3.1椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

第三章 圆锥曲线 为什么椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线？ 3.1椭圆及其标准方程 行星运行三大定律： 1.所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 2.对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。 3.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。其表达式为:，其中R是椭圆的轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关的常量。 开普勒第一定律：所有行星绕太阳运转的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上（椭圆定律） 知近日点/远日点与太阳的距离，如何求椭圆的轨道方程？ 3.1.1 椭圆的定义及标准方程 探究1:画椭圆 取一条定长的细绳，把细绳的两端拉开一定距离，分别固定在图板上的两点 处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？ 问题1：移动的笔尖与两定点满足怎样的几何条件？ 笔尖到两定点的距离之和等于绳长。 椭圆的定义：平面内到两个定点 的距离之和等于常数的点的轨迹叫椭圆。 --椭圆的定义 (1)文字语言：平面内与两个定点 的距离之和等于常数（大于| |）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 称为椭圆的两个焦点。两焦点的距离 为焦距 （2）符号语言：椭圆上任一点P满足 若 ，则P的轨迹是？ 若 ，则P的轨迹是？ 探索新知 --椭圆的定义 1.甲命题：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|+|PB|=2a（a为常数，a>0） 乙命题：动点P的轨迹是椭圆 则甲命题是乙命题的____条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若两定点 ， =10，则满足下列条件的动点P的轨迹是什么？ ① ② ③ 概念辩析 问题2：观察椭圆形状，你认为怎样建系才能使椭圆的方程形式简单？ 1.建系设点： 记F1 （-c,0）,F2（c,0）,设P（x,y） 2.找动点满足条件： 3.翻译列式: 4.变式简化： 两次平方 探究2:椭圆方程的推导 若椭圆的焦点在y轴上，椭圆方程是什么? + =1 (a>b>0) ． 此时椭圆的焦点F1和F2的坐标分别为(0,-c)和(0,c). 若焦点在y轴，椭圆的标准方程是？ 如何判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上？ 焦点在x轴 标准方程中x2项的分母较大 焦点在y轴 标准方程中y2项的分母较大 焦点位置看大小 焦点跟着大的跑 --椭圆的标准方程 1、下列哪些方程代表椭圆？若是椭圆，说出焦点坐标。 ① ② ③ ④ 2、已知 ，求满足下列要求的k的取值范围。 ① 何时表示椭圆？ ②何时表示焦点在y轴上的椭圆？ 概念辩析 典例分析 例1 根据条件,求椭圆的标准方程． （1）焦点在x轴上，焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10； （2）焦点为F1(0,-2)和F2(0,2) ，椭圆上一点M的坐标为． 解（1）由于2c=6，2a=10，故c=3，a=5，从而b²=a²-c²=16. 因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为 + =1 ． 解（2）由椭圆的定义知，|MF1|+|MF2|=2a，于是有 2a= ． 即a= ． 又因为c=2，所以b²=a²-c²=10-4=6． 由题意可知，椭圆的焦点在y轴上．因此，椭圆的标准方程为 + =1 ． 例1 根据条件,求椭圆的标准方程． （1）焦点在x轴上，焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10； （2）焦点为F1(0,-2)和F2(0,2) ，椭圆上一点M的坐标为． 例2 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距． （1） + =1 ；（2）4x²+3y²=12 ． 解 （1）因为6>4，所以椭圆的焦点在x轴上，并且a²=6，b²=4． 于是有 c²=a²-b²=2． 从而 c= ，2c= 2 因此，椭圆的焦点为F1 (, 0)、F2(-, 0)，焦距2 例2 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距． （1） + =1 ；（2）4x²+3y²=12 ． 解 （2）将椭圆的方程化成标准方程为 + =1． 于是有 c²=a²-b²=4-3=1． 从而 c=1，2c= 2 因此，椭圆的焦点为F1 (0,-1)、F2(0,1) 因为4>3，所以椭圆的焦点在y轴上，并且a²=4，b²=3． 例3 若椭圆 + =1上一点P到焦点F1的距离等于6,求|PF2|，求P到另一个焦点F2的距离|PF2|． 解 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a(a>0)，其中|PF1|=6 ． 又由椭圆的标准方程知，a²=100，a=10．于是有 6+|PF2|=2a=20， 即 |PF2|=14． 2. 已知椭圆的焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10．求椭圆的标准方程． 1. 根据条件，求椭圆的标准方程． （1）a=4，b=1，焦点在x轴上； （2）b= ，c=5，焦点在y轴上． （3）a+b=10，c= 巩固练习 4. 设点F1、F2为椭圆 + =1的两个焦点，P为椭圆上一点，求△P F1F2的周长． 3. 已知椭圆的方程，求其焦点坐标和焦距． （1）x²+4y²=64；（2） + =1 ． 3.1.2 椭圆的几何意义 下面以 + =1 (a>b>0)为例，探究椭圆的几何性质． 1.范围 从椭圆的标准方程可知， 1- = ≥0，因此1，从而可得， -axa． 同理可得， 1，于是有 -byb． 这说明，椭圆位于四条直线x=-a，x=a，y=-b，y=b所围成的矩形框内，如图所示． 2.对称性 椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y轴都称为椭圆的对称轴，坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心) ． 3.顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点A1、 A2、 B1、B2，称为椭圆的顶点．线段A1A2和B1B2分别称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长．显然，椭圆的焦点在它的长轴上． 3.顶点 由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²，故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形．观察上图，可知 |OB1|=|OB2|=b，|OF1|=|OF2|=c，|B2F1|=|B2F2|=a， 故有 |OB2|²+|OF2|²=|B2F2|² ． 因此，Rt△F2OB2(或Rt△ F1OB1)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系． 4.离心率 把椭圆的焦距与长轴长之比称为椭圆的离心率，记作e．即 e= ． 因为a>c>0，所以0<e<1． e越接近于1，c越接近于a，从而b=越小，椭圆就越扁； e越接近于0，c越接近于0，从而b越接近于a，椭圆就越接近于圆． 因此，离心率e的大小反映了椭圆的扁平程度． 小结：椭圆的定义及标准方程 例4 求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标． 解 将原方程化为标准方程，得 + =1 ． 容易看出，椭圆的焦点在x轴，并且a=5，b=4，所以 c= ==3 ． 从而，椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8，离心率e= = ， 焦点坐标分别为(-3,0)、(3,0)，顶点坐标分别为(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)． 例5 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）经过点M(4,0)、N(0,-3)； （2）短轴长为6，离心率为． 解（1）因为椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以，点M、N就是椭圆的顶点,并且长半轴长a=4,短半轴长b=3 ． ． + =1 ． 由于椭圆的长轴在x轴上，故其焦点在x轴上．于是，所求椭圆的标准方程为 解（2）因为2b=6，所以b=3 ．由e= = = 可得a²=25 ． ． 若椭圆的焦点在x轴上，则所求椭圆的标准方程为 + =1 ． 例5 分别求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）经过点M(4,0)、N(0,-3)； （2）短轴长为6，离心率为． 若椭圆的焦点在x轴上，则所求椭圆的标准方程为 + =1 ； $$