然后连接即可． （2）过点B过关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，点P即为所求，即点A，点P与点三点共线时，周长最小． （3）利用网格求四边形面积即可． 【详解】（1）解：如下图四边形即为所求： （2）解：如下图，点P即为所求． （3）解： 29．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形（不写画法）； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． (3)在直线上求作一点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键． （1）先找出点、点、点关于直线的对称点，再依次连接对称点即可． （2）先求出所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可． （3）先找出点关于直线的对称点，连接与直线相交于点，即的最小值就是线段的长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． （3）解：如图，点P即为所求． ，故最小为． 30．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，的三个顶点坐标分别为． (1)作于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)在边上找一点，使得将分成两个面积相等的三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，三角形的中线的性质，利用轴对称的性质找出对称点是解决问题的关键． （1）利用轴对称的性质，找到A、B、C关于y轴的对称点即可； （2）由题意可知，要使得将分成两个面积相等的三角形，则为的中线，结合，，利用中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2），理由如下， 要使得将分成两个面积相等的三角形，则为的中线， ∴点为的中点， ∵，， ∴． 五、题型05 等腰三角形等边对等角 31．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，、分别是的中线和角平分线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质， 三角形内角和定理以及角平分线的定义， 根据等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，可得出， 结合三角形内角和定理可得出， 最后再根据角平分线的定义即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 32．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，在正八边形 中，连接 ， 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据“正多边形的外角和等于”求出正八边形的每一个外角的度数，再求出每一个内角的度数，再根据“等边对等角”即可求出的度数． 本题主要考查了正多边形的性质、正多边形的外角和以及等边对等角的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴每一个外角， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 33．（2012·浙江衢州·一模）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分别即可． 【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形， ∴当是底角时，顶角； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 故选D． 34．（23-24八年级上·云南普洱·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点可在槽中滑动，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键，设，根据得，利用三角形外角的性质得，又，则，因此得到方程并解得x的值，进而即可得到答案． 【详解】设， ， ， ， ， ， ， 解得， 35．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如果等腰三角形的一个内角为另一个内角的2倍，那么该等腰三角形的顶角等于（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；设其中一个角的度数为，则另一个角为，分两种情况由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【详解】解：设其中一个角的度数为，则另一个角为， ①顶角度数为时，则 解得：， ②当顶角为时，则 ∴，则顶角为， 故选：A． 36．（12-13八年级上·浙江杭州·阶段练习）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 37．（22-23八年级上·云南大理·期末）在等腰中，，，为直线上一个动点，当时，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分情况讨论； 由等腰三角形的性质得到，当在上时，由等腰三角形的性质求出，从而求解；当在的延长线上时，由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出，从而求的度数即可求解； 【详解】解：如图： ，， ， 当在上，即点位置时， ， ， ， 当在的延长线上，即点位置时， ， ， ， ， ， 的度数为或， 故答案为：或 38．（20-21八年级上·云南红河·期末）在中，，的垂直平分线交于，交于，，则 ． 【答案】70°/70度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．由，先求的度数，然后根据求等腰三角形底角的度数即可． 【详解】 解：∵是的垂直平分线 ∴ ∴ 又 又 ∴． 故答案为：． 39．（23-24八年级上·云南保山·期末）等腰三角形一个外角是，求一腰上的高与另一腰的夹角是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的高线，直角三角形两锐角互余；先作出图形，再根据高线的定义得出，然后计算的度数即可． 【详解】解：如图， ∵等腰三角形一个外角是， ∴等腰三角形一个内角是， 等腰三角形中，，①当顶角，， ∴， ∴， 即一腰上的高与另一腰的夹角为， ②当底角，， ∴， ∴， ∴ 即一腰上的高与另一腰的夹角为， 综上，一腰上的高与另一腰的夹角是或， 故答案为：或． 40．（22-23八年级上·云南保山·期末）如图，在中，，点D在线段上且，连接，已知与交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形的内角和定理的应用，先证明，再证明，再结合三角形的判定方法可得结论； 【详解】证明：在中，， ， ． 又 又 在和中， 41．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在 中， 于D， E为线段上一点， 连接交于点 F， 已知 (1)求证： (2)若 ，求 的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据，可得垂直平分，从而得到是等腰三角形，进而得到，再由等腰直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 六、题型06 等腰三角形三线合一 42．（22-23八年级上·云南保山·期末）如图，在中，的面积等于36，边的垂直平分线分别交边于点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】首先添加辅助线连接、，结合已知条件根据等要三角形的性质、三角形的面积公式求得的长，再根据垂直平分线的性质、最短路径问题推出结论的长为的最小值，由此可得出结论． 