专题02 分式与分式方程（考点清单，7考点&10题型解读）（期末复习知识清单）八年级数学上学期鲁教版五四制

清单02 分式与分式方程（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【清单02】分式方程的解】 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【清单03】解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【清单04】换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 【清单05】分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【清单06】由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 【清单07】分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【考点题型一】分式的判定 【例1】下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可. 【详解】解：A. 是整式，故不符合题意， B. ∵， ∴对于任意实数，总有意义，故符合题意； C. 将式子写成分式的形式是，故不符合题意； D. 分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，故不符合题意； 故选：B 【变式1-1】在中，分式有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的概念：分母中含有字母的式子是分式，根据概念即可求解． 【详解】解：是整式， 的分母中含有字母，所以是分式 故选：A． 【变式1-2】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母含有未知数且不为0，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、 是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意；     B、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意；     C、 是分式，故该选项正确，符合题意；     D、 是多项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；属于分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义：分母中含有字母的式子是分式，掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：属于分式的有：，，；共3个， 故选：C． 【变式1-4】下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的判断，掌握分式的定义是解题的关键．一般地，如果表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式． 【详解】A、的分母中不含字母，不是分式，不合题意； B、的分母中不含字母，不是分式，不合题意； C、的分母中不含字母，不是分式，不合题意； D、是分式，符合题意； 故选：D． 【变式1-5】下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义：掌握分式的定义是解题的关键．如果、不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子叫做分式，其中称为分子，称为分母，根据分式的概念判断即可． 【详解】解：A．该代数式中分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意； B．该代数式中分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意； C．该代数式符合分式的概念，该选项符合题意； D．该代数式中分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意； 故选：C． 【考点题型二】分式有意义及无意义的条件 【例2】使分式有意义的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-1】x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意； B、当时，无意义，故此选项不符合题意； C、x为任何实数时，，故一定有意义，故此选项符合题意； D、当时，分式无意义， 故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为1 【答案】C 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答．直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，，分式的值为，故此项选项不符合题意； B．当时，，分式无意义，故此选项不符合题意； C 当时，当时，，，分式的值为，故此选项符合题意； D．当时，，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-3】要使分式有意义，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，直接利用分式有意义则分母不等于零，进而得出答案． 【详解】解：由题可知，当时分式有意义， 即． 故答案为：． 【变式2-4】当分式的值为时， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式有意义的条件，绝对值方程，不等式的性质，绝对值的非负性等知识点，熟练掌握分式值为零的条件和分式有意义的条件是解题的关键．根据题意及分式有意义的条件可得，解之，即可得出答案． 【详解】解：分式的值为， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-5】当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 【变式2-6】当 时，分式无意义． 【答案】0或1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 【考点题型三】分式值为0的条件 【例3】对于分式  ，下列说法错误的是（    ） A．不论x 取何值，分式都有意义 B．分式的值大于0 C．不论x 取何值，分式的值都不为0 D．当或时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是熟知分式有意义的条件是分母不为零．根据分式有意义的条件判断即可求解． 【详解】∵，， 无论x取何值，、都为正数， 故无论x取何值，分式都有意义，且分式的值为正数，不为0， 故A、B、C说法正确，D说法错误， 故选：D． 【变式3-1】要使分式的值为0，则为（   ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据题意得出，且，进行求解即可． 【详解】解：， ，且， ， 故选：B． 【变式3-2】若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 故选：． 【变式3-3】若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件分子等于零，分母不等于零得出，，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：， 故答案为：． 【变式3-4】若分式的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关知识是解题关键．直接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：若分式的值为， 则有且， 解得． 故答案为：． 【变式3-5】当时，分式的值为0，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了分式值为零的知识，熟练掌握分式为零的特征是解题关键．