专题01直线和圆的方程（考点清单，8考点&6题型解读）（期末复习知识清单）高二数学上学期北师大版

专题01 直线和圆的方程 【清单01】直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 【清单02】直线的方程 1、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 2、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 3、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 【清单03】两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 【清单04】三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 【清单05】圆的方程 1、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 2、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外；②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外；②点P在圆上； ③点P在圆内． 【清单06】直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 【清单07】圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 【清单08】直线与圆常用结论 1、直线 1）、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2）、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3）、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 4）、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 5）、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 6）、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 2、圆 1）、关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 【考点题型一】直线的斜率和直线的关系 【例1】.若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-4】.（多选）设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．若，则或-1 B．若，则 C．恒过定点 D．被圆C截得的弦长最小值为4 【考点题型二】直线的方程及距离问题 【例2】.已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】.已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（多选）下列命题正确的有（    ） A．两平行线间的距离为2 B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C．直线的方向向量可以是 D．直线与直线平行，则或2 【变式2-4】.以下结论： ①在空间，若，则四点必共面； ②在平面直角坐标系中，到点的距离为1，到点的距离为2的直线有且仅有2条； ③在平面直角坐标系中，已知点到直线的距离相等，则； ④在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为，设此轨迹为C，在轨迹C上存在点，使得； 其中说法正确的序号是 . 【考点题型三】直线的方程 【例3】.已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边上中线所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程 【变式3-1】.已知为实数，设直线． (1)若，求的值； (2)若，求与的距离． 【变式3-2】.已知的三个顶点，，， (1)边所在直线的方程 (2)边上的中线所在直线的方程. (3)的面积 【变式3-3】.如图，在菱形中，. (1)求所在直线的方程； (2)求所在直线的倾斜角； (3)求所在直线的方程. 【考点题型四】圆的方程 【例4】.已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】.已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为 ． 【变式4-4】.已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． (1)求直线的方程； (2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【考点题型五】直线与圆的位置关系 【例5】.已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程： (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 【变式5-1】.已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】.已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（多选）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 【变式5-4】.（多选）已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过定点 B．若圆C关于直线l对称，则 C．若直线l与圆C相切，则 D．当时，取y轴上一点，则的最小值为 【变式5-5】.已知直线与圆交于，两点，且. (1)求实数的值； (2)若点为直线上的动点，求的面积. 【变式5-6】.已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程. 【考点题型六】圆与圆的位置关系 【例6】.（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【变式6-1】.已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 【变式6-2】.（多选）点P在圆上，点Q在圆上，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值为7 C．两个圆心所在直线的斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【变式6-3】.在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 【变式6-4】.已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 课后检测 1．已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 3．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 4．平行线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与.若，则（   ） A． B．1 C． D．2 6．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．已知圆与圆外切，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 9．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.（多选）已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．存在，使 11．（多选）已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （    ） A．切线长最小值为 B．四边形的面积最小值为 C．最小时，弦所在的直线方程为 D．弦长的最小值为 12．在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 13．已知关于的方程. (1)若方程表示圆，求m的取值范围； (2)若圆与圆外切，求的值； (3)若圆与直线相交于两点，且，求的值. 14．