直线与双曲线的位置关系导学案-2025届高三中职数学一轮复习

单县五中 职教高三年级 数学导学案 2024年12月10日 星期二 直线与双曲线的位置关系 【学习目标】 初步掌握直线与双曲线的位置关系的判断方法和弦长公式、通径长、中点弦问题的相关计算．培养学生直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养。 【知识梳理】 知识点一　直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线位置关系的判定方法： 通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式． 1．在a≠0的情况下考察方程的判别式． ①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点，直线与双曲线相交． ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点，直线与双曲线相切． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点，直线与双曲线相离． 2．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点，直线与双曲线相交． [注](1)与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线(直线与双曲线相交)；另一种是与双曲线相切的直线(直线与双曲线相切).(2)直线与双曲线相交时，可能有两个交点，也可能存在一个交点． 知识点二　弦长公式法 当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝·＝·|x1－x2|或|AB|＝·＝·|y1－y2|. [注]　当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解． 知识点三　双曲线的通径长 若过焦点且与焦点所在轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，弦|AB|称为双曲线的通径，且|AB|＝. 知识点四　中点弦问题 可以用点差法和中点坐标公式求解． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝. 考点一　弦长问题 [典例1]　已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2，3). (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长． [变式训练] 1． 经过双曲线－＝1的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是________． 考点二　中点弦问题 [典例2]　已知中心在原点且一个焦点为F(2 ，0)的双曲线被直线y＝3x－2所截得的弦的中点横坐标为－，求该双曲线的标准方程． [变式训练] 2．若点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，求这条弦所在的直线方程． 考点三　与双曲线有关的综合问题 [典例3]　如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是F1(－2，0)，F2(2，0)，且双曲线经过点P(2，3). (1)求双曲线的标准方程； (2)设点A是双曲线的右顶点，若直线l平行于直线AP，且直线l与双曲线交于M，N两点，|＋|＝4，试求直线l的方程． [变式训练] 3．直线y＝x＋m与双曲线2x2－y2＝2交于A、B两点，若OA⊥OB(O为坐标原点)，求m的值． [当堂检测] 1．点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　) A．　 B． C． D． 2．双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1，F2分别是它的左、右焦点．若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|，|BF2|的等差中项，则|AB|等于(　　) A．8 B．4 C．2 D．8 3．斜率为2的直线l与双曲线－＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为______________． 4．已知双曲线－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程． 【课堂小结】 你本节课的收获 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 单县五中 职教高三年级 数学导学案 2024年12月10日 星期二 直线与双曲线的位置关系 【学习目标】 初步掌握直线与双曲线的位置关系的判断方法和弦长公式、通径长、中点弦问题的相关计算．培养学生直观想象、逻辑推理、数学抽象的核心素养。 【知识梳理】 知识点一　直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线位置关系的判定方法： 通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式． 1．在a≠0的情况下考察方程的判别式． ①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点，直线与双曲线相交． ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点，直线与双曲线相切． ③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点，直线与双曲线相离． 2．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点，直线与双曲线相交． [注](1)与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线(直线与双曲线相交)；另一种是与双曲线相切的直线(直线与双曲线相切).(2)直线与双曲线相交时，可能有两个交点，也可能存在一个交点． 知识点二　弦长公式法 当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝·＝·|x1－x2|或|AB|＝·＝·|y1－y2|. [注]　当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解． 知识点三　双曲线的通径长 若过焦点且与焦点所在轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，弦|AB|称为双曲线的通径，且|AB|＝. 知识点四　中点弦问题 可以用点差法和中点坐标公式求解． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝. 考点一　弦长问题 [典例1]　已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2，3). (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长． [变式训练] 1． 经过双曲线－＝1的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是________． 考点二　中点弦问题 [典例2]　已知中心在原点且一个焦点为F(2 ，0)的双曲线被直线y＝3x－2所截得的弦的中点横坐标为－，求该双曲线的标准方程． [变式训练] 2．若点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，求这条弦所在的直线方程． 考点三　与双曲线有关的综合问题 [典例3]　如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是F1(－2，0)，F2(2，0)，且双曲线经过点P(2，3). (1)求双曲线的标准方程； (2)设点A是双曲线的右顶点，若直线l平行于直线AP，且直线l与双曲线交于M，N两点，|＋|＝4，试求直线l的方程． [变式训练] 3．直线y＝x＋m与双曲线2x2－y2＝2交于A、B两点，若OA⊥OB(O为坐标原点)，求m的值． [当堂检测] 1．点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( D ) A．　 B． C． D． 2．双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1，F2分别是它的左、右焦点．若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|，|BF2|的等差中项，则|AB|等于(　A　) A．8 B．4 C．2 D．8 2． 