若分式值为0，则有分母不为0，分子为0，据此即可获得答案． 【详解】解：当时，若分式的值为0， 则有，， 解得． 故答案为：3． 【考点题型四】利用分式基本性质判断分式值的变化 【例4】如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式分式的值不变． 将分式中的都扩大为原来的2倍，得到新的分式化简与原分式比较即可得答案． 【详解】解：分式中的都扩大到原来的2倍， 那么新分式为， 所以分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 【变式4-1】若把分式中的和都扩大到原来的倍，且，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．把分式中的换成，换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】解：∵分式中的和都扩大到原来的倍， ∴， 即分式的值缩小到原来的， 故选：C． 【变式4-2】将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的9倍 D．是原来的6倍 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 【详解】解：由题意，得， 故选：B． 【变式4-3】若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的基本性质．由、的值均扩大为原来的3倍，可得，分别扩大为3倍后为，，再代入各选项，利用分式的基本性质约分，从而可得答案． 【详解】解：、的值均扩大为原来的3倍， A、，分式的值发生了变化，故本选项不符合题意； B、，分式的值不变，故本选项符合题意； C、，分式的值发生了变化，故本选项不符合题意； D、分式的值发生了变化，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-4】将分式中的、均扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的4倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键．将原式中的a换为，将b换为，根据分式的性质进行化简即可． 【详解】解：把分式中的a和b分别扩大为原来的2倍， 即， 则分式的值不变， 故选：D． 【变式4-5】若，当时， 0（选填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据题意分别判断出分子和分母的符号即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【考点题型五】分式的乘除混合运算 【例5】将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（   ） A．20% B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式（分式），明确混合前后糖的质量等于混合前的质量之和且糖水前后总质量相等是解答本题的关键． 由题意可知：含糖的质量为，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的质量除以混合后糖水的质量再乘以即可． 【详解】解：由题意可得： 混合后的糖水含糖：． 故选：D． 【变式5-1】如果（   ），那么括号内应填写的分式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据除式=被除式÷商列式，再进行运算即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【变式5-2】计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式5-3】分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： ． (1)分式是______分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为______； (2)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (3)利用上述方法解决问题：若是整数，且分式的值为正整数，求的值． 【答案】(1)真； (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据材料中的方法即可判定是真分式，根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，即可求解； （3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为正整数即可得出的值． 【详解】（1）在中，分子的次数为，分母的次数为，， 是真分式； ； 故答案为；真；； （2）； （3）； 分式为正整数， 为整数且， 或， 或， 即的值为或． 【变式5-4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除，熟练掌握分式的乘除法运算法则是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可； （2）先将除法转化为乘法，再根据分式的乘法和性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式5-5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； （）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； 此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型六】含乘方的分式乘除混合运算 【例6】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先运算乘方，然后把除法转化为乘法约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 【变式6-1】计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行计算． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 【变式6-2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，根据负整数指数幂和分式除法运算法则计算即可求解，掌握分式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式6-3】计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的乘除混合运算和乘方运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关的运算法则是解题关键； （1）直接利用乘方，零指数幂的性质，负整数指数幂的性质求解即可得出答案． （2）先算乘方，再算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 【变式6-4】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式除法计算，先计算乘方，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式6-5】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分数乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式乘法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【考点题型七】分式加减混合运算 【例7】计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式7-1】化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，解题的关键是掌握分式的加减混合运算法则．