【详解】解：连接、，如图： ∵是等腰三角形，点为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点，， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长的最小值为． 故选：B 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、等腰三角形的性质、轴对称以及最短路径问题等知识点，能利用相关知识点确定的长为的最小值是解决问题的关键． 43．（23-24八年级上·云南德宏·期末）如图，在等腰中，． （1）尺规作图过程如下： ①作边上的中线； ②在边上求作一点，使得． （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查基本作图—作垂线，作线段等于已知线段，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；根据三线合一和三角形的内角和定理，求出，等边对等角，求出，再利用，计算即可. 【详解】∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴. 故选：C． 44．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的三线合一性质． 根据等腰三角形“三线合一”的性质解答． 【详解】解：中，，是中点， ，故A正确，此选项不符合题意； ，故C正确，此选项不符合题意； ，故D正确，此选项不符合题意； 无法得到，故B不正确，此选项不符合题意． 故选：B． 45．（2015·江苏苏州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（  ） A．35° B．45° C．55° D．60° 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得． 【详解】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 46．（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，为的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得到，平分，进而得到，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，为的中点， ，平分， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 47．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，是的平分线，，，则下列说法中，①；②；③；④，正确的有（    ）      A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质判断②③正确，利用证明，则④正确，根据全等三角形的性质及三角形外角性质判断①正确． 【详解】解：，是的平分线， ，， 故正确，符合题意； 是的平分线， ， 在和中， ， ≌， 故正确，符合题意； ≌， ， ，， ， 故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 48．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，点是边的中点，连结，，若点，分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，点是边的中点， 垂直平分， ． 过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ， ． 故答案为：． 49．（2021八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC的周长为32，且AB=AC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为 . 【答案】8 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD=CD，再根据三角形的周长计算出AC+CD，进而求解即可． 【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=DC， ∵△ABC的周长为32，即AB+AC+BC=32， ∴AB+BD+CD+AC=32， ∴AC+DC=16， ∵△ACD的周长为24，即AC+DC+AD=24， ∴AD=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 50．（10-11七年级上·甘肃陇南·期中）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质定理可得DE＝DF，可证得Rt△AED≌Rt△AFD，从而得到AE＝AF，再根据等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中 ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴AD垂直平分EF． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 七、题型07 含30�的直角三角形 51．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 52．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，，D是上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记这些性质是解题的关键．根据三角形内角和可得，进而得出，得到，中，由，可求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 53．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，， ①以点 O 为圆心，适当长为半径作弧交 于点 C，交 于点 D； ②分别 以 C，D 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 内部相交于点 P； ③画射线 ．若在 射线 上截取线段 ．则点 M 到 的距离为（     ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】过M点作于E点，则M 到 的距离为线段的长．由作图可知射线 是的角平分线，由此可得，根据“直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半”即可求出的长． 本题考查了角平分线的尺规作图法，以及直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过M点作于E点，则M 到 的距离为线段的长． 由作图可知射线 是的角平分线， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 54．（16-17八年级·湖北十堰·期中）如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：C． 55．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，，，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键． 根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 56．