专题04 整式的乘法（8大经典基础题+3大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题04 整式的乘法 一、题型01 同底数幂的乘法 1．（22-23七年级下·云南文山·期末）设，，则的值是（    ） A．2 B．8 C．24 D．128 2．（15-16七年级下·山东潍坊·阶段练习）已知，，则的值为 ． 3．（21-22八年级上·贵州黔西·期末）已知am＝4，an＝16，则a2m+n的值为 ． 二、题型02 幂的乘方 4．（21-22八年级下·云南红河·期末）若，，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 5．（2020·河北·中考真题）若为正整数，则（    ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值是（    ） A．0 B． C．3 D． 7．（22-23八年级上·云南红河·期末）已知，则的值为 ． 8．（20-21八年级上·云南红河·期末）计算 ． 9．（21-22八年级上·云南昭通·期末）若，则y＝ ． 三、题型03 积的乘方 10．（20-21八年级上·云南临沧·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·云南普洱·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 14．（21-22七年级上·云南红河·期末）下列计算正确的是 A． B． C． D． 15．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝6x3 C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．2xy2+3yx2＝5xy2 16．（19-20八年级上·云南丽江·期末）计算的结果是 ． 17．（21-22八年级上·云南昭通·期末）已知有理数m，n满足，则的值为 ． 18．（21-22八年级上·云南临沧·期末）已知：，则的值为 ． 19．（21-22八年级上·云南昭通·期末）计算的结果是 ． 四、题型04 整式的乘法 20．（23-24八年级上·云南保山·期末）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 21．（20-21八年级上·云南玉溪·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2019·山东青岛·中考真题）计算的结果是（      ） A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5 23．（21-22七年级下·浙江温州·期中）若的积中不含的一次项，则的值为（   ） A．3 B．0 C． D．1 24．（22-23八年级上·云南昆明·期末）若与的积中，不含的一次项，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（22-23八年级上·广东东莞·期中）计算： ． 26．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）计算 ． 27．（20-21八年级上·云南红河·期末）若一个长方形的长、宽分别是和，则它的面积等于 ． 28．（23-24八年级上·湖北·周测）的积中不含x的二次项，则m的值是 ． 五、题型05 整式的除法 29．（22-23八年级上·云南红河·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 30．（22-23八年级上·云南保山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23八年级上·云南昆明·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·云南昆明·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24九年级上·云南楚雄·期末）下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 36．（22-23八年级上·北京·期中）设，，则的值是（    ） A．2 B．8 C．24 D．128 37．（21-22八年级上·云南昆明·期末）若，，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 六、题型06 平方差公式 38．（22-23七年级下·云南文山·期末）下列式子中，能用平方差公式进行计算的是(   ) A． B． C． D． 39．（11-12七年级下·江西九江·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 40．（22-23八年级上·江西上饶·阶段练习）将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，你能根据两个图形面积得到的公式是（　　） A． B． C． D． 41．（22-23八年级上·云南昆明·期末）若，，则的值为 ． 42．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示），    (1)上述操作能验证的等式是：．，． （请选择正确的选项）； (2)请利用你从（）选出的等式，完成下列各题： 已知，，则 ； 计算：． 43．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下列计算∶ (1)猜想∶ _______________________．(其中n为正整数，且)； (2)利用(1)猜想的结论计算∶ ； 44．（11-12八年级上·福建泉州·期末）在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图甲所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为，图乙中阴影部分面积为．    (1)请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）． (2)试利用这个公式计算：． 七、题型07 完全平方公式 46．（22-23八年级上·云南昆明·期末）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 47．（23-24八年级上·云南红河·期末）若是一个完全平方式，则b的值是（    ） A．2 B．6 C．12 D．12或 48．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，C 是线段上的一点，以为边向两边作正方形，面积分别为 ，，两正方形的面积之和为 40，若，则图中阴影部分面积为（      ） A．10 B．15 C．18 D．20 49．（23-24八年级上·云南昆明·期末）已知，则（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 50．（23-24八年级上·云南昆明·期末）若是完全平方式，则m的值为（    ） A．4 B．1 C．4或 D．1或 51．（23-24八年级上·云南保山·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24八年级上·云南大理·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．64 B．8 C． D． 53．（23-24九年级上·云南昭通·期末）下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（20-21八年级上·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则m的值是 ． 55．