专题06 一次函数12大压轴题型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题06 一次函数压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 6 类型一、一次函数的规律探究问题 6 类型二、一次函数的平移 10 类型三、一次函数上的动点问题 13 类型四、一次函数围成图形的面积 20 类型五、新定义下的一次函数 26 类型六、一次函数与全等三角形综合 33 类型七、一次函数的折叠问题 42 类型八、分段一次函数 50 类型九、两个一次函数图像交点问题 61 类型十、一次函数的应用——行程问题 73 类型十一、一次函数的应用——方案分配问题 78 类型十二、一次函数的应用——最大利润问题 82 压轴能力测评（10题） 87 1．函数的基本概念 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． （3）函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． （4）函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （5）函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 2．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 3．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 4．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 5．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 6．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 7．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 8．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 9．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 10．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 11．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 12．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 13．一次函数与一元一次方程/一元一次不等式 （1）一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． （2）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （3）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 14．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 15．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 16．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 17．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 17．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 类型一、一次函数的规律探究问题 例1．如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案，罗列、、纵坐标得出一般规律是解决问题的关键． 【详解】解：直线与轴交于点， ，解得， 直线解析式为， 作轴，轴，轴，如图所示： ， ；的纵坐标为1， 都是等腰直角三角形， 设， ，将坐标代入直线解析式得，解得， ，的纵坐标为， 设，则， 代入直线解析式，解得， ， 的纵坐标为， 的纵坐标为， 故选：C． 变式1-1．如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案． 【详解】解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差等知识点，通过确定，的横纵坐标数值，找出其变化的规律是解题的关键． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解． 【详解】解：由题意可得：点在x轴上，且， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，，， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 变式1-3．已知一次函数与的图象如图所示，点在直线上，过点作平行于x轴交直线与点，过点作平行于y轴交直线于点，过点作平行于x轴交直线与点，，以此类推，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标规律的探索，先根据题意求出，，，以此类推总结规律便可求出的长即可． 【详解】解：点在直线上，过点作平行于x轴交直线与点，过点作平行于y轴交直线于点，过点作平行于x轴交直线与点， ， ， ， ， 以此类推，则线段的长为， 故答案为：． 类型二、一次函数的平移 例2．在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称． (1)求的值； (2)将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代数式求值、一次函数的图象与性质及一次函数的平移变换，运用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意求得，代入代数式即可求出答案； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法即可求出直线的解析式，设直线平移后与射线的交点为D，过D作轴于点E，根据题意可知，，即将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据函数平移的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点关于原点对称， ∴， ∴； （2）设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线为， 设直线平移后与射线的交点为D， 过D作轴于点E， ∵沿射线方向平移个单位， ∴， ∴， ∴将直线沿射线方向平移个单位，其实是先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度． ∴， 即．    变式2-1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求的值； (2)已知点，是该一次函数图象上一点，当的面积为6时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移规律等知识点，根据一次函数图象的平移规律得出k的值是解题关键． （1）根据一次函数平移的性质得出一次函数解析式为，把代入求出b的值，即可得出一次函数解析式； （2）根据题意得出，结合，，得出，求出或，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知一次函数解析式为， 如图，∵是该一次函数图象上一点， ∴， ∵，， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． 变式2-2．已知关于x的一次函数． (1)若该函数图象向上平移2个单位后过点，求m的值； (2)若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据一次函数的平移求出平移后的函数解析式为，然后把求解即可； （2）根据函数图象的性质得到一元一元不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数图象向上平移2个单位得， 将代入得：， 解得； （2）解：由题意得：，解得：， 的取值范围是． 变式2-3．已知一次函数． (1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围； (2)若函数图象平行于直线，求这个函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是两条直线相交或平行问题，考查一次函数的系数与图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据若图象经过一、二、三象限，，解不等式组即可解决问题； （2）根据图象平行于直线，所以相同即可求得，从而求得直线为． 【详解】（1）解：∵函数图象经过一、二、三象限， ∴， 解得． （2）∵一次函数的图象与直线平行， ∴，解得：． ∴， ∴这个函数的表达式为． 类型三、一次函数上的动点问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为定点与直线上动点距离最小值为点到直线的距离，利用一次函数图象与性质，求出相关点的坐标，结合坐标系中三角形面积求法及勾股定理求出相关线段长度，最后由等面积法列式求解即可得到答案． 【详解】解：点的坐标为，点是直线上的动点， 由定点与直线上动点距离最小值为点到直线的距离，即过点作垂直直线，如图所示： ， 当时，，则；当时，，解得，则， ， 在中，，由勾股定理可得， ，即， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值-点到直线的距离问题，涉及图形与坐标、一次函数图象与性质、坐标系中三角形面积求法、勾股定理等知识，数形结合，掌握定点与直线上动点距离最小值为点到直线的距离，转化为等面积法求线段长是解决问题的关键． 变式3-1．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点分别为线段上的两个动点，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数，求出，，作点关于轴的对称点，关于的对称点，连接、、，得出当、、、四点共线时，有最小值，即周长有最小值为的长，此时与和轴的交点为、，过点作轴于点，连接交于点，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半和勾股定理求解即可． 【详解】解：直线与x轴，y轴分别交于点A和点B， 当时，；当时，，解得：， ，， ，， ， ， 如图，作点关于轴的对称点，关于的对称点，连接、、， 则，，， ， 当、、、四点共线时，有最小值，即周长有最小值为的长，此时与和轴的交点为、， 过点作轴于点，连接交于点， 由轴对称的性质可知， ，， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， 周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，坐标与图形，轴对称求最短路径，含30度的直角三角形，勾股定理等知识，将周长的最小值转化为线段的长是解题关键． 变式3-2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）在中，当时，；当时，；即可得出答案；求出点，代入直线即可得出答案； （2）求出，则，；过作于，分点P在上和点P在延长线上两种情况讨论，由三角形面积S与t之间的函数关系式； （3）过作于，则，，由勾股定理求出；分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的值即可． 【详解】（1）解在中，当时，； 当时，； ，； 点在直线上， ， 又点也在直线上， ， 解得：； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ； 当点P在上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 当点P在延长线上时， ∵，则，过作于，如图1所示： 则， ∴； 综上，； （3）解：存在，理由如下： 过作于，如图1所示： 则，， ， ； 当时，， ， ； 当时，如图2所示： 则， ，， ，或； 当时，如图3所示： 设，则，， ， 解得：， 与重合，， ， ； 综上所述，存在的值，使为等腰三角形，的值为4或或或8． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 变式3-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当Q点到达点B时，点P也停止运动．连接线段，设点P运动的时间为t秒． (1)经过时，写出此时点P的坐标 ，点Q的坐标 ． (2)当线段时，求此时点P运动的时间t． (3)点M为线段中点，在点P、Q运动过程中，以点P、Q、M三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的t的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的分类标准，勾股定理，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键． （1）根据题意，，当时，，直线与坐标轴交于两点，得到，继而得解． （2）根据题意，，得到，，，利用 得到方程，再解方程即可即可． （3）根据点为线段中点，得到，再由得到，，，再分当时，当时，当时三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，当时，， ∵直线与坐标轴交于两点， 当时，； 当时，； ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段，， ∴，即； 解得， ∴； （3）解： ∵，点为线段中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ， 当时，则， 故， 整理得， 解得(舍去)； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 当时，则， 故， 整理得， 解得； 综上所述：或或或或． 