根据分式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】解： 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】解决下列问题： (1)如果，那么的值是______，的值是______； (2)如果， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①；②75 【分析】本题考查多项式乘多项式，分式的加减及完全平方公式，中通过变形求得，的值是解题的关键． 将等号左边的代数式展开后即可求得，的值； 将等号左边展开变形后即可求得，的值，然后将展开后代入数值计算即可； 将分式通分并整理后代入中所求数值计算即可． 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：；； （2）解： ， ，， ； ． 【变式7-4】阅读下列材料： 我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部分，再把剩余部分写成一个真分数．例如：． 对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分式”的和的形式．例如： ； ． 请根据上述材料解决下列问题： (1)请写出一个假分式：_______； (2)请将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)设，则当时，的取值范围是______． 【答案】(1)(答案不唯一) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减法，分式的基本性质，不等式的性质； （1）用“假分式”的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）将化成整式和一个“真分式”的和的形式后，利用分式值的意义解答即可． 【详解】（1）解：，则是假分式 故答案为：(答案不唯一)． （2）解： ； （3）解：∵， ， ∵， ∴， ∴ ∴． 【变式7-5】探究规律： (1)填空：①         ② ③ (2)根据（1）中的填空猜想______（n为整数） (3)受上述规律启蒙，计算：． 【答案】(1)①；②；③ (2) (3) 【分析】（1）用异分母分式减法法则计算即可； （2）根据（1）进行猜想即可得到答案，然后用分式减法法则计算即可说明理由； （3）运用（2）得到的规律解答即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③． 故答案为：①；②；③． （2）解：，理由如下： ． 故答案为：． （3）解： ． 【考点题型八】分式的化简求值 【例8】计算与求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)1 (2)， 【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的化简求值， （1）先化简绝对值，计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减即可； （2）先将括号里的异分母分式化简为同分母分式，再进行加减运算，然后计算乘除；最后利用整体代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 当时，原式 【变式8-1】请你先化简，再从，，中选择一个合适的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简，分式有意义的条件，理解分式的化简方法和分式有意义的条件是解答关键． 先将小括号内的分式通分，再利用平方差公式，分式除法运算法则去化简，然后利用分式有意义的条件确定能取的值，并代入进行计算求解． 【详解】解： ． 因为时，当时，，分式的分母为，分式没有意义， 所以不能取值为或． 当时 原式． 【变式8-2】先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】， 【分析】先将括号内的分式通分，利用分式减法运算求解，再将分式分子分母因式分解，将除法转化为乘法，利用分式乘除运算法则计算即可化简，再由分式分母不能为零得到，再由，且为整数，得到，代入化简结果求值即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ，且为整数， 取值为， 当时，原式． 【变式8-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题考查了分式的化简求值．把括号内的部分变形，把除法变为乘法并因式分解，再利用乘法分配律进行展开计算即可得到化简结果，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ∵， ∴原式 【变式8-4】先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值问题．注意计算的准确性． 【详解】解：原式 当x时，原式 【变式8-5】下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是整式，请写出整式M，并写出完整的解答过程． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式． …… (1)整式______； (2)请写出完整的解答过程． 【答案】(1)a (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ． （2）解：原式 ， 当时， 原式． 【考点题型九】分式方程 【例9】已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 【变式9-1】下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义：分母中含有未知数的有理方程是解本题的关键．根据分式方程的定义，判断即可得到结果． 【详解】解：、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、是无理方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，故本选项符合题意； 故选：． 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．或是分式方程的解 C．若分式的值为0，则的值2或者 D．解分式方程时一定会出现增根 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识．利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】解：A．是分式方程，故A正确； B．时，，即分母为0，故或不是分式方程的解 ，故B错误； C．当时，，因此若分式的值为0，则的值2，故C错误； D．解分式方程时不一定会出现增根，故D错误． 故选：A． 【变式9-3】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程， （1）原方程化简得：，解方程并检验即可求解． （2）方程两边同乘最简公分母，得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解： ∴ 即 ∴ ∵ ∴ 解得： 检验：把代入原方程，得左边右边，因此是原方程的解． （2） 方程两边同乘最简公分母，得 解得   检验：把代入最简公分母得，所以是原方程的增根． 因此原方程无解． 【变式9-4】解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即分式方程的解是． 【变式9-5】解分式方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查解分式方程． （1）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到未知数的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 两边同乘以去分母，得， 即， 解得， 经检验，是分式方程的解，故分式方程的解为． （2）解：， 两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化1得，， 将代入， ∴原分式方程无解． 