5.1.1变化率问题与瞬时速度第一课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用5.1.1 课时1 变化率问题 与瞬时速度 1. 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解函数平均速度、瞬时速度的概念以及它们之间的关系； 2. 掌握函数平均速度、瞬时速度的求法. 核心素养： 通过本节课的学习，培养数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养. 学习目标 情景导入: 3 问题1 高台跳水运动员的速度 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系： 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢 新知探究 4 1.请计算下列对应时间段的平均速度： 新知探究 5 2.计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考下列问题： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 新知探究 6 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在 时刻的瞬时速度. 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1 s时的瞬时速度吗? 7 为了求运动员在t=1时刻的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+∆t， ∆t是非零时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为零. 当∆t >0时， 1+∆t在1之后，把运动员在时间段[1, 1十∆t]内近似看成匀速直线运动，计算时间段[1, 1+∆t]内的平均速度，用近似表示运动员在t=1时的瞬时速度； 当∆t <0时，1+∆t在1之前，在时间段[1+∆t, 1]可作类似处理. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格： 8 当∆t <0时，在时间段[1十∆t, 1]内 当∆t >0时， 在时间段[1, 1十∆t]内 ∆t ∆t 通过观察可得，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 9 事实上，由 可以发现，当∆t在无限趋近于0时， 平均速度无限趋近于－5. 这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把－5叫做“当△t无限趋近于0时， 的极限” 从物理的角度看，当时间间隔| ∆t |无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于 t= 1时的瞬时速度，因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=－5 m/s. 也就是说，当时间间隔| ∆t |无限趋近于0时，平均速度 在某一时刻t=t0的极限 就是运动员在t=t0时的瞬时速度，即 记为: 10 3. (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 新知探究 11 3. (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 新知探究 12 1. 求问题1中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度. 当堂检测 13 2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 14 3. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 15 1.如何计算平均速度与瞬时速度?二者有什么关系? 瞬时速度的本质是平均速度的极限. (1) 平均速度： (2) 瞬时速度： 2.本节课学习到了哪些思想方法? 结合以下问题，回顾本课所学知识. 极限思想 课后小结 16 Lavf55.33.100 $$