类型四、一次函数围成图形的面积 例4．如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点坐标为． (1)求出值． (2)如图2，连接，求出的面积． (3)在（2）的前提下，平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图3，已知点，点在轴的负半轴上运动，连接，与直线交于点，与直线交于点，当与面积相等时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 (4) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，坐标系中求三角形面积，已知三角形之间的面积关系求点的坐标，解题的关键是运用分类讨论思想． （1）把代入求出点坐标，把代入求出值即可； （2）根据两直线解析式分别求出点、、坐标，即可得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案； （3）在点下方轴上取点，使，过点、分别作，，根据平行线间的距离相等得出、到的距离与点到的距离相等，根据两条平行线的值相等分别求出、的解析式，代入求出的值即可； （4）根据与面积相等得出，根据，，，，结合三角形面积公式求出点横坐标，代入即可得答案． 【详解】（1）解：∵点坐标为，点在直线上， ∴，即， ∵点在直线上， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∴当时，，当时，， ∴，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴在点下方轴上取点，使， ∴ 过点、分别作，， ∴、，到的距离与点到的距离相等， ∴与面积相等， ∵，直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 同理可得：直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， 综上所述：存在点，使与面积相等，的值为或． （4）解：∵与面积相等， ∴，即， ∵，，，， ∴，即， ∵点在轴的负半轴上运动， ∴， 把代入得：， ∴． 变式4-1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）将点代入即可求解； （2）设，根据勾股定理可以求出的值，即可得到的面积； （3）分、、三种情况分别求出点坐标． 【详解】（1）解：将点代入得，解得：， 故直线的表达式为． （2）解：设， ， ，即， ， 解得：， ． （3）解：存在 由题意可得， ∴可分三种情况考虑，如图所示． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当时，设，则， ∴，解得：， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为． 综上所述：轴上存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或． 变式4-2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作于点B，交x轴于点C． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A，B (2) (3)存在，P 或 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质、求一次函数解析式； （1）根据直线与坐标轴交点坐标的求法求出点A和点B坐标即可； （2）根据所给条件先求出点C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式； （3）设点P的坐标为，利用面积关系建立方程，求出m值即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 当时，， 当时，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， , ∴ 设直线表达式为，由题意得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； （3）设点P的坐标为 ∵， ， 解得或， ∴或． 变式4-3．如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)； (2) (3)2或6 【分析】（1）由一次函数图象与性质，令或，解方程即可得到答案； （2）根据题意得到点的纵坐标，代值求解即可得到答案； （3）根据点C的横坐标求出纵坐标，得到和面积，从而得到，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，则； 当时，，，则． （2）解：当时，，则， ∴． （3）解：∵点C的横坐标为m， ∴点C的纵坐标为， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得或2． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、求直线与坐标轴的交点、平面直角坐标系中三角形面积的求法、解绝对值方程及解一元一次方程等知识，熟练掌握一次函数图象与性质是解题的关键． 类型五、新定义下的一次函数 例5．我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值0 D．有最小值 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的性质，新定义运算的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先求解当，或，设，，分别画出函数的简图，再分类讨论即可． 【详解】解：设，，如图， 当， 解得：或， 当时，， ∴， 此时没有最大值，也没有最小值， 当时，， ∴， 此时当时，有最大值，最小值； 当时，， ∴， 此时没有最大值，也没有最小值， 综上：可得A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选B 变式5-1．定义：一次函数和(其中、为常数，，)互为“友好函数”．比如和互为“友好函数” (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点也在它的“友好函数”上，求点的坐标． (3)若和它的“友好函数”与轴围成的三角形的面积是2，求值． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，三角形面积问题； （1）根据“友好函数”的定义，可找出的“友好函数”，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值； （2）联立两函数解析式组成方程组，解之即可得出点的坐标； （3）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出两函数图象与轴的交点坐标及两函数的交点坐标，结合三角形的面积公式，即可求出的值． 【详解】（1）解： 的“友好函数”是， 点在一次函数的图象上， ， 解得：． 故答案为：． （2）解：的“友好函数”是， 联立 解得： ∴ （3）的“友好函数”是． 当时，， 一次函数的图象与轴的交点坐标为； 当时，， 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 联立 解得： 和它的“友好函数”的交点坐标为， 和它的“友好函数”与y轴围成的三角形的面积是， 解得：或， 的值为或． 变式5-2．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点，已知点． (1)在中，点的等和点有__________； (2)点在直线上，若点的等和点也是点的等和点，求点的坐标； (3)已知点和线段，点C也在 x轴上且满足，线段上总存在线段上每个点的等和点．若的最小值为5，直接写出的值． 【答案】(1) (2)(4，1) (3)或或或 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）设点P（3，0）的等和点为（m，n），则3+m=n，设A（t，-t+4），则A点的等和点为（m，n），则t+m=-t+4+n，即可求A（3，1）； （3）由题意可得P点的等和点在直线y=x+3上，B点的等和点在直线y=x+b上，再由BC=1，可得C点在B的左边和右边，则线段PC上每个点的等和点是两条直线l和l1之间的区域，正确画图列等式可解答． 【详解】（1）Q1（0，3），则0+3=3+0， ∴Q1（0，3）是点P的等和点； Q2（1，4），则1+3=4+0， ∴Q2（1，4）是点P的等和点； Q3（-2，-1），则-2+3≠-1+0， ∴Q3（-2，-1）不是点P的等和点； 故答案为：Q1，Q2； （2）设点P（3，0）的等和点为（m，n）， ∴3+m=n，有m-n=-3， ∵A在直线y=-x+5上， ∴设A（t，-t+5）， 则A点的等和点为（m，n）， ∴t+m=-t+5+n，由m-n=-2t+5， ∴-3=-2t+5， 解得t=4， ∴A（4，1）； （3）∵P（3，0）， ∴P点的等和点在直线l：y=x+3上， ∵B（b，0），BC=1，且C在x轴上， ∴C（b-1，0）或（b+1，0） ∴C点的等和点在直线l1：y=x+b-1或y=x+b+1上， 设直线l1与y轴交于C'，直线l与y轴交于P'，则C'（0，b-1）或（0，b+1），P'（0，3）， ①当点C在点B的左边时，如图1，直线CC'与直线l交于N，当M与C'重合时，MN最小为5， ∵△MNP'是等腰直角三角形， ∴P'C'=5， ∴b-1=5+3， ∴b=4+5； 如图2，同理得P'M=5， ∴3+（1-b）=5， ∴b=4-5； ②当点C在点B的右边时，如图3， 同理得：P'M=5， ∴5-3=-b-1， ∴b=2-5； 如图4，同理得：P'M=5， ∴5+3=b+1， ∴b=2+5； 综上，b的值是2−5或4−5或4+5或2+5． 【点睛】本题是一次函数的综合应用，考查了一次函数的性质，新定义：等和点的理解和运用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与一次函数相结合是解题的关键． 变式5-3．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值． 【详解】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵函数与的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，设函数、的“星辰函数”为， ①∵点在“星辰函数”上， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在点的上方， ∴， ∴， ∵，则， ∴ ∴． 类型六、一次函数与全等三角形综合 例6．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解． 【详解】解：对于直线， 令，则，令，则， 解得：， ∴点A、B的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∵ ∴； ①当时，如图2和图3， 由（1）得， ∴，即P点横坐标为或， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 当P点横坐标为时，纵坐标为：， ∴， 此时点P的坐标为或； ②当时，如图4和图5， ∴，即点P、点Q纵坐标为或， 由， 解得：， 由， 解得：， 此时点P的坐标为或， 综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或共4个． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键． 变式6-1．如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为直角顶点在第二象限作等腰． (1)求点的坐标，直接出直线的表达式； (2)如图，直线交轴于点，在的延长线上取一点，连接，且，求点坐标． (3)如图，在（）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在线段上是否存在一点，使直线平分的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的表达式为，直线的表达式为 (2) (3)存在， 【分析】（）过点作轴，垂足为，由一次函数可得坐标，即得，， 再证明，可得，，进而可得，再利用待定系数法即可求出直线的表达式； （）过点作轴于点，过点作轴于点，先证明，进而证明，得到，，即得，据此即可求解； （）求出点和点坐标，再求出， 根据列出方程求出即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴，垂足为， ∵直线，令，可得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵ 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点在直线上，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴, 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：在线段上存在一点，使直线平分的面积． 如图， ∵直线解析式为，是线段上一点， ∴， ∴， 将代入直线的解析式得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的几何应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 变式6-2．