已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆E的方程； (3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 15．在平面直角坐标系中，已知. (1)证明：四点共圆； (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 16．记的内角的对边分别为，已知，外接圆的半径为R． (1)求外接圆的面积； (2)圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线截得弦长为8，求直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线和圆的方程 【清单01】直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 【清单02】直线的方程 1、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 2、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 3、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 【清单03】两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 【清单04】三种距离 1、两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 【清单05】圆的方程 1、圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是 2、点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外；②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外；②点P在圆上； ③点P在圆内． 【清单06】直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系判断 （1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 【清单07】圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是： 设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则： 两圆相交； 两圆外切； 两圆相离 两圆内切； 两圆内含（时两圆为同心圆） 设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4 3 2 1 0 【清单08】直线与圆常用结论 1、直线 1）、点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 2）、点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 3）、常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 4）、平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． 5）、垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． 6）、过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 2、圆 1）、关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 【考点题型一】直线的斜率和直线的关系 【例1】.若如图中的直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设直线的倾斜角分别为， 则由图知， 所以，即． 故选：D. 【变式1-1】.若直线：与直线相交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可知， 联立方程，解得，即两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，则    解得， 且直线l的倾斜角为，则，且，解得， 所以直线l的倾斜角θ的取值范围为. 故选：C. 【变式1-2】.已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【详解】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 【变式1-3】.设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】因为∥，则，解得， 若，则，，两直线平行，符合题意； 若，则，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：∥，等价于. 所以“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 【变式1-4】.（多选）设直线：，：，圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．若，则或-1 B．若，则 C．恒过定点 D．被圆C截得的弦长最小值为4 【详解】对于A，若，则，所以，故A不正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，直线：，整理得， 令得，故直线恒过定点，故C正确； 对于D，圆C：的圆心，半径，设点为，则在圆内， 则当时，直线被圆截得的弦长最小， 因为，所以直线被圆截得的弦长的最小值为， 又，所以，此时解得，故存在使得被圆C截得的弦长最小值为4，故D正确． 故选：BCD. 【考点题型二】直线的方程及距离问题 【例2】.已知直线经过定点且与直线平行，若点和到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【详解】若直线经过定点且与直线平行可设直线的方程为； 点和到直线的距离相等可知， 解得或. 故选：C 【变式2-1】.已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 【变式2-2】.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设点 关于直线 的对称点 ， 则 的中点为 ， ， 故 ，解得 ， 要使从点 到军营总路程最短， 即为点 到军营最短的距离， 由点与圆上点的距离的最小值为点与圆心距离减去半径知， “将军饮马”的最短总路程为 ， 故选 ：B 【变式2-3】.（多选）下列命题正确的有（    ） A．两平行线间的距离为2 B．过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条 C．直线的方向向量可以是 D．直线与直线平行，则或2 【详解】A，两平行线间的距离为，A正确； B，过点且在两坐标轴上截距相等的直线：截距为0时， 截距不为0时，设，代入，可得，故直线方程为：，B正确； C，直线的一个方向向量是，与不平行，C错误； D，验证当时，两直线重合，D错误. 故选：AB. 【变式2-4】.以下结论： ①在空间，若，则四点必共面； ②在平面直角坐标系中，到点的距离为1，到点的距离为2的直线有且仅有2条； ③在平面直角坐标系中，已知点到直线的距离相等，则； ④在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为，设此轨迹为C，在轨迹C上存在点，使得； 其中说法正确的序号是 . 【详解】①因为，且，所以四点必共面，①正确； ②设圆，圆，， 所以圆与圆相交，则圆与圆的公切线有且只有2条， 所以到点的距离为1，到点的距离为2的直线有且仅有2条，②正确； ③由题设可得，即，则或，解得或，③错误； ④设，则， 整理得，即， 设， 则即，， ∵，∴，即，整理得，将代入方程可得：，则，故不存在这样的点，④错误. 故答案为：①② 【考点题型三】直线的方程 【例3】.55．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边所在直线的方程； (2)边上中线所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程 【详解】（1）因为直线经过和两点， 由两点式得的方程为，即 （2），，为的中点， 点的坐标为， 又边的中线过点，两点， 由截距式得所在直线方程为，即 . （3）的斜率，则的垂直平分线的斜率， 由斜截式得直线的方程为，即． 【变式3-1】.已知为实数，设直线． (1)若，求的值； (2)若，求与的距离． 