专题03 圆的方程（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（重庆专用）

专题03 2023-2024新高考高二圆的方程重庆期末汇编 考点一：圆的方程 1．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【详解】由题意得圆的半径为， 则圆的方程为. 故选：A. 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知直线l的倾斜角为，且过点， (1)求直线l的直线方程； (2)若以原点为圆心的圆C恰好与直线l相切，求圆C的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由倾斜角算斜率，点斜式求直线方程； （2）由圆心到直线距离等于半径，根据圆心和半径求圆的方程. 【详解】（1）直线l的倾斜角为，则直线的斜率， 直线过点，所以直线l的方程为，即. （2）圆心到直线l的距离为， 由于直线l与圆相切，所以圆的半径， 故圆的方程为. 考点二：圆中的弦长问题 1．（23-24高二下·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用几何特征，得到当时弦取得最小值求解即可. 【详解】将圆化为，圆心，半径， 因为，所以点在圆内， 记圆心到直线的距离为，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：C. . 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法求弦长. 【详解】如图：，所以圆心，半径    由图可知，当弦时，弦长最短. 此时，中，，， 所以：. 所以弦长. 故选：D 3．（23-24高二上·重庆·期末）直线 与圆 相交于两点，若 ，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围. 【详解】由圆的方程得：圆心，半径， 圆心到直线，即的距离， ， 变形整理得，即，解得， 的取值范围是， 故选：C. 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线被圆截得的弦长为4，则（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 【答案】A 【分析】先求出圆心和半径，根据直线截圆所得弦长求出弦心距，结合点到直线距离得到方程，，即可解得 【详解】根据化为，圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为，又因为直线截圆的弦长为， 所以有，即，解得； 又圆心到直线的距离为：， 所以，即，解得或. 故选：A 5．（23-24高二上·重庆·期末多选题）直线与圆相交，则弦长可能为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BC 【分析】求出恒过定点，从而得到弦长的最小值和最大值，得到答案. 【详解】的圆心为，半径为， 变形为， 故恒过定点， 由于，故在圆内， 当与直线垂直时，弦长最短， 此时弦长， 当过点时，弦长最长，为直径4， 故弦长可能为3或. 故选：BC 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心，先求出二次函数与坐标轴的所有交点，因为圆心经过直线的垂直平分线可得，再由求出，即可求出圆的标准方程； （2）因为，所以直线过，可求出直线的方程，联立直线与圆的方程，由韦达定理等量代换解决即可. 【详解】（1）令，所以，所以， 令，解得：或，设，， 因为直线的垂直平分线为 设圆心，所以圆的圆心，则 ，解得：，则， 所以圆的标准方程为：. （2）因为等于圆C的直径，所以直线过圆心，因为直线过点， 所以直线为， 所以联立方程，消去得， 设， 所以， . 考点三：圆中的切线最值问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． 【详解】（1）圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； （2）当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线和，其中，为切点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．当最小时，直线的方程为 D．原点到动直线距离的最大值是1 【答案】ABD 【分析】根据直线与圆的位置关系，由几何性质逐项判断即可. 【详解】 对于A，因为，即当最小时，最小， 由点为直线上一动点，， 所以，A正确； 对于B，由题易知， ， 则当最小时，最大，最大，则最大， 因为，所以，即， 的最大值为，B正确； 对于C，由对称性可得，， 则为四边形面积的2倍， ， 由题知，，此时最小值， 此时直线与垂直， 则方程为，联立解得， 所以直线的方程为，C错误； 对于D，由圆的几何性质知，当最大时，最小， 此时原点到动直线距离的最大， 由C知，的方程为， 原点到直线距离，D正确； 故选：ABD 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点为直线上一动点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意两动直线分别过定点，由交轨法可知点的轨迹为以、为直径的圆，判断直线与该圆的位置关系，结合点到直线的距离、三角形三边关系即可求得线段长度的最小值. 【详解】直线恒过定点，直线恒过定点， 由两直线的方程可知：两直线相互垂直. 所以点的轨迹方程为（且），圆心为， 圆心到直线的距离， 所以且与直线相离， 所以线段长度的最小值为. 故选：A. 4．（23-24高二上·重庆·期末多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，下列说法正确的是（    ） A．圆的方程是 B．的取值范围为 C．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为3，该直线斜率为 D．过点A向圆引切线，两条切线的夹角为 【答案】BC 【分析】A选项，设，根据得到方程，化简后得到圆的方程；B选项，根据圆的方程，得到，再利用两点间距离公式得到；C选项，若圆上恰有三个点到直线距离为3，则圆心到直线的距离为1，分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式求出答案；D选项，根据半径和，得到三角函数值，求出两切线夹角. 【详解】A选项，设，则， 变形得到，A错误； B选项，由A选项可知，， 由得，解得， ，B正确； C选项，的圆心为，半径为4， 当直线的斜率不存在时，直线过圆心，显然不满足要求， 当直线的斜率存在时，设其为， 若圆上恰有三个点到直线距离为3，则圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为3，该直线斜率为，C正确； D选项，由于，半径为4，故， 故，故两条切线的夹角为，D错误. 故选：BC 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末多选题）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为6 【答案】BCD 【分析】对于A：直接将圆的一般方程化为标准方程来判断；对于B：将转化为点和坐标原点连线的斜率来求解；对于C：，求出点与的距离的最大值然后代入即可；对于D：令，代入圆的方程，消去，然后利用求解. 【详解】对于A：圆的标准方程为，其半径为，A错误； 对于B：，其表示点和坐标原点连线的斜率， 当过的直线与圆相切时，分别取最大和最小， 设过的直线为， 则，解得，故的最小值为，B正确； 对于C：， 其中表示点与的距离， 则的最大值为， 则，C正确； 对于D：令，则，代入圆的方程得 ， 整理得， 得，解得， 即的最大值为6，D正确. 