如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2．在平面直角坐标系中，一次函数分别与轴和轴交于点和点，， (1)直线经过两点，求直线的解析式； (2)以为腰为直角顶点，在第一象限构造等腰直角三角形，求所在直线解析式； (3)如图3，为点右侧轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交轴于点．当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点K的位置不发生变化，其坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）先求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）过点C作轴于F，证明，求得，再利用待定系数法求解即可； （3）如图所示，过点Q作轴于H，根据一线三垂直模型证明，得到，进而证明，得到是等腰直角三角形，则，由此可证明为等腰直角三角形即可求出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点C作轴于F， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，所在直线的解析式为； （3）解：点K的位置不发生变化，其坐标为，理由如下： 如图所示，过点Q作轴于H，    ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴，即， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 变式6-3．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C为线段上动点，过O作交于D，交于E． (1)当C为时，求点E的坐标； (2)若点C关于直线的对称点在直线上，求点C的坐标； (3)如图2，过A作，垂足为Q，P是线段的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）过A作x轴垂线，交于F，由题意易得，则有，然后可得，则可求出直线的解析式为，进而问题可求解； （2）在上取一点F为C点对应点，连接，由题意易得为等腰直角三角形，且，由（1）可知，进而可得，然后问题可求解； （3）连接，然后根据题意先证得，则有，进而得出，则根据全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：过A作x轴垂线，交于F， 由直线可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴； （2）解：在上取一点F为C点对应点，连接， ∴根据轴对称的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴为等腰直角三角形，且， 由（1）可知：此时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接， ∵在中，，P为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键． 类型七、一次函数的折叠问题 例7．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及折叠的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，设点，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由折叠可知：， 令时，则，解得：，令时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则有， 在中，由勾股定理可得， 解得：； 故选B． 变式7-1．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． (1)求点G的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； (4)设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据折叠的性质求出，根据勾股定理计算求出，得到点G的坐标； （2）设，根据勾股定理求出x，求出点E的坐标，利用待定系数法求出所在直线的解析式； （3）根据平行的性质求出m，分别把点M、点A的坐标代入解析式求出n，得到答案； （4）按点P在x轴的正半轴、负半轴，及进行分类讨论，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 又 由勾股定理得，， ∴点G的坐标为， 故答案为：； （2）解：设，则， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得，， ∴点E的坐标为， 设所在直线的解析式为：， 则， 解得，， ∴所在直线的解析式为：； （3）解：∵直线平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时，， 解得，， 当直线l经过点时，， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时，． （4）解：设， 当时，如图， 由，得， ∴； 当时，如图， ，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，， ∴； 如图，， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的知识、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识与方法，掌握待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤是解题的关键，解题时需进行分类讨论，求出所有符合条件的值． 变式7-2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)， (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质，勾股定理，三角形面积公式等知识，依据勾股定理列出方程是解题的关键． （1）先求得点和点的坐标，则可得到，的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点的坐标；设，则，在中，依据勾股定理可求得的值，从而可得到点的坐标； （3）先求得的值，然后依据三角形的面积公式可求得的长，从而可得到点的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点， 令，则， ， ， 令，则， 解得， ， ， 在中，； （2）解：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ； （3）解： ， ， 点在轴上，， ， 即， 解得， 点点上方或点下方， 点的坐标为或． 变式7-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，定点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由直线与轴、轴分别交于点、点，分别求出、，利用勾股定理求出长，再由折叠性质得到，进而求出即可得到答案； （2）由折叠性质得到是线段的垂直平分线，再结合中点坐标公式得到，利用待定系数法确定函数解析式后得到，继续使用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （3）根据题意，作出图形，如图所示，设，求出，在平面直角坐标系中分别求出和，根据题中等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点， 当时，，即；当时，，解得，即， ， 将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处， ，则，即； （2）解：将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处， 是线段的垂直平分线， 连接，其中点为，如图所示： 、， ，即， 设直线，将、点代入可得，解得， 直线， 当时，，即， 设直线，将、点代入可得，解得， 直线； （3）解：存在，点的坐标为或， 理由如下： 根据题意，作出图形，如图所示： 联立，解得，即， 设， ；； ， ，即，则或，解得或， 存在，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、折叠性质、勾股定理、垂直平分线判定与性质、中点坐标公式、待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中三角形面积求法及解绝对值方程等，熟练掌握一次函数图象与性质、相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 类型八、分段一次函数 例8．我们知道：，由此我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k、b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ； ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ． (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与一次函数的图像相交于两点， ①求该一次函数的表达式． ②一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与y轴相交于点C，求的面积． ③在一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①3；②1或 (2)）①；②18；③存在，或 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，绝对值的意义，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）①根据题目中给出的函数定义用待定系数法进行求解即可；②根据题目中给出的函数定义分情况用待定系数法进行求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②利用函数与数轴的交点求出，利用三角形面积公式进行求解即可；③先求出的中垂线表达式，与函数解析式联立即可得出结果． 【详解】（1）解：①点在这个一次函数的演变函数图象上，， ， ②点在这个一次函数的演变函数图象上， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：①3；②1或； （2）解：①将两点代入一次函数， ， 得：， ， 将代入，代入得： 解得： ， ； ②， ， ∵设一次函数与y轴交于点D， ， ， ， ； ③， ∴线段的中点为， 设点， ，， ， 整理得：，即 含点P的直线函数解析式为：， 联立解得：  ， ， 联立解得：  ， ． 变式8-1．若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当时，；当时，，可以记作分段函数． (1)若时，画出与之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质．    (2)正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，当时，的取值范围是______； (3)已知点，函数的图像与线段的交点个数随的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)当时，没有交点；当时，1个交点；当时，2个交点 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握描点法画函数解析式，利用数形结合的思想解决不等式以及图像的交点问题． （1）列表，描点，连线画出函数图像，根据图像写出函数的两条性质即可； （2）利用交点求出的值，进而求出两个函数图像的另一个交点，图像法求不等式的解集即可； （3）求出函数图像经过两点时的值，画出图像，利用数形结合的思想，进行求解即可． 【详解】（1）当时，， 列表如下： 0 1 2 3 作图如下：    由图可知：性质1：当时，随的增大而增大； 性质2：当时，函数有最小值2． （2）∵正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴正比例函数的图像与函数的图像交点为，，    由图可知：时，或； （3）∵， ∴当时，， ∴函数图像一点过点， 如图，当与交于点时，，解得：， 当与交于点时，，解得：，    由图可知：当时，与没有交点， 当时，与有1个交点， 当时，与有2个交点． 变式8-2．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息： x … 0 1 2 … … 4 a 1 4 … 请按要求完成下列各小题： (1)a的值为______； (2)在图中画出该函数的图象； (3)结合函数的图象，解决下列问题： ①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项） A．函数图像关于x轴对称 B．当时，函数有最小值，最小值为 C．当时，y随x的增大而增大 ②直接写出不等式的解集为______． (4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)①BC；②或 (4)或或 【分析】（1）把代入即可求出a的值； （2）先描点再连线画出函数图像即可； （3）①根据函数图象可以看出函数图像关于y轴对称，关于x轴不对称，即可判断A错误；根据函数图象可判断当时，函数有最小值，最小值为，得出B正确；根据函数图象可判断当时，y随x的增大而增大，得出C正确； ②根据函数图象写出不等式的解集即可； （4）根据题意画出翻折后的图像，然后数形结合求出k的范围即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 即， 故答案为：1． （2）解：该函数的图象，如图所示： （3）解：①A．