【考点题型十】分式方程的应用 【例10】某中学开展“徒步研学”活动，小新和王老师同时从学校出发到离学校9千米的公园开展研学活动，他们的路线一致，小新随班步行，王老师由于要带班级饮用水需乘车，已知车的速度是步行速度的倍．王老师比小新早80分钟到达目的地，设小新步行速度为x米/分钟，则依题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解决问题的关键．设小新步行速度为米/分钟，则王老师的速度是米/分钟，根据王老师比小新早80分钟到达目的地，列方程即可． 【详解】解：设小新步行速度为x米/分钟，则依题意可列出方程为 故选：C． 【变式10-1】班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数．数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出个球，发现其中有个红球．如果设袋中有白球个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键． 根据题意，共有个球，摸出红球的概率为，由此列分式方程即可． 【详解】解：设袋中有白球个，往袋中放入个形状大小与白球相同的红球， ∴共有个球， ∵随机摸出个球，发现其中有个红球， ∴摸出红球的概率为， ∴， 故选：D ． 【变式10-2】某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（   ） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D．方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据所列方程，结合“单价总价数量”，进行分析即可求解． 【详解】解：∵甲商店购买篮球消费满元，送两个篮球，在甲商店购买，正好能用元经费买够数量， 乙商店有促销活动，篮球单价打七折，在乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩元， ∴在甲商店购买需花费元，在甲商店购买篮球的数量比需要的数量少个， 在乙商店购买需花费元，篮球的单价是原价的七折， 若方程①中的表示篮球的数量， 则表示在乙商店购买篮球的单价，表示在甲商店购买篮球的单价， 根据乙商店篮球的单价是原价的七折，即可列出方程； 方程②中的表示篮球的单价， 则表示在甲商店购买篮球的数量，表示在乙商店购买篮球的数量， 根据篮球的数量是固定的，即可列出方程． 故选：C． 【变式10-3】某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【答案】(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个； (2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可； （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个． （2）设第一次销售时每个书签的售价为m元， 由题意得： 解得：， 答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元． 【变式10-4】第一届全国青少年三大球运动会于2024年11月20日至11月28日在长沙市和岳阳市举行．有来自全国25个省、自治区、直辖市的96支队伍、约1500名运动员到湖南省参赛，决赛场次总计308场．长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事．在筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【答案】(1)足球的单价是80元，排球的单价是65元 (2)70个 【分析】（1）设足球的单价是元，则排球的单价是元，根据数量总价单价，结合用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设学校可以购买个足球，则可以购买个足球，利用总价单价数量，结合购买足球和排球的总费用不超过7550元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设足球的单价是元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：足球的单价是80元，排球的单价是65元． （2）解：设学校可以购买..个足球，则可以购买个排球， 依题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以取的最大值为70． 答：学校最多可以购买70个足球． 【变式10-5】“开心水果店”用3200元购进一批糖心苹果，很快售完．该店又用3000元购进第二批这种糖心苹果，已知第二批的进货价比第一批的进货价每千克少了1元，第一批购进数量比第二批少． (1)求第一批购进的苹果每千克多少元？ (2)该水果店销售第一批苹果时，每千克的售价为6元，全部售完后购进第二批苹果，发现第二批苹果品质不如第一批，该店主将售价下降销售，结果仍有的苹果出现了腐坏现象，不能销售．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2875元，求a的最大值． 【答案】(1)每千克4元 (2)25 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一批购进的苹果每千克x元，则第二批购进的苹果每千克元，根据数量＝总价÷单价结合第一批购进数量比第二批少，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； (2）根据数量＝总价÷单价可求出第一批购进的苹果数量，进而可求出第二批购进的苹果数量，由利润＝销售收入成本结合总获利不低于2875元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设第一批购进的苹果每千克x元，则第二批进货价为每千克元， 由题意得：， 解得：， 经检验，时原方程的解，且符合题意， 答：第一批购进的苹果每千克4元； （2）解：由（1）可得，第一批购进的数量为千克，第二批购进的数量为千克， 则由题意得：， 解得：， ∴的最大值为25． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 分式与分式方程（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【清单02】分式方程的解】 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【清单03】解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【清单04】换元法解分式方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现． 【清单05】分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 【清单06】由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 【清单07】分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【考点题型一】分式的判定 【例1】下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【变式1-1】在中，分式有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-2】下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各式中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；属于分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-4】下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】下列代数式中，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】分式有意义及无意义的条件 【例2】使分式有意义的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为1 【变式2-3】要使分式有意义，则应满足的条件是 ． 