26.2.3 求二次函数的表达式 课件 2024-2025学年 华东师大版数学九年级下册

第26章　二次函数　 26.2　二次函数的图象与性质 3.求二次函数的表达式 华师大版-数学-九年级下册 学习目标 1．能够利用待定系数法确定二次函数的表达式. 2．通过利用待定系数法确定二次函数的表达式，体会方程思想 的应用. 【重点】利用待定系数法确定二次函数的表达式. 【难点】确定二次函数的表达式的不同方法. 新课导入 炎炎夏日，我们外出时总是戴着墨镜，你观察过自己的墨镜吗？ 让我们一起来探究如何求二次函数的表达式吧！ 如图所示是一副墨镜. 它下半部分的轮廓是不是对应两条抛物线？ 你知道如何求这两条抛物线的表达式吗？ 新知探究 问题1 已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 知识点 特殊条件的二次函数的表达式 1 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， 8=4a-2b， 5=a-b， ∴ 解得a=-1,b=-6. ∴这个二次函数的表达式为 y=-x2-6x. { 总结：当没有c（c=0）时,图象经过原点 新知探究 问题2 已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式． ∴ 解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)， 3=4a+c， －3=a+c， ∴这个二次函数的表达式为 y=2x2－5. a=2， c=－5. 解得 { { 总结：当没有b（b=0）时,图象关于y轴对称 新知探究 问题3 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点 (0，3)，求这条抛物线的表达式. 知识点 顶点法求二次函数的表达式 2 提示：若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0). 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法. 新知探究 解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入y＝a(x-h)2＋k ，得3=a(0-4)2-1.解得a= . ∴这条抛物线的表达式为y=(x-4)2-1. 新知探究 顶点法求二次函数的方法： 归纳总结： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 新知探究 问题4 已知某一抛物线经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），求这条抛物线的表达式. 知识点 交点法求二次函数的表达式 3 提示：根据抛物线与x轴的交点（x1，0）（x2，0），可设为二次函数的交点式，即y=a(x-x1)(x-x2). 这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 新知探究 解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1、x2为交点的横坐标）. 因此，得y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式，得 a(0+3)(0+1)=-3.解得a=-1. ∴这条抛物线的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 新知探究 交点法求二次函数表达式的方法： 归纳总结： ①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式. 新知探究 在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ 1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式. 2.用交点式y=a(x-x1)(x-x2)时，抛物线与x轴交点的横坐标x1,x2,就可以确定这个二次函数的表达式. 3.用一般式y=ax²+bx+c时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式. 新知探究 知识点 一般式法求二次函数的表达式 4 思考： 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有 个待定系数？需要 个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3 3 问题5 已知二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 提示：已知抛物线上三个点的坐标，可设为二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0). 新知探究 解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将三点(-1,10)，(1,4)，(2,7)的坐标分别代入表达式，得解这个方程组，得 ∴这个二次函数的表达式为y=2x2-3x+5. ∵y=2x2-3x+5=2（x-）2+ ， ∴对称轴为直线x ，顶点坐标为（，）. 新知探究 一般式法求二次函数表达式的方法： 归纳总结： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 新知探究 一个函数的图象经过点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流. 议一议： 解：由对称性可知顶点坐标为B(1,2)， ∴设二次函数的表达式为y=a（x-1）2+2. 将A(0,1)的坐标代入表达式，得1=a（0-1）2+2. 解得a=-1. ∴所求二次函数的表达式为y=-1（x-1）2+2. 方法一： 新知探究 解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c. 将点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)的坐标分别代入表达式，得解这个方程组，得 ∴这个二次函数的表达式为y=-x2+4x+1. 方法二： 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 已知条件 所选方法 用一般式法：y=ax2+bx+c 用顶点法：y=a(x－h)2+k 用交点法：y=a(x－x1)(x－x2) (x1, x2为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数表达式 ③已知抛物线与x轴的两个交点 课堂训练 1. （2023秋•万宁期中）如图的抛物线的表达式为（　　） A．y=x2-1 B．y=x2+1 C．y=（x-1）2 D．y=（x+1）2 C 课堂训练 2.（2023秋•朝阳区校级月考）二次函数y=x2-2mx+5m的图象经过点（1，-2）．其表达式为 ． 3.（2023秋•包河区月考）已知二次函数的图象经过点（1，-4），且顶点坐标为（-1，0），则二次函数的表达式为 ． y=x2+2x-5 y=-x2-2x-1 课堂训练 4. （2023秋•唐山月考）形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（　　） A．y=x2+4x+3 B．y=-x2-4x+3 C．y=-x2+4x+3 D．y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3 D 课堂训练 5.（2023秋•余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（　　） A．y=-4(x-m)2-m2-2 B．y=-(x+a)(x-a+1) C．y=-x2-(a+3)x+(− a) D．y=ax2-bx+b-a C 课堂训练 6. （2023•宁波）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A（1，-2）和B（0，-5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当y≤-2时，请根据图象直接写出x的取值范围． 课堂训练 解：（1）把A（1，-2）和B（0，-5）代入y=x2+bx+c，得解得 ∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5. ∵y=x2+2x-5=（x+1）2-6， ∴顶点坐标为（-1，-6）. （2）如图： ∵点A（1，-2）关于对称轴直线x=-1的对称点C（-3，-2）， ∴当y≤-2时，x的范围是-3≤x≤1． $$