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是边长为9的等边三角形，P是边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交AB于D． (1)当时，求的长； (2)过P作交AB于M． ①求证：是等边三角形； ②求线段的长． 【答案】(1)的长为3； (2)①见详解② 【分析】（1）设，则，，证，则，即，解方程即可； （2）①因为，且是边长为9的等边三角形，则证是等边三角形， ②因为是等边三角形得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可解决问题． 本题考查了等边三角形的性判定与质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解： 是等边三角形， ，， 设，则，， ， ， ， 即 解得：， 即的长为3； （2）①如图， ∵， ，， 是等边三角形， ②是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 57．（19-20八年级上·河南商丘·期中）如图1，是边长为5厘米的等边三角形，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿线段、运动，且它们的速度都为1厘米/秒，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为． (1)当运动时间为t秒时，的长为______厘米，的长为______厘米；（用含t的式子表示） (2)当是直角三角形时，求t的值； (3)如图2，连接、，相交于点M，则点P、Q在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数． 【答案】(1)，； (2)t的值为或； (3)不会变化， 【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，三角形内角和定理及外角的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由等边三角形的性质可得厘米，设点P的运动时间为，则厘米，厘米，再表示出的长度即可； （2）由题意可知，厘米，厘米，厘米，当是直角三角形时，分两种情况讨论：和，根据30度角所对的直角边等于斜边一半列方程，求出t的值即可； （3）根据等边三角形的性质，证明，得到，推出，再根据三角形外角的性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米， 设点P的运动时间为， 由题意可知，厘米，厘米， 厘米， 故答案为：，； （2）解：是边长为5厘米的等边三角形， 厘米，， 设点P的运动时间为， 则厘米，厘米，厘米， 当是直角三角形时， 若，则， ， ， 解得：； 若，则， ， ， 解得：， 综上可知，当是直角三角形时，t的值为或； （3）解：不会变化，理由如下： 是等边三角形， ，， 点P、Q分别从顶点A、B以相同速度同时出发，沿线段、运动， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的外角， ， 即不会变化，度数为． 58．（23-24八年级上·云南德宏·期末）如图，在中平分于，连接，交于点． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）只需要利用证明得到，，即可证明是线段的垂直平分线； （2）先由角平分线的定义得到，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，再求出，即可得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 是线段的垂直平分线； （2）解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 59．（23-24八年级上·云南昆明·期末）我们知道在解与角平分线有关的问题时，通常过角平分线上的一点作角两边的垂线，构造全等三角形，请完成下列问题． 【初步探究】（1）如图 1， ， 平分， 点 C 是射线 上一点，， 且与， 分别交于点 D， B， 求证：． 【类比探究】（2）如图2，其他条件不变，将图1的绕点C逆时针旋转使点 D落在的反向延长线上． 请探究线段，和之间的数量关系，写出结论并证明． 【拓展应用】（3）如图3，其他条件不变，将图1的绕点C顺时针旋转使点 B落在的反向延长线上． 请直接写出线段，和之间的数量关系． （不用证明）    【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）过点作于点，于点，由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，由含30度角的直角三角形的性质可得，由线段关系可求解． （3）在上截取，连接，证明，可得． 【详解】证明：（1）过点作于点，于点，如下图，    ∵平分，，， ∴， ∵，由四边形的内角和等于， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2），理由如下： 过点作于，于，如下图，    ∵平分，，， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （3），理由如下： 在上截取，连接，    ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，根据角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 八、题型08 等腰三角形的性质和判定 60．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，已知在和中，，，与相交于点E，过点E作于点F．下列说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和性质．根据直角三角形全等的判定定理先判定，然后根据其全等性质即可得出，，判定是等腰三角形，根据三线合一性质，即可得，通过等角转换，判断④不正确． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴，， ∴，故③正确； ∴，即，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当时，则， ∴， ∴的条件是，显然与已知条件不符，故④错误， 综上，①②③正确， 故选：A． 61．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）在中，，，在直线上找点，使是等腰三角形，则 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性质，分当点P与点C重合时，当时，当时，共四种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，当点P与点C重合时，是等腰直角三角形，则；    如图所示，当时，则    如图所示，当时，则    如图所示，当时，则；    综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 62．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，在中，于D，E为线段上一点，连接交于点F，已知．若，则的度数为 °． 【答案】22.5 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据证明三角形全等，再根据全等的性质得出，再利用垂直平分线求解即可． 【详解】于， ， ，， ， ； ，， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ∴， 平分， ． 故答案为： 63．（20-21八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理和外角的性质． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，求得即可． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接， 为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形； （2）解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． ∵为等腰三角形， ． ． 64．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且．若，，求的周长． 【答案】12 【分析】根据平分，平分，且，可得出，，所以三角形的周长是．本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长． 65．（13-14八年级上·湖北黄冈·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质： （1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形的定义证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 66．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图所示，和都是等腰直角三角形，是斜边，点C是直线上的一动点，点C不与D、E重合，连接． (1)在图①中，当点C在D、E两点之间时，求证：； (2)在图②中，当点C在的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请你猜想此时的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当点C在的延长线上时，结论不成立，，理由见解析． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的概念得到，证明，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当点C在的延长线上时，结论不成立，此时的数量关系为，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形 ∴， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 67．（23-24八年级上·云南保山·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，的角平分线过点E，连接并延长交的延长线于点F． (1)如图甲，求证：； (2)如图乙，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关性质是解题的关键． （1）证明，即可； （2）过点E作于点M，角平分线的性质得到，平行加角平分线，得到，进而得到，根据，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵E是CD的中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）如图，过点E作于点M， ∵，， ∴， 即． ∵是的角平分线且， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， 且， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 九、题型09 等边三角形的性质和判定 68．（23-24八年级上·云南大理·期末）如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与 交于点． 则下列结论正确的有（   ） ①连接，则直平分线段；②是等边三角形：③若，则；④若，，则 ． A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】①由等边三角形的性质得，再由线段垂直平分线的判定定理即可判断；②由等边三角形的性质得，由平行线的性质得，即可判断；③由等腰三角形的性质得，由三角形外角性质得，即可判断；④由等腰三角形的判定可得 ，由等边三角形的性质得，，，即可判断． 【详解】解：①如图， 是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， 在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； 故①正确； ②是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 故②正确； ③， ， ， ； 故③错误； ④如图， 垂直平分， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 故④正确； 综上所述：①②④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，平行线的性质；掌握相关的判定方法及性质，能熟练进行线段和角的转换是解题的关键． 69．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)当点D在中点时，，理由见详解． (3)或或 【分析】（1）根据即可证明； （2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：若， 又∵， ∴平分， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， ∴当点D在中点时，； （3）解：由（1）可知， ∴， 当时，则，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ①如图1：D在线段上时，若， 则． ②如图2，点D在的延长线上，， ③如图3，点D在的延长线上，此时，． ④如图4，． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会运用分类讨论思想． 70．（23-24八年级上·云南昆明·期末）是等边三角形，点是边上动点，，把沿对折，得到．    (1)如图1，若，则______． (2)如图2，点在延长线上，且． ①试探究之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由． ②若，求的长． 【答案】(1)； (2)①，理由见解析；②6． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，根据角度计算可得，由折叠的性质可得，根据即可求解； （2）①连接，在上取一点，使，证明，是等边三角形，即可得到； ②先证明，C，P三点共线，结合①的结论求解即可． 【详解】（1）解： 理由：是等边三角形， ， ， 把沿对折，得到， ， ， ； （2）解：① 理由如下： 连接，在上取一点，使，如图，    是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即； ②如图    由①可得， ， 由（1）可知， 把沿对折，得到， ， ， ， ， ， 三点共线， 把沿对折，得到， ， ， ， ， ， 由①可得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 71．（23-24八年级上·云南普洱·期末）在等边中，动点在上，点在的延长线上，且． (1)如图1，当点是中点时，求证：． (2)当点不是中点时，判断线段与的数量关系，并结合图2说明理由． (3)点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点为上任意一点时，．理由见解析 (3)的长是6或12 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，再由等腰三角形的性质等，然后证，即可得出结论； （2）过点作交于点，则，，再证是等边三角形，得，然后证，得，即可得出结论； （3）分两种情况，①点在上时，证，，则，，得； ②点在的延长线上时，证，，则，，得；即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 点是中点， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作交于点， 则，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时， ，， ， ， ， ，， ，， ， ； ②如图4，点在的延长线上时， ，， ， ， ， ，， ， ，； 综上所述，的长为6或12． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 72．（23-24八年级上·云南昆明·期末）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中大小的例子．    (1)【特例探究】 如图①，在等边中，点D，E分别是线段上的点，且，与交于点猜想： ______（选填“”、“”或“”），______ 度； (2)【问题推广】 如图②，在等边中，若点D，E分别在的延长线上，且，猜想的度数，并给出证明． (3)【拓展延伸】 如图③，在等腰中，，是锐角，点O在上且，点D，E分别在的延长线上，，与的延长线交于点F，若，则______ 度． 【答案】(1)，60 (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等边三角形的性质证明，然后进行求解即可． （2）根据等边三角形的性质证明，然后进行求解即可． （3）根据等腰三角形的性质证明，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：，； （2）猜想：， 理由如下：是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 73．（23-24八年级上·云南昆明·期末）小官同学在学完等腰三角形后发现一个有趣的现象： 若与是等腰三角形，，，且，连接交于点O．当与处于不同位置时总有．    【探究规律】 （1）你认同小官同学的发现吗？如果认同，请以图1为例，证明结论；若不认同，请说明理由． （2）你还有其他的发现吗？请写出结论，简述理由． 【应用规律】 （3）如图2，在等边中，M是上一点，N是上一动点，以为边作等边，连接，猜想与之间的数量关系为_______． 【答案】（1）认同，证明见解析； （2），证明见解析； （3）；理由见解析． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、作辅助线构建等边三角形是解题的关键． （1）根据已知条件得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）如图1，设，交于，根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论； （3）在上截取，如图2所示：根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：（1）认同， 证明：， ， ， 在与中， ， ， ； （2）， 证明：如图1，设，交于，    由（1）知，， ， ， ； （3）； 理由：在上截取，如图2所示：   是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 74．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，点，，在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，，分别交，于点，，与交于点．    (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定． （1）由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （2）根据全等三角形的性质得出，结合根据三角形的外角性质求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ． 十、题型10 最短路径问题 75．（20-21八年级上·江西赣州·期末）如图，在面积为的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短问题，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形三边关系，三角形的面积与周长等知识，解题的关键是确定． 76．（23-24八年级上·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，图形的五个顶点坐标如图所示，完成下列问题． (1)画出将图形向右平移5个单位的图形，并写出的坐标； (2)画出图形关于x轴对称的图形； (3)在x轴上找点P，使最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为：； (2)图见解析； (3)图见解析． 【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）连接，交轴于点，连接，此时最小，点P即为所求． 本题考查作图-平移变换、轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握平移和轴对称的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由题图可得，， 向右平移5个单位的得：， 即：，依次连接，则图象即为所求，如图： 点的坐标为：． （2）解：作关于轴的对称点，依次连接，则图形即为所求，如图： （3）解：点是点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时最小，则点即为所求的点，如图： 77．（22-23八年级上·广东中山·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作x轴的垂线． (1)画出关于直线/的轴对称图形，并写出点，，的坐标． (2)直线上找一点，使得的周长最短，在图中标记出点的位置． (3)在内有一点，则点P关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】(1)作图见解析，； (2)作图见解析； (3)． 【分析】（1）先画出点A、B、C关于l的对称点，再依次连接即可，最后根据图形写出相应坐标； （2）连接，于直线l交点即为点Q； （3）根据题意可知，关于l对称的点，纵坐标相同，横坐标比相反数多2．直接写出即可． 【详解】（1）解：如图，为所作； 由图可知：． （2）解：如图，点Q为所求； （3）解：∵轴，直线l：，点与点关于直线l：对称， ∴点与点的纵坐标相等都等于b，横坐标相加后等于2， ∴点P关于直线l的对称点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的作图和性质，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 78．（22-23八年级下·云南昭通·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，其中、、、．    (1)请作出四边形关于轴对称的四边形，并写出点的对应点的坐标； (2)在直线上找一点，使得的周长最小，在图中标出的位置，并写出点的坐标（保留画图过程的痕迹）． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】（1）根据对称的性质画图即可求解； （2）根据尺规作图——最短路径问题进行分析即可求解． 【详解】（1）解：如图：    （2）解：如图：    过点作关于直线的对称点，连接，与直线交于点交于点，即为所求； 根据图象可知，点关于直线的对称点的坐标为， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了画已知图形的对称图形，根据对称的性质确定点坐标，尺规作图——最短路径问题等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 试卷第80页，共80页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$