八年级上学期期末压轴题24大题型-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

浙教版八年级上学期期末常考压轴题专题 目录 类型一、三角形三边关系的应用 1 类型二、根据三角形中线求线段长度 4 类型三、根据三角形中线求面积 7 类型四、三角形内角和问题 11 类型五、全等三角形综合问题 18 类型六、轴对称的性质 31 类型七、折叠问题 37 类型八、将军饮马最短路径问题 43 类型九、等腰三角形的性质与判定 51 类型十、等边三角形的性质与判定 61 类型十一、用勾股定理解决实际问题 72 类型十二、解特殊的不等式 77 类型十三、根据解集求一元一次不等式的参数 79 类型十四、不等式的应用 83 类型十五、点坐标的规律探究 88 类型十六、平面直角坐标系上已知图形面积求点的坐标 91 类型十七、求平面直角坐标系上图形的面积 97 类型十八、平面直角坐标系上的动点问题 105 类型十九、平面直角坐标系与全等三角形综合 112 类型二十、一次函数的规律探究问题 120 类型二十一、一次函数与几何综合 123 类型二十二、一次函数与二元一次方程综合 134 类型二十三、分段一次函数 141 类型二十四、一次函数的应用 147 类型一、三角形三边关系的应用 1．周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个． 【答案】7 【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口． 【详解】解：设三角形三边为a、b、c，且， ∵，, ∴即， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵c为整数， ∴c为9，，． 则①当c为9时，有1个三角形，分别是：9，8，7； ②当c为时，有2个三角形，分别是：，9，5；，8，6； ③当c为时，有4个三角形，分别是：，，3；，9，4；，8，5；，7，6． ∴各边长互不相等且都是整数的三角形共有7个． 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查学生对三角形三边关系定理的理解及运用，难度中等．注意写出具体三角形的三边时，结合已知条件做到不重复不遗漏． 2．设一个三角形的三边长是a、b、c． (1)、、一定可以是一个三角形的边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明． (2)一定可以是一个三角形的三边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明． (3)求证：、、一定可以是一个三角形的三边长． 【答案】(1)、、不是一个三角形的边长，理由见解析 (2)不一定是一个三角形的三边长，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）举一个反例，证明当、、时，证明、、不能构成三角形即可； （2）举一个反例，证明当、、时，证明不能构成三角形即可； （3）方法一、用做差法，比较两边之和与第三边的关系以及两边之差于第三边的关系；方法二、将式子转化为完全平放式，再根据平方的非负性即可证明． 【详解】（1）解：、、不一定是一个三角形的边长； 如、、是一个直角三角形的边长， 此时，，，； ∴． ∵这与三角形中任意两边之和大于第三边矛盾， ∴、、不一定是一个三角形的边长． （2）解：不一定是一个三角形的三边长； 如，，是一个三角形的边长， 此时，，； ∴． ∵这与三角形中任意两边之和大于第三边矛盾， ∴不一定是一个三角形的三边长． （3）证明：方法一  ∵， ∴， ∵， ∴； 同理可证：， ， ∴、、一定可以是一个三角形的三边长． 方法二  ∵ ∴； 同理可证：， ， ∴、、一定可以是一个三角形的三边长． 【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，灵活运用三角形三边之间的关系，结合勾股定理等相关内容进行解答． 3．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，5，a，化简． 【答案】(1)的周长为 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系以及的长为偶数，即可求得的长，从而即可得解； （2）根据三角形的三边关系可求得的取值范围，从而化简不等式计算即可． 【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得：，即． ∵为偶数， ∴， ∴的周长为； （2）解：∵的三边长分别为3，5，a， ∴，解得， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 类型二、根据三角形中线求线段长度 4．在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A．2 B．13 C．3或13 D．2或12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，分类讨论：①当的周长大于的周长时，②当的周长比的周长大时，根据三角形中线的性质及与的周长差即可求解，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当的周长大于的周长时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得； ②当的周长比的周长大时， 为边的中线， ， 与的周长差， 与的周长差为5，， ， 解得， 综上或13， 故选：C． 5．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 【答案】 【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可． 【详解】解：连接ED 是的中线， ， 设， 与是等高三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 6．如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【分析】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 类型三、根据三角形中线求面积 7．设的面积为1，如图①，将边、分别2等分，、相交于点O，的面积记为；如图②，将边、分别3等分，、相交于点O，的面积记为；……，依此类推，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律． 利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得结果． 【详解】解：在图①中，连接，   ，， ，，， ，， ， ， 设，则 ， 解得； 在图②中，连接、、， 则，， 设，则 ， 解得； 在图③中，连、、、、， 则，， 设，则 ， 解得， ． 由可知，， ， 故答案为：． 8．如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 【答案】 /0.6 【分析】本题考查的是比的应用，等底等高的两个三角形的面积之间的关系； （1）设、、和四边形的面积都为1份；可得的面积为份，的面积为份，再进一步解答即可； （2）如图，连接，由，可得（份），（份），同理：，，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）设、、和四边形的面积都为1份； ∵， ∴， ∵与是以，为底边，而高相同， 的面积为1份， ∴的面积为份， ∴的面积为份， ∴， ∵与是以为底边，而高相同， ∴； 故答案为： （2）如图，连接， ∵， ∴（份）， ∴（份）， 同理：，， ， ∴（份）， ∵的面积为728， ∴， 故答案为： 9．如图所示，直角三角形中，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形面积，弄清楚三角形间的面积关系成为解题的关键． 如图：连接，易得，根据可得，，再证明、，进而得到，最后根据三角形面积的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接，， ∵为直角三角形，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 类型四、三角形内角和问题 10．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和的问题，以及三角形外角的性质，先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和定理及外角的性质可得结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 当①时． ， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∵于点， ∴， ∴， ②当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴此种情况不成立． ③当时， 设， 则：， 解得：， ∴， ∴， ∴． ④当时， 同理得：， ∴ ∴ ∴此种情况不成立． 综上所述，的度数为或， 故选∶C． 11．综合与探究 如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现． (1)请你证明老师的发现； (2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？” ①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；②，证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用等量代换思想是解题关键． （1）根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可证明结论； （2）①根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．②根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可． 【详解】（1）证明：∵，的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ． ∴． （2）解：①如图2：，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴． ②如图3：，证明如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． ∴． 12．【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 【答案】[理解]20；[应用] ；[拓展] 或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，掌握分类讨论思想、方程思想、数形结合思想成为解题的关键． [理解]设的最小，则，然后根据三角形的内角和即可解答； [应用]由是“二倍角三角形”的最小角，不妨假设，则，，由三角形的内角和得，由此可得出，进而解得，据此即可解答； [拓展]先设，再用的代数式表示出，然后根据“二倍角三角形”的定义进行分类讨论即可解答． 【详解】解：[理解] 设的最小，则， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：20． [应用] 不妨假设，则，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，解得：， ∴的最大取值为． [拓展] 设， ∵为的平分线， ∴， ∵是是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：， 又∵是二倍角三角形， ∴有以下六种情况： ①当时，则，解得：， ； ②当时，则，解得：，不合题意，舍去； ③当时，则，解得：，不合题意，舍去； ④当时，则，此方程无解； ⑤当时，则，解得：， ∴； ⑥当时，则，解得：， ∴． 综上所述：当或或时，是二倍角三角形． 13．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义． （1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得，则，再根据可得的度数； （2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，由此得，之间的数量关系； （3）先求出，根据得，然后分四种情况讨论如下：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列方程计算即可． 【详解】（1）解：在中，， 与的平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，之间的数量关系是：，理由如下： ，，， ， 点是和的角平分线的交点， ， ， ， 故，之间的数量关系是：； （3）解：平分，平分，， ，， ， 即， ， 由（2）可知：， ， ， 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况： ①当时，则， ， 此时， ②当时，则， ，则， 此时， ③当时，则， ， 此时， ④当时，则， ， ， 此时， 综上所述，的度数是或或或， 故答案为：或或或． 类型五、全等三角形综合问题 14．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（   ） A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，①证明，即可得到；②由可得，再由、证得即可判定；④分别过作、，根据全等三角形面积相等和，证得，即平分，即可判定；⑤由平分结合即可判定，缺少条件证明③平分． 【详解】解：， ， ∴， 在和中， ， ， ． 故①正确； ∵， ， ，， ， ，即， 故②正确； 分别过作、垂足分别为、， ∵， ， ， ， ， 平分，无法证明平分． 故③错误；故④正确； 平分，， ，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤， 故选：A． 15．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】（1）延长至，使， 连接，如图所示，证明得出， 在中， 由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至， 使， 连接， 如图所示，由（1）得：， 由全等三角形的性质得出， 得到， 证明得出， 则；延长交于， 证明即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，根据垂直的定义证明即可；②根据全等三角形的性质得到，求出的面积，结合图形计算． 【详解】（1）解：延长至，使， 连接，如图所示： ∵是边上的中线，， ∴， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形三边关系可得， ∴， 即， ， 故答案为： ；； （2）解：，， 理由如下： 延长至， 使， 连接，如图所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 延长交于，如图所示： ， ， ， ， ，即； （3）①证明：延长，交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即 ， ； ②解：由①可知，， ， ， ， ， ， 五边形的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题是三角形全等综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形倍长中线模型、三角形的三边关系、三角形内角和定理、角的和差关系、垂直判定与性质等知识， 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 17．（1）提出问题：如图1，在直角△中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在直角△中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过△的直角顶点，△的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】（1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在△和△中， ， ， ，， ； （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 18．