第7章 数列测试卷-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

第７章测试卷 １１９　 第７章测试卷 (本卷满分１００分,完成时间９０分钟) 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 一、选择题:本大题共１０小题,每小题３分,共３０分． １．已知数列 an{ } 的前n 项和是２n －１,则a５＝ (　　) A．９ B．１６ C．３１ D．３３ ２．下列有关数列的说法中正确的是 (　　) A．数列１,０,－１,－２与数列－２,－１,０,１是相同的数列 B．如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列 C．数列０,２,４,６,８,􀆺 的一个通项公式为an ＝２n D．数列 ３,７,１１,１５,􀆺 的一个通项公式为an ＝ ４n－１ ３．已知等差数列 an{ } 前９项的和为２７,a１０＝８,则d＝ (　　) A．１３ B． １ ２ C．１ D．２ ４．若数列为３７,３１０,３１３,３１６,􀆺,则３８２ 是这个数列的 (　　) A．不在此数列中 B．第２５项 C．第２６项 D．第２７项 ５．设等差数列 an{ } 的前n 项和为Sn,若a３＋a５＝－１０,S６＝－４２,则S１０＝ (　　) A．－１２ B．１０ C．１２ D．２０ ６．已知等比数列{an},且a１＝１,a５＝５,则a３ 的值为 (　　) A．３ B．５ C．± ５ D． ５ ２ ７．在等比数列 an{ } 中,a３＝９,a５＝１,则a４ 是 (　　) A．１ B．３ C．±１ D．±３ ８．在等比数列 an{ } 中,a１＋a３＝２,a３＋a５＝６,则a１＝ (　　) A．２ B．３ C．１３ D． １ ２ １２０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ９．已知数列 an{ } 的通项公式为an ＝ １＋(－１)n＋１ ２ ,n ∈N∗ ,则该数列的前４项依次为 (　　) A．１,０,１,０ B．０,１,０,１ C．１２ ,０,１２ ,０ D．２,０,２,０ １０．在正项等比数列 an{ } 中,a５,４a３,－２a４ 成等差数列,若a２＝ １ ２ ,则a１a７＝ (　　) A．４ B．８ C．３２ D．６４ 二、填空题:本大题共５小题,每小题３分,共１５分． １１．２３ ,４ １５ ,６ ３５ ,８ ６３ ,１０ ９９ ,􀆺 的一个通项公式是 ． １２．已知数列 an{ } 满足a１＝１,an＋１＝an －n,则a４＝ ． １３．已知数列 an{ } 的前n 项和Sn ＝２n２＋n－５,那么它的通项公式是 ． １４．已知 an{ } 是等比数列,Sn 为其前n项和,若a２ 是a１,S２ 的等差中项,S４＝１５,则a１＝ ． １５．若依次成等差数列的三个实数a,b,c之和为１２,而a,b,c＋２又依次成等比数列,则 a＝ ． 三、解答题:本大题共７小题,共５５分．解答应写出过程或步骤． １６．(８分)写出数列的一个通项公式,使它的前４项分别是下列各数． (１)２３ ,４ ５ ,８ ７ ,１６ ９ ; (２)－ １ ２ ,２ ３ ,－ ３ ４ ,４ ５ ; (３)３,４,３,４; (４)６,６６,６６６,６６６６． 第７章测试卷 １２１　 １７．(６分)数列 an{ } 的通项公式是an ＝n２－７n＋６． (１)这个数列的第４项是多少? (２)１５０是不是这个数列的项? 若是这个数列的项,它是第几项? １８．(６分)已知Sn 是等差数列 an{ } 的前n 项和,a６＝０,a３＋a７＝６． (１)求数列 an{ } 的通项公式; (２)若Sn ＜０,求n 的最小值． １９．(６分)在等比数列{an}中, (１)已知a１＝－ ３ ２ ,a４＝９６,求前４项和S４; (２)已知公比q＝ １ ２ ,前５项和S５＝ ３１ ８ ,求a１,a５． １２２　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ２０．