函数图像关于y轴对称，故A错误； B．当时，函数有最小值，最小值为，故B正确； C．当时，y随x的增大而增大，故C正确； 故答案为：BC； ②根据函数图象可知，当或时，； 故答案为：或； （4）解：如图所示： 设点，，，，， 设的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 的解析式为：， 设的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 的解析式为：， 设的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 的解析式为：， 根据图像可知，当直线经过和点时，直线与图像W只有一个交点， 把，代入得：， 解得：； ∵， ∴， 根据图像可知，当直线与平行时，直线与图像W只有一个交点，且此时直线绕点继续逆时针旋转，直到与平行之前，直线与图像W只有一个交点， ∴当或时，直线与图像W只有一个交点； 综上分析可知，当或或时直线与图像W只有一个交点． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 变式8-3．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段函数，函数就是分段函数，我们把这个分段函数图像记为图象G． (1)当时，在平面直角坐标系中，画出图象G； (2)当时，结合图像G，回答下面问题： ①当函数值时，求自变量x的值； ②若和在图象G，且，则b的取值范围是___________． (3)当时，，求m的取值范围． (4)线段端点坐标分别为，，当图象G与线段AB有一个公共点时，则m的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)①函数值时，自变量x的值为4或；② (3) (4)或 【分析】（1）把代入函数解析式，求出函数解析式，根据函数解析式画出函数图象即可； （2）①分两种情况求出自变量的值即可； ②分情况解关于b的不等式组即可； （3）分三种情况，，三种情况进行讨论，求出符合条件的m的范围即可； （4）分，，，四种情况进行讨论，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得：， ∴当时，函数图像经过与，当时，函数图像经过与，画出函数图象，如图所示： （2）解：①当时，，解得， 当时，， 综上可知，函数值时，自变量x的值为4或； ②∵， 又∵和在图象G，且， 当、在函数上时， ∴， 解得：， 当在函数上、在函数上时， ∴， 解得：， 故答案为：． （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵恒成立，的解集为：， ∴； 当时，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴没有符合条件的m值存在； 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴，， ∵恒成立，的解集为， ∴； 综上分析可知，． （4）解：当时，如图所示： 线段与一定没有交点，要想使图象G与线段AB有一个公共点，则A点一定在的上方， ∴， 解得： ∴， 当时，如图所示： 此时点A一定在上方，要想使图象G与线段AB有一个公共点，则点必须在下方， ∴， 解得：， ∴； 当时，A、B在x轴上，且关于原点对称，由解析（1）中的图像可知，此时线段与图像G交于点O，符合题意； 当时，如图所示： ∵点A的纵坐标为，的最高点的纵坐标为， ∴线段与一定没有交点， ∴要想使图象G与线段AB有一个公共点，则点必须在下方， ∴， 解得：， ∴， 综上分析可知，当图象G与线段AB有一个公共点时，则m的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数值或自变量的值，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 类型九、两个一次函数图像交点问题 例9．如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)如图2，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G．若点E的坐标是，点M为y轴上的中点，直线l上是否存在点P，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． (3)若（2）中的点是轴上的一个动点，点的横坐标为，并且点在轴上运动，当取何值时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等？请画出草图，并直接写出相应的的值． 【答案】(1) (2)存在，最大值 (3)图见解析，8或6或2 【分析】（1）联立与即可求得点的坐标； （2）由三角形的三边关系可知当点、、在一条直线上时，的值最大，据此求解即可； （3）根据全等三角形对应顶点的位置分情况进行讨论，画出图形，即可得到的值． 【详解】（1）解：联立与， 得，解得， 点的坐标为． （2）解：如图， 由三角形的三边关系可知，， 当点、、在一条直线上时，的值最大为的长， ，令，则， 点的坐标， 点为轴上的中点， 点的坐标为， ， ， 直线上存在点，使的值最大，这个最大值为． （3）解：，令，则， 点的坐标， ，， ，， 分三种情况讨论： ①当，如图： ，， 轴， ， ， ， ； ②当，如图： ， ，即经过点， 点，重合， ； ③当，如图， ，， ， 轴， 点，重合， ， ； 综上所述，当取8或6或2时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，三角形的三边关系，勾股定理求最短路径，全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是掌握一次函数的性质以及全等三角形的性质． 变式9-1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)点D的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标及，可求得点C的坐标；直线与正比例函数的图象平行，设直线解析式为，把点C坐标代入可求得直线解析式；把点A代入中，可求得其解析式；再解二元一次方程组即可求得点D的坐标； （2）由点D的坐标可求得，由已知则得；点P在点D的下方与上方两种情况计算即可； （3）当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G，设；易证明，则，，而，即可求得m、n的值，求得点F的坐标，进而求得的解析式，最后解方程组求出点P的坐标；当点P在点D下方时，同理可求得． 【详解】（1）解：点及， ， ， 故点C的坐标为； 直线与正比例函数的图象平行， 故设直线解析式为， 把点C坐标代入可求得直线解析式，得：， 解得：， 即直线解析式为； 过点A， 把点A代入中，得， 即， ； 解二元一次方程组，得， 即点D的坐标为； （2）解：点D的坐标为， ， ， ； 当点P在点D的下方时，如图； ， 点在线段上； ； ， ； 则，即， 此时； 当点P在点D的上方时， ； ， ； 则，即， 此时； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图，当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G； 设，则； ，， ，； ， ， ， ， ，， 而， ， 即，解得：， 点F的坐标为； 设的解析式为， 把C、F的坐标代入得，解得：， 即的解析式为； 解方程组得， 点P的坐标为； 当点P在点D下方时，同理可求得点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，两直线与坐标轴围成的图形面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． 变式9-2．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，直线的解析式为，与轴交于点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，若点为线段上一点，，求出点的坐标； (3)向下平移直线得直线，如图，点、在直线上，直线、交于点，求点的横坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质等知识点； （1）的解析式为，分别令，求得，点坐标；将点坐标代入求得解析式，令即可得到点坐标； （2）过作交延长线于点，过作轴于点，如图，证得，得到，设直线的解析式为 ，将，代入求得直线的解析式为 ，联立直线的解析式为 ，得到点的坐标； （3）设直线的解析式为：，代入，坐标解得；设直线的解析式为，代入，坐标得；设直线的解析式为 ，代入，坐标，得到直线的解析式为 ；联立得：，解得：，进而得到． 【详解】（1）解：直线的解析式为，与轴交于点， 当时，，当时，， ，点的坐标为，； 将点坐标代入直线得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为； （2）过作交延长线于点，过作轴于点，如图， 则， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为 ， 将，代入得： ， 解得 ， 直线的解析式为 ， 直线的解析式为 ， 联立得：， 解得， 点的坐标； （3）设直线的解析式为：， 将点，代入得： ， 解得， ，， 设直线的解析式为，则： ， 解得， 直线的解析式为 ； ，， 设直线的解析式为，则： ， 解得， 直线的解析式为 ； 直线、交于点， 联立得：， 解得：， ， ， ， 即点的横坐标为． 变式9-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与相交于D．点P为线段上一点（不与点D，E重合），作直线． (1)求直线的表达式及点D的坐标； (2)若直线将的面积分为两部分，求点P的坐标； (3)点P是否存在某个位置，使得点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或． (3)存在．点P的坐标是或． 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，联立与的解析式，即可求出点D 坐标； （2）连接BC，过点D作轴于点F，证得，则点P在线段上或在线段上，分两种情况求出点P的坐标即可； （3）根据数轴得到三种情况：（Ⅰ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴负半轴上处时，（Ⅱ）当点D关于直线的对称点恰好落在y轴上处时，（Ⅲ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴正半轴上处时，分别求出点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线的表达式为，代入点，， 得，解得， 直线l的表达式为． 令，解得， ， D的坐标为． （2）如图，连接，过点D作轴于点F． 令 解得, ∴ ∴，， ． ，，， 点B是线段的中点， ． 若直线将的面积分为两部分， 则点P在线段上或在线段上． （Ⅰ）当点P在线段上时，设点P的横坐标为，， ， 若直线将的面积分为两部分，则有 ， ， ， ， 代入直线得点P的坐标为． （Ⅱ）当点P在线段上时，如图，设直线与x轴交于点Q， 此时有， ，即， ， ， ． 设直线的解析式为 ∴ 解得 直线的表达式为， 令，解得， 点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． （3）存在．点P的坐标是或． 点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上时，有以下三种情况， （Ⅰ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴负半轴上处时，如图， 由轴对称可知： ，， 由（2）可知，点B是线段的中点， ， ， ． 又， 而， ， 轴． ， ． （Ⅱ）当点D关于直线的对称点恰好落在y轴上处时，如图过点P作于点， 作轴于点H， 过点D作轴于点M，由轴对称可知：平分， ． ， ， 即， 解得， ； （Ⅲ）当点D关于直线的对称点恰好落在x轴正半轴上处时，如图， 点B是线段的中点， 由轴对称可知：此时点与点A重合， 不符合题意，应舍去． 综上，或． 【点睛】此题考查了一次函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，一次函数与图形面积问题，正确理解一次函数的交点问题是解题的关键． 类型十、一次函数的应用——行程问题 例10．小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲刚开始跑步前行，中途改为步行，到达图书馆恰好用了．小东骑自行车以的速度直接回家，两人离家的路程（单位：）与各自离开出发地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． (1)家与图书馆之间的路程为多少米？小玲步行的速度为多少？ (2)求小东离家的路程关于时间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)求两人相遇时小东离家的距离． 【答案】(1)， (2)（） (3)两人相遇时小东离家的距离为 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息. （1）认真分析图象得到家与图书馆之间路程与时间数据，再根据路程除时间等于速度即可求解； （2）采用方程思想，列出小东离家路程与时间之间的函数关系式，标明自变量的取值范围即可； （3）两人相遇实际上是函数图象求交点，先算出小玲跑步的速度，令，可得相遇时间，再将时间代入函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：结合题意和图象可知，家与图书馆之间路程为， 小玲步行的速度为． （2）∵小东从离家处的图书馆以的速度返回家中， ∴他离家的路程y关于时间x的函数表达式为， 自变量的取值范围为． （3）由图象可知，两人相遇是在小玲跑步前行时， 小玲跑步的速度为， ， 解得， ∴两人相遇时间为各自出发后， 此时小东离家的距离为． 