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 【答案】（1）3;（2）;（3）①180；②，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，当为的中点时，满足条件，从而可得答案； （2）由与为偏等积三角形，证明，再证明，可得，，再利用三角形三边的关系求解，结合为正整数，求解，从而可得答案； （3）①由周角的定义可得出答案； ②延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出 ，证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接 当时，，   与不全等， 与为偏等积三角形， 故答案为． （2）与为偏等积三角形， ． ， ． ， ， ，， ， ， ， ． 为正整数， ， ． （3）①∵， ∴． ②，理由如下：延长至G，使，连接，如图所示：   ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线的问题，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 类型六、轴对称的性质 19．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论正确的是（      ）    A．②③ B．③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出④正确；判断出和不全等，从而得到，判断出③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由翻折的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． ∵， ∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等， ∴平分，故④正确． 在和中，，，，， 则和不全等， ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 20．如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于， ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：． 21．如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对称点． (2)和有什么关系？若，，求的度数． (3)分别连接，直线m与线段有什么关系？线段之间有什么关系？ (4)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流． 【答案】(1)A和，B和，C和 (2) (3)直线m垂直平分线段， (4)见解析 【分析】本题考查成轴对称的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握成轴对称的性质，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上． （1）根据成轴对称的性质求解即可； （2）首先根据成轴对称的性质得到，然后利用全等三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）根据成轴对称的性质求解即可； （4）根据成轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵和关于直线m对称 ∴对称点有A和，B和，C和． （2）解：∵和关于直线m对称 ∴ 在中，， ∴． （3）解：∵和关于直线m对称 ∴直线m垂直平分线段，． （4）解：∵和关于直线m对称 ∴它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上． 规律：若两条线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴m上． 22．如图，在中，∠，D为边上一动点，E为外一点，且E、A在线段的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点F，使． ①求证：； ②若，，，求的面积； (2)若点A与点E关于线段成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 【答案】(1)①见解析；②16 (2)或 【分析】（1）①利用余角的性质可得出，然后利用证明，再利用全等三角形的性质即可得证； ②利用三角形面积公式求出的面积，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）分、两种情况讨论即可． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴； ②解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点与点关于线段成轴对称， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 23．如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)点在的垂直平分线上，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长； （）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， ∴的周长； （2）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （3）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型七、折叠问题 24．已知长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接．将对折．点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕． （1）如图1，若点F与点G重合，则的度数是 ； （2）如图2，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，角平分线的性质，角的和差等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可； （2）根据或，求出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理等知识 利用勾股定理可得，由折叠得：，得出点D的坐标，设点，则，由勾股定理代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵、， ∴，， ∵， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴点， 设点，则， 由折叠得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 26．如图，在长方形纸片中，，，将长方形沿直线折叠，使点B，D重合，点A落在点E处． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)27 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由折叠可知：，再由计算即可得解． 【详解】（1）证明：由折叠可知． ∵，， ∴ ∵， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 由折叠可知：， ∴， ∴． 27．如图1，在中，，为边上一动点，为外一点，且，在线段所在直线的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点，使． ①求证：； ②若的面积是，，求的长； (2)若点与点关于所在直线成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 【答案】(1)①见详解；② (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． （1）①利用余角的性质可得出，然后利用证明，再利用全等三角形的性质即可得证； ②利用三角形面积公式求出的面积，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）分、两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：证明：①，， ， 又， ， ，， ， ， ② 的面积是， 则的面积是， ， 解得：， （2）解：点与点关于线段成轴对称， ，， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， 综上，的度数为或； 28．如图①，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上的一个动点，点是轴负半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，使得，且点在轴的上方． (1)求证：； (2)如图②，点、点在滑动过程中，把沿轴翻折使得刚好落在的边上，此时交轴于点，过点作垂直轴于点，求证：； (3)如图③，点、点在滑动过程中，使得点在第二象限内，过点作垂直轴于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据，以及可证明； （2）延长、交于点I，根据折叠的性质知，则可证明，则有，再证明，即可得出； （3）过C作垂直x轴，垂足为J则为长方形则，根据得出，证明，即可证明． 【详解】（1）证明： ， ； （2）证明：因为沿轴翻折可知， 如解图①，延长、交于点， 在和中， ， ， 轴 ， 在和 ， ； （3）证明：过点作垂直轴，垂足为，则为长方形，如图所示： ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等、折叠的性质、等角替换、添加辅助线等知识点，综合性强，熟练掌握涉及的每个知识点，并懂得综合运用解答本题的关键． 类型八、将军饮马最短路径问题 29．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故答案为． 30．如图，在锐角中，，的面积为，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，此时即为边上的高，然后根据即可求出的长，即的最小值． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 此时，即为边上的高， ， 即：， ， 即：的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，垂线段最短，三角形的面积公式，等式的性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 31．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)最小为 (3) (4) 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． （4）作点关于的对称点，则，进而得出，当重合时，取得最小，即的长，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； （3）解：图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设， 在中，， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， 当在点的右侧时，则与关于对称 又， ∴当在点的右侧时， 综上所述， （4）解：如图所示， 作点关于的对称点，则 ∵是等腰直角三角形， ∴，则 ∴是等腰直角三角形 ∵，，则， ∴， ∴， 依题意，， ∴ 当重合时，取得最小，即的长， 此时， 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 32．如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：联立， 解得：， ∴点的坐标为； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 类型九、等腰三角形的性质与判定 33．如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，连．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确的结论是 ．（填写序号）    【答案】①②④ 【分析】作，，，垂足为、，证明，由全等三角形的性质得出，，证明为等腰直角三角形，可判断①正确；求出，进而可判断②；证明，，进而可判断③；证明，得出，，求出，证明，可判断④． 【详解】解：作，，，垂足为、，    根据等腰直角三角形的性质有：， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ，， ， 又 ，， ， ，， 又 ， 为等腰直角三角形， ，①正确； ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ，②正确； 平分，，， ，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，③错误； ，，， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴为定值，④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 34．在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. (1)如图，于，于，求证：； (2)如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； (3)如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找对应边、对应角之间的关系． 连接根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证结论成立； 过点作，，根据等腰三角形的三线合一定理可知是的平分线，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，利用可证，根据全等三角形的性质可得； 连接，过点作，，根据全等三角形对应边相等、对应角相等可知、，从而可得，可得：． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， ，， ； （2）解：， 理由如下： 如下图所示，过点作，， ， ， ， 是等腰三角形，为底边的中点， 平分， 又，， ， 在和中 ，. ； （3）解：如下图所示，连接，过点作， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形，为底边， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 35．在平面直角坐标系中，已知（其中），且． (1)三角形的形状是_________． (2)如图1．若，C为中点，连接，过点A向右作，且，连．过点作直线垂直于x轴，交于点N，求证：． (3)如图2，E在的延长线上，连接，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得结论； （2）过点D作轴，垂足为H，交于点S．则．证明，推出，再证明，可得结论； （3）如图2中，过点O作交的延长线于点T，连接．证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形； （2）证明：过点D作轴，垂足为H，交于点S．则． ∵， ∴． ∵C为中点， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，垂直于x轴，轴， ∴， ∴，． ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图2中，过点O作交的延长线于点T，连接． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 36．在平面直角坐标系中，，作点A关于y轴的对称点C，连接平分交于D． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作，垂足为E，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，以为边在x轴上方作等边，点G是边垂直平分线上一动点，连接，将沿翻折，点G的对应点为，过作，垂足为M当最小时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，进而得到，由角平分线的定义得到，再根据对称的性质得到，推出，利用三角形外角的性质即可解答； （2）如图，延长交于点，利用等腰三角形三线合一证明，再证明，即可得出结论； （3）过点G作轴，垂足为Q，连接，设的垂直平分线与交点为P，证明是等边三角形，，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵点A与点C关于y轴的对称， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想，证明如下： 如图，延长交于点， ∵，平分， ∴,,, ∴, ∴, ∴是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：过点G作轴，垂足为Q，连接，设的垂直平分线与交点为P， ∵是等边三角形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴， 如图，当三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，点重合，点G在y轴上，即垂直平分， ∵， ， ∴， 同理， ∴． 【点睛】本题考查坐标与与性，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 类型十、等边三角形的性质与判定 37．如图，为线段上一动点（不与点A，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的有 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，角平分线性质，平行线的判定，熟练掌握，是解此题的关键． ①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知； ②利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是，可知②正确； ③根据②可得，可知③正确； ④根据知可知④正确； ⑤在上截取，连接，由，得是等边三角形，得，证明，得，即得，⑤正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴． 即． 在与中， ， ∴． ∴，． 故①正确． ∵， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故②正确． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在与中， ， ∴． ∴，． ∴是等边三角形． 故③正确． ∴． ∴． ∴． 故④小题正确． 在上截取，连接． 由②知，． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故⑤正确． 故答案为：①②③④⑤． 38．如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接．线段，，之间有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（）由等边三角形的性质可得，，，进而得，再根据即可证明； （）由可得，根据等边三角形的性质可得，得出，进而根据角的和差关系即可求解； （）证明，得出，进一步得到，进而可证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵ 点在同一直线上 ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全都三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直接三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 39．在等边三角形的两边所在直线上分别有两点M、N，P为外一点，且，，．探究：当点M、N分别在直线移动时，之间的数量关系． (1)如图①，当点M、N在边上，且时，的数量关系是___________ (2)如图②，当点M、N在边上，且时，上述结论还成立吗？试说明理由． (3)如图③，当点M、N分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，进而得到，证明，得到，根据含的直角三角形的性质证明结论； （2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案； （3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， 在中，， ， 同理可得，， ； （2）解：一定成立， 理由如下：如图，延长至，使，连接， 由（1）可知：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 40．在等边中，是边所在直线上一点（点不与端点重合），． (1)如图，若点在延长线上，点关于直线的对称点为，连接、，其中、分别交射线于点、． ①求的大小（用表示）． ②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在边上，且，点关于直线的对称为，在线段上取一点，使，连接并延长交于点，直接写出线段与的数量关系是 ． 【答案】(1)①；②，理由见解析； (2) 【分析】（1）①连接，由轴对称的性质得，，再结合等边三角形的性质得，，从而利用三角形的内角和定理即可得解；②在上截取，由①得，，，，证，得，，进而证是等边三角形，得，，再证，即可得解； （2）如图，连接，过点作交于点，连接，则，证（），得，再证明（），得，从而即可得证． 【详解】（1）解：①连接， ∵点关于的对称点为点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图，在上截取， 由①得，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作交于点，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点关于的对称点是点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴（）， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质是解题的关键． 41．如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形综合问题，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线，灵活运用三角形全等的性质是解题的关键； （1）根据，得到，由三角形外角的性质及角的关系即可得出结论； （2）根据，，进一步证明是等边三角形，在上取点，使，连接，证明是等边三角形．证明，即可证明； （3）根据，，进一步证明，延长至点，使，连接，，得出，同理，，． 【详解】（1）证明：， ， 同理， ，， ； （2）证明：， ． ，， ． ． 是等边三角形． ，． 在上取点，使，连接， 是等边三角形． ，． ． 在和中， ， ． ． ，， ． ； （3）证明：， ． ． ，，． ． 延长至点，使，连接， 在和中， ， ． ，． ． ， ． 在和中， ． ． ， ． 类型十一、用勾股定理解决实际问题 42．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度． 【详解】解：如图，由题意可得： AD2=0.72+2.42=6.25， 在Rt△ABC中， ∵∠ABC=90°，BC=1.5米，BC2+AB2=AC2，AD=AC， ∴AB2+1.52=6.25， ∴AB=±2， ∵AB＞0， ∴AB=2米， ∴小巷的宽度为：0.7+2=2.7（米）． 故选：D. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 43．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 【答案】16 【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【详解】 如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算． 44．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米， （1）求BC的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 【答案】（1）40米；（2）超速了 【详解】试题分析：（1）在直角三角形ABC中，已知AB，AC根据勾股定理即可求出小汽车2秒内行驶的距离BC； （2）根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的平均速度，求得数值与70千米/时比较，即可计算小汽车是否超速． 试题解析：（1）在直角△ABC中，已知AC=30米，AB=50米， 且AB为斜边，则BC==40米． 答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米； （2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒， 20米/秒=72千米/时， 因为72＞70， 所以这辆小汽车超速了． 答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了． 45．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 46．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时 【分析】（1）利用勾股定理直接求解； （2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得 答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km． （2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下： ∵， ∴ 解得：． ∵ ∴海港会受到此次台风的影响． （3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响． ∵ ∴在中，，即 解得：PE=100 同理得： ∵台风的速度为25km/h ∴台风影响该海港的时长为： 答：台风影响该海港8小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言． 类型十二、解特殊的不等式 47．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围． 【详解】解：由绝对值的几何意义可得， 把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和， ∴当x位于第8个点时，即当x=-4时， 的最小值为15， ∵， ∴当关于的不等式有解时， a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值． 48．解不等式： 【答案】x＜-5或x＞1 【分析】根据相应的x的特殊值进行分段，从而去绝对值化简，再分别求解，最后将解集合并． 【详解】解：令，解得：x=±4， 令，解得：x=， ∴当x＜-4时，， 解得：x＜-5， ∴此时x＜-5； 当-4≤x＜时，， 解得：x＜-7， ∴此时无解； 当≤x＜0时，， 解得：x＞， ∴此时无解； 当0≤x＜4时，， 解得：x＞1， ∴此时1＜x＜4； 当x≥4时，， 解得：x＞3， ∴此时x≥4； 综上：不等式的解集为：x＜-5或x＞1． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，解题时要结合绝对值的意义进行分段，分别求解，注意最后要合并解集． 49．先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）解：分情况讨论： ①当时， 解得：； ②当时， 解得：， 所以不等式解集为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． 类型十三、根据解集求一元一次不等式的参数 50．若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴， 解得； ∵， 解得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数m的值为， ∴符合条件的所有整数m的和是， 故答案为：． 51．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查分式方程的解，不等式组的解．先解出分式方程，再解出不等式组的解，最后确定的值即可． 【详解】解：解方程得 依题得且为整数，， 且为3的倍数，， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， ，且， 为3的倍数， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）， 当时，（舍去）， 的值为1或4， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：5． 52．探究学习： 探究问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题探究： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围； (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1) ； ； (2)． 【分析】（）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值； 由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解； 本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的取值范围是， ∴， 解得：． 类型十四、不等式的应用 53．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】(1)最多可以购买5台A型电脑 (2)有两种方案供这个学校选择：第一种方案是购进A型电脑3台、C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台、C型电脑29台 (3)该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买台型电脑，则购买台型电脑，利用总价单价数量，结合总价不超过90000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最大值； （2）利用平均价格总价单价，可求出平均价格，结合，，三种型号电脑的单价，可得出可能有两种情况，①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论；②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑，利用总价单价数量，结合用100500元购买36台两种型号的电脑，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论； （3）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【详解】（1）解：设购买台型电脑，则购买台型电脑， 根据题意得：， 解得：， ，均为正整数， 的最大值为12，的最大值为5． 答：最多可以购买5台型电脑； （2）解：共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑，理由如下： （元，， 可能有两种情况． ①购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买3台型电脑，33台型电脑； ②购买型电脑和型电脑，设购买台型电脑，台型电脑， 根据题意得：， 解得：， 购买7台型电脑，29台型电脑． 共有2种购买方案， 方案1：购买3台型电脑，33台型电脑； 方案2：购买7台型电脑，29台型电脑； （3）解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于100000元， ， 即， 解得：， ． 答：该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值． 54．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元， (2)8种 (3)该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元，根据前两个月的销售数据列出方程组求解即可； （2）设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个，根据该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，列出不等式组求解即可； （3）由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元，儿童头盔最多时，利润最多，据此列式计算即可． 