【变式2-4】当分式的值为时， ． 【变式2-5】当时，分式无意义，则的值为 ． 【变式2-6】当 时，分式无意义． 【考点题型三】分式值为0的条件 【例3】对于分式  ，下列说法错误的是（    ） A．不论x 取何值，分式都有意义 B．分式的值大于0 C．不论x 取何值，分式的值都不为0 D．当或时，分式无意义 【变式3-1】要使分式的值为0，则为（   ） A．0 B．2 C． D．1 【变式3-2】若分式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式3-3】若分式的值为零，则 ． 【变式3-4】若分式的值为，则 ． 【变式3-5】当时，分式的值为0，则的值为 ． 【考点题型四】利用分式基本性质判断分式值的变化 【例4】如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【变式4-1】若把分式中的和都扩大到原来的倍，且，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【变式4-2】将分式中的、都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的9倍 D．是原来的6倍 【变式4-3】若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】将分式中的、均扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．缩小为原来的4倍 D．不变 【变式4-5】若，当时， 0（选填“”“”或“”）． 【考点题型五】分式的乘除混合运算 【例5】将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（   ） A．20% B． C． D． 【变式5-1】如果（   ），那么括号内应填写的分式是 ． 【变式5-2】计算的结果等于 ． 【变式5-3】分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如，是真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： ． (1)分式是______分式（填“真”或“假”）；将假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为______； (2)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (3)利用上述方法解决问题：若是整数，且分式的值为正整数，求的值． 【变式5-4】计算： (1)； (2)． 【变式5-5】计算： (1)； (2)． 【考点题型六】含乘方的分式乘除混合运算 【例6】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】计算： ． 【变式6-3】计算： (1) (2) 【变式6-4】计算： 【变式6-5】计算：． 【考点题型七】分式加减混合运算 【例7】计算： ． 【变式7-1】化简： 【变式7-2】计算： (1)； (2)． 【变式7-3】解决下列问题： (1)如果，那么的值是______，的值是______； (2)如果， ①求的值； ②求的值． 【变式7-4】阅读下列材料： 我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部分，再把剩余部分写成一个真分数．例如：． 对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分式”的和的形式．例如： ； ． 请根据上述材料解决下列问题： (1)请写出一个假分式：_______； (2)请将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)设，则当时，的取值范围是______． 【变式7-5】探究规律： (1)填空：①         ② ③ (2)根据（1）中的填空猜想______（n为整数） (3)受上述规律启蒙，计算：． 【考点题型八】分式的化简求值 【例8】计算与求值： (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中． 【变式8-1】请你先化简，再从，，中选择一个合适的数代入求值． 【变式8-2】先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【变式8-3】先化简，再求值：，其中． 【变式8-4】先化简，再求值：，其中 【变式8-5】下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是整式，请写出整式M，并写出完整的解答过程． 例：先化简，再求值：，其中． 解：原式． …… (1)整式______； (2)请写出完整的解答过程． 【考点题型九】分式方程 【例9】已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【变式9-1】下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】下列说法正确的是（    ） A．是分式方程 B．或是分式方程的解 C．若分式的值为0，则的值2或者 D．解分式方程时一定会出现增根 【变式9-3】解下列方程： (1) (2) 【变式9-4】解方程： 【变式9-5】解分式方程 (1)． (2)． 【考点题型十】分式方程的应用 【例10】某中学开展“徒步研学”活动，小新和王老师同时从学校出发到离学校9千米的公园开展研学活动，他们的路线一致，小新随班步行，王老师由于要带班级饮用水需乘车，已知车的速度是步行速度的倍．王老师比小新早80分钟到达目的地，设小新步行速度为x米/分钟，则依题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家想办法估计出袋中白球的个数．数学课代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出个球，发现其中有个红球．如果设袋中有白球个，根据小明的方法用来估计袋中白球个数的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买购数量，还能剩元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程：①，②．其中表示的意义是（   ） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的表示篮球的数量，方程②中的表示篮球的单价 D．方程①中的表示篮球的单价，方程②中的表示篮球的数量 【变式10-3】某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍． (1)求该店两次购进这款书签各多少个？ (2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？ 【变式10-4】第一届全国青少年三大球运动会于2024年11月20日至11月28日在长沙市和岳阳市举行．有来自全国25个省、自治区、直辖市的96支队伍、约1500名运动员到湖南省参赛，决赛场次总计308场．长沙市南雅中学作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事．在筹备期间，为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价多15元． (1)足球和排球的单价各是多少元？ (2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其总费用不超过7550元，那么学校最多可以购买多少个足球？ 【变式10-5】“开心水果店”用3200元购进一批糖心苹果，很快售完．该店又用3000元购进第二批这种糖心苹果，已知第二批的进货价比第一批的进货价每千克少了1元，第一批购进数量比第二批少． (1)求第一批购进的苹果每千克多少元？ (2)该水果店销售第一批苹果时，每千克的售价为6元，全部售完后购进第二批苹果，发现第二批苹果品质不如第一批，该店主将售价下降销售，结果仍有的苹果出现了腐坏现象，不能销售．若该水果店售完这两批苹果后，总获利不低于2875元，求a的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$