7.3.1 等比数列的概念-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

４８　 ７．３　 等比数列 ７．３．１ 　 等比数列的概念 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解等比数列的概念; ◎ 掌握等比数列的通项公式; ◎ 能够通过具体实例,发现并总结等比数列的概念及 公比的概念． 重点:等比数列的概念,等比数列通项公式的应用． 难点:等比数列概念的理解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．如果一个数列的首项不为零,且从第２项开始,每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数,那么 这个数列叫做 　　　　　．这个常数叫做这个等比数列的 　　　　,一般用字母q 来表示．由定义 知,若 an{ } 为等比数列,q为公比,则a１ 与q均不为零,且有 an＋１ an ＝q ,即an＋１＝　　　　． ２．等比数列的通项公式:　　　　　　　　　． ３．一般地,当a,G,b构成等比数列时,称G为a和b的等比中项．当G是a与b的等比中项时,有Ga ＝ b G , 因此G２＝ab或 　　　　　　　． 　　 １ 等比数列的通项公式an ＝a１qn－１ 的运用 【例１】 在等比数列 an{ } 中,８a２＋a５＝０,则公比q＝ (　　) A．－３ B．－２ C．２ D．３ 【解题思路】 解法一:把原式换成８a１q＋a１q４＝０,两边同时除以a１q再移项解出q＝－２即可． 解法二:把原式换成８a２＋a２q３＝０,两边同时除以a２ 再移项解出q＝－２即可． 变式训练１ 已知等比数列 an{ } 中,a１＝ １ ４ ,S３＝ ３ ４ ,公比q＝ (　　) A．－２ B．－２或１ C．－１或２ D．１ 　　 ２ 等比中项 【例２】 在等比数列 an{ } 中,已知a４＝５,则a３a５＝ (　　) A．１０ B．２５ C．５０ D．７５ 【解题思路】 由等比数列的性质可知,a３a５＝a２４．因为a４＝５,所以a３a５＝５２＝２５．故选B． 变式训练２ ３＋２与２－ ３ 的等比中项是 (　　) A．１ B．－１ C．±１ D． ２ ２ ４９　 自 我 测 评 一、选择题 １．已知 an{ } 是等比数列,a２＝３,a５＝ １ ９ ,则q＝ (　　) A．３ B．１３ C．± １ ３ D．－ １ ３ ２．如果－１,a,b,c,－１６成等比数列,那么 (　　) A．b＝±４,ac＝－１６ B．b＝－４,ac＝１６ C．b＝４,ac＝－１６ D．b＝±４,ac＝１６ ３．在等比数列 an{ } 中,a７－３a４＝９,a５－３a２＝１,则 an{ } 的公比是 (　　) A．±３ B．－３ C．３ D．９ ４．已知１,a１,a２,７成等差数列,１,b１,b２,b３,９成等比数列,则 b２ a２－a１ 的值是 (　　) A．２３ B． ３ ２ C． ２ ９ D．３ ５．在正项等比数列 an{ } 中,a２􀅰a５＝１０,则lga３＋lga４＝ (　　) A．－１ B．１ C．２ D．０ ６．已知 ２,a＋１,２２ 成等比数列,则a 的值为 (　　) A．１ B．－３ C．１或－３ D．－１或３ ７．在等比数列 an{ } 中,a２＋a３＝２０,a４＋a５＝６０,则a６＋a７＝ (　　) A．４０ B．１８０ C．６０ D．３６０ ８．在等比数列 an{ } 中,a１＝ １ ２ ,S３＝ ３ ２ ,则公比q的值为 (　　) A．