【详解】（1）解：设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元； （2）解；设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个， ∵该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元， ∴ 解得， ∵是非负整数， ∴m必须是5的倍数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商店3月份有8种销售方案； （3）解：由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元， ∴儿童头盔最多时，利润最多， ∴该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 55．根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 【答案】(1)该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元 (2)①该药店纳入医保后的售价为元/盒；②该药企的制定该药品价格范围为，理由见解析 【分析】（1）设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元,根据利润为元/盒，售价是其成本的倍列二元一次方程组求解即可得解； （2）①设该药品纳入医保后的售价为元/盒,根据两家药店销售该款药品的总收入为元列方程求解即可；②先根据材料总结药品价格与销量之间的规律：该药品价格每降低，销售量增长率为，设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为 ，列不等式组求解即可。 【详解】（1）解：设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元 根据题意，列出方程组： ， 解得：， 答：该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元； （2）解：①设该药品纳入医保后的售价为元/盒 因为第二个月的总销量比第一个月增加， 所以第二个月的总销量为（）盒 因为第二个月甲药店出售盒，所以乙药店出售盒, 根据题意可列方程： 解得： 所以该药店纳入医保后的售价为元/盒, ②因为该药品的价格不变，则销量基本保持稳定，根据题意可得四个月的销售情况如下： 第一个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第二个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第三个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第四个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，甲乙两家药店共售出盒 由第二个月可发现：乙药店价格下降，乙药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第三个月可发现：甲药店价格下降，甲药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第四个月可发现：甲乙两家药店价格下降，甲乙药店总销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 总结规律：该药品价格每降低，销售量增长率为， 设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为 ， 依题意得：， 解得, 因为盈利不低于，则≥， 解得≥ 所以 因此该药企的制定该药品价格范围为 【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，数字规律，一元一次方程的应用以及二院一次方程的应用，明确题意，正确找出相等关系及不等关系是解题的关键。 类型十五、点坐标的规律探究 56．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（　　） A．（2018，0） B．（2017，1） C．（2019，1） D．（2019，2） 【答案】D 【分析】分析点P的运动规律，找到循环次数即可． 【详解】分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位，∴2019=4×504+3． 当第504循环结束时，点P位置在（2016，0），在此基础之上运动三次到（2019，2）． 故选D． 【点睛】本题是规律探究题，解题的关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环． 57．如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，， ，，，…，，，…则当动点C到达处时，运动的总路径的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．点，所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点到达点处时，可得：，可得运动的总路径的长为，据此即可求解． 【详解】解：由直线：可知，， 由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知， ，， ，，， ，， ，，，， 由此可得，， ∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为， ∴当点到达处时，运动的总路径的长为． 故答案为：． 58．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点.已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用点P（x，y）的终结点的定义分别写出点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3），点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，从而得到每4次变换一个循环，然后利用2019=4×504+3可判断点P2019的坐标与点P3的坐标相同． 【详解】解：根据题意得点P1的坐标为（2，0），则点P2的坐标为（1，4），点P3的坐标为（-3，3）， 点P4的坐标为（-2，-1），点P5的坐标为（2，0），…，而2019=4×504+3， 所以点P2019的坐标与点P3的坐标相同，为（-3，3）．故答案为（-3，3）． 【点睛】本题考查了几何变换：四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．掌握在直角坐标系中各种变换的对应的坐标变化规律，是解决问题的关键． 59．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：A4(_____，_____)，A8(_____，_____)，A10(______，____)，A12(_____，____)； (2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；   (3)指出蚂蚁从点A2017到点A2018的移动方向． 【答案】（1）A4（2，0），A8（4，0），A10（5，1）A12（6，0）； （2）点A4n的坐标（2n，0）； （3）A2017向右移动一个单位到A2018． 【分析】（1）观察图形可知，A4，A8，A12都在x轴上，A10纵坐标是1，求出OA4、OA8、O A10、OA12的长度，然后写出坐标即可； （2）根据（1）中规律写出点A4n的坐标即可； （3）根据2016是4的倍数，可知从点A2016到点A2018的移动方向即可确定点A2017到点A2018的移动方向． 【详解】解：（1）由图可知，A4，A8，A12都在x轴上，A10纵坐标是1， ∵蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，O A10=5，OA12=6， ∴A4（2，0），A8（4，0），A10（5，1）A12（6，0）； 故答案为2，0；4，0；5，1；6，0； （2）根据（1）OA4n=4n÷2=2n， ∴点A4n的坐标（2n，0）； 故答案为2n，0； （3）∵2016÷4=504， ∴从点A2016到点A2018的移动方向：点A2016在x轴上，向上移动一个单位到A2017，再向右移动一个单位到A2018． ∴从点A2017到点A2018的移动方向：A2017向右移动一个单位到A2018. 【点睛】本题考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出A4n都在x轴上是解题的关键． 类型十六、平面直角坐标系上已知图形面积求点的坐标 60．在平面直角坐标系中，，将线段平移，使点A的对应点为M，点B的对应点为N． (1)______； (2)将线段向左平移a个单位，向下平移b个单位，使点M落在y轴上． ①已知，若，求a和b的值； ②连接交y轴于点P，若，求点P的坐标； ③已知点，若，求点N的坐标． 【答案】(1)6 (2)①，或；②；③或 【分析】本题考查图形与坐标综合，难度较大，综合性强，涉及平面直角坐标系中三角形面积的表示方法、全等三角形的性质和判定，图形平移性质及解方程等知识，根据题意，数形结合，准确作出相关图形，数形结合求解是解决问题的关键． （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）先根据点M落在y轴上算出a，得出．①若，，根据，列出方程求解即可； ②证明，得出，，表示出，再根据，列方程求解即可； ③点，若，根据，列方程求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：将线段向左平移a个单位，向下平移b个单位， 则， ∵点M在y轴上， ∴，解得， ∴， ①若，， 则， 即， 解得：或； 故，或； ②根据平移可得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； ∴； ③点，若， 则， 解得：或， ∴或． 61．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，．且a、b满足，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接．    (1)求点C，D的坐标及三角形面积； (2)若点E在y轴负半轴上，连接，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形BCD面积的？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)存在，， 【分析】（1）运用非负数的性质，确定a，b的值，得到A，B的坐标，根据平移的规律得到C，D的坐标，根据计算即可． （2）如图，过点E作，则，运用平行线性质证明即可． （3）设点M坐标为或点M坐标为，根据面积公式计算即可． 本题考查了实数的非负性，坐标及其平移，平行线的判定和性质，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定和性质，三角形面积坐标表示法是解题的关键． 【详解】（1）∵， ， ∴，， ∴，， 将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：， 理由如下：如图，过点E作，    ∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）∵三角形的面积是三角形面积的 ∴的面积， 当点M在x轴正半轴上时，设点， ∴， ∴， ∴，且点， ∴点或点(不合题意舍去)， 当点M在y轴正半轴上时，设点， 如图，点M在线段上时，    ∵ ∴ ∴(不合题意舍去)， 如图，点M在线段的延长线上，    ∵ ∴ ∴， ∴点 综上所述：当点或时，使三角形的面积是三角形面积的 62．如图，平面直角坐标系中，，． (1)求A、B、C的坐标和的面积； (2)如图2，点A以每秒s个单位的速度向上运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动至，4秒后，在同一直线上，求s的值； (3)如图3，点D在线段上，将点D向上平移2个单位长度至E点，若的面积等于，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）非负性求出，进而求出的值，得到A、B、C的坐标，利用三角形的面积公式，进行求解即可； （2）根据，构建方程求解即可； （3）连接，设，由三角形面积关系得出，由平移的性质得出，根据三角形的面积关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）由题意，得：， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵将点D向上平移2个单位长度至E点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，坐标与图形，平移的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 类型十七、求平面直角坐标系上图形的面积 63．如图1，在平面直角坐标系中，，点在第二象限的角平分线上，的垂直平分线交于点． (1)直接写出 ； (2)如图2，设交轴于点，若，求点的坐标； (3)如图3，过作交轴于点，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，设，则，根据题意可得，则，进而得到，则可求出，进而可得， （2）过点E作轴，分别过点A，点B作的垂线，垂足分别为H、G，过点B作轴于Q，设与y轴交于点P，证明，得到，根据，得到，，进而求出，则，，，证明，得到，则，即； （3）如图所示，过点E作轴于K，求出，则，由，得到，，则，进而得到，，即可证明，求出，则，证明，得到，，则可求出，，，即可得到． 【详解】（1）解：设与轴交于T， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴； 设，则， ∵点在第二象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，过点E作轴，分别过点A，点B作的垂线，垂足分别为H、G，过点B作轴于Q，设与y轴交于点P， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点E作轴于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 64．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点A在y轴的正半轴上，，点C的坐标为． (1)如图1，设，的面积为s，求s于m的关系式；（不要求写出m的取值范围） (2)如图2，过点C作交的延长线于点D，交y轴于点E，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，过点F作直线，交于点N，交x轴负半轴于点M，交于点G，连接，，，连接，，若的面积为18，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据，可知，再结合点C的坐标可得答案； （2）由得，再根据，可知，即可解答； （3）根据平行线的性质可知，再根据，可知，得出，再证明，可知，然后根据三角形的面积公式求出m，可求，作，证明，可得，即可求出答案． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵点， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴， ∴． 作，交于点P， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，平行线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 65．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点B，且a，b满足：． (1) ， ． (2)求的度数； (3)点M为的中点，等腰的腰经过点M，，连接． ①如图1，求证：； ②如图2，取的中点N，延长交于点P，若点P的横坐标为t，请用含t的式子表示四边形的面积． 【答案】(1)6，6 (2) (3)①详见解析；② 【分析】（1）利用非负数的性质可得； （2）由等腰直角三角形的性质可得出答案； （3）①连接，过点M作交于点H．证明，由全等三角形的性质得出，可得出，则可得出结论； ②在上截取，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，证得，由此得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6，6； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：①连接，过点M作交于点H． ∵为等腰直角三角形，M为中点， ∴， ∵为等腰，， 又∵， ∴， 则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②在上截取，连接． 