（23-24七年级上·上海青浦·期末）若是完全平方式，则k的值为 ． 56．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 57．（22-23八年级上·云南大理·期末）【阅读理解】： 若x满足：，求的值． 解：设，， 则，， 所以，． 【尝试应用】：请运用上面的方法求解下面的问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； 【问题解决】： （3）如图：已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，求长方形的周长．     58．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】 （1）探究2中 ； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解： 已知，，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 59．（23-24八年级上·云南昭通·期末）（1）计算： （2）化简： 60．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，将一张大长方形纸板按图所示裁剪成9块，其中有2块是边长为a的大正方形，5块长为a，宽为b的相同的小长方形 (1)观察图形，可以根据图形的面积因式分解： ； (2)若，，求图中空白部分的面积． 61．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图1，是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）． (1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是　 　； (2)知识运用：运用你所得到的公式，计算：若，则　 　； (3)知识延伸：已知，求的值 62．（23-24八年级上·吉林长春·期中）图是由边长分别为，的两个正方形拼成的图形，其面积为，图是长、宽分别为，的长方形，其面积为．    (1)图是由图中的图形补成的大正方形，其面积为，则，，的数量关系是______； (2)对于图，通过两种不同方法计算它的面积，可以得到一个代数恒等式是：_______； (3)在图边长为的正方形中放入两个边长为的小正方形，得到图所示的图形，若，，求图中阴影部分的面积． 八、题型08 化简求值 63．（19-20八年级上·云南丽江·期末）化简： 64．（22-23八年级上·云南红河·期末）计算：． 65．（23-24七年级下·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中， 66．（23-24八年级上·云南昆明·期末）计算：． 67．（21-22七年级下·云南文山·期末）先化简，再求值：，其中，． 68．（21-22九年级上·云南楚雄·期末）先化简，再求值：，其中． 69．（18-19七年级下·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中，． 70．（22-23八年级上·北京·期中）先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： (1)若，则代数式的值为________ (2)若，求代数式的值； (3)已知：，求代数式的值． 九、题型09 多项式乘法中的规律问题 71．（23-24八年级下·云南昭通·期末）在古代，数学主要服务于天文、历法、农业等领域，不同文明对数学的研究都取得了卓越的成就．古代的埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都在数学上有着独特的贡献．而在这些文明中，中国数学的发展尤为丰富和深入，“杨辉三角”正是其中一颗璀璨的明珠．杨辉是我国南宋时期的数学家，他在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下面所示的三角形数表解释二项和的乘方规律： 我们称这个三角形数表为“杨辉三角”．杨辉三角在数学中具有重要的地位，它不仅是一个数字阵列，更是一个数学工具，可以用来求解组合数、概率、代数等问题．此外，杨辉三角还是组合数学的基石之一，对于研究数学的其他分支如代数、几何、分析等都有着重要的影响．杨辉三角给出了展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．依据上述规律，展开式中含项的系数是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 72．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 73．（22-23七年级下·云南文山·期末）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， … 观察上式，并猜想： (1)______．______． (2)通过以上规律，请你进行下面的探索： ①______． ②______． ③______． (3)根据你的猜想，计算：． 十、题型10 多项式乘多项式与图形面积 74．（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，长为、宽为的长方形阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 75．（15-16八年级上·山东德州·期中）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 76．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 77．（20-21七年级下·江苏徐州·期末）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（    ） A．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B．（a﹣b）2＝a2＋2ab﹣b2 C．（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 78．（22-23七年级上·北京东城·期末）如图（图中长度单位：，阴影部分的面积是 ． 79．（18-19七年级上·北京朝阳·期末）如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），用式子表示这所住宅的建筑面积为 m2． 80．（22-23八年级下·云南昭通·期末） 探究：如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______（用含，的等式表示）．    请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为______． （2）计算：． 81．（23-24八年级上·云南昆明·期末）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 82．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 83．（23-24八年级上·云南昆明·期末）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)图2中阴影部分的正方形面积为______ 用含a，b的式子表示 (2)观察图2，下列三个代数式，，之间的等量关系是______ ． (3)根据（2）中得到的等量关系，若x，y为任意实数，且，，求的值． (4)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积______ ． 试卷第16页，共16页 试卷第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的乘法 一、题型01 同底数幂的乘法 1．