专题04 简单几何体的再认识重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题04 简单几何体的再认识重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 棱柱表面积的有关计算 题型二 棱锥表面积的有关计算 题型三 柱体体积的有关计算 题型四 锥体体积的有关计算 题型五 圆锥表面积的有关计算 题型六 圆台表面积的有关计算 题型七 球的体积的有关计算 题型八 球的表面积的有关计算 知识点一 几何体的表面积和体积 【经典例题一 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为 . 3．（24-25高二·上海·课堂例题）直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 【经典例题二 棱锥表面积的有关计算】 【例2】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 3．（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积. 【经典例题三 柱体体积的有关计算】 【例3】（2024高二下·福建·学业考试）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的边长为2，，分别是棱，的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海崇明·期中）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积、的关系是 . 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，设、的纵坐标为.    (1)求此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积和表面积关于的表达式； (2)求、的取值范围. 【经典例题四 锥体体积的有关计算】 【例4】（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·期中）圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为 3．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【经典例题五 圆锥表面积的有关计算】 【例5】（22-23高三上·北京房山·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为．求这个圆锥的侧面积和表面积． 【经典例题六 圆台表面积的有关计算】 【例6】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 2．（2024·陕西商洛·一模）如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是 平方分米． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留） 【经典例题七 球的体积的有关计算】 【例7】（24-25高三上·河南·期中）葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄､多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上､中､下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（    ）    A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆台的体积为，下底面半径是上底面半径的倍，高为上、下底面半径的等比中项，若圆台的上、下底面圆，恰好在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）若一个球的半径为3，则其体积为 . 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？ 【经典例题八 球的表面积的有关计算】 【例8】（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（    ）    A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π 2．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知四棱锥的底面是矩形，平面，，，，则四棱锥外接球的表面积为 ． 3．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·云南普洱·期中）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川达州·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·宁夏吴忠·一模）已知是球的球面上的三个点，且.若三棱锥的体积是，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模拟预测）已知点是球表面上一点，圆锥的底面圆的圆周都在球的表面上，若圆锥的母线长与高之比为，则球的表面积与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建莆田·期中）如图，在棱长为的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（    ） A．存在点满足平面∥平面 B．存在点满足平面 C．当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为 D．若，则点的轨迹长为 7．（2024·全国·模拟预测）下列叙述中，正确的有（    ） A．正弦定理的变式： B．余弦定理： C．球体体积公式为： D．棱台的体积公式为： 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 9．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（    ） A．取得最小值 B．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体ABMD的外接球的表面积为5π时， D．若，则点O的轨迹长为 10．（23-24高一下·海南海口·阶段练习）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的表面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 11．