在等腰中， ∵N为中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点P的横坐标为t，， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形判定与性质，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，坐标与图形的性质，四边形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 类型十八、平面直角坐标系上的动点问题 66．在中，，．    (1)如图1，若、两点的坐标分别是，，直接写出点的坐标_____________； (2)如图2，与轴交于点，取的中点，连接，．若轴，求证：． (3)如图3，若，点是射线上点的左边一动点，连，以为斜边作等腰，，连．当运动时，的面积是否发生改变？若不变，求其值；若发生改变，求其变化范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的面积不改变，为定值50 【分析】（1）如图，过作轴于，证明，结合A、B两点的坐标分别是，，可得，，从而可得答案； （2）过作交轴于点，证明，则有，，由，，得，从而可得，再证明，根据性质即可求解； （3）如图，取的中点Q，连接，，，证明，设，，，，可得，，，证明，可得，而，可得． 【详解】（1）解：如图，过作轴于，    ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵A、B两点的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过作交轴于点，    ∴，即， ∴，   ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：如图，取的中点Q，连接，，，    ∵，点Q为的中点， ∴， ∴设，， ∴，， ∵为等腰直角三角形，的中点为Q， ∴，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的判断与性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作出合适的辅助线是解本题的关键． 67．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的面积等于24． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，运动时间为t秒，过作轴垂线交直线于点，连接．若的面积为，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据三角形的面积得到，即可得到，根据点A位于x轴负半轴写出坐标即可； （2）分点P在上和点P在延长线上两种情况利用三角形的面积差计算即可； （3）先证明，得到，然后连接，证明，可得到点E的坐标为，然后分两种情况，利用三角形的全等解题即可． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：如图，当点P在上时，， ∵， ∴， 又∵过作轴垂线交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在延长线上时，， ； ∴与的关系式为； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点P与A重合， ∴， ∴点E的坐标为， 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 如图，以为腰的等腰直角，过点作轴，交过点、作轴的垂线于点，两点，即，， 同理可得， ∴，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查动点的函数解析式，全等三角形的判定和性质，图形与坐标，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 68．如图，是等边三角形，以直线为x轴建立平面直角坐标系，若且a、b满足，D为y轴上一动点，以为边作等边，交y轴于E． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，D为y轴正半轴上一点，C在第二象限，的延长线交x轴于M，当D点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由； (3)如图3，D在y轴负半轴上，以为边向右构造等边，交y轴于E点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持为等边三角形，连，试求，，三者的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)点的坐标不发生变化，且点M的坐标为，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用非负数的性质，求得a和b得到点B的坐标，利用勾股定理求出的长，进而利用等边三角形的性质求出的长，据此可得答案； （2）证明，则有，在中得到，利用，可得点M的坐标； （3）同理可证明，得到，，再证明，得到，则，据此可推出． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴ ，， ， ∴， ∵是等边三角形， ， ． （2）解：点的坐标不发生变化，且点M的坐标为，理由如下： 如图中， 、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ∴， 在中，，，， ∴， ， ， ． （3）解：，证明如下： 同理可证明， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，非负数的性质，坐标与图形，证明是解题的关键． 类型十九、平面直角坐标系与全等三角形综合 69．在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点在轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①如图2，作于，于，由，可知，，则，即是的平分线； ②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； （2）①证明：如图2，作于，于，    ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线； ②解：如图3，在上截取，使，    由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 70．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、的长分别为、、，且满足 ，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．             (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)如图2，连结，当为何值时，平分． (3)过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据非负数的性质，求出的值即可； （2）作，根据平分，得出 ，设，则， 根据，即：，即可解出； （3）当时，，，；当时，得，同理可得：，即可解出． 【详解】（1）解： ， ∴， ， ，， 故答案为：，； （2）如图所示，过点作于点， 平分， ， ∵，则， ， 即：， ∴， 解得：， 当秒时，平分， （3）如图，当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与全等， ， ， ∴， 当点在线段的延长线上时， 当时， 同理可得：， 则， ∴． 综上所述，即存在这样的点，使，的值是或． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质、非负数的性质，坐标与图形，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想求解． 71．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ； 当点C在下方时； 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：   ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ，即：， 解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为：或． （3）①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定及性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 类型二十、一次函数的规律探究问题 72．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据题意得出点的坐标为是解题的关键．根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：将代入得，， 所以点的坐标为． 因为四边形是正方形， 所以点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 所以点的坐标为， 当时， 点的坐标为． 故选：A． 73．正方形、、按如图所示的方式放置．点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 74．如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，点坐标规律的探索；利用等腰直角三角形的性质求得， 是解题的关键． 利用直线上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质，可分别求得， ，由此归纳总结即可求得的坐标． 【详解】解： 是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵ 是等 腰 直 角 三 角 形， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形． ∴ ∴． 同理可得， ∴点的坐标是． 故选 A． 类型二十一、一次函数与几何综合 75．如图，在平面直角坐标系中，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据待定系数法求函数解析式是关键．先求出，分两种情况，，分别求出点E的坐标，表示出的长，进而即可求解． 【详解】解：∵，D为线段的中点， ∴， ①当时，设的解析式为：， 把，代入， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 把代入， 解得：， ∴的解析式为：， 联立， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，最小，此时，； ②当时，则，的解析式为：， 当时，，即， ∵， ∴当时，最小，此时，， 故答案为：． 76．如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A、点B，直线：与直线交于点，与x轴交于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点P是线段上的一动点，连接、，点E、F分别是x轴和y轴上的两个动点，连接、、，当，求点P的坐标及周长的最小值； (3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，连接，在x轴是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的周长的最小值为 (3)或 【分析】（1）函数，令，求得点B的坐标，进而根据，求得点C的坐标，将点代入直线：中，可求得点D的坐标，采用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）根据，求得，设直线与y轴交于点K，求出，由，可判断点P在第一象限，设，过点P作轴于点G，过点B作于点H，根据可得，求解即可得到点；作点关于x轴的对称点，关于y轴的对称点，连接，交x轴于点E，交y轴于点F，则为最小值，根据两点间的距离公式即可解答； （3）由平移可设直线的解析式为：，根据点向右平移个单位长度得到点在直线上，可求出，得到直线的解析式为：，进而得到，因此是等腰直角三角形，过点B作，则，即点为所求动点，由，得到，从而；作点关于的对称点，连接，交x轴于点，点为所求动点．设点，运用两点间的距离公式，根据，可列出方程组，求解可得，进而求出直线的解析式为，令，可求出，即可解答． 【详解】（1）解：对于函数，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴，解得， ∴， ∵直线：过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：对于函数，令，则，解得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线与y轴交于点K， 则对于直线：，令，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P在第一象限， ∵点P在线段上， ∴设， 过点P作轴于点G，过点B作于点H， ∴，，， 则 ∴ ∴， ∴； 作点关于x轴的对称点，关于y轴的对称点， 则，， 连接，交x轴于点E，交y轴于点F，此时，， 为最小值， ∵， ∴的周长的最小值为． （3）解：∵将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴设直线的解析式为：， ∴直线上的点向右平移个单位长度得到点，点在直线上， ∴，解得， ∴设直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 过点B作，则，即点为所求动点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 作点关于的对称点，连接，交x轴于点， 根据轴对称可得， ∴，即点为所求动点， ∵， 在中，， ∴，， 设点， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴， 易求过点，的直线的解析式为， 令，则，解得， ∴． 综上所述，存在点M，使得，点M为或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点，轴对称图形的性质，最短路径问题，两点间的距离，坐标与图形，综合运用相关知识是解题的关键． 77．已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中轴和轴于、两点，点坐标为，点坐标为，点在直线上，且点坐标为．    (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当时，求点坐标； (3)如图2，点坐标为，连接，在直线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，点坐标为 (2)或 (3)点坐标为或 【分析】（1）设直线的表达式为，代入点坐标，点坐标，然后解方程组即可求得和，然后将代入解析式，可求得值，得到点坐标； （2）利用，，求得，从而求得点坐标； （3）当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴垂线，分别过，作，，证明，得到，，从而推出点的坐标，然后利用待定系数法求得的表达式，联立和，求得交点；当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴，交于点，过点作轴，过点作交于，先证明，得到，，通过，求得坐标，接下来利用待定法求直线的解析式，最后联立直线和求得交点即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为，代入点坐标，点坐标，得到 解得 点在直线上，且点坐标为 点坐标为 故直线的表达式为，点坐标为； （2）解：， ， ， 设， ， 或 或 （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，     ， ， 过点作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， 即点坐标为 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 联立 解得： ②如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴，交于点，过点作轴，过点作交于，   ，， ， 即， 又， 即在中，， ，， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组 解得： 综上所述点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与三角形的面积，等腰直接三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 78．