变式10-1．图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 【答案】(1) (2)①；②追上时兄妹俩离家米远 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据“速度=路程÷时间”计算即可； （2）①根据时间=路程+速度可知妹妹到书吧所用的时间，再根据题意确定a得值即可； ②分别求出哥哥与妹妹返程时的函数解析式，再联立方程组即可得出结论． 【详解】（1）由可知哥哥的速度为：. （2）①∵妹妹骑车到书吧前的速度为200米/分， ∴妹妹所用时间t为：. ∵妹妹比哥哥迟2分钟到书吧， ∴； ②由（1）可知：哥哥的速度为100， ∴设所在直线为， 将代入得：， 解得. ∴所在直线为：. 当时，. ∵返回时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， ∴妹妹的速度是160米/分. ∴设妹妹返回时得解析式为， ∵妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家时， ∴ 将代入得， 解得， ∴. 令，则有， 解得， ∴妹妹能追上哥哥， 此时哥哥所走得路程为：（米）. 兄妹俩离家还有（米）， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家米远． 变式10-2．一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 【答案】(1)； (2)3小时 (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）根据两车相遇是相等，列方程解答即可； （3）根据（2）中相遇时间，分，两种情况计算即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，经过点，经过点， ， ，， ， 故答案为：，． （2）解：当时，两车相遇 解得： 答：两车同时出发后3小时相遇． （3）解：根据题意，当时， 解得： 当时， 解得： 即当或4时，两车相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，实际问题与一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并从图像获取准确信息是解题的关键． 变式10-3．已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； (2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式； (3)当甲、乙两车相距120千米时，求甲车行驶的时间x． 【答案】(1)60；6； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意、找出所求问题需要的条件、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意得出甲车的速度为千米/小时，再由两车同时到达各自的目的地即可求解； （2）设y与x的函数关系式为，点B的横坐标为：，结合函数图象，分两部分计算求解即可； （3）利用（2）中结果，代入求解即可． 【详解】（1）解：甲车的速度为千米/小时， 根据图象得M、N两地之间的距离为360千米，点B表示两车相遇， ∴， 故答案为：60；6； （2）设y与x的函数关系式为， 点B的横坐标为：， 当时， 把代入得：， 解得：， ∴； 当时，把(6,360),(3.6,0)代入解析式得：， 解得：， ∴； ∴； （3）当时， 令，得，解得：， 当时， 令，得，解得：， ∴或． 类型十一、一次函数的应用——方案分配问题 例11．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 变式11-1．近两年国际局势出现了一些不安因素，为保障国家安全，需要将三地的军用物资全部运往两地，已知三地的军用物资分别有100吨、100吨、80吨，且运往地的数量比运往地的数量的2倍少20吨． (1)这批军用物资运往两地的数量各是多少？ (2)若由地运往地的物资为60吨，地运往地的物资为吨，地运往地的物资数量少于地运往地的物资数量的2倍，且地运往地的物资不超过25吨，则三地的物资运往两地的方案有哪几种？ (3)如果将三地的军用物资运往两地的费用如下表： 地 地 地 运往地的费用（元/吨） 220 200 200 运往地的费用（元/吨） 250 220 210 那么在（2）的条件下，运送这批物资的总费用是多少？ 【答案】(1)、 (2)5种 (3)或或或或 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，正确找出题中的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设出运往地的数量为未知数，从而表示出运往地的数量，进一步列出方程并求解即可； （2）根据题意得到一元一次不等式组，再找出符合条件的整数值即可； （3）将总费用表示出来，分别将可取的值代入即可求解． 【详解】（1）解：设运往地的数量为吨，则运往地的数量为吨， 依题意有：， 解得：， 答：运往地的数量为吨，运往地的数量为吨； （2）由题意知，地运往地的数量为x吨，地运往地、地的数量分别为吨、吨，地运往地的数量为吨，则： ， 解得； 为整数，故有以下5种方案： 地 地 地 第一种 41 79 60 59 21 20 第二种 42 78 60 58 22 20 第三种 43 77 60 57 23 20 第四种 44 76 60 56 24 20 第五种 45 75 60 55 25 20 （3）总费用， 即， 当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）． 变式11-2．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元 (2)购进甲型机器人4台，乙型机器人2台时，分拣量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台，根据“该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设6台机器人每小时的分拣量为w，利用总分拣量=每台机器人的分拣量×购买该型机器人的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元． （2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 设6台机器人每小时的分拣量为w，则． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每小时的分拣量最大． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． 变式11-3．哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表： 车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆） 大货车 620 700 小货车 400 550 (1)两种货车各有多少辆？ (2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？ 【答案】(1)大货车用8辆，小货车用12辆． (2)共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地． 【分析】（1）根据大、小两种货车共20辆，以及两种车所运的货物的和是248吨，据此即可列方程或方程组即可求解； （2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式，再根据运往绥化地的物资不少于120吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据函数关系式，即可确定费用最少的运输方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（20-x）辆，根据题意得 16x+10（20-x）=248， 解得x=8， 20-x=20-8=12． 答：大货车用8辆，小货车用12辆． （2）设运往绥化地的大货车是a,那么运往鹤岗地的大货车就应该是（8-a），运往绥化地的小货车是（9-a），运往鹤岗地的小货车是（3+a）， w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）] =70a+10850， 则w=70a+10850（0≤a≤8且为整数）； 根据题意得：16a+10（9-a）≥120， 解得a≥5， 又∵0≤a≤8， ∴5≤a≤8  且为整数． ∴a=5，6，7，8，共有4种方案， ∵w=70a+10850， k=70＞0，w随a的增大而增大， ∴当a=5时，W最小． 答：共有4种方案，使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、4辆小货车前往绥化地；3辆大货车、8辆小货车前往鹤岗地． 【点睛】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 类型十二、一次函数的应用——最大利润问题 例12．某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 变式12-1．近年来，云南乘着高质量共建“带一路”的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展．某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成、两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作、两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口、两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表： 每吨需要茶叶原材料 （单位：吨） 到甲地的平均运费 （单位：千元/吨） 到乙地的平均运费 （单位：千元/吨） 款 2 8 5 款 3 6 4 现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口款普洱茶吨，出口、两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为千元． 根据上述信息，解答下列问题： (1)该厂出口的、两款普洱茶分别是多少吨？ (2)若向乙地出口的款普洱茶的重量不超过款普泪茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费最小，最小值是多少？ 【答案】(1)该厂出口款普洱茶120吨，款普洱茶80吨 (2)向甲地出口款普洱茶70吨时，总运费最小，最小值为1190千元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用； （1）设该厂出口、两款普洱茶分别是，吨，根据题意列出方程组即可求出答案； （2）先根据题意列不等式求出的范围，然后根据与的函数关系式即可求出的最小值． 【详解】（1）设该厂出口、两款普洱茶分别是，吨， 由题意得，解得， 该厂出口款普洱茶120吨，款普洱茶80吨； （2）由题意得向甲地出口款普洱茶吨，则向乙地出口款普洱茶吨，向甲地出口款普洱茶吨，则向乙地出口款普洱茶吨， ． 由题意得：，，， ， ， 随的增大而增大， 当时，总运费有最小值， 且（千元）． 答：向甲地出口款普洱茶70吨时，总运费最小，最小值为1190千元． 变式12-2．某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． (1)若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？ (2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？ 【答案】(1)每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元 (2)购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元 【分析】（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元，根据商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个，根据乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量，列出关于m的一元一次不等式组，解之求出m的取值范围，再设商店共获利w元，利用总利润每个的利润销售数量（购进数量），得出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题， 本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】（1）解：设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴ 故答案为：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元． （2）解：设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球个， 根据题意得：， 解得：， 设商店共获利w元，则，即 ∵， ∴w随m的增大而增大，且， ∴当时，w取得最大值，最大值为500． 故答案为：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大，最大获利为500元． 变式12-3．