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）表面积为的球的体积是 （结果保留） 12．（24-25高三上·山东济南·期中）古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 . 13．（23-24高二下·江苏镇江·期末）如图，在直三棱柱中，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面､底面均相切），为的中点，为棱上的动点，当直线､与平面成角相等时， ，此时四面体的外接球表面积为 . 14．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为 ． 15．（24-25高二上·上海·期中）表面积为的球的体积为 . 16．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖順原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 18．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线. (1)求圆台的表面积与体积； (2)若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值. 19．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为、，求：的值． 20．（24-25高一下·全国·课堂例题）某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中，，试求该组合体的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 简单几何体的再认识重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 棱柱表面积的有关计算 题型二 棱锥表面积的有关计算 题型三 柱体体积的有关计算 题型四 锥体体积的有关计算 题型五 圆锥表面积的有关计算 题型六 圆台表面积的有关计算 题型七 球的体积的有关计算 题型八 球的表面积的有关计算 知识点一 几何体的表面积和体积 【经典例题一 棱柱表面积的有关计算】 【例1】（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正四棱柱的性质及截面的特征求出底面边长与高，再由表面积公式计算可得. 【详解】正四棱柱是底面为正方形的直棱柱， 设底面边长为， 因为截面是边长为的正方形，所以，， 则，解得（负值已舍去）， 所以正四棱柱的表面积. 故选：D 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线，则它的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积. 【详解】正六棱柱的底面边长为2，体对角线， 则高为，它的表面积为 . 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知长方体的长、宽、高的和为384，的长为366，则该长方体的表面积为 . 【答案】 【分析】有题意得到和两个等式，将两边同时平方并将代入得到，即为长方体表面积. 【详解】如图，， ， ∴ ∴ 该长方体的表面积为：13500 故答案为：13500 3．（24-25高二·上海·课堂例题）直三棱柱底面各边的比为，侧棱长为，全面积为，求底面各边之长． 【答案】 【分析】设底面三边长分别为，利用余弦定理求得底面三角形的最大内角的余弦值，从而得正弦值，再根据全面积公式即可求解. 【详解】设底面三边长分别为， 则， 设长为的边所对的三角形内角为，则， 所以， 所有， 所有，即， 解得（舍去负值）， 所以底面三边长分别为. 【经典例题二 棱锥表面积的有关计算】 【例2】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）棱长都是1的三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三棱锥性质以及三角形面积计算公式可得结果. 【详解】棱长都是1的三棱锥的表面都是边长为1的正三角形，共4个； 所以其表面积为. 故选：A 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】正三棱锥的所有棱长均为， 则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形， 等边三角形的高为， 则该三棱锥的表面积为.    故选：. 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个正三棱锥高为，底面是边长为的正三角形，则此三棱锥的侧面积为 ． 【答案】18 【分析】作出辅助线，得到三棱锥的侧高，进而求出侧面积. 【详解】如图，正三棱锥中，， 过点作⊥平面，垂足为，则，为等边的中心， 为的一条中线，则，， 故，由勾股定理得， 故，同理可知， 则此三棱锥的侧面积为.    故答案为：18 3．（23-24高一下·湖南株洲·期中）已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体如图所示，求它的表面积. 【答案】 【分析】易知四面体为正四面体，求出一个三角形面积即可得四面体的表面积. 【详解】因为四面体的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍， 不妨求的面积，取的中点为，连接； 因为是边长为2的正三角形，易知， 所以. 可得四面体的表面积为. 【经典例题三 柱体体积的有关计算】 【例3】（2024高二下·福建·学业考试）圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆柱的体积公式计算即得. 【详解】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积. 故选：D 1．（2024高三·全国·专题练习）已知正方体的边长为2，，分别是棱，的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算正方体体积，再用割补法用正方体的体积分别减去四棱锥、四棱锥、四棱锥、三棱锥、三棱锥的体积,即可得三棱锥的体积. 【详解】利用割补法，， 故选：B． 2．（24-25高二上·上海崇明·期中）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积、的关系是 . 