２ B．－１或２ C．－２ D．１或－２ 二、填空题 ９．在等比数列 an{ } 中,每项都大于０,且a３a５＋２a４a７＋a６a８＝３６,则a４＋a７＝　　　　． １０．已知数列 an{ } 满足Sn ＝１＋ １ ４an ,则an ＝　　　　． １１．在２和３０之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的 等比中项为 　　　　． 三、解答题 １２．已知数列满足a１＝１,an＋１＝２an ＋１(n ∈N∗ )． (１)求证数列{an ＋１}是等比数列; (２)求{an}的通项公式． ５０　 １３．已知等差数列 an{ } 的公差与等比数列 bn{ } 的公比相等,且都等于d(d ＞０,d ≠１),a１ ＝b１,a３ ＝ ３b３,a５＝５b５,求an,bn． １．已知等比数列 an{ } 是递增数列,满足a４＝３２,a３＋a５＝８０,求 an{ } 的通项公式． 试题精讲 ２．设a１＝２,a２＝４,数列 bn{ } 满足bn ＝an＋１－an,bn＋１＝２bn ＋２．求: (１)数列 bn{ } 的通项公式; (２)数列 an{ } 的通项公式． ７．３．２ 　 等比数列前n项和公式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解等比数列前n 项和公式; ◎ 应用等比数列前n 项和公式,解决简单的问题． 重点:等比数列前n 项和公式的应用． 难点:等比数列前n项和公式的推导知识的实际应用． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．等比数列前n 项和公式:①　　　　　　　　　　　;②　　　　　　　　　　　　． ２．等比数列的性质:设数列 an{ } 为等比数列,公比为q,则 ① 若首项a１ ＞０,公比q＞１,或首项a１ ＜０,公比０＜q＜１,则此数列为 　　　　　　　　 数列; 若首项a１ ＞０,公比０＜q＜１,或首项a１ ＜０,公比q＞１,则此数列为 　　　　　　　　 数列;若 公比q＝１,则此数列为 　　　　　． ② 在有穷等比数列中,与首末两项距离相等的两项积 　　　　,并且等于首末两项的积,若此数列的 项数为奇数,它还等于中间项的 　　　　　　　,即a２􀅰an－１ ＝a３􀅰　　　　　　 ＝􀆺 ＝ak 􀅰 　　　　＝a１􀅰an ＝a２中 ． 训练测评参考答案 １６５　 －３１(舍)． 【能力提升】 解:(１)因为S３ ＝３a１ ＋ ３×(３－１) ２ d ,S７ ＝７a１ ＋ ７×(７－１) ２ d ,又因为S３ ＝S７,所以３a１ ＋３d ＝ ７a１ ＋２１d,即１８d ＝ －４a１,又因为a１ ＝１８,所以 d ＝ －４．故an ＝１８＋(n－１)×(－４)＝ －４n＋２２; Sn ＝１８n＋ n(n－１) ２ × (－４)＝ －２n２ ＋２０n． (２)由(１)知Sn ＝ －２n２＋２０n．当n＝ ２０ －２×(－２)＝ ５时,(Sn)max ＝ (－２)×５２＋２０×５＝５０．故前５项和 最大,最大值为５０． ７．３　 等比数列 ７．３．１　 等比数列的概念 【变式训练１】 B 【解析】因为S３ ＝a１ ＋a２ ＋a３ ＝ １ ４ ＋ １ ４q＋ １ ４q ２ ＝ ３ ４ ,解得q＝ －２或１．故选B． 【变式训练２】 C 【解析】设 ３＋２与２－ ３ 的等比中项为a,则 a２ ＝ (３＋２)(２－ ３)＝ (２)２ －(３) ２ ＝１,所以 a＝ ±１．故选C． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】a５ ＝a２q３ ＝３q３ ＝ １ ９ ,则q＝ １ ３． ２．B 【解析】在等比数列中,首项为 －１,第五项为 －１６,则可知公比q＝ ±２．当q＝２时,a＝ －２, b＝ －４,c＝ －８;当q＝ －２时,a＝２,b＝ －４, c＝８．所以b＝ －４,ac＝１６． ３．A 【解析】a７－３a４ ＝ (a５－３a２)q２ ＝１×q２ ＝ ９,则q＝ ±３． ４．B 【解析】由等差数列１,a１,a２,７得１＋３d＝７, 得d＝２,所以a１ ＝３,a２ ＝５;由等比数列１,b１, b２,b３,９得９＝１×q４,则q２ ＝３,所以b２ ＝１× q２ ＝３,所以 b２ a２ －a１ ＝ ３ ５－３＝ ３ ２． ５．B 【解析】因为a２􀅰a５ ＝a３􀅰a４ ＝１０,所以lga３＋ lga４ ＝lga３a４ ＝lga２a５ ＝lg１０＝１． ６．C 【解析】由(a＋１)２ ＝ ２×２２＝４,得a＋１＝ ±２,所以a＝１或－３． ７．B 【解析】由a４＋a５ ＝(a２＋a３)q２ ＝２０q２ ＝６０, 得q２ ＝３,所以a６＋a７ ＝(a４＋a５)q２ ＝６０×３＝ １８０． ８．D 【解析】S３ ＝a１＋a２＋a３ ＝ １ ２＋ １ ２q＋ １ ２q ２ ＝ ３ ２ ,解得q＝１或－２． 二、填空题 ９．６ 【解析】a３a５ ＋２a４a７ ＋a６a８ ＝a２４ ＋２a４a７ ＋ a２７ ＝ (a４ ＋a７)２ ＝３６,又因为an ＞０,故a４ ＋ a７ ＝６． １０．４３× － １ ３( ) n－１ 【解析】当n＝１时,a１ ＝S１ ＝ １＋ １ ４a１ ,解得a１ ＝ ４ ３ ;当n≥２时,an ＝Sn － Sn－１ ＝ １＋ １ ４an( ) － １＋ １ ４an－１( ) ＝ １ ４ (an － an－１),所以 ３ ４an ＝ － １ ４an－１ ,可得an ＝ － １ ３an－１ , 故该数列是以a１ ＝ ４ ３ ,公比q＝ － １ ３ 的等比数 列,所 以 该 数 列 的 通 项 公 式 为 an ＝ ４ ３ × － １ ３( ) n－１ ． １１．±６ ３ 【解析】设此数列为 ２,x,y,３０,则 有 x２ ＝２y, ２y＝x＋３０,{ 解得 x ＝６, y＝１８,{ 或 x ＝ －５, y＝ ２５ ２．{ (舍) 故插入的两个正数为６,１８．设６,１８的等比中项 为z,则有z２ ＝６×１８,解得z＝ ±６ ３． 三、解答题 １２．解:(１)由an＋１ ＝２an ＋１,得an＋１＋１＝２(an ＋ １)．又因为an ＋１≠０ ,所以 an＋１ ＋１ an ＋１ ＝ ２,即 {an ＋１}为等比数列． (２)由(１)知an＋１＝ (a１＋１)qn－１,即an ＝ (a１＋ １)qn－１ －１＝２×２n－１ －１＝２n －１． １３．解:因为a１ ＝b１,a３ ＝３b３,所以a１ ＋２d ＝ ３a１d２,所以a１(１－３d２)＝ －２d　①． 因为a５ ＝５b５,所以a１＋４d＝５a１d４,所以a１(１－ １６６　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ５d４)＝ －４d　②． ② ① ,得１－５d ４ １－３d２ ＝２,所以d２ ＝１或d２ ＝ １ ５ ,由 题意得d ＝ ５ ５ ,a１ ＝ － ５,b１ ＝ － ５． 所以an ＝a１ ＋ (n－１)d ＝ ５ ５ (n－６);bn ＝ b１dn－１ ＝ － ５× ( ５５ ) n－１ ． 【能力提升】 １．