期中测试卷-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

测试卷参考答案 １９３　 是４×３×２＝２４． (２)第１类方法是从４本不同的计算机书和３本 不同的文艺书中各选取１本,有４×３种方法;第 ２类方法是从４本不同的计算机书和２本不同的 体育书中各选取１本,有４×２种方法;第３类方 法是从３本不同的文艺书和２本不同的体育书中 各选取１本,有３×２种方法．根据分类加法计数原 理,不同取法的种数是４×３＋４×２＋３×２＝２６． １９．解:(１)将三个相声节目看成一个整体,总共三 个节目排列:P３３P３３ ＝３６(种)． (２)先将相声节目排好,然后再将唱歌节目插入 其中的空中:P３３P２４ ＝７２(种)． ２０．解:(１)由二项式定理可知,在(１＋２x)７ 展开式 中,第r＋１项为Tr＋１ ＝Cr７􀅰１７－r􀅰(２x)r ＝Cr７􀅰 ２r􀅰xr．所以第４项的二项式系数为C３７ ＝３５． (２)由二项式定理可知,在(１＋２x)７ 展开式中, 第r＋１项为Tr＋１ ＝ Cr７􀅰１７－r􀅰(２x)r ＝ Cr７􀅰 ２r􀅰xr．当r＝３时,(１＋２x)７ 展开式中含x３ 的 项的系数为C３７􀅰２３ ＝２８０． ２１．解:(１)从中选 ２名代表,没有女生的选法有 C２５ ＝１０种,所以从中选２名代表,必须有女生的 不同选法有C２９ －C２５ ＝２６种． (２)从中选出男、女各２名的不同选法有C２５C２４ ＝ ６０种． (３)男生中的甲与女生中的乙至少有１人被选的 不同选法有C４９－C４７ ＝９１种,将这４人安排到四 个不同的岗位共有P４４ ＝２４种方法,故共有(C４９－ C４７)P４４ ＝２１８４种安排方法． ２２．解: x＋ １ ２ ３x æ è ç ö ø ÷ n 的展开式的通项公式为Tr＋１ ＝ Crnxn－r １ ２ ３x æ è ç ö ø ÷ r ＝Crn １ ２( ) r xn－ ４ ３r,因为第３项 和第４项的系数比为 ３５ ,所以 C２n １ ２( ) ２ C３n １ ２( ) ３ ＝ ３ ５ , 化简得１０C２n ＝３C３n,解得n ＝１２,所以Tr＋１ ＝ Cr１２ １ ２( ) r x１２－ ４ ３r,令１２－ ４ ３r＝０ ,得r＝９,所以 常数项为C９１２ １ ２( ) ９ ＝ ５５ １２８． 期中测试卷 一、选择题 １．D 【解析】数列 an{ } 的通项公式为an ＝４n－５, 它的图像就是直线y＝４x－５上满足x ∈N∗ 的 一系列孤立的点,故选 D． ２．D 【解 析】cos７１°cos４１°＋sin７１°sin４１° ＝ cos(７１°－４１°)＝cos３０°＝ ３ ２． 故选 D． ３．B 【解析】因 为 an{ } 为 等 差 数 列,所 以 S６ ＝ ６(a１ ＋a６) ２ ＝３ (a１＋a６)＝３(a３＋a４)＝ －４２, 所以a３＋a４ ＝ －１４,又a３＋a５ ＝ －１０,所以公差 d ＝a５－a４ ＝ －１０＋１４＝４,由２a１＋６d＝ －１０ 解得a１ ＝ －１７,故S１０ ＝ －１７×１０＋ １０×９ ２ × ４＝１０,故选B． ４．D 【解析】y＝２cos３x＋ π ３( ) ＝２sin３x＋ ５π ６( ) ＝ ２sin ３x＋ ５π １８( )[ ] ,则将函数y＝２cos(３x＋ π ３ ) 图像上所有的点向右平移５π １８ 个单位长度,即可得 到函数y ＝２sin３x 的图像．故选 D． ５．B 【解析】因为b＝２,A ＝１２０°,三角形的面积 S ＝ ３,所以 １ ２bcsinA ＝ ３ ,即 １ ２ ×２×c× sin１２０°＝ ３,解得c＝２,由余弦定理,得a２ ＝ ２２＋２２－２×２×２×cos１２０°＝１２,解得a＝２３, 由正弦定理,得２R＝ a sinA ＝ ２３ ３ ２ ,解得R＝２,故 选B． ６．D 【解析】设公比为q,因为a１ ＋a２ ＝１６,a３ ＋ a４ ＝３２,所以q２ ＝ a３ ＋a４ a１ ＋a２ ＝ ３２ １６＝２ ,所以a７＋ １９４　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 a８ ＝q６(a１ ＋a２)＝１６×２３ ＝１２８,故选 D． ７．