（22-23七年级下·云南文山·期末）设，，则的值是（    ） A．2 B．8 C．24 D．128 【答案】D 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选D． 【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆运算，掌握同底数幂乘法的逆运算法则是解题关键． 2．（15-16七年级下·山东潍坊·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握（其中m，n是正整数）是解题的关键． 3．（21-22八年级上·贵州黔西·期末）已知am＝4，an＝16，则a2m+n的值为 ． 【答案】256 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：256． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键． 二、题型02 幂的乘方 4．（21-22八年级下·云南红河·期末）若，，则的值为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式的逆运用，将3m+2n进行变形后，代入条件求值． 【详解】解：∵，， ∴3m+2n=3m⋅32n=3m⋅(3n)2=4×22=16． 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式的逆运用，熟记公式am+n=am⋅an和amn=(am)n并熟练运用是解题的关键． 5．（2020·河北·中考真题）若为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解． 【详解】=， 故选A． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 6．（21-22八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值是（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运算是解本题的关键． 7．（22-23八年级上·云南红河·期末）已知，则的值为 ． 【答案】8 【分析】把化为，再整体代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：8 【点睛】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，熟记同底数幂的运算与幂的乘方运算的运算法则是解本题的关键． 8．（20-21八年级上·云南红河·期末）计算 ． 【答案】 【分析】先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 9．（21-22八年级上·云南昭通·期末）若，则y＝ ． 【答案】3 【分析】利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对条件进行整理，从而可求解． 【详解】解：， ， ， ， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则与幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则是解题的关键． 三、题型03 积的乘方 10．（20-21八年级上·云南临沧·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项的法则，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项的法则对各选项进行解答即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 11．（23-24八年级上·云南普洱·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则及合并同类项法则，即可逐步判断答案． 【详解】选项A，，错误，不符合题意； 选项B，，错误，不符合题意； 选项C，，错误，不符合题意； 选项D，，正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解答本题的关键． 12．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘方和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意积的乘方和幂的乘方指数是相乘，同底数幂乘法指数是相加． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查幂的运算法则，掌握同底数幂的乘法运算、积的乘方运算，及其逆运算法则是解题的关键．根据同底数幂的运算、积的乘方运算，及其逆运算法则即可求解． 【详解】 ． 故选：C 14．（21-22七年级上·云南红河·期末）下列计算正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，积的乘方，去括号逐项分析判即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. 与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方，整式的加减，正确的计算是解题的关键． 15．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）下列运算正确的是（　　） A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝6x3 C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．2xy2+3yx2＝5xy2 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、x2•x3＝x5，原式错误，不符合题意； B、（2x）3＝8x3，原式错误，不符合题意； C、（﹣x2）3＝﹣x6，原式正确，符合题意； D、2xy2和3yx2不是同类项，不能合并，原式错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16．（19-20八年级上·云南丽江·期末）计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键在于掌握运算法则，根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 17．（21-22八年级上·云南昭通·期末）已知有理数m，n满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】利用非负数的性质求出m与n的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 当，时， ． 当，时， ． 故答案为：1 【点睛】此题主要考查了积的乘方的逆用和求代数式的值，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 18．（21-22八年级上·云南临沧·期末）已知：，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据非负的性质求出与的值，代入所求代数式，根据乘方运算法则计算即可. 【详解】解：∵， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查非负数的性质以及积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数分别为0. 19．