【答案】相等 【分析】根据祖暅原理可得答案. 【详解】根据祖暅原理可得相等. 故答案为：相等. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，一矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数，的图像上，设、的纵坐标为.    (1)求此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积和表面积关于的表达式； (2)求、的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出的范围，再设出点、的坐标为，的坐标，再求出高，根据圆柱体的体积公式得到关于的代数式，以及表面积关于的代数式即可； （2）根据（1）求得的解析式，配方利用二次函数的性质可求得值域． 【详解】（1）由，当且仅当时取等号，即 又矩形绕轴旋转得到的旋转体是圆柱，设、的坐标为， 则圆柱的底面圆半径为，高为， 令，则，得 所以， （2）由（1），，， ， 当且仅当，即时，， 当或时，，所以； 令，则，， ，在严格递增， 得 所以综上所述：，. 【经典例题四 锥体体积的有关计算】 【例4】（24-25高三上·山东潍坊·期中）已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据扇形的弧长公式求出圆锥的母线长，进而求出高，再根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，高为， 则，解得， 所以， 所以圆锥的体积. 故选：D. 1．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥侧面展开图的圆心角为，底面周长为．则这个圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的周长和扇形弧长公式可构造方程求得圆锥底面半径和母线长，由勾股定理可得圆锥的高，代入圆锥体积公式即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，高为， ，解得：，， 圆锥体积. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海·期中）圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为 【答案】 【分析】由题意可得圆锥底面圆的半径，从而可得圆锥的高，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，圆锥的母线，设底面圆的半径为， 则，解得，所以圆锥的高， 则圆锥的体积为. 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·期中）在棱长为1的正方体中，是的中点，分别是上的动点.考查过三点的平面截正方体所得的截面： (1)当是的中点且是的中点时，直接写出截面的周长和面积； (2)当时，若截面为六边形，求的取值范围； (3)当是的中点且截面为五边形时，是否存在点，使得截面将正方体分为体积比的两个部分，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)周长为，面积为； (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据题意做出截面，即可得到截面周长和面积； （2）找到两个临界情况，由此得出的取值范围； （3）根据（2）的进行分类，做出可能的图，分别设的长，由线段成比例分别表示出线段的长，用线段长表示出其中一个解得立体图形的体积，然后解方程得到的长，即可得出的值. 【详解】（1）作图：取中点，连接这六个点即可得到截面， 由图可知截面是边长为的正六边形， ∴周长为，面积为； （2）分别找出截面为六边形的两种临界情况，分别如下图所示： 情况①         ∵为中点，∴，即， ∵， ∴， 情况② ∵为中点，∴，即， ∵， ∵，即 ∴， 故 （3）（1）如图，截面与相较于点，延长相较于点，连接交与点， 设（），∵，∴， ∵为中点，∴， 延长相交于点，延长相交于点， ∵为中点，∴， 又∵，∴， ∵，∴， 正方体被截得的其中一个多面体体积为， 则， ， 整理得，解得， ∵，∴， 即， （2）如图： ∵点为中点，∴， ∵点G为中点，∴， 设（），则， 又∵，即，∴， ∵，即，∴， ∵，即，∴ 其中一个多面体体积为 则 化简得，即 ∴或，∵， ∴， 即 综上所述，这样的点存在，或 【点睛】思路点睛，本题讨论的是正方体被平面所截的截面以及截得的两个立体图形的体积.解题的关键是数形结合，通过作图找到特殊点，从而解决（2）的范围；由（2）的思路，同样做出可能得图像，利用三棱柱的体积来求多面体体积，从而解得的值. 【经典例题五 圆锥表面积的有关计算】 【例5】（22-23高三上·北京房山·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥,利用圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周， 得到几何体是两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为， 所得几何体的表面积为． 故选：D． 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知圆锥的母线长，底面圆周长为，底面圆面积为， 所以圆锥侧面积为，故该圆锥表面积为. 故选：A. 2．（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算． 【详解】因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形， 则圆锥的母线长，底面半径， 所以圆锥表面积为． 故答案为：． 3．（23-24高二·上海·课堂例题）已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为．求这个圆锥的侧面积和表面积． 【答案】侧面积为；表面积为 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的弧长为，利用圆锥侧面展开图的面积公式与圆锥表面积公式计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的弧长为， 因为圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，底面周长为， 所以，解得：， 又，解得：， 所以，侧面展开图的弧长为， 则， 【经典例题六 圆台表面积的有关计算】 【例6】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知圆台的上､下底面半径分别为和，母线长为，则圆台的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆台的侧面积公式即可直接求解. 