元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 (1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 【答案】(1) (2)商场能获得的最大利润为1820元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． （1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可； （2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购盆B种盆栽， 根据题意，， 由题意得：， 解得：， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； （2）解：设总利润为W，根据题意得： ， ∵， ∴W随x的增大而增大，又， ∴当时，W最大，最大值为1820， 答：商场能获得的最大利润为1820元； （3）解：设总利润为W元，根据题意得： ， 当即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得：， 综上分析可知，满足条件的m值为2． 1．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特点，找到规律是解题的关键. 根据一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质依次求出，，，找到规律，可得点的坐标是，即可求解. 【详解】解：对于直线，当时，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 当时，， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴，即，即， 以此类推，可得点的坐标是； 点的坐标是； 故选：A. 2．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 3．1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据中线的定义和待定系数法求解析式，求出三条中线的交点点的坐标，再根据线段垂直平分线的性质以及两点之间的距离公式求出三角形三边的垂直平分线的交点，再运用待定系数法即可求解； 【详解】解：设边上的中线为交于点， 则点的坐标分别为、， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为①， 由点的坐标，同理可得直线的表达式为②， 联立①②并解得故点的坐标为； 设三角形三边的垂直平分线的交点，为，则， ∴， 解得．可得． 设该三角形的欧拉线方程为，将，代入可得： ，解得：， 则该三角形的欧拉线方程为， 故选：C． 【点睛】该题主要考查了三角形中线的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间的距离公式，中点坐标公式，待定系数法求一次函数解析式以及函数交点求解等知识点，解题的关键是求出点和点W． 4．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象及性质．取连，取点P，轴轴，垂直分别为 ，可得均为等腰直角三角形，从而得为等腰直角三角形进而得，继而得到线上的点为“成双点”，线上的点为“成双点”，可得到当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”，再分别求出当一次函数的图象经过点E时，当一次函数的图象经过点G时，k的值，即可求解． 【详解】解：取连，取点P，轴轴，垂直分别为 ， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点是“成双点”，即线上的点为“成双点”，同理线上的点为“成双点”， ∴当一次函数的图象与线或线有交点时，一次函数的图象上存在“成双点”， ∵一次函数的图象l经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为， 当一次函数的图象经过点E时， ∴，解得：， 当一次函数的图象经过点G时， ∴，解得：， ∴k的取值范围：， 故选：D． 5．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与轴对称性质的综合应用，能够综合题中条件作出辅助线并巧妙的借助勾股定理建立方程是本题的关键． 先灵活运用直线方程求出与坐标轴的交点坐标，明确各点坐标．再利用翻折的性质得到，，从而建立起等量关系．最后巧妙借助勾股定理，求出长度表达式，利用，最终通过建立方程求解得出点的坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为点． 令，则， 解得：． ． 令，则． ． ，． 由勾股定理可得： ． 沿着翻折得． ． 设 ． 在中，，即． 在中，，即． ， 解得：． ． ． 设，则． 由勾股定理得：． 即． ， 解得：． ． 故答案为：． 6．大小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案． 方案一：设备的用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆． 方案二：设备的用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆． 方案三：设备的用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆． （1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？ （2）如果大货车运费比小货车高m%（m>0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由． 【答案】（1）大货车每辆装15台，小货车每辆装12台；（2）当0<m<25，方案三运费最低；当m=25时，三种方案运费一样；当m>25时，方案二运费最低，理由见解析． 【分析】（1）设方案一大货车有x辆，每辆装有机器台，小货车有（27-x）辆，每辆装有机器台，根据方案二列出分式方程即可求出结论； （2）设w1、w2、w3分别表示方案一、方案二、方案三的运费，小货车每台每次运费a（a为常数）元，分别求出w1、w2、w3与m的函数关系式，然后画出对应的图象，根据图象即可得出结论． 【详解】解：（1）设方案一大货车有x辆，每辆装有机器台，小货车有（27-x）辆，每辆装有机器台， 依题意得方程=28， 解得x=12， 经检验：x=12是原方程的解 小货车为27-12=15（辆）， 大货车每辆装180÷12=15台， 小货车每辆装180÷15=12台， 答：大货车每辆装15台，小货车每辆装12台． （2）方案二大货车有360×÷15=8台； 方案三大货车有360×÷15=16台； 设w1、w2、w3分别表示方案一、方案二、方案三的运费，小货车每台每次运费a（a为常数）元， 方案一：w1=（27+12m%）a=12am%＋27a 方案二：w2=（28+8m%）a=8am%＋28a 方案三：w3=（26+16m%）a=16am%＋26a 当w1= w2时， 解得：m=25； 当w1= w3时， 解得：m=25； 画出w与m的函数图象，如下所示 由图象可知：当0<m<25， ∴w3<w1<w2，方案三运费最低． 当m=25时，w1=w2=w3，三种方案运费一样， 当m>25时，w2<w1<w3，方案二运费最低． 答：当0<m<25，方案三运费最低；当m=25时，三种方案运费一样；当m>25时，方案二运费最低． 【点睛】此题考查的是分式方程的应用和一次函数的实际应用，掌握实际问题中的等量关系和利用函数图象解决方案类问题是解决此题的关键． 7．某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， (1)求出与之间的函数关系式； (2)要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？ (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调()元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润． 【答案】(1) (2)购买方案共有3种 (3)元 【分析】（1）设购进电冰箱x台，根据“总利润=冰箱利润+空调利润”列出函数解析式即可解答； （2）由“购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元”列出关于x的不等式组，求得x的取值范围即可得； （3）由（2）中相等关系列出新的函数解析式，根据一次函数性质分情况讨论即可得． 【详解】（1）解：设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， 根据题意有：， 整理，得：． ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍， ∴， 解得：． ∵总利润不低于16400元， ∴，即， 解得：， ∴． ∵x为整数， ∴x的取值可以为34，35，36， ∴购买方案共有3种． （3）解：根据题意有：， 整理，得：． 当时，， ∴此时y随x的增大而减小， ∴当时，y最大，； 当时，， ∴此时y随x的增大而增大， ∴当时，y最大，； 当时，． ∴最大利润为元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找出数量关系是解题的关键． 8．已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为y（），行驶时间为x（），则y与x的函数图象如图所示． (1)求乙到达A地所用的时间； (2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 【答案】(1) (2)11时或13时 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确读取信息，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可． （2）根据两人相遇前，相遇后两种情形，解方程即可． 【详解】（1）解：设，根据题意， 得， 解得， 故； 当时，， 故图象交点的坐标为， 设，根据题意， 得， 解得， ∴， ∴， 解得， 故乙到达A地所用的时间． （2）解：设经过，甲、乙相距90千米， 根据题意，得则， 解得（小时），此时为11时． 根据题意，得则， 解得（小时），此时为13时． 9．如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意可得，根据即可求的坐标； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，过点作交直线于点，过作轴垂线，分别过，作，，证明，即可得点坐标，用待定系数法求出直线的解析式为；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，证明，可求得H的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 将代入得： ， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ， 解得：， ∵， ∴点的坐标为或； （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，   ， ， 过作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， ， ∵，， ，， 即点坐标为， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， ②当点在射线上时， 过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，   ， ， ， ， ， ， ， ，， ∵，， ，， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ， ， ， 综上：直线的解析式为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 10．治疗某种疾病需要同时使用甲乙两种药品，甲药品采用注射的方式给药，乙药品采用口服方式给药．根据临床实验研究数据表明，注射甲药品后，血液中甲药品的浓度（单位：mg/L）随注射时间（单位：h）的变化规律如下表所示，服用乙药品后，血液中乙药品的浓度（单位：mg/L）随服药时间（单位：h）的变化图象如图所示．（图象由两条有公共端点的线段组成） 甲药品的浓度随注射时间的变化情况 注射时间（单位：h） 0 2 4 6 7 甲药品浓度（单位：mg/L） 80 60 40 20 10 (1)当服药时间超过1h时，求血液中乙药品的浓度随服药时间变化的函数关系式； (2)科研人员发现当血液中同时存在两种药品，且乙药品的浓度比甲药品浓度至少高20mg/L时，能够产生较好的疗效，由于药物本身存在副作用，因此在24小时内这两种药品都只能使用一次．请你估计产生较好疗效的时长是否有可能超过6小时，并说明理由． 【答案】(1) (2)不可能超过6小时，理由见解析 【分析】本题是一次函数与一元一次不等式的综合应用，理解题意，求出函数关系式是解题的关键． （1）由图象知，两个变量的关系是一次函数关系，在图象上找两点，用待定系数法即可求解； （2）设在服药乙药品后注射甲药品，由表可知血液中甲药品的浓度是关于注射时间的一次函数，设可求得其解析式；分两种情况：①当在，且，乙药品的浓度始终比甲药品浓度高至少时，求得产生较好疗效的时长； ②当在上，存在乙药品的浓度恰好比甲药品浓度高的时刻时，求得产生较好疗效的时长；综合两种情况，产生较好疗效的时长与6小时比较，则可判断． 【详解】（1）解： 设服药的时间为x，血液中乙药品的浓度为y，由函数图象可知该变化关系是一次函数，故设血液中乙药品浓度服药时间变化的函数关系式为， 将代入中，得：， 解得； 所以服用乙药品后血液中的乙药品浓度随服药时间变化函数关系式为：； （2）解：在（1）的条件下，设在服药乙药品后注射甲药品，由表可知血液中甲药品的浓度是关于注射时间的一次函数，设， 当时，，当时，， 则，解得， 所以． ①当在，且，乙药品的浓度始终比甲药品浓度高至少时， 则注射甲药品后，立即产生较好疗效，产生较好疗效的时刻为． 