专题10.2 概率 (考点精讲)-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题10.2 概率 一、【考纲要求】 理解概率的概率，会解决简单的古典概型问题 二、【考向预测】 本部分内容在升学考试中常以选择题、填空题的形式出现，主要考查古典概型问题 三、【知识清单】 1、事件的相关概念 2.古典概型 （1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2、古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 四、【方法技巧】 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下： ①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型． ②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数． ③求值，代入公式P(A)＝求值． 五、【考点分类剖析】 考点一：事件的相关概念 例1. 若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【变式练习1】有以下5个命题： ①在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集； ②基本事件就是随机事件； ③样本空间中的两个基本事件可能会同时发生； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，样本空间也不同； ⑤随机事件通常是用文字叙述的，故随机事件对应于子集是把文字数学化． 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式练习2】下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【变式练习3】甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【变式练习4】下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 【变式练习5】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果为（不考虑指针落在分界线上的情况）． (1)写出这个试验的样本空间； (2)写出事件：“”和事件：“且”的集合表示； (3)说出事件，所表示的含义． 考点二：古典概型 例2. 全国中学生智能汽车竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛． (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； (2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率． 【变式练习1】杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式练习3】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式练习4】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式练习5】现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式练习6】把数字1，2，3，4，5，6任意顺序排成一排，则其中成等比数列的几个数互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式练习7】我国铁路百年沧桑巨变，从尚无一寸高铁，到仅用十几年高铁建设世界领先，见证了中华民族百年复兴伟业.某家庭两名大人三个孩子乘坐高铁出行，预定了一排五个位置的票（过道一边有三个座位且相邻，另一边两个座位相邻）则三个孩子座位正好在过道同一侧的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式练习8】一个袋子中装有大小完全相同的3个红球、4个白球、3个黑球.若从袋中一次摸出4个球，则4个球共有2种颜色的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式练习9】三角形内角和为180° 随机事件．（选用“是”或“否”填空） 【变式练习10】三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为 . 【变式练习11】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为 （用最简分数表示） 【变式练习12】若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率 是 【变式练习13】柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 (1)写出试验的样本空间； (2)求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. (3)求取出的鞋不成双的概率. 【变式练习14】已知集合，任取A的一个子集B，计算： (1)子集B含有两个元素的概率是多少？ (2)子集B一定含有元素1、2、3的概率是多少？ 【变式练习15】袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）计分介于20分到40分之间的概率． 【变式练习16】某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率. 2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2 概率 一、【考纲要求】 理解概率的概率，会解决简单的古典概型问题 二、【考向预测】 本部分内容在升学考试中常以选择题、填空题的形式出现，主要考查古典概型问题 三、【知识清单】 1、事件的相关概念 2.古典概型 （1）古典概型的定义：一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 2、古典概型的概率公式：一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 四、【方法技巧】 用公式法求古典概型的概率就是用所求事件A所含的基本事件个数除以基本事件空间Ω所含的基本事件个数求解事件A发生的概率P(A)．解题的关键如下： ①定型，即根据古典概型的特点——有限性与等可能性，确定所求概率模型为古典概型． ②求量，利用列举法、排列组合等方法求出基本事件空间Ω及事件A所含的基本事件数． ③求值，代入公式P(A)＝求值． 五、【考点分类剖析】 考点一：事件的相关概念 例1. 若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 【答案】D 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可. 