【详解】（1）因为， 又，所以，解得. （2）因为， 又，所以，即，解得或， 当时，，此时， 两平行线间的距离为， 当时，，此时两直线重合，不合题意， 所以，两平行线间的距离为. 【变式3-2】.已知的三个顶点，，， (1)边所在直线的方程 (2)边上的中线所在直线的方程. (3)的面积 【详解】（1）因为，，所以， 所以直线的方程为，即； （2）因为，的中点为， 又，所以， 所以边上的中线所在直线的方程为，即； （3）因为， 点到直线：的距离， 所以. 【变式3-3】.如图，在菱形中，. (1)求所在直线的方程； (2)求所在直线的倾斜角； (3)求所在直线的方程. 【详解】（1）， 所以直线的方程为， 即或）； （2）因为在菱形中，， 所以，由（1）知直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为， 因为对角线互相垂直，所以直线的倾斜角为； （3）直线的方程为， 即， 直线的方程为， 即， 联立可得的坐标为， 所以直线的方程为， 即（或）. 【考点题型四】圆的方程 【例4】.已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 则， 当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号， 所以的最小值为.    故选：C. 【变式4-1】.已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，而， 所以，又圆的半径为2， 故圆上的点到直线的距离的最大值为． 故选：B. 【变式4-2】.已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，，则，，即，①. 因为点A在圆上运动，所以满足②. 把①代入②，得，即. 故线段OA的中点P的轨迹方程为. 故选：D 【变式4-3】.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为 ． 【详解】由题意可设点，由，，，得， 化简得，即. 故答案为：. 【变式4-4】.已知点A是圆C：与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点． (1)求直线的方程； (2)求经过A，B两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【详解】（1）由，解得，即， 显然轴，，点在轴上方，则， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，，线段的中点为，而直线的斜率为1， 因此线段的中垂线方程为，即， 由，解得，于是所求圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为.    【考点题型五】直线与圆的位置关系 【例5】.已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程： (2)已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程. 【详解】（1）的中点为 的垂直平分线方程为，即， 将联立可得，即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. 【变式5-1】.已知圆关于直线对称，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【详解】圆可化为． 可知圆心为，半径， 因为圆关于对称，即直线过圆心， 则，解得， 可得，且， 所以． 故选：D． 【变式5-2】.已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为. 故选：C    【变式5-3】.（多选）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 【详解】对于A，由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为3， 设圆心到直线的距离为， 当时，； 当与直线不垂直时，总有， 综上，，所以点到的最大距离为，故A正确； 对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得， 所以，故B正确； 对于C，若为圆的切线，则，解得， 另一条切线为，斜率不存在，故C错误； 对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时， 点到的距离取最大值，故D正确. 故选：ABD 【变式5-4】.（多选）已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过定点 B．若圆C关于直线l对称，则 C．若直线l与圆C相切，则 D．当时，取y轴上一点，则的最小值为 【详解】解：对于A，直线l：k，即， 令，则，解得，， 所以直线|恒过定点，故A正确; 对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心， 所以，解得，故B错误; 对于C，若直线与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径1， 即，解得，故C正确; 对于D，当时，直线，点关于直线l的对称点， 则有，解得，即， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【变式5-5】.已知直线与圆交于，两点，且. (1)求实数的值； (2)若点为直线上的动点，求的面积. 【详解】（1）将圆可化为， 所以其圆心，半径，作于点， 由垂径定理可得为的中点，如下图所示： 由可得， 又， 解得 （2）由（1）可知，所以， 易知直线与直线平行， 所以点到的距离为， 因此的面积为. 【变式5-6】.已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程. 【详解】（1）解：设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为. （2）解：由题意可知，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时，直线的方程为，即.. 综上所述，直线的方程为或. （3）解：设点，其中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即. 故点的轨迹方程为 【考点题型六】圆与圆的位置关系 【例6】.（多选）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径； 故两圆圆心距为， 对于A，当时，，此时两圆相离，故圆与圆有4条公切线，即A错误； 对于B，当时，是圆的切线， 又圆心到的距离为，即圆与相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，此时圆与圆相离，即C正确； 对于D，当时，，此时圆与圆相交， 将两圆方程相减可得，即圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D错误. 故选：BC 【变式6-1】.已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 【详解】由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 又由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 则圆心距， 由于，所以， 则圆的位置关系为内切. 故选：C. 【变式6-2】.（多选）点P在圆上，点Q在圆上，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值为7 C．两个圆心所在直线的斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【详解】圆，圆心，半径. 圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径， 两圆圆心距，，， A选项错误，B选项正确. 两个圆心所在直线的斜率， C选项正确. 又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误. 故选：BC. 【变式6-3】.在平面直角坐标系中，已知圆和圆． (1)求圆O与圆C的外公切线的长； (2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 【详解】（1）圆心，半径为, 圆心，半径为， 故， 所以外公切线长为． （2）①设点，则满足，得， 所以 ， 而，得，所以． ②设点，以为直径的圆方程为， 即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为． 