因为在上，， 所以，即，在上恒成立， 解得， 因， 所以，解得 ． 当时，令，即， 解得，即结束有较好疗效的时刻是． 所以当，， 所以此时血液中同时存在两种药品， 所以产生较好疗效的时长， 因为t随a的增大而减小， 所以当时，t取得最大值． ②当在上，存在乙药品的浓度恰好比甲药品浓度高的时刻时， 令，即， 解得， 即起较好疗效的时刻是． 因为， 所以． 当时，由①知，，即结束有较好疗效的时刻是． 所以产生较好疗效的时长． 因为血液中需要同时存在两种药品， 所以当，，则， 解得， 所以． 因为， 所以t随a的增大而减小， 所以当时，t有最大值． 所以在上，． 综合①②， 因为，， 所以产生较好疗效的时长不可能超过6小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数压轴题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 6 类型一、一次函数的规律探究问题 6 类型二、一次函数的平移 7 类型三、一次函数上的动点问题 8 类型四、一次函数围成图形的面积 9 类型五、新定义下的一次函数 11 类型六、一次函数与全等三角形综合 12 类型七、一次函数的折叠问题 13 类型八、分段一次函数 15 类型九、两个一次函数图像交点问题 17 类型十、一次函数的应用——行程问题 19 类型十一、一次函数的应用——方案分配问题 21 类型十二、一次函数的应用——最大利润问题 22 压轴能力测评（10题） 23 1．函数的基本概念 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． （3）函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． （4）函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． （5）函数值：函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 2．函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 3．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 4．正比例函数的定义 （1）正比例函数的定义： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． （2）正比例函数图象的性质 正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx． 当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小． （3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象． 5．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 6．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 7．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 8．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 9．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 10．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 11．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 12．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 13．一次函数与一元一次方程/一元一次不等式 （1）一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． （2）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （3）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 14．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 15．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 16．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 17．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 17．一次函数综合题 （1）一次函数与几何图形的面积问题 首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积． （2）一次函数的优化问题 通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值． （3）用函数图象解决实际问题 从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题． 类型一、一次函数的规律探究问题 例1．如图，在平面直角坐标系中，点都在直线上，点都在轴上，都是等腰直角三角形，其中都是直角．如果点的坐标为，那么点的纵坐标是（   ） A．2025 B． C． D． 变式1-1．如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 ． 变式1-3．已知一次函数与的图象如图所示，点在直线上，过点作平行于x轴交直线与点，过点作平行于y轴交直线于点，过点作平行于x轴交直线与点，，以此类推，则线段的长为 ． 类型二、一次函数的平移 例2．在平面直角坐标系中，已知点C为直线上在第一象限内的一点，若点关于原点对称． (1)求的值； (2)将直线沿射线方向平移个单位，求平移后的直线解析式． 变式2-1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求的值； (2)已知点，是该一次函数图象上一点，当的面积为6时，求点的坐标． 变式2-2．已知关于x的一次函数． (1)若该函数图象向上平移2个单位后过点，求m的值； (2)若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围． 变式2-3．已知一次函数． (1)若函数图象经过第一、二、三象限，求k的取值范围； (2)若函数图象平行于直线，求这个函数的表达式． 类型三、一次函数上的动点问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的动点，则的最小值是 ． 变式3-1．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点分别为线段上的两个动点，，则周长的最小值为 ． 变式3-2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交、两点，与直线相交于点，若直线与轴相交于点．动点从点开始，以每秒1个单位的速度向轴负方向运动，设点的运动时间为秒． (1)求和的值； (2)在点的运动过程中，△的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在的值，使△为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 变式3-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向点运动，当Q点到达点B时，点P也停止运动．连接线段，设点P运动的时间为t秒． (1)经过时，写出此时点P的坐标 ，点Q的坐标 ． (2)当线段时，求此时点P运动的时间t． (3)点M为线段中点，在点P、Q运动过程中，以点P、Q、M三点组成的三角形为等腰三角形时，求所有满足要求的t的值． 类型四、一次函数围成图形的面积 例4．如图1，已知直线与坐标轴交于、两点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点坐标为． (1)求出值． (2)如图2，连接，求出的面积． (3)在（2）的前提下，平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (4)如图3，已知点，点在轴的负半轴上运动，连接，与直线交于点，与直线交于点，当与面积相等时，直接写出点的坐标． 变式4-1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式； (2)若直线交轴负半轴于点，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使以三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-2．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作于点B，交x轴于点C． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式4-3．如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 类型五、新定义下的一次函数 例5．我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值0 D．有最小值 变式5-1．定义：一次函数和(其中、为常数，，)互为“友好函数”．比如和互为“友好函数” (1)已知点在的“友好函数”上，则______． (2)上的点也在它的“友好函数”上，求点的坐标． (3)若和它的“友好函数”与轴围成的三角形的面积是2，求值． 变式5-2．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的等和点，已知点． (1)在中，点的等和点有__________； (2)点在直线上，若点的等和点也是点的等和点，求点的坐标； (3)已知点和线段，点C也在 x轴上且满足，线段上总存在线段上每个点的等和点．若的最小值为5，直接写出的值． 变式5-3．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 类型六、一次函数与全等三角形综合 例6．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（　　）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等． A．2 B．4 C．5 D．6 变式6-1．如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，以为直角顶点在第二象限作等腰． (1)求点的坐标，直接出直线的表达式； (2)如图，直线交轴于点，在的延长线上取一点，连接，且，求点坐标． (3)如图，在（）的条件下，直线交轴于点，是线段上一点，在线段上是否存在一点，使直线平分的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-2．如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2．在平面直角坐标系中，一次函数分别与轴和轴交于点和点，， (1)直线经过两点，求直线的解析式； (2)以为腰为直角顶点，在第一象限构造等腰直角三角形，求所在直线解析式； (3)如图3，为点右侧轴上的一动点，以为直角顶点、为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接并延长交轴于点．当点运动时，点的位置是否发生变化？如果不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由． 变式6-3．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C为线段上动点，过O作交于D，交于E． (1)当C为时，求点E的坐标； (2)若点C关于直线的对称点在直线上，求点C的坐标； (3)如图2，过A作，垂足为Q，P是线段的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 类型七、一次函数的折叠问题 例7．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式7-1．如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点与坐标原点重合，点在轴上，点在轴上，，点在边上，点的坐标为，过点且平行于轴的直线与交于点．现将纸片折叠，使顶点落在上的点处，折痕为． (1)求点G的坐标； (2)求折痕所在直线的解析式； (3)若直线平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出的取值范围； (4)设点为轴上一点，是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴y轴分别交于点A，B，点D在y轴的负半轴上．若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，定点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型八、分段一次函数 例8．我们知道：，由此我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k、b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ； ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，则 ． (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与一次函数的图像相交于两点， ①求该一次函数的表达式． ②一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象与y轴相交于点C，求的面积． ③在一次函数（，k、b为常数）的演变函数图象是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式8-1．