B 【解析】因为cosC ＝ １３ ４ ,则C 为锐角,且 sinC＝ １－cos２C ＝ ３ ４ ,因为２a＝３c,由正弦 定理可得sinA ＝ ３ ２sinC ＝ ３ ２ × ３ ４ ＝ ３ ３ ８ ． 故 选B． ８．D 【解析】由题意可知,a５,４a３,－２a４ 成等差数 列,所以a５－２a４ ＝８a３,即a３q２－２a３q＝８a３,所 以q２ －２q－８＝０,q＝４或q＝ －２(舍),所以 a４ ＝a２q２ ＝８,a１a７ ＝a２４ ＝６４,故选 D． ９．D 【解析】由题设,２x＋ π ６( ) ∈ π ６ ,７π ６[ ] ,故 f(x)＝sin２x＋ π ６( ) ∈ － １ ２ ,１[ ] ,所以f(x) 的最大值和最小值分别为１,－ １ ２． 故选 D． １０．D 【解 析 】cos ２θ ＝ cos２θ － sin２θ ＝ cos２θ－sin２θ cos２θ＋sin２θ ,分 子、分 母 同 时 除 以cos２θ,得 cos２θ＝ １－tan２θ １＋tan２θ ＝ １－ １ ２ １＋ １ ２ ＝ １ ３． 故选 D． 二、填空题 １１．５６６５ 【解析】因为α,β 都是锐角,所以０＜α＋ β ＜π,cosα ＝ １－sin２α ＝ ４ ５ ,sin(α＋β)＝ １－cos２(α＋β)＝ １２ １３ ,所以cosβ＝cos[(α＋ β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝ ５ １３× ４ ５ ＋ １２ １３× ３ ５ ＝ ５６ ６５． １２．２sin２x＋ ２π ３( ) 【解析】由题中图像可得 T ＝ ２ ５π１２＋ π １２( ) ＝π,所以ω＝ ２π π ＝２ ,再根据五点 法作图可得２× － π １２( ) ＋φ＝ π ２＋２kπ ,k∈Z, 因为 φ ＝ ２π ３ ＋２kπ ,k ∈ Z,因 为 f(x)＝ Asin２x＋ ２π ３( ) ,又f(０)＝Asin ２π ３ ＝ ３ ,所以 A ＝２,所以f(x)＝２sin２x＋ ２π ３( ) ． １３．π３ 【解析】在 △ABC 中,a∶b∶c＝３∶ ７∶２, 设a＝３t,b＝ ７t,c＝２t(t＞０),由余弦定理得 cosB ＝ a２ ＋c２ －b２ ２ac ＝ １ ２ ,因为B ∈ (０,π),所 以B ＝ π ３． １４．１２０ 【解析】因为 an{ } 为等差数列,所以S９ ＝ ９a１ ＋ ９×８ ２ d＝９a１＋３６d＝５４ ,a１１＋a１２＋a１３ ＝ a１ ＋１０d＋a１＋１１d＋a１＋１２d＝３a１＋３３d＝ ２７, ９a１ ＋３６d ＝５４, ３a１ ＋３３d ＝２７,{ 解 得 a１ ＝ ３０ ７ , d ＝ ３ ７． ì î í ï ï ï ï S１６ ＝ １６a１ ＋ １６×１５ ２ d ＝１６× ３０ ７ ＋１２０× ３ ７ ＝１２０． １５．１７ 【解析】设等比数列 an{ } 的首项为a１,则 S４ ＝ a１(１－q４) １－q ＝ １,则S８ ＝ a１(１－q８) １－q ＝ a１(１－q４)(１＋q４) １－q ＝ S４(１＋q４)＝１× (１＋ ２４)＝１７． 三、解答题 １６．解:(１)因为Sn ＝２n－１(n∈N∗ ),所以当n＝ １时,a１ ＝S１ ＝２－１＝１;当n ≥２时,an ＝ Sn －Sn－１ ＝２n－１－(２n－１－１)＝２n－１．经检验,当 n＝１时,符合上式,所以an ＝２n－１(n∈N∗ )． (２)因为Sn ＝２n２＋n＋３(n∈N∗ ),所以当n＝ １时,a１ ＝S１ ＝２×１２＋１＋３＝６;当n≥２时, an ＝Sn －Sn－１ ＝２n２ ＋n＋３－[２(n－１)２ ＋ (n－１)＋３]＝４n－１．经检验,当n＝１时,不符 合上式,所以an ＝ ６(n＝１), ４n－１(n≥２,n∈N∗ )．{ 测试卷参考答案 １９５　 １７．证 明:右 边 ＝ cos(A＋B)＋２sinAsinB cos(A＋B)－２cosAcosB ＝ cosAcosB－sinAsinB＋２sinAsinB cosAcosB－sinAsinB－２cosAcosB ＝ cosAcosB＋sinAsinB －cosAcosB－sinAsinB ＝ － １．所以左边 ＝ 右边,所以原式成立． １８．