（21-22八年级上·云南昭通·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先将（-0.25）2021化成（-0.25）×（-0.25）2020再逆用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：原式=（-0.25）×（-0.25）2020×42020 =（-0.25）×(-0.25×4)2020 =（-0.25）×12020 =(-0.25）×1 =-0.25． 故答案为：-0.25． 【点睛】本题考查积的乘方运算的应用，逆用积的乘方运算法则是解题的关键． 四、题型04 整式的乘法 20．（23-24八年级上·云南保山·期末）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘单项式的法则，根据单项式乘单项式的法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法公式进行计算，不同字母连同指数作为积的因式，进行计算即可． 【详解】解：， 故选D． 21．（20-21八年级上·云南玉溪·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式的同底数幂乘法法则，乘方法则，单项式乘以单项式法则及合并同类项法则计算并判断． 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； 2a与3b不是同类项，不能合并，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握整式的同底数幂乘法法则，乘方法则，单项式乘以单项式法则及合并同类项法则是解题的关键． 22．（2019·山东青岛·中考真题）计算的结果是（      ） A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5 【答案】A 【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可． 【详解】原式=4m2•2m3 =8m5， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的法则，掌握运算法则是解题的关键． 23．（21-22七年级下·浙江温州·期中）若的积中不含的一次项，则的值为（   ） A．3 B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据本题考查整式的乘法，先根据整式乘法展开，结合不含的一次项得到系数为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵不含 的一次项， ∴， 解得：， 故选：A． 24．（22-23八年级上·云南昆明·期末）若与的积中，不含的一次项，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据不含的一次项即可求解． 【详解】解： ， 与的积中，不含的一次项， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握相关的法则是解题的关键． 25．（22-23八年级上·广东东莞·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 26．（20-21七年级下·江苏无锡·期中）计算 ． 【答案】 【分析】根据整式乘法的运算法则计算即可； 【详解】原式； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了整式乘法运算，准确计算是解题的关键． 27．（20-21八年级上·云南红河·期末）若一个长方形的长、宽分别是和，则它的面积等于 ． 【答案】 【分析】由长方形面积公式知，求长方形的面积，则由长方形的长乘以它的宽即可． 【详解】解：长方形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式乘以多项式运算．单项式乘以多项式，先把多项式的每一项都分别乘以这个单项式，再把所得的积相加． 28．（23-24八年级上·湖北·周测）的积中不含x的二次项，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式运算法则，将括号展开，并合并同类项，再根据积中不含x的二次项，得出二次项系数为0，即可解答． 【详解】解： ， ∵积中不含x的二次项， ∴， 解得：， 故答案为：． 五、题型05 整式的除法 29．（22-23八年级上·云南红河·期末）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则依次计算即可得解． 本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项正确； D. ，故D选项错误． 故选：C． 30．（22-23八年级上·云南保山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方法则逐一分析即可； 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项，熟练掌握合并同类项、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方是解题的关键． 31．（22-23八年级上·云南昆明·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方、幂的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 根据同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方、幂的乘方对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算错误，不符合题意，选项错误； 选项，，计算正确，符合题意，选项正确． 故选：． 32．（23-24九年级上·云南昆明·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方．根据幂的乘方，合并同类项的方法，以及同底数幂的乘除法的运算方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 33．（23-24九年级上·云南楚雄·期末）下列计算正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，同底数的幂的乘法和除法，幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，计算正确； C．，原计算错误；     D．，原计算错误； 故选B． 34．（23-24八年级上·云南昆明·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的除法、幂的乘方，同底数幂的乘法先对各选项进行计算，再进行判断． 【详解】解：A选项：，故错误； B选项：，故正确； C选项：，故错误； D选项：，故错误； 故选：B． 35．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算．根据同底数幂相除的逆运算，幂的乘方的逆运算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C 36．（22-23八年级上·北京·期中）设，，则的值是（    ） A．2 B．8 C．24 D．128 【答案】A 【分析】根据同底数幂除法的逆运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选A． 【点睛】本题主要考查同底数幂除法的逆运算．掌握同底数幂除法的逆运算法则是解题关键． 37．（21-22八年级上·云南昆明·期末）若，，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的除法的逆运算及幂的乘方的逆运算解答． 