若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当时，；当时，，可以记作分段函数． (1)若时，画出与之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质．    (2)正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，当时，的取值范围是______； (3)已知点，函数的图像与线段的交点个数随的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的的取值范围． 变式8-2．函数图象是研究函数的重要工具，类比一次函数的学习，对函数的图象与性质进行探究．下表是探究过程中的部分信息： x … 0 1 2 … … 4 a 1 4 … 请按要求完成下列各小题： (1)a的值为______； (2)在图中画出该函数的图象； (3)结合函数的图象，解决下列问题： ①下列说法正确的是：______．（填所有正确选项） A．函数图像关于x轴对称 B．当时，函数有最小值，最小值为 C．当时，y随x的增大而增大 ②直接写出不等式的解集为______． (4)将该函数图像在直线上方的部分保持不变，下方的部分图像沿直线进行翻折，得到新函数图像，若经过点的一次函数图像与新函数图像W只有1个交点时，请直接写出k满足的条件______． 变式8-3．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段函数，函数就是分段函数，我们把这个分段函数图像记为图象G． (1)当时，在平面直角坐标系中，画出图象G； (2)当时，结合图像G，回答下面问题： ①当函数值时，求自变量x的值； ②若和在图象G，且，则b的取值范围是___________． (3)当时，，求m的取值范围． (4)线段端点坐标分别为，，当图象G与线段AB有一个公共点时，则m的取值范围是___________． 类型九、两个一次函数图像交点问题 例9．如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点C． (1)求点C的坐标． (2)如图2，过点E作直线轴于点E，交直线于点F，交直线于点G．若点E的坐标是，点M为y轴上的中点，直线l上是否存在点P，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． (3)若（2）中的点是轴上的一个动点，点的横坐标为，并且点在轴上运动，当取何值时，直线上存在点，使得以，，为顶点的三角形与全等？请画出草图，并直接写出相应的的值． 变式9-1．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 变式9-2．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，直线的解析式为，与轴交于点． (1)直接写出点、、的坐标； (2)如图1，若点为线段上一点，，求出点的坐标； (3)向下平移直线得直线，如图，点、在直线上，直线、交于点，求点的横坐标． 变式9-3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点E，且与相交于D．点P为线段上一点（不与点D，E重合），作直线． (1)求直线的表达式及点D的坐标； (2)若直线将的面积分为两部分，求点P的坐标； (3)点P是否存在某个位置，使得点D关于直线的对称点恰好落在直线上方的坐标轴上．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型十、一次函数的应用——行程问题 例10．小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲刚开始跑步前行，中途改为步行，到达图书馆恰好用了．小东骑自行车以的速度直接回家，两人离家的路程（单位：）与各自离开出发地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． (1)家与图书馆之间的路程为多少米？小玲步行的速度为多少？ (2)求小东离家的路程关于时间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)求两人相遇时小东离家的距离． 变式10-1．图1为小明和妹妹小红每天的出行路线，某天兄妹俩从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥小明步行先出发，途中速度保持不变：妹妹骑车从学校出发，到书吧前的速度为200米分，两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的时间（分）的函数图像在图2中分别表示． (1)求小明步行的速度． (2)已知妹妹小红比哥哥小明迟2分钟到书吧． ①求图中的值； ②若妹妹仅在书吧停留了11分钟后就准备回家，且速度是哥哥的1.6倍，求追上时兄妹俩离家还有多远． 变式10-2．一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 变式10-3．已知M、N两地之间有一条公路．甲车从M地出发匀速开往N地．甲车出发两小时后，乙车从N地出发，以每小时90千米的速度匀速开往M地，两车同时到达各自的目的地．两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)甲车的速度为______千米/小时，a的值为______； (2)求乙车出发后，y与x之间的函数关系式； (3)当甲、乙两车相距120千米时，求甲车行驶的时间x． 类型十一、一次函数的应用——方案分配问题 例11．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 变式11-1．近两年国际局势出现了一些不安因素，为保障国家安全，需要将三地的军用物资全部运往两地，已知三地的军用物资分别有100吨、100吨、80吨，且运往地的数量比运往地的数量的2倍少20吨． (1)这批军用物资运往两地的数量各是多少？ (2)若由地运往地的物资为60吨，地运往地的物资为吨，地运往地的物资数量少于地运往地的物资数量的2倍，且地运往地的物资不超过25吨，则三地的物资运往两地的方案有哪几种？ (3)如果将三地的军用物资运往两地的费用如下表： 地 地 地 运往地的费用（元/吨） 220 200 200 运往地的费用（元/吨） 250 220 210 那么在（2）的条件下，运送这批物资的总费用是多少？ 变式11-2．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？ 变式11-3．哈尔滨至名山风景区的高铁工程已经进入施工阶段，现要把248吨物资从伊春运往绥化和鹤岗两地，用大、小两种货车共20辆恰好能一次性运完这批货物，已知大、小两种货车的载重量分别是每辆16吨和10吨，运往绥化和鹤岗的运费如表： 车型 绥化（元/辆） 鹤岗（元/辆） 大货车 620 700 小货车 400 550 (1)两种货车各有多少辆？ (2)若安排9量货车前往绥化，其余货车前往鹤岗，设前往绥化的大货车为a辆，且运往绥化的物资不少于120吨，那么一共有多少种运送方案？其中那种方案运费最省钱？ 类型十二、一次函数的应用——最大利润问题 例12．某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 变式12-1．近年来，云南乘着高质量共建“带一路”的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展．某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成、两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作、两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口、两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表： 每吨需要茶叶原材料 （单位：吨） 到甲地的平均运费 （单位：千元/吨） 到乙地的平均运费 （单位：千元/吨） 款 2 8 5 款 3 6 4 现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口款普洱茶吨，出口、两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为千元． 根据上述信息，解答下列问题： (1)该厂出口的、两款普洱茶分别是多少吨？ (2)若向乙地出口的款普洱茶的重量不超过款普泪茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费最小，最小值是多少？ 变式12-2．某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元． (1)若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球、每个乙款篮球的进价分别为多少元？ (2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，求购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？最大获利为多少元？ 变式12-3．元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 A种盆栽 12 19 B种盆栽 10 15 (1)求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值． 1．正方形，，按如图的方式放置，…和点…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 3．1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 4．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为2，则称点A为“和二点”．例如：点到x轴、y轴距离和为2，则点B是“和二点”，点也是“和二点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和二点”，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ． 6．大小两种货车运送360台机械设备，有三种运输方案． 方案一：设备的用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车27辆． 方案二：设备的用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车28辆． 方案三：设备的用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车26辆． （1）每辆大、小货车各可运送多少台机械设备？ （2）如果大货车运费比小货车高m%（m>0），请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由． 7．某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台冰箱进价1500元，每台空调的进价1200元．现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱台，这100台家电的销售利润为元， (1)求出与之间的函数关系式； (2)要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16400元，请分析合理的方案共有多少种？ (3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调()元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，求出这100台家电销售时的最大利润． 8．已知A，B两地相距，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行．设甲、乙二人离A地的距离为y（），行驶时间为x（），则y与x的函数图象如图所示． (1)求乙到达A地所用的时间； (2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距？ 9．如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为．    (1)求直线的函数表达式和点的坐标； (2)若点是轴上一动点，当时，求点的坐标； (3)如图2，点的坐标为，连接，点是直线上的一点，且，直接写出直线的函数关系式．（提示：两底角相等的三角形是等腰三角形） 10．治疗某种疾病需要同时使用甲乙两种药品，甲药品采用注射的方式给药，乙药品采用口服方式给药．根据临床实验研究数据表明，注射甲药品后，血液中甲药品的浓度（单位：mg/L）随注射时间（单位：h）的变化规律如下表所示，服用乙药品后，血液中乙药品的浓度（单位：mg/L）随服药时间（单位：h）的变化图象如图所示．（图象由两条有公共端点的线段组成） 甲药品的浓度随注射时间的变化情况 注射时间（单位：h） 0 2 4 6 7 甲药品浓度（单位：mg/L） 80 60 40 20 10 (1)当服药时间超过1h时，求血液中乙药品的浓度随服药时间变化的函数关系式； (2)科研人员发现当血液中同时存在两种药品，且乙药品的浓度比甲药品浓度至少高20mg/L时，能够产生较好的疗效，由于药物本身存在副作用，因此在24小时内这两种药品都只能使用一次．请你估计产生较好疗效的时长是否有可能超过6小时，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$