解:(１)因为２bcosAc ＝ sinB sinC ,由正弦定理可得, ２sinBcosA sinC ＝ sinB sinC ,因为在△ABC中sinBsinC≠ ０,所以cosA ＝ １ ２ ,因为A 为三角形的内角,所 以A ＝ π ３． (２)因为a＝４３,b＝４,A ＝ π ３ ,由正弦定理可 得４ ３ ３ ２ ＝ ４ sinB ,所以sinB ＝ １ ２． 因为在 △ABC 中b＜a,所以０＜B ＜ π ３．B ＝ π ６ ,C ＝ π ２ , S△ABC ＝ １ ２absinC ＝ １ ２ ×４３×４×１＝８３． １９．解:(１)f(x)＝sinx＋cosx ＝ ２sinx＋ π ４( ) , 所以f(x)的周期为２π,其值域为[－ ２,２]． (２)０或π２ ２０．解:(１)sinα－ π ４( ) ＝ ２ ２sinα－ ２ ２cosα＝ ２ １０ , 即sinα－cosα＝ １ ５ ,联立sin２α＋cos２α＝１,且 α ∈ ０, π ２( ) ,解得sinα ＝ ４ ５ ,cosα ＝ ３ ５． (２)由 (１)得 tanα ＝ ４ ３ ,则 tan(α ＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ ４ ３ ＋７ １－ ４ ３ ×７ ＝ －１,因为α,β∈ ０,π２( ) ,则０＜α＋β ＜π,则α＋β＝ ３π ４． ２１．解:(１)当n＝１时,a１ ＝S１ ＝５,当n＝２时, S２ ＝a１＋a２ ＝ ３ ２×２ ２＋ ７ ２×２＝１３ ,解得a２ ＝ ８．故a１ ＝５,a２ ＝８． (２)当n ≥ ２ 时,an ＝Sn －Sn－１ ＝ ３ ２ [n２ － (n－１)２]＋ ７ ２ [n－ (n－１)]＝ ３ ２ (２n－１)＋ ７ ２ ＝３n＋２． 又a１ ＝５满足an ＝３n＋２,所以 an ＝３n＋２．因为an＋１ －an ＝３(n＋１)＋２－ (３n＋２)＝３,所以数列 an{ } 是以５为首项,３为 公差的等差数列． ２２．解:(１)设等比数列 an{ } 的公比为q,因为数列 an{ } 是各项均为正数的等比数列,所以q ＞０, 由a３ ＝a２ ＋４⇒２q２ ＝２q＋４⇒q＝２,或q＝ －１(舍去),因 此an ＝ ２×２n－１ ＝ ２n,Sn ＝ ２(１－２n) １－２ ＝ ２n＋１ －２． (２)由bn ＝log２an ＝log２２n ＝n,因为bn＋１ － bn ＝n＋１－n＝１,所以数列 bn{ } 是等差数列, 因此Tn ＝ (１＋n)n ２ ＝ n２ ＋n ２ ． 第９章测试卷 一、选择题 １．C 【解析】对于 ①,半小时内经过的车辆数可以 一一列举出来,① 是离散型随机变量;对于 ②,沿 直线y＝２x 进行随机运动的质点,质点在直线上 的位置不能一一列举出来,② 不是离散型随机变 量;对于 ③,５分钟内接到的雷达电话次数可以一 一列举出来,③ 是离散型随机变量;对于 ④,某同 学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内 的任意值,不能一一列举出来,④ 不是离散型随机 变量．所以,给定的随机变量是离散型随机变量的 有 ①③．故选C． ２．D 【解析】因为甲、乙两人下象棋,赢了得３分,平 局得１分,输了得０分,故 ξ＝３{ } 表示两种情况, 即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选 D． 期中测试卷 １２７　 期中测试卷 (本卷满分１００分,完成时间９０分钟) 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 一、选择题:本大题共１０小题,每小题３分,共３０分． １．若数列 an{ } 的通项公式为an ＝４n－５,则关于此数列的图像叙述正确的是 (　　) A．此数列不能用图像表示 B．此数列的图像仅在第一象限 C．此数列的图像为直线y＝４x－５ D．此数列的图像为直线y＝４x－５上满足x ∈N∗ 的一系列孤立的点 ２．cos７１°cos４１°＋sin７１°sin４１°＝ (　　) A．１２ B．－ １ ２ C．－ ３ ２ D． ３ ２ ３．设等差数列 an{ } 的前n 项和为Sn,若a３＋a５＝－１０,S６＝－４２,则S１０＝ (　　) A．－１２ B．１０ C．１２ D．２０ ４．