4.1数列的概念第二课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列 XXX XXXX年XX月XX日 4.1数列的概念第二课时 一 数列的概念 二 数列的分类 三 数列的表示方法 四 数列的通项公式 按照一定顺序排列的一列数叫做 数列. (1)按项数分； (2)按项之间的大小关系. (1)表格； (2)图象； (3)解析式. 复习导入 例3 如果数列{an} 的通项公式为an=n2+2n,那么120是不是这个数列的 项，如果是，是第几项？ 解：令n2+2n=120 解得 n=-12（舍）或n=10 所以 120是数列的项，是第10项 例题讲解 练习一 已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项； (2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 巩固练习 【方法小结】 例题讲解 例4 图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式. 解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27, 即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1. 因此，这个数列的一个通项公式是 . 例题讲解 例4 解：换个角度观察图中的4个图形，可以发现， ①a1=1, ②每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形， ③从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍. 这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1, a2 =3 a1, a3 =3a2, a4 =3a3,由此猜测这个数列满足公式 例题讲解 知识点一 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 作用： 如果已知数列的首项(或前几项)及递推公式，就能求出数列的每一项. 不是．例如精确到1，0.1，0.01,0.001，…的近似值排列成一列数：1,1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式． 思考1：所有的数列都有递推公式吗？ 知识讲解 例5 已知数列的首项是1，递推公式为 ，写出这个数列的前5项. 例题讲解 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依 次代入计算即可； (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式； (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．　 【方法小结】 由递推公式求数列的项的方法 例题讲解 练习二 （课本P8上面练习T3) 3.已知数列｛｝满足=2，写出它的前５项，并猜想它的通项公式. 巩固练习 知识点二 数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,即Sn =a1+a2+...+an. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 练习三： (1)数列{an}的通项公式为an=n,则S1= ，S3= . （2）数列{an}的前n项和为Sn，S7=30，S8=40，则a8= . 6 1 10 思考2：an与Sn的关系？ 知识讲解 知识点二 数列的前n项和 显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有 知识讲解 已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n, （1）求S5，Sn-1 （2）求出{an}的通项公式 (2)当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2 时，an=Sn-Sn-1 = n2+n -[(n-1)²+(n-1)]=2n(n≥2),① 将n=1代入①式得，a1=2×1=2依然成立. 故{an}的通项公式是an=2n. 解：(1)S5=52+5=30,Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n. 例 例题讲解 【方法小结】 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2) 便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符 合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与 n≥2两段来写． 已知Sn求an的3个步骤 例题讲解 练习四 （课本P8上面练习T4) ４.已知数列｛｝的前n项和公式为，求｛｝的通项公式． 巩固练习 一、递推公式 二、数列的前n项和 课堂小结 键入这里输入文字 键入这里输入描述 XXX 4.1数列的概念第二课时 18 解： (1)由题知an＝eq \r(n)＋2n.∴a4＝eq \r(4)＋2×4＝10，a25＝eq \r(25)＋2×25＝55. (2)假设253是这个数列中的项，则253＝eq \r(n)＋2n，解得n＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，则153＝eq \r(n)＋2n，解得n＝72eq \f(1,4)，这与n是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项． 已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}中的项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．　 $$