(９分)已知公差大于０的等差数列 an{ } 满足a１＝１,且a１,a２,a４ 成等比数列． (１)求数列 an{ } 的通项公式; (２)令bn ＝２a２n ,求数列 bn{ } 的前n 项和． ２１．(１０分)已知等差数列 an{ } 的前n 项和为Sn,a１ ＝２,S４ ＝２６．在正项等比数列 bn{ } 中,b１＝２,b２＋b３＝１２．求 an{ } 与 bn{ } 的通项公式． ２２．(１０分)已知 an{ } 是各项均为正数的等比数列,a１＝２,a３＝a２＋４． (１)求 an{ } 的通项公式及前n 项和Sn; (２)设bn ＝log２an,求 bn{ } 的前n 项和Tn． 测试卷参考答案 １８９　 sin１８° －sin１８°＝ － １． １７．解: sin２x １＋cos２x ＝ ２sinxcosx sin２x＋２cos２x ＝ ２tanx tan２x＋２ ＝ ２ ３ ,化简得tan２x－３tanx＋２＝０,解得tanα＝ １或２． １８．解:(１)因为sinθ ＝ ４ ５ ,θ 为第二象限角,所以 cosθ＝ － １－sin２θ＝ － １－ ４ ５( ) ２ ＝ － ３ ５ , 则sin２θ＝２sinθcosθ＝２× ４ ５× － ３ ５( ) ＝ － ２４ ２５． (２)cosθ－ π ６( ) ＝cosθcos π ６ ＋sinθsin π ６ ＝ － ３ ５ × ３ ２ ＋ ４ ５ × １ ２ ＝ ４－３ ３ １０ ． １９．解:(１)证 明:sinB ＝ sin[π－ (A ＋C)]＝ sin(A＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC,因为 sinB ＝ ２sinAcosC,所 以 ２sinAcosC ＝ sinAcosC＋cosAsinC,sinAcosC－cosAsinC＝ ０,sin(A－C)＝０,因为A,C∈ (０,π),所以A－ C ＝０,即A ＝C． (２)因为B＝１２０°,所以A ＝C＝３０°,由正弦定 理得 b sinB ＝ c sinC ,所以 １ ３ ２ ＝ c １ ２ ,解得c＝ ３ ３ , 所以S△ABC ＝ １ ２bcsinA ＝ １ ２×１× ３ ３ × １ ２ ＝ ３ １２ ． ２０．解:(１)f(x)＝sinx－ ３cosx＝２sinx－ π ３( ) , 所以f(x)的最小正周期为２π,最大值为２,最小 值为－２． (２)把f(x)＝２sinx－ π ３( ) 的图像向左平移 π ３ 后得g(x)＝２sinx＋ π ３ － π ３( ) ＝２sinx． ２１．解:函数f(x)＝asin２x＋bcos２x＋b, (１)由f(０)＝８,f π ６( ) ＝１２,即f(０)＝２b＝ ８,f π ６( ) ＝ ３ ２a＋ ３ ２b＝１２ ,得b＝４,a＝４３． (２)f(x)＝４３sin２x＋４cos２x＋４＝８sin(２x＋ π ６ ) ＋４,当２x＋ π ６ ＝２kπ＋ π ２ ,x ＝kπ＋ π ６ , k∈Z时,函数f(x)的最大值为１２． ２２．证明:欲证原命题,即证a－ccosBb－ccosA ＝ b a ⇔a２ －accosB ＝b２ －bccosA ⇔a２－ac􀅰 a２＋c２－b２ ２ac ＝b ２－bc􀅰 b２＋c２－a２ ２bc ⇔a２ － a２ ＋c２ －b２ ２ ＝b ２ － b２ ＋c２ －a２ ２ ⇔a２ ＋b２ －c２ ＝a２ ＋b２ －c２, 因为a２ ＋b２ －c２ ＝a２ ＋b２ －c２ 恒成立, 所以原命题得证． 第７章测试卷 一、选择题 １．B 【解析】设 数 列 an{ } 的 前n 项 和 为Sn,则 Sn ＝２n －１,则a５ ＝S５－S４ ＝ (２５－１)－(２４－ １)＝１６．故选B． ２．D 【解析】对于选项A,数列１,０,－１,－２与数列 －２,－１,０,１中的数字排列顺序不同,不是同一个 数列,故 A错误;对于选项 B,常数列既不是递增 数列,也不是递减数列,故B错误;对于选项 C,当 n＝１时,a１ ＝２≠０,故C错误;对于选项D,因为 a１ ＝ ４×１－１＝ ３,a２ ＝ ４×２－１＝ ７,a３ ＝ ４×３－１＝ １１,a４ ＝ ４×４－１＝ １５, 􀆺,所以数列的一个通项公式为an ＝ ４n－１, 故 D正确．