【详解】解：∵，， ∴==3÷8=， 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法的逆运算及幂的乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 六、题型06 平方差公式 38．（22-23七年级下·云南文山·期末）下列式子中，能用平方差公式进行计算的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平方差公式对每个选项进行判断即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项能用平方差公式计算，符合题意； ∵， ∴B选项不能用平方差公式计算，不符合题意； ∵， ∴C选项不能用平方差公式计算，不符合题意； ∵， ∴D选项不能用平方差公式计算，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 39．（11-12七年级下·江西九江·期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，根据运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，逐项判断即可得出答案，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，故不符合题意； B、，能用平方差公式计算，故不符合题意； C、，能用平方差公式计算，故不符合题意； D、不能用平方差公式计算，故符合题意； 故选：D． 40．（22-23八年级上·江西上饶·阶段练习）将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，你能根据两个图形面积得到的公式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 【分析】首先求出甲的面积为，然后求出乙图形的面积为，根据两个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式． 【解答】 解：甲图形的面积为，乙图形的面积为， 根据两个图形的面积相等知，， 故选：． 【点评】 本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关键． 41．（22-23八年级上·云南昆明·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据，直接把，整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 42．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示），    (1)上述操作能验证的等式是：．，． （请选择正确的选项）； (2)请利用你从（）选出的等式，完成下列各题： 已知，，则 ； 计算：． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（）根据图中阴影部分的面积进行解答即可； （）根据平方差公式变形进行计算即可； 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积是，图中阴影部分的面积为， ∵两个图中阴影部分的面积相等， ∴能验证的等式是， 故选：． （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ． 【点睛】此题考查了运用平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 43．（23-24八年级上·广东湛江·期末）观察下列计算∶ (1)猜想∶ _______________________．(其中n为正整数，且)； (2)利用(1)猜想的结论计算∶ ； 【答案】(1) (2)2046 【分析】本题主要考查了平方差公式，多项式乘多项式以及数字的变化规律，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项； （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值． 【详解】（1）根据观察可得： ， 故答案为： （2） ， ， 44．（11-12八年级上·福建泉州·期末）在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，先分别求出两个图形中阴影部分的面积，根据两者相等即可得出答案． 【详解】解：正方形中，， 梯形中， ， ∴， 故选：C． 45．（23-24八年级上·云南玉溪·期末）如图甲所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图乙是由图甲中阴影部分拼成的一个长方形，设图甲中阴影部分面积为，图乙中阴影部分面积为．    (1)请直接用含和的代数式表示 ， ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）． (2)试利用这个公式计算：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式： （1）图甲阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，图乙阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此求出两幅图中阴影部分面积，再根据两部分阴影面积相等即可得到对应的公式； （2）根据（1）的结论将原式变形，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∵图甲和图乙中阴影部分面积相同， ∴， 故答案为：；；； （2）解： 七、题型07 完全平方公式 46．（22-23八年级上·云南昆明·期末）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，完全平方公式，同底数幂乘法计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 47．（23-24八年级上·云南红河·期末）若是一个完全平方式，则b的值是（    ） A．2 B．6 C．12 D．12或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的特征判断即可确定出b的值． 此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 故选：D． 48．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图，C 是线段上的一点，以为边向两边作正方形，面积分别为 ，，两正方形的面积之和为 40，若，则图中阴影部分面积为（      ） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造完全平方公式的条件是求解本题的关键．设，，建立关于，的关系，最后求面积． 【详解】解：设，，则，，． ． ， ， ， 阴影部分的面积等于． 故选：B 49．（23-24八年级上·云南昆明·期末）已知，则（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行计算，由得到，从而得到，由此即可得到答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 50．（23-24八年级上·云南昆明·期末）若是完全平方式，则m的值为（    ） A．4 B．1 C．4或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式的特点，解题的关键是掌握完全平方式的特征进行解题．由完全平方式的特征，列方程，即可得到答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故选：D． 