【详解】圆台侧面积； 故选：A 1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径与下底面的半径满足，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据圆台侧面积公式计算即可． 【详解】因为该圆台的侧面积为，母线长， 所以，解得，则， 故选：C． 2．（2024·陕西商洛·一模）如图，这是一个圆台形水泥墩，已知该水泥墩的上底面圆的半径为1分米，下底面圆的半径是2分米，高为3分米，则该水泥墩的表面积是 平方分米． 【答案】 【分析】求出圆台的母线长，利用圆台的表面积公式即得答案. 【详解】由题可知该圆台形水泥墩的母线长分米， 则该水泥墩的表面积为平方分米． 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留） 【答案】 【分析】作出圆台的侧面展开图的示意图，可求得圆台的母线长，从而可求圆台的侧面积. 【详解】如图，设圆台上底面周长为． 因为圆环的圆心角是180°，所以． 又因为，所以．同理． 所以， ． 因此，圆台的侧面积为． 【经典例题七 球的体积的有关计算】 【例7】（24-25高三上·河南·期中）葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄､多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上､中､下三个几何体的高度之比为，且总高度为，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得两球的半径，结合球的体积公式运算求解即可. 【详解】由葫芦摆件总高度为，且高度之比为， 可得两个球的直径分别为，故它们的半径分别为， 所以下面球的体积与上面球的体积之差为. 故选：D. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆台的体积为，下底面半径是上底面半径的倍，高为上、下底面半径的等比中项，若圆台的上、下底面圆，恰好在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台的体积，结合已知条件求得上底面和下底面半径以及高；再设出外接球半径，列出方程，求解即可. 【详解】设圆台的上底面半径为，则下底面半径为，高为， 故，得. 连接，根据对称性可得球心在直线上，设球的半径为，，    则， 另：球心可能在线段上，也可能在线段的延长线上，当设出（或）的长度时， 两种情况列出的方程组一样，所以此处不再对球心的位置进行讨论； 根据方程组解得，，故球的表面积为. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）若一个球的半径为3，则其体积为 . 【答案】 【分析】根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为球的半径为， 所以球的体积为. 故答案为： 3．（23-24高二·上海·课堂例题）如图，一个圆锥形的空杯子上放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出来吗？ 【答案】不会 【分析】比较半球体积和圆锥体积即可得解. 【详解】半球形的冰激凌的体积为，圆锥形空杯子的体积为， 而，如果冰激凌融化了，不会溢出来. 【经典例题八 球的表面积的有关计算】 【例8】（24-25高二上·云南文山·期末）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由柱体的体积可得，长方体外接球的半径为，由基本不等式求出的最小值即可求出外接球表面积的最小值. 【详解】设，由长方体的体积为16可得： ，即， 长方体外接球的半径为， 所以， 当且仅当“”时取等，所以， 当，长方体外接球表面积的最小值为. 故选：C. 1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去到正方体的某个顶点的距离均为2的几何体后的剩余部分，则该几何体的表面积为（    ）    A．24－3π B．24－π C．24＋π D．24＋5π 【答案】B 【分析】根据几何体结构特征，利用球、正方体和圆的面积公式可得. 【详解】由题意知，该几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体某个顶点为球心，2为半径的球后的剩余部分， 其表面积等于正方体表面积减去三个半径为2的圆，再加上2为半径的球面， 则. 故选：B 2．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知四棱锥的底面是矩形，平面，，，，则四棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】将四棱锥还原到长方体中，可知四棱锥外接球即为对应长方体外接球，根据长方体外接球的半径公式可得半径与表面积. 【详解】 如图所示，将四棱锥还原到长方体中， 可知四棱锥外接球即为对应长方体外接球， 即外接球球心在长方体的体对角线中点处， 即外接球半径， 则外接球表面积， 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海松江·期中）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.    (1)求“浮球”的体积： (2)要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 【答案】(1) (2)克 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出个的面积，即可求解. 【详解】（1）该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是， 得球的半径与圆柱底面半径均为， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； （2）上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以个“浮球”的表面积为， 因此，个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 1．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形弧长公式可得母线长，进而可得圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的母线长为， 由题意可知：，解得， 所以该圆锥的侧面积. 