斜率为2的直线l与双曲线－＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为______________． 4．已知双曲线－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程． 【课堂小结】 你本节课的收获 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 (2)由题意可知直线m的方程为y＝x－2，联立双曲线及直线方程消去y， 得2x2＋4x－7＝0， 设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－ eq \f(7,2) ， 由弦长公式得 |AB|＝ eq \r(1＋k2) · eq \r((x1＋x2)2－4x1x2) ＝ eq \r(2) · eq \r(4＋14) ＝6. [解析]　双曲线的右焦点坐标为(4，0)，该直线方程为y＝2(x－4)，联立方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2(x－4)，,\f(x2,8)－\f(y2,8)＝1，)) 消去y得3x2－32x＋72＝0，∴x1＋x2＝ eq \f(32,3) ，x1·x2＝24，由弦长公式得直线被双曲线截得的线段的长为 eq \r(1＋k2) eq \r((x1＋x2)2－4x1x2) ＝ eq \r(5) · eq \r(\f(1 024,9)－96) ＝ eq \f(20,3) eq \r(2) . [解]　由题意设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1，直线与双曲线的交点为P(x1，y1)、Q(x2，y2). 由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－2，,\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，)) 得(b2－9a2)x2＋12a2x－4a2－a2b2， 所以Δ>0且x1＋x2＝－ eq \f(12a2,b2－9a2) ， 又因为弦的中点横坐标为－ eq \f(1,2) ，所以x1＋x2＝－ eq \f(12a2,b2－9a2) ＝－1， 所以b2＝21a2， 又因为焦点F(2 eq \r(11) ，0)，所以a2＋b2＝44， 所以a2＝2，b2＝42(满足Δ>0). 所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,2) － eq \f(y2,42) ＝1. [解]　设过点P(8，1)的弦的两个端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则由中点坐标公式知：x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. 由题意知eq \o\al(2,1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4y eq \o\al(2,1) ＝4　①，,x eq \o\al(2,2) －4y eq \o\al(2,2) ＝4　②，)) ②－①得(x2－x1)(x2＋x1)－4(y2－y1)·(y2＋y1)＝0，∴k＝ eq \f(y2－y1,x2－x1) ＝2， ∴直线方程为y－1＝2(x－8)，即2x－y－15＝0，经检验符合题意． ∴所求直线方程为2x－y－15＝0. [解]　(1)因为双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)， 且经过点P(2，3)， 所以设双曲线的方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(9,b2)＝1，,a2＋b2＝4，)) 解得a2＝1，b2＝3， 所以双曲线的方程为x2－ eq \f(y2,3) ＝1. (2)因为P(2，3)，A(1，0)，所以kAP＝ eq \f(3－0,2－1) ＝3， 所以直线l的方程可设为y＝3x＋n. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立直线l与双曲线的方程 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x＋n　①，,x2－\f(y2,3)＝1　②，)) 消去y，并整理得6x2＋6nx＋n2＋3＝0， 所以| eq \o(AM,\s\up16(→)) ＋ eq \o(AN,\s\up16(→)) | ＝ eq \r((－n－2)2＋(－n)2) ＝4， 整理得：n2＋2n－6＝0， 解得：n＝ eq \r(7) －1或n＝－ eq \r(7) －1 因为( eq \r(7) －1)∉{n|n<－ eq \r(6) 或n> eq \r(6) }， － eq \r(7) －1∈{n|n<－ eq \r(6) 或n> eq \r(6) } 所以直线的方程为y＝3x－ eq \r(7) －1. 于是x1＋x2＝－n，y1＋y2＝(3x1＋n)＋(3x2＋n)＝3(x1＋x2)＋2n＝－n. 因为直线l与双曲线有两个交点 所以Δ＝(6n)2－4×6×(n2＋3)>0， 所以n<－ eq \r(6) 或n> eq \r(6) . 因为 eq \o(AM,\s\up16(→)) ＋ eq \o(AN,\s\up16(→)) ＝(x1－1，y1)＋(x2－1，y2) ＝(x1＋x2－2，y1＋y2) ＝(－n－2，－n)， [解]　设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,2x2－y2＝2，)) 消去y，整理得x2－2mx－m2－2＝0， 则x1·x2＝－m2－2， 消去x，整理得y2－4my＋2m2－2＝0， 则y1·y2＝2m2－2. ∵OA⊥OB，∴ eq \o(OA,\s\up16(→)) · eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝0，∴x1·x2＋y1·y2＝0， 即－m2－2＋2m2－2＝0，∴m2＝4， ∴m＝±2. [解析]　设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2).把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0.故x1＋x2＝－ eq \f(6,5) m　①，x1x2＝ eq \f(3m2＋6,10) 　②，由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16　③，把①②代入③，解得m＝± eq \f(\r(210),3) .∴直线l的方程为y＝2x± eq \f(\r(210),3) . [解]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上， ∴eq \o\al(2,1) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－y eq \o\al(2,1) ＝1，,\f(x eq \o\al(2,2) ,4)－y eq \o\al(2,2) ＝1，)) 两式相减，得eq \o\al(2,2) eq \f(x－x eq \o\al(2,1) ,4) ＝y eq \o\al(2,2) －y eq \o\al(2,1) ， ∴ eq \f(y2－y1,x2－x1) ＝ eq \f(x2＋x1,4(y2＋y1)) . ∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2. ∴kMN＝ eq \f(y2－y1,x2－x1) ＝ eq \f(x2＋x1,4(y2＋y1)) ＝－ eq \f(3,4) . 经验证，该直线MN存在． ∴所求直线MN的方程为y＋1＝－ eq \f(3,4) (x－3)，即3x＋4y－5＝0. 求弦长的两种方法 1．距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． 2．弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C： eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ eq \r(1＋k2) · eq \r((x1＋x2)2－4x1x2) ＝ eq \r(1＋k2) ·|x1－x2|. [解]　(1)设双曲线方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2) ＝1(a>0，b>0)， 由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)， 所以|PF1|－|PF2|＝ eq \r((2＋2)2＋9) － eq \r((2－2)2＋9) ＝2＝2a，所以a＝1. 又c＝2，所以b＝ eq \r(3) ，所以双曲线方程为x2－ eq \f(y2,3) ＝1. $$