51．（23-24八年级上·云南保山·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，完全平方公式．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，完全平方公式，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B 52．（23-24八年级上·云南大理·期末）如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．64 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，理解“，．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：A． 53．（23-24九年级上·云南昭通·期末）下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项法则及完全平方公式．根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项法则及完全平方公式逐一计算可得． 【详解】解：A、，此选项错误； B、，此选项正确； C、，此选项错误； D、，此选项错误； 故选：B． 54．（20-21八年级上·全国·单元测试）若是一个完全平方式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 解得， 故答案为：． 55．（23-24七年级上·上海青浦·期末）若是完全平方式，则k的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查根据完全平方公式求解未知数，理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 这里首末两项是和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和3的积的2倍，故． 【详解】解：由题意可知，中间一项为加上或减去和3的积的2倍， ， 故答案为：． 56．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 【详解】（1）解：当点P与点M重合时，， 理由：过点M作于点D，于点E， 如图，则，，    ∵且 ∴是等边三角形， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 如图②，连接，则 ，    ∴，即， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，则 ，    ∴，即 ， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 两边同时除以2022得，， ∴，即． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，完全平方公式的应用，运用等积法建立关系式是解题的关键． 57．（22-23八年级上·云南大理·期末）【阅读理解】： 若x满足：，求的值． 解：设，， 则，， 所以，． 【尝试应用】：请运用上面的方法求解下面的问题： （1）若满足，求的值； （2）若满足，求的值； 【问题解决】： （3）如图：已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，求长方形的周长．     【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式及其变形应用，灵活运用完全平方公式及其变形式的是解决本题的关键； （1）设，，根据已知确定出，，所求即为，利用完全平方公式即可求解； （2）设，，根据已知确定出，，所求即为，利用完全平方公式即可求解； （3）用含的式子表示出与，设，根据长方形的面积是得到，且，确定长方形的周长关键是确定，结合完全平方公式变形式即可确定，进而得解. 【详解】解：（1）设，， 则， ， 所以 （2）设，， 则， ， 所以 （3），， ，， 长方形的面积为， ， 设，， 则， ， ， ， ， 长方形的周长 58．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论： 探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出的结果． 【形成结论】 （1）探究2中 ； 【应用结论】 （2）利用（1）问所得到的结论求解： 已知，，求的值； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） ；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． （1）根据大正方形的面积为大正方形边长的平方，也可以表示为几个小正方形和长方形的面积之和，由此即可得出答案； （2）结合（1）中的公式进行计算即可； （3）先求出，再结合，进行计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由图可得： 大正方形的边长为，故大正方形的面积为， 大正方形的面积还可以表示为， ， 故答案为：； （2），， ， ； （3） ， ， ， ， ， ，即， ， ． 59．（23-24八年级上·云南昭通·期末）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握有理数和整式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． （1）先算乘方，化简绝对值，然后算乘除，最后算加减； （2）先利用平方差公式，完全平方公式进行计算，然后再算加减． 【详解】解：原式 ； （2）原式 ． 60．（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，将一张大长方形纸板按图所示裁剪成9块，其中有2块是边长为a的大正方形，5块长为a，宽为b的相同的小长方形 (1)观察图形，可以根据图形的面积因式分解： ； (2)若，，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）2块边长为a的大正方形的面积加上2块边长为b的小正方形的面积加上5块长为a，宽为b的相同的小长方形的面积等于长为，宽为的大长方形的面积； （2）由，，可得的值，空白部分的面积即5块长为a，宽为b的相同的小长方形的面积． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴空白部分的面积为． 61．（23-24八年级上·四川眉山·期中）如图1，是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）． (1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是　 　； (2)知识运用：运用你所得到的公式，计算：若，则　 　； (3)知识延伸：已知，求的值 【答案】(1)； (2)49； (3) 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何意义，利用完全平方公式及其变形求解代数式的值，利用完全平方公式的求解代数式的最小值，利用完全平方公式分解因式，灵活应用完全平方公式是解本题的关键． （1）由阴影部分正方形的边长为，可得其面积，结合阴影部分正方形的面积等于大正方形的面积减去四个长方形的面积，可得公式； （2）由，再代入数值进行计算即可； （3）设，可得，再求解，，从而可得答案 【详解】（1）解：图2的阴影正方形面积可表示为：，即， 也可表示为：， ∴． （2）∵， ∴ 故答案为：49． （3）设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 62．