在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于C． (1)求出点C的坐标； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标； (3)如图2，直线交x轴于，将直线平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值． 【答案】(1)； (2)或． (3)或． 【分析】本题属于一次函数与几何综合题，考查了三角形的面积，一次函数的性质等知识，学会利用参数构建方程是解题关键， （1）根据待定系数法求出一次函数解析式，进而可得AB与y轴的交点C坐标； （2）设，则，根据，列方程求解即可； （3）如图，连接,由，可得，结合已知，可得再由直线平移得出点，由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）设，则， ， ∵，， 即 或 点的坐标为或． （3）如图，连接, ∵直线交x轴于，设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， ∵将直线平移经过点交y轴于， 设直线解析式为，把代入得 ，解得， 即， ∵点在直线上， ∴点， ， ， ∵， ， ∴，即 解得：或， 当时，点的横坐标是或． 类型二十二、一次函数与二元一次方程综合 79．［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）；拓展提升：当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据关联函数的定义求解即可； （2）根据“相关函数”的定义，分两种情况：当时，当时，将代入函数解析式求解即可； （3）作直线，与图像交于点、，点在点的左侧，根据“相关函数”的定义表示出点、的坐标，进而表示出，即可求解； 拓展提升：先求出线段的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）一次函数的相关函数是， 故答案为：； （2）点在一次函数的相关函数图像上， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或， 故答案为：或； （3）如图，作直线，与图像交于点、，点在点的左侧， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， 图像与轴交于点， 当时，直线才与图象有两个交点， ； 拓展提升：设线段的解析式为，将点、代入得： ， 解得：， 线段的解析式为， 当时，， 线段与 轴 的 交 点 坐 标 为， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 80．如图直线:经过点，．    (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集； (4)在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)点的坐标为 (3) (4)的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）与底边都是，根据的面积是面积的2倍，可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，得， 点的坐标为； （3）把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为； （4）与底边都是，的面积是面积的2倍， 高就是点到直线的距离的2倍，即纵坐标的绝对值， 点纵坐标是， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． 81．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在直线上，点在直线上，当t取任意实数时，代数式的值为定值，求k的值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2)，定值为 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求函数解析式，一次函数的图象与性质，是解题的关键． （1）把点A的坐标代入直线可求得m值，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意得，，则有，然后根据代数式的值为定值即可求解． 【详解】（1）把点代入， 得，． 设直线的函数表达式为， 把点，代入，得，， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）∵点在直线上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵的值为定值， ∴， ∴，． 故k的值为，这个定值为． 82．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①；②或 (3)存在最小值，最小值为 【分析】（1）联立，即可得到点的坐标； （2）①由点的坐标为，得点的坐标为，点的坐标为，即可求出的长度； ②分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值； （3）存在最小值．在上取点，使得，连接，证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值． 【详解】（1）解：由直线与直线交于点， 联立， 解得， 点的坐标为； （2）①轴， 点、、的横坐标相等， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ； ②若点是线段的中点， ，，， ，， 点是的中点， ， 即， 解得，； 若点时线段的中点， ，，， ，， 点时线段的中点， ， 即， 解得； 综上所述，或； （3）存在最小值， 在上取点，使得，连接， 由直线与直线， 得，，， ，， ， ， ， 点的坐标为， ， 轴， 是线段的垂直平分线， ，轴， ，轴， ， 轴， ， ， ，， ， ， ， 得当最小，即点、、三点共线时，取最小值， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质与判定，勾股定理，最值问题等，本题的关键是构造全等三角形，把的最小值问题转化为的最小值问题． 类型二十三、分段一次函数 83．对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 【答案】(1)y轴，或 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数的图象的对称轴为直线，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；点和都在函数的图象上，且，得到当时，；当时，关于直线的对称点为，得到，得到，即得， 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）由图象看出， 函数的图象的对称轴为直线（y轴）， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； 函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∴函数的图象的对称轴为直线， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； ∵点和都在函数的图象上，且， ∴当时， ； 当时， ∵关于直线的对称点为， ∴， ∴． 综上，． 故t的取值范围是：． 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数与方程，函数与不等式，是解决问题在关键． 84．在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于A、B两点（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求的值； (3)点是函数图像上一动点，其横坐标为，点不与点重合，将图像上、之间的部分（包括点、点）记作图像； ①图像的最高点和最低点的纵坐标差为，当时，求关于的函数解析式． ②当图像G的最高点和最低点在直线的异侧时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)2 (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，分段函数图象； （1）当时解方程即可； （2）由把代入计算即可； （3）①设，分三种情况：当时，当时，当时，分别判断最低点和最高点，再计算即可；②图像G的最高点和最低点在直线的异侧结合①中最高点和最低点分情况列不等式求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象与轴交于A、B两点， 当时，或， 解得：或， ∵点A位于点B左侧， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵点在函数图像上，， ∴，即， ∴的值为2； （3）解：①设， 当时，点在线段上，，此时图像解析式为，随的增大而减小，当点是最低点，点是最高点，； 当时，点在线段上，此时图像解析式为，当点是最低点，点是最高点，； 当时，点在射线上，，此时图像解析式为，当点是最低点，点是最高点，； 综上所述，； ②∵图像G的最高点和最低点在直线的异侧， ∴当时，点是最低点，点是最高点，则，解得，不符合； 当时，点是最低点，点是最高点，，解得，不符合； 当时，点是最低点，点是最高点，，解得； 综上所述，当图像G的最高点和最低点在直线的异侧时，． 85．在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②1或 (2)图象G与x轴交点的坐标为 (3)满足条件的m的取值范围是 【分析】（1）①把点代入得出a的值即可； ②分两种情况求出b的值即可； （2）先分当时，当时，求出m的值，然后根据m的值，求出图象与x轴的交点坐标即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴把代入得： ； ②当时，把代入得：， 解得：； 当时，把代入得：， 解得：， 综上分析可知：b的值为1或． （2）解：当时，把点代入得： ， 解得：不符合题意； 当时，把点代入得： ， 解得：符合题意， ∴此时函数， 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴没有交点； 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴有交点， 把代入得：， 解得：， ∴图象G与x轴交点的坐标为； （3）解：当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵ ∴不符合题意； 当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时， 时，， 时，， ∵当时，， ∴此时最大值为：，最小值， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解不等式组，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论． 类型二十四、一次函数的应用 86．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 【答案】(1)甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元 (2)有购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台，这两种购买方案．方案二能使每小时的分拣量最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出式子． （1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据“购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，根据题意，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，故有两种购买方案，购买甲型机器人台，乙型机器人台；购买甲型机器人台，乙型机器人台．设台机器人每小时的分拣量为，则．得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得， 解得， 答：甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得， 解得． 故整数可以为和，可以为和， 故有两种购买方案，方案一，购买甲型机器人台，乙型机器人台； 方案二，购买甲型机器人台，乙型机器人台． 设台机器人每小时的分拣量为，则． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， ∴方案二：购买甲型机器人台，乙型机器人台时，才能使每小时的分拣量最大． 87．为使活动更具有意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元． (1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价； (2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)甲品牌文化衫的单价为40元，乙品牌文化衫的单价为35元 (2)购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫；理由见解析 【分析】（1）设甲品牌文化衫的单价为元，乙品牌文化衫的单价为元，根据“购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元”列方程组求解即可； （2）设购买件甲品牌文化衫，根据“甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍”列不等式求出m的取值范围，设购买这1000件文化衫所需总费用为元，列出w与m的关系式，根据w随m的变化关系求出最佳方案即可． 【详解】（1）设甲品牌文化衫的单价为元，乙品牌文化衫的单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：甲品牌文化衫的单价为40元，乙品牌文化衫的单价为35元． （2）最省钱的购买方案为：购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫，理由如下： 设购买件甲品牌文化衫，则购买件乙品牌文化衫， 依题意得：， 解得：． 设购买这1000件文化衫所需总费用为元， 则， ， 隨的增大而增大， ∴当时，取得最小值，此时， ∴最省钱的购买方案为：购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫． 【点睛】本题考查了购买问题，方案设计问题．解题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，运用题设等量关系和不等关系列出二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数解析式，根据函数值增减性设计最佳方案． 88．根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，即可求出答案． 【详解】解：任务设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务设制做“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元； 制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， （元）， 制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 89．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元 (2)①；②有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆；方案一利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据题意，得，化简得，即可求解； ②根据题意，得，两种车都买，故m，n都是正整数，得到，解得，且m是偶数，得到方案；设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）①设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 根据题意，得， 化简得， 得到． 