故选：B. 2．（24-25高二上·云南普洱·期中）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆锥的表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知圆锥的母线长，底面圆周长为，底面圆面积为， 所以圆锥侧面积为，故该圆锥表面积为. 故选：C 3．（24-25高二上·四川达州·期中）已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先需要根据母线长和上下底面半径求出圆台的高，然后再代入体积公式求解. 【详解】设圆台的高为，根据圆台的母线长、高和上下底面半径之差构成直角三角形，由勾股定理可得. 已知，，，则. 代入圆台体积公式， 可得. 故选：C. 4．（2024·宁夏吴忠·一模）已知是球的球面上的三个点，且.若三棱锥的体积是，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得外接圆的半径，再由余弦定理结合锥体的体积公式可得三棱锥的高，即可得到球的半径，从而得到结果. 【详解】因为， 由正弦定理可得外接圆的半径， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以， 所以， 又，所以， 则球的半径，所以球的体积为. 故选：A 5．（2024·全国·模拟预测）已知点是球表面上一点，圆锥的底面圆的圆周都在球的表面上，若圆锥的母线长与高之比为，则球的表面积与圆锥的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球的半径为，圆锥的底面半径为，高为，由已知可得，，可求结论. 【详解】设球的半径为，圆锥的底面半径为，高为， 由圆锥的母线长与高之比为，得，所以， 由，得． 所以球的表面积与圆锥的侧面积的比值为， 故选：D． 6．（24-25高二上·福建莆田·期中）如图，在棱长为的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（    ） A．存在点满足平面∥平面 B．存在点满足平面 C．当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为 D．若，则点的轨迹长为 【答案】ABD 【分析】当点位于点时，平面平面，可判断A选项；根据线线垂直可得平面，即可求解B， 当点位于点时，可判断C选项；利用，建立平面直角坐标系求点的轨迹，进而求轨迹的长，可判断D选项． 【详解】如图， 对于A，平面∥平面， 当点位于点时，平面∥平面，故A正确； 对于B，连接，由于平面平面故， 又，平面，因此平面， 平面，故， 同理可证明，平面，故平面， 因此位于时，此时平面，故B正确， 对于C，当为线段中点时， 与均为直角三角形，且平面平面， 三棱锥的外接球的球心为的中点， 外接球的半径， 三棱锥的外接球体积为，故C错误； 对于D，若， 与均为直角三角形， ，， 如图，在正方形中， 以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 则，， 设，则， 整理得：， 点在面内的轨迹为以为圆心，以为半径的，，， 在中，，， ，故D正确． 故选：ABD． 7．（2024·全国·模拟预测）下列叙述中，正确的有（    ） A．正弦定理的变式： B．余弦定理： C．球体体积公式为： D．棱台的体积公式为： 【答案】ABC 【分析】根据正余弦定理和球体和台体的体积公式即可判断. 【详解】，则正弦定理的变式：，故A正确； ，故B正确； 球体体积公式为：，故C正确； 棱台的体积公式为：，故D错误； 故选：ABC 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 9．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（    ） A．取得最小值 B．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 C．四面体ABMD的外接球的表面积为5π时， D．若，则点O的轨迹长为 【答案】ABD 【分析】对于A，将平面沿翻折到与平面为同一平面，结合勾股定理以及三角形三边关系即可判断；对于B，设N是的中点，得出四边形是菱形即可判断；对于C，当时，验算四面体ABMD的外接球的表面积即可判断；对于D，找出点的轨迹即可验算求解. 【详解】选项A中， 将平面沿翻折到与平面为同一平面，则，当D，M，三点共线时，等号成立，故A正确； 选项B中， 设N是的中点，连接，NB， 而正方体的棱长为2，且分别为的中点，所以， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故B正确； 选项C中，当时，因为CM，AD，AB两两垂直， 所以四面体的外接球的直径，则，此时外接球表面积，故C错误； 选项D中， 由，所以点O在的中垂面上，设的中点为H， 则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，则， 所以点O在以H为圆心，的半圆上运动，点O的轨迹长为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键的得出点首先在面上，进一步得出可确定的轨迹，由此即可顺利得解. 10．（23-24高一下·海南海口·阶段练习）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的表面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【分析】根据圆柱侧面积公式计算判断A，根据圆锥表面积公式计算判断B，根据球的表面积公式求解与圆柱的侧面积比较即可判断C，根据体积公式求解三个几何体的体积即可判断D. 【详解】对于A：球半径为，所以圆柱侧面积为.故A正确； 对于B：圆锥侧面积为，表面积为，故B错误； 对于C：球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等.故C正确； 对于D：， 所以圆柱､圆锥､球的体积之比为3：1：2，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）表面积为的球的体积是 （结果保留） 【答案】/ 【分析】根据表面积求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则， 所以球的体积为. 故答案为： 12．（24-25高三上·山东济南·期中）古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为 . 