【解析】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 【变式练习1】有以下5个命题： ①在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集； ②基本事件就是随机事件； ③样本空间中的两个基本事件可能会同时发生； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，样本空间也不同； ⑤随机事件通常是用文字叙述的，故随机事件对应于子集是把文字数学化． 其中真命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据随机事件，基本事件，样本空间的定义进行判断，得到答案. 【解析】①因为随机事件是样本空间中满足一定条件的部分元素组成的集合， 所以在样本空间确定之后，随机事件可以看作样本空间的一个子集，①正确； ②基本事件是样本空间中不可再分的最简单的事件，而随机事件是由基本事件组合而成的，②错误； ③由基本事件的定义可知，样本空间中的两个基本事件不会同时发生，③错误； ④对于同一个随机现象，由于观察结果的角度不同，会导致对样本空间的划分不同，样本空间也不同；④正确； ⑤通过将随机事件对应到样本空间的子集，实现了从文字叙述到数学表达的转化，⑤正确． 故选：D 【变式练习2】下列说法中正确的是（    ） A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性 C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合频率，概率的定义，即可判断. 【解析】频率与概率不是同一个概念，故A错误； 在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误； 随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确； 在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误． 故选：C． 【变式练习3】甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【答案】B 【分析】根据概率与频率的关系判断. 【解析】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B 【变式练习4】下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 【答案】D 【分析】利用概率的定义和估计方法逐个选项分析求解即可. 【解析】对于A，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误， 对于B，C，太过绝对，故错误， 对于D，符合概率的估算方法，故正确． 故选：D. 【变式练习5】同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为，转盘②得到的数为，结果为（不考虑指针落在分界线上的情况）． (1)写出这个试验的样本空间； (2)写出事件：“”和事件：“且”的集合表示； (3)说出事件，所表示的含义． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）按一定规律及顺序不重不漏的写出样本空间即可； （2）从样本空间的样本点中，分别找出满足，且的即可； （3）观察样本点的共性即可得知含义． 【解析】（1）试验的样本空间为：． （2）事件； 事件． （3）事件表示“”，即两个转盘转到的数的积为4， 事件表示“”，即两个转盘转到的数相同． 考点二：古典概型 例2. 全国中学生智能汽车竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛． (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率； (2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出全体样本空间，然后列出甲、乙两支队伍恰好排在前两位的所有可能情况，再根据古典概型的概率计算公式计算即可； （2）根据题意，列出全体样本空间，然后列出甲、乙两支队伍出场顺序相邻的所有可能情况，再根据古典概型的概率计算公式计算即可. 【解析】（1）根据题意可知全体样本空间={（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲）}． 设事件A：甲、乙两支队伍恰好排在前两位，事件A包含的样本点有：（甲，乙，丙），（乙，甲，丙），所以； （2）设事件B：甲、乙两支队伍出场顺序相邻，包含的样本点有：（甲，乙，丙），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），所以 【变式练习1】杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，用列举法即可求解. 【解析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为， 代表依次摸出的卡片，， 则基本事件分别为：， 其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：， 所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片， 则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是. 故选：B. 【变式练习2】掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用列举法，结合古典概型概率公式求解即可. 【解析】掷两枚质地均匀的骰子根据题意总共有36种可能，掷出的两个骰子点数之和是5有：,共有4种可能. 根据古典概型概率公式得，. 故选：D 【变式练习3】若连续抛两次骰子得到的点数分别是，，则点在直线上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型及直线方程计算即可. 【解析】由题意可知抛掷两次骰子得出的点数有， 共36种结果，即点有36个. 而满足在上的有3种，故其概率为. 故选：C 【变式练习4】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】需要分甲丙之间是乙和甲丙之间是是丁两种类型，分别计算排法数，可得所求概率. 【解析】所有的排法有（种）. ①若甲、丙之间恰好为乙，则有种排法； ②若甲、丙之间恰好为丁，则有种排法. 故所求的概率. 故选：C. 【变式练习5】现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由6人的全排列，以及插空法及甲乙丙的顺序确定，从而可求甲在乙的左边，乙在丙的左边的概率. 【解析】6人的全排列有，利用插空法，将余下的三个人全排列， 则将甲、乙、丙三人插入到四个空中且他们的顺序为甲乙丙一种， 又由甲、乙、丙三人的全排列有种， 所以甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在丙的左边的排法有种， 故所求概率为． 故选：B． 