（23-24八年级上·吉林长春·期中）图是由边长分别为，的两个正方形拼成的图形，其面积为，图是长、宽分别为，的长方形，其面积为．    (1)图是由图中的图形补成的大正方形，其面积为，则，，的数量关系是______； (2)对于图，通过两种不同方法计算它的面积，可以得到一个代数恒等式是：_______； (3)在图边长为的正方形中放入两个边长为的小正方形，得到图所示的图形，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）因为整体图形的面积等于各部分面积之和，所以，故； （）； （）因为，所以，由，，，可得； 此题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）由题意知：，． ∵， ， ， ∴， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴ ， ， ． 八、题型08 化简求值 63．（19-20八年级上·云南丽江·期末）化简： 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式、平方差公式和合并同类项，先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 64．（22-23八年级上·云南红河·期末）计算：． 【答案】 【分析】题目主要考查整式的混合运算，平方差公式及完全平方公式，先计算括号内的运算，然后计算除法即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ． 65．（23-24七年级下·云南昭通·期末）先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【分析】本题考查了整式的化简求值，先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项，最后代入求值即可，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， 当，时，原式． 66．（23-24八年级上·云南昆明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式化简，平方差公式，完全平方公式．根据题意先将中括号内平方差和完全平方公式展开合并同类项再除以即可得到本题答案． 【详解】解： ． 67．（21-22七年级下·云南文山·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据平方差公式及完全平方公式展开合并同类项即可得到化简，再将，代入求解即可得到答案． 【详解】解：原式                                当，时，原式=． 【点睛】本题考查整式化简求值及利用平方差公式、完全平方公式求值，解题的关键是利用两个公式化简时注意符号的选取． 68．（21-22九年级上·云南楚雄·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】10﹣4x，6 【分析】直接利用乘法公式，再合并同类项，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：（2x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3） ＝（4x2﹣4x+1）﹣（4x2－9） ＝4x2﹣4x+1﹣4x2+9 ＝10﹣4x 当时， 原式＝10﹣4×1 ＝10﹣4 ＝6 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键． 69．（18-19七年级下·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】3ab，-3. 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 =a2+b2-2ab -a2+4b2+5ab-5b2， ， 当时，原式 故答案为3ab，-3. 【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是能熟练地运用整式的运算法则进行化简． 70．（22-23八年级上·北京·期中）先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： (1)若，则代数式的值为________ (2)若，求代数式的值； (3)已知：，求代数式的值． 【答案】(1)3 (2) (3)9 【分析】（1）由得，然后对所求式子展开，再代入计算即可； （2）由得，然后对所求式子展开，并进行代换，再化简合并即可； （3）由得，然后对所求式子变形，并进行代换，再化简合并即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：3； （2）， ， ， 故答案为：； （3）， ， ， 即代数式的值为9． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确理解“降次代换法”，熟练掌握运算法则是解题的关键． 九、题型09 多项式乘法中的规律问题 71．（23-24八年级下·云南昭通·期末）在古代，数学主要服务于天文、历法、农业等领域，不同文明对数学的研究都取得了卓越的成就．古代的埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都在数学上有着独特的贡献．而在这些文明中，中国数学的发展尤为丰富和深入，“杨辉三角”正是其中一颗璀璨的明珠．杨辉是我国南宋时期的数学家，他在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下面所示的三角形数表解释二项和的乘方规律： 我们称这个三角形数表为“杨辉三角”．杨辉三角在数学中具有重要的地位，它不仅是一个数字阵列，更是一个数学工具，可以用来求解组合数、概率、代数等问题．此外，杨辉三角还是组合数学的基石之一，对于研究数学的其他分支如代数、几何、分析等都有着重要的影响．杨辉三角给出了展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．依据上述规律，展开式中含项的系数是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，由杨辉三角得出的展开式，用替换b得出的展开式，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，杨辉三角第5行数字从左到右依次为：，，，，，， ∴ ， ∴展开式中含项的系数是5， 故选A． 72．（23-24八年级上·云南红河·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做“帕斯卡三角形”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，他把二项式乘方展开式系数图形化，如下图所示． … 完成下列任务： (1)写出的展开式． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是与多项式乘法相关的规律题，理解题意，总结归纳出规律，再利用规律解决问题是解本题的关键． （1）根据前面4个等式的提示，归纳出系数与指数的规律，从而可得的展开式； （2）利用（1）中展开式，设，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）∵，令，， ∴ ． 73．（22-23七年级下·云南文山·期末）阅读下文，寻找规律： 已知时，， ， … 观察上式，并猜想： (1)______．______． (2)通过以上规律，请你进行下面的探索： ①______． ②______． ③______． (3)根据你的猜想，计算：． 【答案】(1)， (2)①，②，③ (3) 【分析】（1）分析可得规律； （2）观察字母的指数，结合（1）中结论可以得到规律； （3）将式子写成形式即可运用规律． 