【答案】 【分析】先根据球的体积得出球的半径，再根据圆柱的表面积公式计算即可. 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得： ， 故答案为：. 13．（23-24高二下·江苏镇江·期末）如图，在直三棱柱中，，该三棱柱存在体积为的内切球（与侧面､底面均相切），为的中点，为棱上的动点，当直线､与平面成角相等时， ，此时四面体的外接球表面积为 . 【答案】 【分析】根据内切球的半径求出柱体的棱长，然后利用球的性质求解外接球的半径，进一步求出外接球的表面积. 【详解】因为直三棱柱的内切球的体积为，所以， 解得内切球的半径为，所以内切圆半径为， 则，因为为的中点，为棱上的动点， 当直线､与平面成角相等时，， 又，所以， 所以，设，则 ，解得，所以，，从而， ，，所以，即有， 所以四点共圆，且圆心为的中点，其半径为， 因为，，，平面， 所以平面，如图， 将直三棱柱补成长方体， 设为中点，连接，取的中点， 连接，则中点即为四面体的外接球的球心， 所以四面体的外接球的半径为， 此时四面体的外接球表面积为. 故答案为：，. 【点睛】方法点睛：求解几何体外接球的半径的解题思路：一是根据球的截面的性质，利用球的半径，截面圆的半径及球心到截面圆的距离三者的关系求解，其中，确定球心的位置是关键；二是将几何体补形成长方体，利用该几何体与长方体共有的外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解. 14．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知圆台的高为1，下底面的面积，体积为，则该圆台的外接球表面积为 ． 【答案】 【分析】首先画出组合体的截面图，再利用几何关系，列方程组，即可求解，最后代入表面积公式. 【详解】设上底面的半径为，下底面的半径为，外接球的半径为， 由下底面的面积为，则， 圆台的体积， 即，解得或（舍）. 当球心在圆台的外侧时，作出圆台与外接球的轴截面，如下图①所示， 设，若． 在和中，，，两式联立， 解得，．所以圆台外接球的表面积为． 当球心在圆台的内侧时，作出圆台与外接球的轴截面，如下图②所示， 设，若． 在和中，，，两式联立， 解得（舍去）， 综上，圆台外接球的表面积为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·上海·期中）表面积为的球的体积为 . 【答案】 【分析】利用球体的表面积公式求出球体的半径，然后利用球体的体积公式可求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，可得， 故该球的体积为. 故答案为：. 16．（24-25高二上·上海·期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm.不计容器的厚度. (1)求球的体积； (2)正方体上底面所在平面将球分割成两部分，体积较小的部分称为“劣球缺”.根据祖順原理，其体积为一个圆柱的体积减去一个圆台的体积.请根据以下示意图，求出本题中“劣球缺”的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设球的半径为，根据球和正方体的结构特征结合题意可得球心到正方体上底面中心的距离为和过正方体上底面截球所得截面圆的半径，再根据即可求解. （2）分别计算圆柱的体积，小圆锥的体积和大圆锥的体积，从而计算出圆台的体积，从而得到劣球缺的体积. 【详解】（1）设球的半径为， 则由题可知球心到正方体上底面中心的距离为，且过正方体上底面截球所得截面圆的半径为， 所以即，， 所以球的体积为. （2）圆柱体的体积为小圆锥的体积为大圆锥的体积为圆台的体积为 则劣球缺的体积为 17．（24-25高二上·上海·期中）如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为4米，球的半径r为1米． (1)这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到）？ (2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该浮球的建造费用（精确到1元）． 【答案】(1)17 (2)880元 【分析】（1）根据圆柱、球的体积计算公式即可求出几何体体积； （2）根据圆柱、球的表面积计算公式即可求出整个几何体表面积，从而得到建造费用. 【详解】（1）由题意得，“浮球”可看成是由一个圆柱体和一个球体组成， 圆柱体底面半径为1，高为4，故体积为， 球体体积， 所以“浮球”的体积. （2）由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积， ，故建造费用为元， 球形部分表面积为， 故建造费用为元， 所以整个“浮球”的建造费用为元. 18．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线. (1)求圆台的表面积与体积； (2)若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值. 【答案】(1)表面积为，体积为 (2) 【分析】（1）根据圆台表面积以及体积公式计算可得结果； （2）利用圆锥与圆台的位置关系求得圆锥体积最大值，再根据圆内切条件可得球的最大半径为，即可求得球体积的最大值. 【详解】（1）由上、下底面直径可得上底面面积为，下底面面积， 圆台侧面积为； 所以圆台的表面积为. 取圆台轴截面，易知为等腰梯形，高为，即为圆台的高； 可得圆台的体积为. （2）如下图所示： 圆锥的高为，当其底面圆的半径最大时，其体积最大； 圆锥底面圆的最大半径为，此时底面右侧以为直径刻画最大圆， 而，则圆台上底面与该圆可得一个倾斜的圆柱，且轴截面为菱形， 当球与上述倾斜圆柱轴截面各边都相切时，其体积最大， 易知为等边三角形，可得， 作于点，易知， 因此球的直径为时，体积最大，此时圆台的高也能满足条件， 所以球体积的最大值为. 19．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为、，求：的值． 【答案】3：2 【分析】设圆柱的底面半径为，分别表示出并求比值即得. 【详解】依题意，设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，球的半径为， 则，， 故. 即的值为. 20．（24-25高一下·全国·课堂例题）某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中，，试求该组合体的表面积. 【答案】 【分析】由圆柱和球的表面积公式即可求解. 【详解】该组合体的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$