【变式练习6】把数字1，2，3，4，5，6任意顺序排成一排，则其中成等比数列的几个数互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得总的基本事件有，利用插空法可求得成等比数列的3个数不相邻的排法有，可求概率. 【解析】把数字1，2，3，4，5，6任意顺序排成一排，基本事件总数， 成等比数列的3个数1，2，4先不排，3，5，6排成一排有种排法， 再把1，2，4插空排到3，5，6这一排中，有种排法， 其中成等比数列的几个数互不相邻包含的基本事件个数为， 则其中成等比数列的几个数互不相邻的概率为：． 故选：B． 【变式练习7】我国铁路百年沧桑巨变，从尚无一寸高铁，到仅用十几年高铁建设世界领先，见证了中华民族百年复兴伟业.某家庭两名大人三个孩子乘坐高铁出行，预定了一排五个位置的票（过道一边有三个座位且相邻，另一边两个座位相邻）则三个孩子座位正好在过道同一侧的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助排列数计算出五个人随机坐的所有可能数及其中三个孩子座位正好在过道同一侧的可能数即可得. 【解析】五个人随机坐共有种可能，其中三个孩子座位正好在过道同一侧有种可能， 故三个孩子座位正好在过道同一侧的概率为. 故选：A. 【变式练习8】一个袋子中装有大小完全相同的3个红球、4个白球、3个黑球.若从袋中一次摸出4个球，则4个球共有2种颜色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将所求事件进行分类计数，再利用古典概型概率公式计算即得. 【解析】依题意，从袋中一次摸出4个球，试验所含的基本事件有种， 而“4个球共有2种颜色”共有三类情况，①“摸到红球和白球”，有种， ②“摸到红球和黑球”，；③“摸到白球和黑球”，有种， 由分类加法计数原理可得“4个球共有2种颜色”的选法有： 种， 则4个球共有2种颜色的概率为. 故选：D. 【变式练习9】三角形内角和为180° 随机事件．（选用“是”或“否”填空） 【答案】否 【分析】由事件的定义判断． 【解析】这是个必然事件，故不是随机事件， 故答案为：否 【变式练习10】三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意列出参加晚会的所有情形，利用古典概型计算即可. 【解析】不妨记三人为甲，乙，丙， 则所有参加晚会的情形有：①只去一人，甲，乙，丙；②去两人，甲乙，甲丙，乙丙； ③去三人，甲乙丙；共计7种情形， 所以恰有1人去的概率为. 故答案为： 【变式练习11】从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为4的概率为 （用最简分数表示） 【答案】 【分析】首先利用组合数求出基本事件总数以及这5个不同的数的中位数为4的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式求解即可． 【解析】根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件总数为， 而这5个数的中位数是4的基本事件数为， 故这5个不同的数的中位数为4的概率为. 故答案为：. 【变式练习12】若某天上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，则数学和体育不连排的概率是 【答案】 【分析】根据古典概型，先求出基本事件的总数，再运用插空法，先安排好语文，英语，物理，再插入数学和体育，求出事件的个数，即可求解. 【解析】上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，共有种方法， 记事件：上午安排语文、数学、英语、物理和体育各一节课，且数学和体育不连排， 则事件共有种排法，所以数学和体育不连排的概率是， 故答案为：. 【变式练习13】柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么 (1)写出试验的样本空间； (2)求下列事件的概率： ①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋. (3)求取出的鞋不成双的概率. 【答案】(1)见解析 (2), (3) 【分析】（1）通过列举法写出试验的样本空间； （2）（3）结合（1）所求的样本空间，利用古典概型的概率公式逐一求解即可． 【解析】（1）该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,； （2）记：“取出的鞋都是一只脚的” ,，,，,，,，,，,， ， ； 记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”， , , ,，,，,，,， ， ， （3）记“取出的鞋不成双”， 由（1）得， ，,，,，， ， ； 【变式练习14】已知集合，任取A的一个子集B，计算： (1)子集B含有两个元素的概率是多少？ (2)子集B一定含有元素1、2、3的概率是多少？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出集合的子集个数，再利用列举法求出子集的个数，然后利用古典概率公式计算即得. （2）求出集合的子集个数，再结合集合运算及古典概率公式计算即得. 【解析】（1）集合的子集共有个，子集B含有两个元素， 有，共有10个， 所以子集B含有两个元素的概率. （2）由子集B一定含有元素1、2、3，得子集B是集合与集合的子集的并集， 而集合的子集有个，因此一定含有元素1、2、3的子集B有4个， 所以所求概率. 【变式练习15】袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，求： （1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）计分介于20分到40分之间的概率． 【答案】（1）（2） 【分析】直接根据古典概型的概率计算公式以及加法公式求解即可． 【解析】：（1）由题意，取出的3个小球上的数字互不相同的概率为； （2）由题意，计分介于20分到40分之间取出的3个球中最大数可能为3，4， ∴计分介于20分到40分之间的概率为． 【变式练习16】某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率. 【答案】(1)   (2)   (3) 【解析】（1）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列； （2）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列； （3）先求出有两人同时参加A岗位服务的概率,然后用1去减即可. 【详解】(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA，那么， 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是； (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝； (3)因为有两人同时参加A岗位服务的概率，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1＝1－P2＝. 2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$