故； ②根据题意，得，由两种车都买，故m，n都是正整数， 得到，解得，且m是偶数， 具体如下： ，，， 故有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆； 设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大，故方案一，利润最大，最大利润为元． 90．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．    (1)分别计算客车从甲地开往乙地的速度及货车的速度； (2)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？ 【答案】(1)客车从甲地开往乙地的速度为，货车的速度为； (2)； (3)或． 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距，分两种情况：①客车到达乙地前两车相距；②客车到达乙地后两车相距列出方程解答即可求解； 本题考查一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，客车从甲地开往乙地的速度为， 货车的速度为； （2）解：客车从甲地开往乙地需要的时间为， ∴点的坐标为， 设为，把、代入得， ， 解得， ∴客车返回时与之间的函数关系式为； （3）解：设两车第一次相遇后，再经过两车之间相距， ①客车到达乙地前两车相距， 由题意得，， 解得； ②客车到达乙地后两车相距，此时货车已到达甲地， 由题意可得，， 解得； 答：两车第一次相遇后，再经过或两车之间相距． 91．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数图象如图所示． (1)______，______． (2)求c的值． (3)当货车返回时，求y与x之间的函数关系式． (4)当两车相距时，直接写出巡逻车行驶的时间 【答案】(1)1，60 (2) (3)货车返回时与之间的函数关系式为 (4)巡逻车行驶的时间为或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据货车装货花了15分钟即可求出a的值；根据货车从A地到B地花了小时结合路程速度时间即可求出A、B两地的距离； （2）根据路程=速度×时间，先求出巡逻车的速度，在求出c即可； （3）利用待定系数法求解即可； （4）分两车从A前往B途中相遇前后和货车从B往A途中相遇前后，四种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵货车到达B地填装货物耗时15分钟， ∴， 千米， ∴A，B两地之间的距离是60千米， 故答案为： 1，60； （2）解：由题意得，巡逻车的速度为千米/小时， ∴； （3）解：设货车返回中y与x的函数解析式为 将，代入，得 解得， ∴函数解析式为； （4）解：设货车出发x小时两车相距15千米， 当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15千米，则， 解得（舍去）； 当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15千米，则， 解得， ∴； ∵， ∴货车卸货过程中两车不可能相距15千米， 当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15千米，则， 解得， ∴； 当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15千米，则， 解得， ∴； 综上所述，当巡逻车出发小时或小时或小时，两车相距15千米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版八年级上学期期末常考压轴题专题 目录 类型一、三角形三边关系的应用 1 类型二、根据三角形中线求线段长度 2 类型三、根据三角形中线求面积 2 类型四、三角形内角和问题 3 类型五、全等三角形综合问题 5 类型六、轴对称的性质 7 类型七、折叠问题 9 类型八、将军饮马最短路径问题 11 类型九、等腰三角形的性质与判定 12 类型十、等边三角形的性质与判定 13 类型十一、用勾股定理解决实际问题 15 类型十二、解特殊的不等式 17 类型十三、根据解集求一元一次不等式的参数 17 类型十四、不等式的应用 18 类型十五、点坐标的规律探究 20 类型十六、平面直角坐标系上已知图形面积求点的坐标 21 类型十七、求平面直角坐标系上图形的面积 22 类型十八、平面直角坐标系上的动点问题 23 类型十九、平面直角坐标系与全等三角形综合 24 类型二十、一次函数的规律探究问题 26 类型二十一、一次函数与几何综合 27 类型二十二、一次函数与二元一次方程综合 28 类型二十三、分段一次函数 30 类型二十四、一次函数的应用 31 类型一、三角形三边关系的应用 1．周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形共有 个． 2．设一个三角形的三边长是a、b、c． (1)、、一定可以是一个三角形的边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明． (2)一定可以是一个三角形的三边长吗？若是，说明理由；若不是，请举例说明． (3)求证：、、一定可以是一个三角形的三边长． 3．按要求完成下列各小题． (1)在中，，，的长为偶数，求的周长； (2)已知的三边长分别为3，5，a，化简． 类型二、根据三角形中线求线段长度 4．在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（   ） A．2 B．13 C．3或13 D．2或12 5．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 6．如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 类型三、根据三角形中线求面积 7．设的面积为1，如图①，将边、分别2等分，、相交于点O，的面积记为；如图②，将边、分别3等分，、相交于点O，的面积记为；……，依此类推，则 ． 8．如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 9．如图所示，直角三角形中，求阴影部分的面积． 类型四、三角形内角和问题 10．如图，于点，点、分别是射线、上的动点（不与点重合），延长至点，的角平分线及其反向延长线分别交、的角平分线于点、．若中有一个角是另一个角的3倍，则为（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 11．综合与探究 如图1，在中，，的平分线相交于点O，老师通过度量角的度数，计算后发现． (1)请你证明老师的发现； (2)老师在学生完成后说：“如果将三角形内角平分线改成外角平分线会怎样呢？” ①“兴趣小组”提出问题：如图2，的外角，的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图3，的外角的平分线与内角的平分线相交于点O，请猜想与之间的数量关系（请直接写出数量关系式）． 12．【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 13．如图①，在中，与的平分线相交于点P． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ． 类型五、全等三角形综合问题 14．如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（   ） A．①②④⑤ B．①②③ C．①②③④ D．①③⑤ 15．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 16．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围．以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_____；中线的取值范围是_____． 【灵活运用】（2）如图2，在中，点是的中点，，其中，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，，，为边上的中线． ①求证：；②若，，则五边形的面积为_____． 17．（1）提出问题：如图1，在直角△中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在直角△中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在△中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过△的直角顶点，△的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 18．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试    （1）如图1，在中，，，P为上一点，当的长为 时，与为偏等积三角形． 理解运用 （2）如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作，交的延长线于点E，求的长． 综合应用 （3）如图3，已知和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点．请根据上述条件，回答以下问题： ①的度数为 ； ②试探究线段与的数量关系，并写出解答过程． 类型六、轴对称的性质 19．如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论正确的是（      ）    A．②③ B．③④ C．①②④ D．①②③ 20．如图，，点分别在射线上，，的面积为3，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 21．如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对称点． (2)和有什么关系？若，，求的度数． (3)分别连接，直线m与线段有什么关系？线段之间有什么关系？ (4)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流． 22．如图，在中，∠，D为边上一动点，E为外一点，且E、A在线段的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点F，使． ①求证：； ②若，，，求的面积； (2)若点A与点E关于线段成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 23．如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 类型七、折叠问题 24．已知长方形纸片，点E在边上，点F，G在边上，连接．将对折．点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕． （1）如图1，若点F与点G重合，则的度数是 ； （2）如图2，若，则 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、点点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 ． 26．如图，在长方形纸片中，，，将长方形沿直线折叠，使点B，D重合，点A落在点E处． (1)求证：； (2)求的面积． 27．如图1，在中，，为边上一动点，为外一点，且，在线段所在直线的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点，使． ①求证：； ②若的面积是，，求的长； (2)若点与点关于所在直线成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 28．如图①，在平面直角坐标系中，点是轴负半轴上的一个动点，点是轴负半轴上的一个动点，连接，过点作的垂线，使得，且点在轴的上方． (1)求证：； (2)如图②，点、点在滑动过程中，把沿轴翻折使得刚好落在的边上，此时交轴于点，过点作垂直轴于点，求证：； (3)如图③，点、点在滑动过程中，使得点在第二象限内，过点作垂直轴于点，求证：． 类型八、将军饮马最短路径问题 29．如图，在直角中，，，，，D、E、F分别是、、边上的动点，则的周长的最小值是 ． 30．如图，在锐角中，，的面积为，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值是 ． 31．平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点是线段上一动点，点是直线上一动点，点为轴上一动点，过作于，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． (4)点是直线上一动点，点为轴上一动点，若满足，求的最小值． 32．如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数关系式； (2)点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标； (3)设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型九、等腰三角形的性质与判定 33．如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，连．下列结论：①；②；③；④为定值．其中正确的结论是 ．（填写序号）    34．在等腰三角形中，为底边的中点，、分别为、上的点. (1)如图，于，于，求证：； (2)如图，，请判断和有什么数量关系？并说明理由； (3)如图，点与点重合，点为线段上的一点，且，，求的值. 35．在平面直角坐标系中，已知（其中），且． (1)三角形的形状是_________． (2)如图1．若，C为中点，连接，过点A向右作，且，连．过点作直线垂直于x轴，交于点N，求证：． (3)如图2，E在的延长线上，连接，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接，若，求的面积． 36．在平面直角坐标系中，，作点A关于y轴的对称点C，连接平分交于D． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点C作，垂足为E，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，以为边在x轴上方作等边，点G是边垂直平分线上一动点，连接，将沿翻折，点G的对应点为，过作，垂足为M当最小时，直接写出的值． 类型十、等边三角形的性质与判定 37．如图，为线段上一动点（不与点A，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论①；②；③是等边三角形；④；⑤．其中正确的有 ． 38．如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接．线段，，之间有什么数量关系？并说明理由． 39．在等边三角形的两边所在直线上分别有两点M、N，P为外一点，且，，．探究：当点M、N分别在直线移动时，之间的数量关系． (1)如图①，当点M、N在边上，且时，的数量关系是___________ (2)如图②，当点M、N在边上，且时，上述结论还成立吗？试说明理由． (3)如图③，当点M、N分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 40．在等边中，是边所在直线上一点（点不与端点重合），． (1)如图，若点在延长线上，点关于直线的对称点为，连接、，其中、分别交射线于点、． ①求的大小（用表示）． ②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在边上，且，点关于直线的对称为，在线段上取一点，使，连接并延长交于点，直接写出线段与的数量关系是 ． 41．如图1，在中，，点在上，点在延长线上，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交延长线于点，若．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交延长线于点，若，，．求的长度． 类型十一、用勾股定理解决实际问题 42．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为（  ） A． B． C． D． 43．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 44．