解:设等比数列 an{ } 的公比为q(q＞１),由a４ ＝ ３２,得a３＋a５ ＝ ３２ q ＋ ３２q＝８０．解得q＝２或q＝ １ ２ (舍去)．所以an ＝a４􀅰２n－４ ＝２n＋１． ２．解:(１)因为bn＋１ ＝２bn ＋２,两边同时加２,得 bn＋１ ＋２＝２(bn＋２),所以 bn＋１＋２ bn ＋２ ＝ ２,又因为b１＝ a２ －a１ ＝２,b１＋２＝４,所以数列 bn ＋２{ } 是首项 为４,公比为２的等比数列．所以bn ＋２＝２n＋１,故 bn ＝２n＋１ －２． (２)a２－a１ ＝２２－２,a３－a２ ＝２３－２,a４－a３ ＝ ２４ －２,􀆺,an －an－１ ＝２n －２,累加,an －a１ ＝ ２２＋２３ ＋２４＋􀆺＋２n－２(n－１)＝ ２２(１－２n－１) １－２ － ２(n－１)＝２n＋１ －２n－２,所以an ＝２n＋１ －２n． ７．３．２　 等比数列前n项和公式 【变式训练１】 ３n－１ 【解析】由３S１,２S２,S３ 成等差数列知,４S２ ＝ ３S１＋S３,可得a３ ＝３a２,所以公比q＝３,故等比数 列an ＝a１qn－１ ＝３n－１． 【变式训练２】 C 【解析】由等比数列的性质得a３a９ ＝a２６ ＝２a２５, 因为q＞０,所以a６ ＝ ２a５,q＝ a６ a５ ＝ ２,a１ ＝ a２ q ＝ ２ ２ ＝ ２,故选C． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】由等比数列前n 项和公式得S６ ＝ ３×(１－３６) １－３ ＝ ３ ２ × (３６ －１)＝１０９２． ２．C 【解 析 】 由 a３ ＝ ７,S３ ＝ ２１ 得 a１q２ ＝７, a１(１＋q＋q２)＝２１,{ 解得q＝１或q＝ － １ ２． ３．C 【解析】根据题意可得a１ ＝S１ ＝１,a２ ＝S２－ S１ ＝３－１＝２,故数列 an{ } 的公比q＝ a２ a１ ＝ ２． ４．D 【解析】因为Sn 是等比数列 an{ } 的前n项和, a３ ＝３,S３ ＝９,所以当公比q＝１时,a１ ＝３,此时 S３ ＝９满足题意;当公比q≠１时, a１q２ ＝３, a１(１－q３) １－q ＝ ９,{ 解得 a１ ＝１２, q＝ － １ ２．{ 综上所述,a１ 的值为３或１２． ５．A 【解析】由题设a３ ＝a２q＝２q＝ －４,则q＝ －２,所以a１ ＝ －１,则 an{ } 的前３项和为a１ ＋ a２ ＋a３ ＝ －３． ６．C 【解析】由f(n)＝１＋３＋９＋􀆺＋３n 可知,该 表达式是一个以首项为１,公比为３的等比数列, 共有n＋１项,故f(n)＝１＋３＋９＋ 􀆺 ＋３n ＝ １×(１－３n＋１) １－３ ＝ ３n＋１ －１ ２ ． ７．D 【解析】因为a１ ＝２,q＝２,所以 ２(１－２n) １－２ ＝ ２n＋１ －２＝１２６,所以n＝６． ８．D 【解析】依题意可知这个人每天走的路程为等 比数列,且公比q ＝ １ ２ ,所以S７ ＝ a１ １－ １ ２７( ) １－ １ ２ ＝ １２７ ６４a１ ＝５０８ ,a１ ＝２５６(里)． 二、填空题 ９．３９６８ 【解析】设公比为q,因为a９ ＝８,a１２ ＝１,所 以 a１q８ ＝８, a１q１１ ＝１,{ 解得 q＝ １ ２ , a１ ＝２０４８． { 所以数列 an{ } 的 前５项和为S５ ＝ ２０４８× １－ １ ２５( ) １－ １ ２ ＝３９６８． １０．２ 【解析】在等比数列 an{ } 中,a１ ＝３,an ＝４８, 故公比不为１,则Sn ＝ a１ －anq １－q ＝ ３－４８q １－q ＝ ９３⇒q＝２．