故选：BCD. 考点四：圆与圆的位置关系问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆与圆内切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接根据两圆心距离等于半径差列式计算. 【详解】圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为， 点明显在圆外， 所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意得到两圆相外切，即可得到答案. 【详解】由题意圆，即， 所以圆心，， 圆，即， 所以圆心，， 所以两圆圆心距， 所以两圆外切，公共切线为3条. 故选：C. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意，得到两圆的相交，结合圆与圆的位置的判定方法，列出不等式，即可求解. 【详解】 因为圆和圆有且仅有2条公切线，可得两圆的位置相交，所以， 即，平方得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知圆和圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．点为圆上一动点，的最大值为 C．圆与圆的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆的公共弦长为 【答案】BCD 【分析】根据圆心距和两圆半径的比较，即可得出两圆相交，判断选项A，由对称性判断B，联立两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，判断C，利用点到直线的距离公式和勾股定理即可求解公共弦长判断选项D. 【详解】对于A：由题知，，，，，则， 又，即， 所以圆与圆相交，有两条公切线，A错； 对于B：点为圆上一动点，则的最大值为，故B正确；    对于C：联立得， 故圆与圆的公共弦所在直线方程为，C正确； 对于D：点到的距离为， 所以圆与圆的公共弦长为，D正确. 故选：BCD 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆，圆，若存在使得两圆有公共点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据两个圆的圆心位置，结合圆与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】由圆的标准方程可知， 设，所以有， 故点C在直线上，点D在以为圆心，2为半径的圆上， 故圆D上的点均在以M为圆心，3为半径的圆上及其内部， 由题意可知圆与圆C有交点，即，解得． 故答案为：    【点睛】关键点睛：判断圆D上的点的在圆M上，是解题的关键. 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知为圆上一动点，，点为轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】数形结合求出的最小值，从而将求的最小值转化为求定点到x轴上点的距离之和的最小值，利用对称性求解即可. 【详解】如图，由题意， 的最小值是， 所以的最小值即为求的最小值， 点关于x轴的对称点为， 则，当M，P，三点共线时，最小， 所以，即此时的值最小，即的最小值为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 2023-2024新高考高二圆的方程重庆期末汇编 考点一：圆的方程 1．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知圆心为点，且过点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知直线l的倾斜角为，且过点， (1)求直线l的直线方程； (2)若以原点为圆心的圆C恰好与直线l相切，求圆C的方程. 考点二：圆中的弦长问题 1．（23-24高二下·重庆·期末）过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期末）直线 与圆 相交于两点，若 ，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线被圆截得的弦长为4，则（    ） A．或3 B． C．3 D．或1 5．（23-24高二上·重庆·期末多选题）直线与圆相交，则弦长可能为（    ） A．2 B．3 C． D．5 6．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆过二次函数与坐标轴的所有交点． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆交于两点，为坐标原点，且，求． 考点三：圆中的切线最值问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 2．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线和，其中，为切点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．当最小时，直线的方程为 D．原点到动直线距离的最大值是1 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与直线相交于点为直线上一动点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期末多选题）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，下列说法正确的是（    ） A．圆的方程是 B．的取值范围为 C．过点A作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为3，该直线斜率为 D．过点A向圆引切线，两条切线的夹角为 5．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末多选题）已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（    ） A．圆的半径为2 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为6 考点四：圆与圆的位置关系问题 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆与圆内切，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·重庆·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆与圆有且仅有2条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·重庆·期末多选题）已知圆和圆，则下列说法正确的是（    ） A．圆与圆有四条公切线 B．点为圆上一动点，的最大值为 C．圆与圆的公共弦所在直线方程为 D．圆与圆的公共弦长为 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知圆，圆，若存在使得两圆有公共点，则实数a的取值范围为 ． 6．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知为圆上一动点，，点为轴上一动点，则的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$