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米， （1）求BC的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 45．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 46．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 类型十二、解特殊的不等式 47．若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 48．解不等式： 49．先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 类型十三、根据解集求一元一次不等式的参数 50．若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 51．若关于的方程的解为非负整数，关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为 ． 52．探究学习： 探究问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题探究： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围； (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 类型十四、不等式的应用 53．一家电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元、B型每台4000元、C型每台2500元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． (1)若该中学只购买A型电脑和B型电脑，且购买A型电脑的数量比购买B型电脑的数量的一半还少1台，要求购买的总价不超过90000元，则最多可以购买多少台A型电脑？ (2)若该中学现有专项资金100500元，计划从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑，且这笔资金恰好全用完．请你设计几种不同的购买方案供这个学校选择，并说明理由． (3)这家电脑公司为提高B型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台B型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买B型电脑，拿出的旧电脑和购买的B型电脑数量一共是30台．若要使购买B型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，且购买B型电脑的实际总费用不少于100000元，则要在计划的基础上再多买a台B型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 54．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 55．根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 类型十五、点坐标的规律探究 56．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），……，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是（　　） A．（2018，0） B．（2017，1） C．（2019，1） D．（2019，2） 57．如图，直线与直线相交于点．直线与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点，， ，，，…，，，…则当动点C到达处时，运动的总路径的长为 ． 58．在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点.已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 59．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：A4(_____，_____)，A8(_____，_____)，A10(______，____)，A12(_____，____)； (2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；   (3)指出蚂蚁从点A2017到点A2018的移动方向． 类型十六、平面直角坐标系上已知图形面积求点的坐标 60．在平面直角坐标系中，，将线段平移，使点A的对应点为M，点B的对应点为N． (1)______； (2)将线段向左平移a个单位，向下平移b个单位，使点M落在y轴上． ①已知，若，求a和b的值； ②连接交y轴于点P，若，求点P的坐标； ③已知点，若，求点N的坐标． 61．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，．且a、b满足，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D．连接．    (1)求点C，D的坐标及三角形面积； (2)若点E在y轴负半轴上，连接，如图2，请判断的数量关系？并说明理由； (3)在x轴正半轴或y轴正半轴上是否存在点M，使三角形的面积是三角形BCD面积的？若存在，请求出点M的坐标：若不存在，试说明理由． 62．如图，平面直角坐标系中，，． (1)求A、B、C的坐标和的面积； (2)如图2，点A以每秒s个单位的速度向上运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动至，4秒后，在同一直线上，求s的值； (3)如图3，点D在线段上，将点D向上平移2个单位长度至E点，若的面积等于，求点D的坐标． 类型十七、求平面直角坐标系上图形的面积 63．如图1，在平面直角坐标系中，，点在第二象限的角平分线上，的垂直平分线交于点． (1)直接写出 ； (2)如图2，设交轴于点，若，求点的坐标； (3)如图3，过作交轴于点，若，求的面积． 64．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点A在y轴的正半轴上，，点C的坐标为． (1)如图1，设，的面积为s，求s于m的关系式；（不要求写出m的取值范围） (2)如图2，过点C作交的延长线于点D，交y轴于点E，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，过点F作直线，交于点N，交x轴负半轴于点M，交于点G，连接，，，连接，，若的面积为18，连接，求的面积． 65．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点B，且a，b满足：． (1) ， ． (2)求的度数； (3)点M为的中点，等腰的腰经过点M，，连接． ①如图1，求证：； ②如图2，取的中点N，延长交于点P，若点P的横坐标为t，请用含t的式子表示四边形的面积． 类型十八、平面直角坐标系上的动点问题 66．在中，，．    (1)如图1，若、两点的坐标分别是，，直接写出点的坐标_____________； (2)如图2，与轴交于点，取的中点，连接，．若轴，求证：． (3)如图3，若，点是射线上点的左边一动点，连，以为斜边作等腰，，连．当运动时，的面积是否发生改变？若不变，求其值；若发生改变，求其变化范围． 67．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的面积等于24． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，运动时间为t秒，过作轴垂线交直线于点，连接．若的面积为，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于点，交于点，当时，在第一象限内是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点，若不存在，请说明理由． 68．如图，是等边三角形，以直线为x轴建立平面直角坐标系，若且a、b满足，D为y轴上一动点，以为边作等边，交y轴于E． (1)如图1，求A点坐标； (2)如图2，D为y轴正半轴上一点，C在第二象限，的延长线交x轴于M，当D点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由； (3)如图3，D在y轴负半轴上，以为边向右构造等边，交y轴于E点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持为等边三角形，连，试求，，三者的数量关系，并证明你的结论． 类型十九、平面直角坐标系与全等三角形综合 69．在平面直角坐标系中，点，，点为轴正半轴上一动点，过点作交轴于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若点在轴正半轴上运动，且，连接． ①求证：平分； ②当时，求的值． 70．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、、的长分别为、、，且满足 ，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．             (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)如图2，连结，当为何值时，平分． (3)过作交直线于，交轴于，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 71．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 类型二十、一次函数的规律探究问题 72．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 73．正方形、、按如图所示的方式放置．点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 74．如图，在平面直角坐标系中，点…都在 x 轴上，点…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 类型二十一、一次函数与几何综合 75．如图，在平面直角坐标系中，为线段的中点，线段交线段于点，当线段最短时，此时点的坐标为 ． 76．如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A、点B，直线：与直线交于点，与x轴交于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若点P是线段上的一动点，连接、，点E、F分别是x轴和y轴上的两个动点，连接、、，当，求点P的坐标及周长的最小值； (3)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，连接，在x轴是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 77．已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中轴和轴于、两点，点坐标为，点坐标为，点在直线上，且点坐标为．    (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，当时，求点坐标； (3)如图2，点坐标为，连接，在直线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 78．在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于C． (1)求出点C的坐标； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标； (3)如图2，直线交x轴于，将直线平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值． 类型二十二、一次函数与二元一次方程综合 79．［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 80．如图直线:经过点，．    (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图像，直接写出关于x的不等式的解集； (4)在直线上存在异于点M的另一点，使得的面积是的面积2倍，请直接写出点的坐标． 81．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． (1)求m的值和直线的函数表达式． (2)若点在直线上，点在直线上，当t取任意实数时，代数式的值为定值，求k的值，并求出这个定值． 82．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 类型二十三、分段一次函数 83．对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称；对于函数，当_______时， ； (2)当时，函数为． ①在图中画出函数的图象； ②对于函数．，当时，y的取值范围是_______； (3)结合函数和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若点和都在函数的图象上，且，直接写出t的取值范围（用含m的式子表示）． 84．在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于A、B两点（点A位于点B左侧）． (1)点A坐标为______，点B坐标为______． (2)若点在函数图像上，求的值； (3)点是函数图像上一动点，其横坐标为，点不与点重合，将图像上、之间的部分（包括点、点）记作图像； ①图像的最高点和最低点的纵坐标差为，当时，求关于的函数解析式． ②当图像G的最高点和最低点在直线的异侧时，直接写出的取值范围． 85．在平面直角坐标系中，函数，其中m为常数，该函数的图象记为G． (1)当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； (2)图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； (3)当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 类型二十四、一次函数的应用 86．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需7万元；购买甲型机器人台，乙型机器人台，共需万元． (1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元? (2)已知台甲型和台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是件和件，该公司计划最多用万元购买台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人台，请问有哪几种购买方案?哪种方案能使每小时的分拣量最大? 87．为使活动更具有意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元． (1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价； (2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 88．根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 89．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 90．已知甲、乙两地相距，客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀速前往乙地，到达乙地后又立即以另一速度匀速返回甲地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离与两车行驶的时间之间的函数图象如图所示．    (1)分别计算客车从甲地开往乙地的速度及货车的速度； (2)求客车返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距？ 91．一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地，后，一辆货车从A地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地装卸货物耗时，然后立即按原路匀速返回A地．巡逻车、货车离A地的距离与货车出发时间之间的函数图象如图所示． (1)______，______． (2)求c的值． (3)当货车返回时，求y与x之间的函数关系式． (4)当两车相距时，直接写出巡逻车行驶的时间 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$