圆心到直线AB的距离为， 又因为点在圆上，即，， 所以， 设，且， 由对勾函数在单调递减，在单调递增， 得的最小值为，， , 最大值为， 所以的取值范围为． 【变式6-4】.已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 设，点到圆的切线长为， 点到圆的切线长为， 所以， 两边平方并化简得（坐标原点除外）. 所以的方程为（坐标原点除外）. （2）①当直线的斜率不存在时，直线与只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为（），直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以， 用替换，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以四边形面积的最大值为. ②由消去并化简得， 所以， 用替换，可得， 当时，， 所以直线的方程为， 即， 所以直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 综上所述，直线恒过定点. 课后检测 1．已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2．直线和的位置关系是（    ） A．平行 B．不平行 C．平行或重合 D．既不平行也不重合 【详解】因为直线和， 当时，即，此时两直线重合， 当时，即，此时两直线平行， 所以直线和的位置关系是平行或重合. 故选：C 3．点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【详解】点到直线的距离. 故选：D 4．平行线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【详解】方程变形为 由平行线间的距离公式可得所求距离． 故选：A. 5．已知直线与.若，则（   ） A． B．1 C． D．2 【详解】由于，所以， 此时两直线方程分别为， 不重合，符合题意，所以. 故选：B 6．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【详解】设圆心为，，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径的圆， 且，即点在圆外， 所以圆心到原点的距离的最小值为. 故选：B. 7．已知圆与圆外切，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆,其圆心坐标，半径. 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距. 根据两圆外切性质，即，解得. 故选：B. 8．直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【详解】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 9．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于轴的对称点在圆上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，如需圆上的点关于轴的对称点在圆上， 只需圆关于轴的对称圆与圆有交点即可. 圆和圆的圆心分别为，半径分别为和2， 所以圆心距为，因为两圆有交点， 所以有， 即：，又因为，所以. 故选：A. 10.（多选）已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．存在，使 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，直线，即， 令，即，所以直线恒过点，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 11．（多选）已知圆和直线，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点、，则下列说法正确的是 （    ） A．切线长最小值为 B．四边形的面积最小值为 C．最小时，弦所在的直线方程为 D．弦长的最小值为 【详解】圆心为，半径为，连接、，则， 对于A选项，由勾股定理可得， 当时，取最小值，此时，也取最小值， 且，则，A错； 对于B选项，由切线长定理可得， 又因为，，所以，， 故， 当且仅当时，等号成立，故四边形面积的最小值为，B对； 对于C选项，当取最小值时，， 因为直线的斜率为，则，此时，直线的方程为， 联立可得，此时，点，线段的中点为， 因为，且， 所以，四边形为正方形，此时，， 且直线过线段的中点，则直线的方程为，即，C对； 对于D选项，设， 因为，则， 因为，则，且为的中点， 所以，，且， 当时，取最小值，此时，， 故，D错. 故选：BC. 12．在中，，边AC上的高BE所在的直线方程为，边AB上中线CM所在的直线方程为． (1)求点C坐标； (2)求直线BC的方程． 【详解】（1）由直线：的斜率为，得直线的斜率， 直线的方程为，即，由，解得， 所以点C的坐标为. （2）依题意，设，则边的中点在直线上， 于是，解得：，即点， 所以直线BC的方程为，即. 13．已知关于的方程. (1)若方程表示圆，求m的取值范围； (2)若圆与圆外切，求的值； (3)若圆与直线相交于两点，且，求的值. 【详解】（1）由方程，整理得， 因为方程表示圆，可得，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由圆，可得， 可得圆心为，半径为， 又由圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，可得，即， 解得. （3）由（2）知，圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相交于两点，且， 根据圆的弦长公式，可得， 可得，即，解得. 14．已知圆C：，直线l：是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线上． (1)求公共弦AB的长度； (2)求圆E的方程； (3)过点分别作直线MN，RS，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形MRNS面积的最大值与最小值． 【详解】（1）圆，所以圆的圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离， 公共弦； （2）圆的圆心在直线上，设圆心， 由题意得，，即，到的距离， 所以的半径， 所以圆的方程：； （3） 当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，， 所以，四边形的面积； 当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时， 设直线为：， 则直线为：， 所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， ，， 设， 当或1时，正好是轴及垂直轴， 面积， 当时，最大且，或1时，最小， 四边形面积的最大值17，最小值． 15．在平面直角坐标系中，已知. (1)证明：四点共圆； (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）设经过三点的圆的方程为， 则， 解方程组可得， 所以圆的方程为（或）； 又点在圆上， 所以证得四点在圆上； （2）当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设直线方程为， 即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； （3）设的坐标为，依题意可得， 平方化简可得的轨迹方程为， 两圆圆心的距离， 所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点. 16．记的内角的对边分别为，已知，外接圆的半径为R． (1)求外接圆的面积； (2)圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线截得弦长为8，求直线的方程． 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 因为，所以， 则，即，即， 又，则，所以，即， 则，即， 所以外接圆的面积为. （2）由圆，圆心为，半径为， 设，由题意得， 解得，即， 则圆的方程为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，，则，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 到直线距离为， 由，得， 解得，则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$