故选 D． ３．C 【解析】设等差数列 an{ } 的公差为d,因为 S９ ＝ (a１＋a９)×９ ２ ＝２７ ,a１＋a９ ＝２a５,所以a５ ＝ ３．又因为a１０ ＝８,所以d＝ a１０－a５ １０－５ ＝ １．故选C． ４．C 【解析】该数列的指数是等差数列,运用等差数 １９０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 列通项公式求出８２对应的项数即可．设数列７, １０,１３,１６,􀆺 为数列 an{ } ,则数列 an{ } 是以７为 首项,３为公差的等差数列,其通项公式为an ＝７ ＋３(n－１)＝３n＋４,令３n＋４＝８２,解得n＝２６． 故选C． ５．B 【解析】因 为 an{ } 为 等 差 数 列,所 以 S６ ＝ ６(a１ ＋a６) ２ ＝３ (a１＋a６)＝３(a３＋a４)＝ －４２, 所以a３＋a４ ＝ －１４,又a３＋a５ ＝ －１０,所以公差 d＝a５－a４ ＝ －１０＋１４＝４,由２a１＋６d＝ －１０ 得a１ ＝ －１７,故S１０ ＝ －１７×１０＋ １０×９ ２ ×４＝ １０,故选B． ６．B 【解析】设公比为q,因为a１ ＝１,a５ ＝５,所以 q４ ＝ a５ a１ ＝ ５,所以q２ ＝ ５,所以a３ ＝a１q２ ＝ ５． 故选B． ７．D 【解析】在等比数列 an{ } 中,因为a３,a４,a５ 成 等比数列,且a３ ＝９,a５ ＝１,所以a２４ ＝a３􀅰a５ ＝ ９⇒a４ ＝ ±３,故选 D． ８．D 【解析】在等比数列 an{ } 中,由６＝a３＋a５ ＝ (a１ ＋a３)q２ ＝２q２ 得q２ ＝３,所以,a１ ＋a３ ＝ a１ ＋a１q２ ＝４a１ ＝２,所以a１ ＝ １ ２ ,故选 D． ９．A 【解析】把n＝１,２,３,４依次代入通项公式,得 a１ ＝ １＋(－１)１＋１ ２ ＝１ ,a２ ＝ １＋(－１)２＋１ ２ ＝０ , a３ ＝ １＋(－１)３＋１ ２ ＝１ ,a４ ＝ １＋(－１)４＋１ ２ ＝０． 故选 A． １０．D 【解析】由题意可知,a５,４a３,－２a４ 成等差数 列,所以a５－２a４ ＝８a３,即a３q２－２a３q＝８a３, 所以q２ －２q－８＝０,q＝４或q＝ －２(舍),所 以a４ ＝a２q２ ＝８,a１a７ ＝a２４ ＝６４,故选 D． 二、填空题 １１．an ＝ ２n (２n－１)(２n＋１) 【解析】经观察得出,数 列为 ２ １×３ , ４ ３×５ , ６ ５×７ , ８ ７×９ , １０ ９×１１ ,􀆺,数列 的一个通项公式为 ２n(２n－１)(２n＋１) ． １２．－５ 【解析】因为a１ ＝１,an＋１ ＝an－n,所以a２－ a１ ＝ －１,a３－a２ ＝ －２,a４－a３ ＝ －３,累加可 得a４ －a１ ＝ －１－２－３＝ －６,解得a４ ＝ －５． １３．an ＝ －２,n＝１ ４n－１,n≥２{ 【解析】当n＝１时,a１ ＝ S１ ＝２＋１－５＝－２,当n≥２时,an ＝Sn－Sn－１ ＝ (２n２＋n－５)－[２(n－１)２＋(n－１)－５]＝４n－ １,且当n＝１时,４n－１＝４－１＝３≠－２,据此可 得数列的通项公式为an ＝ －２,n＝１, ４n－１,n≥２．{ １４．１ 【解 析 】 设 an ＝ a１qn－１, 由 题 意 得 ２a２ ＝a１ ＋S２, S４ ＝１５,{ 当 公 比 q ≠ １ 时, 有 ２a１q＝２a１ ＋a１q, a１(１－q４) １－q ＝ １５,{ 解得q ＝２,a１ ＝１．当公 比q＝１时,an{ } 是常数列,不满足a２ 是a１,S２ 的等差中项,综上所述,a１ ＝１,q＝２． １５．２或８ 【解析】由题意可得 ２b＝a＋c, a＋b＋c＝１２, b２ ＝a(c＋２), ì î í ïï ïï 整理 得a２ －１０a＋１６＝０,解得a＝２或a＝８． 三、解答题 １６．