【详解】（1）解：分析已知式子可得：，， 故答案为：，； （2）解：通过（1）中规律，可得， ， ， ， 故答案为：①，②，③； （3）解： ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式中的规律性问题，解题的关键是分析已知式子，从中找出规律． 十、题型10 多项式乘多项式与图形面积 74．（22-23七年级上·云南红河·期末）如图，长为、宽为的长方形阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】观察图形，结合三角形的面积公式，知：这两个三角形的高都是，底的和是，利用两个三角形的面积和计算即可． 【详解】解：：设小三角形的底边为，则大三角形的底边为， 阴影部分的面积是， 故选：． 【点睛】此题主要考查了整式的运算与图形的面积，准确的列出代数式是解题的关键． 75．（15-16八年级上·山东德州·期中）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用正方形的面积，求得左边阴影部分的面积，然后根据梯形的面积公式求得右边阴影部分的面积，根据面积相等即可解答． 【详解】解：左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 76．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③   ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 77．（20-21七年级下·江苏徐州·期末）如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（    ） A．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 B．（a﹣b）2＝a2＋2ab﹣b2 C．（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 【答案】D 【分析】根据阴影部分看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，列式即可； 【详解】解：阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此其面积为（a﹣b）2， 阴影部分也可以看作是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，再加上边长为b的正方形面积，即a2﹣2ab＋b2， 因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了乘法公式的图形验证，准确分析判定是解题的关键． 78．（22-23七年级上·北京东城·期末）如图（图中长度单位：，阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】阴影部分的面积可看作是最大的长方形的面积空白部分长方形的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系． 79．（18-19七年级上·北京朝阳·期末）如图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），用式子表示这所住宅的建筑面积为 m2． 【答案】（） 【分析】建筑面积包括4个平面图形的面积，分别算出面积相加即可得到答案. 【详解】解：根据住宅的建筑 平面图，建筑面积=3×4+3x+4x+x2=x2+7x+12 故答案为x2+7x+12 【点睛】此题重点考查学生对平面图形面积的理解，掌握长方形，正方形的面积计算是解题的关键. 80．（22-23八年级下·云南昭通·期末） 探究：如图①，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_______（用含，的等式表示）．    请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为______． （2）计算：． 【答案】，（1）4，（2）1 【分析】通过对阴影部分面积的两种求法推导出平方差公式：； （1）对原式进行变形，得到平方差公式进行求解； （2）将转化为平方差公式，再进行计算即可． 【详解】解：由图可得：，， ∴得到乘法公式； 故答案为：． （1）由，可得， 即：， ∵， ∴； 故答案为：4． （2）解： ． 【点睛】本题考查平方差公式的几何推导和计算应用，熟练掌握平方差公式及其变形形式是解题的关键． 81．（23-24八年级上·云南昆明·期末）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为 ； ②若，则 ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）①利用计算即可； ②令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】解：（1）①由题意可知，， ，， ， 故答案为：20； ②令，， ，， ， 故答案为：13； （2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是22． 82．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：______； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别用大正方形边长的平方、4个图形的面积之和两种不同的方法表示大正方形的面积，二者相等即可得到一个等式； （2）将等号两边同时平方，根据（1）中得到的等式求解即可； （3）设，，则，求出即可得解． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：设，， 长方形的两邻边分别是， ， ， ， ， 这个长方形的面积． 83．（23-24八年级上·云南昆明·期末）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)图2中阴影部分的正方形面积为______ 用含a，b的式子表示 (2)观察图2，下列三个代数式，，之间的等量关系是______ ． (3)根据（2）中得到的等量关系，若x，y为任意实数，且，，求的值． (4)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积______ ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）阴影部分的正方形边长等于小长方形的长减去小长方形的宽，平方即得． （2）图2中大正方形的面积等于阴影部分的正方形的面积加四个小长方形的面积． （3）由（2）中结果得，先求出的值，再开平方即得． （4）设正方形和的边长分别为m和n，根据题意，得，，根据公式变形即得． 本题主要考查了完全平方公式的几何意义．熟练掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系，是解决问题的前提． 【详解】（1）解：∵阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的正方形面积为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 故答案为：． （3）解：由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：设正方形和的边长分别为m和n， 则，， 将等号的两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第48页，共52页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$