3.1.2椭圆的几何性质课件-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

第三章 圆锥曲线 3.1.2 椭圆的几何性质 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一上册） 直观感知 为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？ 旧知回顾 问题1：椭圆的概念是什么？标准方程是什么？ 椭圆概念：在平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹. 标准方程： (a>b>0) 旧知回顾 在基础模块,我们利用直线和圆的标准方程得到了圆的性质,是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？ 引入新课 下面以 为例,探究椭圆的几何性质. 1.范围 这说明,椭圆位于四条直线x=-a,x=a,y=-b,y=b所围成的矩形框内,如图所示. 探索新知 2.对称性 在椭圆的标准方程中，将y换成-y,方程不变.这说明,当点P(x,y)在椭圆上时,其关于x轴的对称点 P1(x,-y)也在椭圆上.因此,椭圆关于x轴对称. 同理,将x换成-x,方程不变.这说明,当点P(x,y)在椭圆上时,其关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上.因此,椭圆关于y轴对称.  进一步,将x换成-x ,同时y换成-y,方程不变.这说明,当点P(x,y)在椭圆上时,其关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上.因此,椭圆关于原点对称． 综上所述,椭圆既关于x轴对称,又关于y轴对称,也关于坐标原点对称.x轴与y轴都称为椭圆的对称轴,坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心). 探索新知 3.顶点 说明,椭圆与y 轴有两个交点B1(0,b)和B2(0,-b),如图所示. 探索新知 3.顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点A1、A2、B1、B2 ,称为椭圆的顶点. 线段A1A2和B1B2 分别称为椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b. a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. 显然,椭圆的焦点在它的长轴上. 探索新知 3.顶点 值得注意的是,由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²,故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形.观察上图，可知 因此,RTΔF2OB2(或F1OB2)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系. 探索新知 4.离心率 把椭圆的焦距与长轴长之比 称为椭圆的离心率,记作e.即 探索新知 归纳概括 归纳概括 例1 求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标. 解 巩固提升 将原方程化为标准方程，得 ，所以椭圆的焦点在x轴上,并且 因此 长轴长 ， 短轴长 ，离心率 ，所以焦点坐标 顶点坐标为 ， 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点 、 ； （2）长轴长等于20，离心率等于 ． 解 巩固提升 （1）由题意， ， ， 又∵长轴在 轴上， 所以，椭圆的标准方程为 ． 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点 、 ； （2）长轴长等于20，离心率等于 ． 解 巩固提升 （2）由题意， ， ， 所以， ， ，则 ， 所以，椭圆的标准方程为 或 ． 例3 如图，设 与定点 的距离和它到直线l： 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹方程． 巩固提升 分析：若设点 ，则 ，到直线： 的距离 ，则容易得点的轨迹方程． 巩固提升 课堂训练 巩固提升 课堂训练 课堂小结 你在本节课学到了什么？ 课堂小结 范围、顶点、对称性、离心率 课后作业 必做：教材：习题A题。 阅读：P94 信息技术应用。 预习：双曲线的标准方程 ？