为了得到函数y＝２sin３x 的图像,只要把函数y＝２cos３x＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ 图像上所有的点 (　　) A．向右平移 π９ 个单位长度 B．向左平移５π１８ 个单位长度 C．向左平移 π９ 个单位长度 D．向右平移５π１８ 个单位长度 ５．在 △ABC 中,若b＝２,A＝１２０°,三角形的面积S＝ ３,则三角形外接圆的半径为 (　　) A．３ B．２ C．２３ D．３ ６．在等比数列 an{ } 中,如果a１＋a２＝１６,a３＋a４＝３２,那么a７＋a８＝ (　　) A．４０ B．３６ C．５４ D．１２８ １２８　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ７．记 △ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cosC＝ １３ ４ ,２a＝３c,则sinA＝ (　　) A．３４ B． ３３ ８ C． ２３ ９ D． ３ ９ ８．在正项等比数列 an{ } 中,a５,４a３,－２a４ 成等差数列,若a２＝ １ ２ ,则a１a７＝ (　　) A．４ B．８ C．３２ D．６４ ９．函数f(x)＝sin２x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷ ,x ∈ ０, π ２ é ë êê ù û úú 的最大值和最小值分别为 (　　) A．１,－１ B． １ ２ ,－ １ ２ C．１ ,１ ２ D．１ ,－ １ ２ １０．若tanθ＝ ２ ２ ,则cos２θ＝ (　　) A．－ ３ ５ B．－ １ ３ C． ３ ５ D． １ ３ 二、填空题:本大题共５小题,每小题３分,共１５分． 第１２题图 １１．已知α,β都为锐角,sinα＝ ３ ５ ,cos(α＋β)＝ ５ １３ ,则cosβ的 值为 ． １２．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A ＞０,ω ＞０,０＜φ ＜π) 的部分图像如第１２题图所示,则f(x)＝ ． １３．在 △ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c．若a∶b∶ c＝３∶ ７∶２,则B 等于 ． １４．已知等差数列 an{ } 的前n 项和为Sn,若S９ ＝５４,a１１ ＋a１２ ＋a１３ ＝２７,则S１６ ＝ ． １５．设等比数列 an{ } 的前n 项和为Sn,若公比q＝２,S４＝１,则S８＝ ． 三、解答题:本大题共７小题,共５５分．解答应写出过程或步骤． １６．(６分)已知数列 an{ } 的前n 项和为Sn,求数列 an{ } 的通项公式． (１)Sn ＝２n －１,n ∈N∗ ; (２)Sn ＝２n２＋n＋３,n ∈N∗ ． 期中测试卷 １２９　 １７．(５分)证明:cos (A＋B)＋２sinAsinB cos(A＋B)－２cosAcosB ＝－ １． １８．(６分)在 △ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且满足２bcosAc ＝ sinB sinC． (１)求A; (２)若a＝４３,b＝４,求S△ABC． １９．(８分)已知f(x)＝sinx＋cosx． (１)求f(x)的周期和值域; (２)若f(x)＝１,x ∈ [０,π],求x 的值． １３０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ２０．(１０分)已知sinα－ π ４ æ è ç ö ø ÷＝ ２ １０ ,tanβ＝７,其中α,β ∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷ ． (１)求sinα 的值; (２)求α＋β． ２１．(１０分)已知数列 an{ } ,其前n 项和为Sn ＝ ３ ２n ２＋ ７ ２nn ∈N ∗( ) ． (１)求a１,a２; (２)求数列 an{ } 的通项公式,并证明数列 an{ } 是等差数列． ２２．(１０分)已知 an{ } 是各项均为正数的等比数列,a１＝２,a３＝a２＋４． (１)求 an{ } 的通项公式及前n 项和Sn; (２)设bn ＝log２an,求 bn{ } 的前n 项和Tn．