解:(１)４个项都是分数,它们的分子依次为２,２２, ２３,２４,分母是正奇数,依次为２×１＋１,２×２＋１, ２×３＋１,２×４＋１,所以给定４项都满足的一个 通项公式为an ＝ ２n ２n＋１ ． (２)４个项按先负数,后正数,负正相间排列,其分 子的绝对值依次为１,２,３,４,分母的绝对值比对 应分子的多１,所以给定４项都满足的一个通项 公式为an ＝ (－１)n n n＋１ ． (３)４个项是第１,３项均为３,第２,４项均为４,所 以给定 ４ 项 都 满 足 的 一 个 通 项 公 式 为an ＝ 测试卷参考答案 １９１　 ３,n＝２k－１ ４,n＝２k (k∈N∗{ )． (４)４个项都是由数字６组成的正整数,其中６的 个数与对应项数一致,依次可写为６＝ ２ ３ × (１０ －１),６６＝ ２ ３× (１０２－１),６６６＝ ２ ３× (１０３－１), ６６６６＝ ２ ３ × (１０４－１),所以给定４项都满足的 一个通项公式为an ＝ ２ ３ (１０n －１)． １７．【分析】(１)利用数列 an{ } 的通项公式能求出这 个数列的第４项; (２)令an ＝n２－７n＋６＝１５０,求出方程的解,即 可判断． 解:(１)数列 an{ } 的通项公式是an ＝n２－７n＋ ６．所以这个数列的第４项是a４ ＝４２ －７×４＋ ６＝ －６． (２)令an ＝n２－７n＋６＝１５０,即n２－７n－１４４＝ ０,解得n＝１６或n＝ －９(舍),所以１５０是这个 数列的项,是第１６项． １８．解:(１)设数列 an{ } 的公差为d,因为a６ ＝０,所 以a３＋a７ ＝ (a６－３d)＋(a６＋d)＝ －２d＝６． 解得 d ＝ －３．所 以an ＝a６ ＋ (n －６)d ＝ －３n＋１８． (２)a１ ＝ － ３ ＋ １８ ＝ １５, 所 以 Sn ＝ [１５＋(－３n＋１８)]􀅰n ２ ＝ － ３ ２n ２＋ ３３ ２n． 令Sn ＜ ０,得－ ３ ２n ２ ＋ ３３ ２n＜０ ,解得n ＞１１(n ＜０舍 去)．因为n∈N∗ ,所以n的最小值是１２． １９．解:(１)设公比为q,由a１ ＝ － ３ ２ ,a４ ＝９６, 得q３ ＝ a４ a１ ＝ － ６４,所以q ＝ －４,所以S４ ＝ － ３ ２ [１－(－４)４] １－(－４) ＝ １５３ ２ ． (２)由S５ ＝a１× １－ １ ２( ) ５ １－ １ ２ ＝ ３１ ８ ,解得a１ ＝２, 所以a５ ＝a１q４ ＝ １ ８． ２０．解:(１)设公差为d,因为a１,a２,a４ 成等比数列, 则a２２ ＝a１a４,即(１＋d)２ ＝１× (１＋３d),即 d２ －d ＝０,解得d＝１或d＝０(舍),所以an ＝ a１ ＋(n－１)d ＝１＋n－１＝n． (２)由题可知bn ＝２a２n ＝２２n ＝４n,b１ ＝４, bn＋１ bn ＝ ４,所以 bn{ } 是以４为首项,４为公比的等比数列, 所以Sn ＝b１ ＋b２ ＋􀆺＋bn ＝ ４×(１－４n) １－４ ＝ ４n＋１ －４ ３ ． ２１．解:等差数列 an{ } 的前n 项和为Sn,a１ ＝２, S４ ＝２６,设公差为d,所以４×２＋ ４×３ ２ d＝２６ , 解得d ＝３,所以an ＝a１ ＋ (n－１)d ＝２＋ ３(n－１)＝３n－１．在正项等比数列 bn{ } 中, b１ ＝２,b２＋b３ ＝１２,设公比为q,所以２(q＋q２)＝ １２,所以q２ ＋q－６＝０,解得q ＝２,或q ＝ －３(舍去),所以bn ＝２n． ２２．解:(１)设等比数列 an{ } 的公比为q,因为数列 an{ } 是各项均为正数的等比数列,所以q ＞０, 由a３ ＝a２ ＋４⇒２q２ ＝２q＋４⇒q＝２,或q＝ －１(舍去),因 此an ＝ ２×２n－１ ＝ ２n,Sn ＝ ２(１－２n) １－２ ＝ ２n＋１ －２． (２)由bn ＝log２an ＝log２２n ＝n,因为bn＋１ － bn ＝n＋１－n＝１,所以数列 bn{ } 是等差数列, 因此Tn ＝ (１＋n)n ２ ＝ n２ ＋n ２ ． 第８章测试卷 一、选择题 １．B 【解析】由分步计数原理可知,从甲地到丙地的 不同的走法种数为２×３＝６．故选B． ２．B 【解析】依题意可知,不同的选法有８０＋６０＋ ７０＝２１０种．故选B． ３．B 【解析】将５封信投入３个邮筒,每封信有３种