7.2.1 等差数列的概念-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

１６２　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 (n＋１)２,所以当n ＝３时,有a１ 􀅰a２ 􀅰a３ ＝ (３＋１)２ ＝４２ ＝１６;当n＝４时,有a１􀅰a２􀅰a３􀅰 a４ ＝ (４ ＋ １)２ ＝ ５２ ＝ ２５, 所 以 a４ ＝ a１􀅰a２􀅰a３􀅰a４ a１􀅰a２􀅰a３ ＝ ２５ １６ ,故选 A． ７．A 【解析】由an ＝３n＋２可得an－１ ＝３(n－１)＋ ２＝３n－１． ８．C 【解析】可由递推公式得a２ ＝７,a３ ＝２２, a４ ＝６７,a５ ＝２０２． 二、填空题 ９．an ＝ (－１)n＋１􀅰２n(n∈N∗ ) １０．an ＝ (－１)n n １１．９７ 【解析】由递推公式得a２ ＝ －１,a３ ＝３, a４ ＝ ５ ３ ,a５ ＝ ７ ５ ,则a６ ＝ ９ ７． １２．an ＝ (－１)n＋１ ３ n＋２ 【解析】数列可化为 ３ ３ , － ３ ４ ,３ ５ ,－ ３ ６ ,􀆺,则 可 知 每 项 的 符 号 由 (－１)n＋１ 确定,每一项的分子都为３,分母可表示 为n＋２,则这个数列的一个通项公式为an ＝ (－１)n＋１ ３ n＋２ ． １３．１０ 【解析】因为 １n(n＋２)＝ １ １２０ 且n只能取正整 数,所以n＝１０． １４．an ＝２n－１ 三、解答题 １５．解:因为an ＝ (－１)nn－a,所以a１ ＝ (－１)１􀅰 １－a＝ －１－a ,a２ ＝ (－１)２􀅰２－a＝２－a, a３ ＝(－１)３􀅰３－a＝ －３－a,又因为a１＋a３ ＝ ３a２,所以(－１－a)＋(－３－a)＝３(２－a),故 a＝１０．所以a２０１０ ＝(－１)２０１０􀅰２０１０－１０＝２０００． １６．解:(１)因为通项公式an ＝n２ －７n＋６,要让 an ＜０,即n２－７n＋６＜０,解得１＜n＜６,所以 只有２,３,４,５项为负数,故此数列中有４项为 负数． (２)a５ ＝５２－７×５＋６＝２５－３５＋６＝ －１０＋ ６＝ －４． １７．解:设１０是数列 an{ } 中的第n 项,将１０代入数 列的通项公式an ＝a２＋３n得n２＋３n＝１０,解 得n＝ －５(舍去)或n＝２,所以n＝２．故１０是 该数列中的项,且是它的第２项． 【能力提升】 １．解:根据题目中已知数列的项观察分析,可得出 数列的一个通项公式为an ＝n(n＋２)＋１３．假设 ４５３为数列中的一项,则有n(n＋２)＋１３＝４５３, 因为n为正整数,解得n＝２０,即４５３是该数列中 的第２０项． ２．解:通项公式中n可以取从１开始的任何一个正 整数,n取几就代表第几项．此题中是求第８项,只 需将通项公式中的n 换成８算出结果即可,即 a８ ＝１－log１２８＝１－(－３)＝４．故a８ ＝４． ７．２　 等差数列 ７．２．１　 等差数列的概念 【变式训练１】 a１ ＝ ２ ５ ,d ＝a２－a１ ＝１－ ２ ５ ＝ ３ ５ ,an ＝ ３ ５n－ １ ５ ,a１５ ＝ ３ ５ ×１５－ １ ５ ＝ ４４ ５． 【变式训练２】 ３ 【解析】１与５的等差中项为１＋５２ ＝３． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】由题意可知,a１ ＝４,a２ ＝８．所以公差 d ＝a２ －a１ ＝８－４＝４．故a６ ＝a１＋５d＝４＋ ５×４＝２４． ２．B 【解析】由等差中项的定义可知,２B ＝A＋C, 又因为A＋B＋C ＝１８０°,所以３B ＝１８０°,B ＝ ６０°． ３．C ４．C 【解析】由等差中项的定义可知,２lgb＝lga＋ lgc,所以lgb２ ＝lgac,即b２ ＝ac(b＞０),故b＝ ac． ５．D 【解析】在等差数列 an{ } 中,已知a３＝９,a９＝３． 由等差数列的通项公式,可得 a１＋(３－１)d＝９, a１＋(９－１)d＝３,{ 解得 a１ ＝１１, d ＝ －１,{ 即等差数列的公差d ＝ －１． ６．A 【解析】根据数列 an{ } 的通项公式是an ＝ ２n＋５求出首项,再把相邻两项作差求出公差即 可得出结论．因为an ＝２n＋５,所以a１ ＝２×１＋ 训练测评参考答案 １６３　 ５＝７．an＋１ －an ＝２(n＋１)＋５－(２n＋５)＝２, 故此数列是以７为首项,公差为２的等差数列． ７．A 【解析】由题意得a３ ＝a１ ＋２d ＝１２,把a１ ＝ １３代入,求得d＝ － １ ２ ,则an ＝１３－ １ ２ (n－１)＝ － １ ２n＋ ２７ ２ ＝２ ,解得n＝２３． ８．B 【解析】设数列 an{ } 的公差为d,则由a１ ＋ a５ ＝１０,a４ ＝７,可得２a１＋４d＝１０,a１＋３d＝ ７,解得d ＝２． 二、填空题 ９．２,－２ 【解析】由等差数列的基本性质可知, A－６＝B－A, B－A ＝ －６－B,{ ⇒ ２A－B ＝６, ２B－A ＝ －６,{ 解得 A ＝２, B ＝ －２．{ １０．－３ 【解析】an ＝１２－５(n－１)＝ －５n＋１７,故 a４ ＝ －５×４＋１７＝ －３． １１．１３ 【解析】d ＝an＋１－an ＝３,故an ＝１＋(n－ １)×３＝３n－２．所以,a５ ＝３×５－２＝１３． １２．４ １３．９ 【解析】a３ ＝a１ ＋２d,故d ＝２,an ＝a１ ＋ (n－１)d＝１＋(n－１)×２＝２n－１．所以,a５ ＝ ２×５－１＝９． １４．８ 三、解答题 １５．解:因为 an{ } 是等差数列,所以a３ ＝a１＋２d,即 －９＝a１ ＋２×３,a１ ＝ －１５,an ＝３n－１８．故 a２ ＝ －１２,a４ ＝ －６,a５ ＝ －３,a６ ＝０． １６．解:设这三个数中的第二个数为a,则(a－３)＋ a＋(a＋３)＝１８,解得a＝６．所以,这三个数分 别为３,６,９． １７．解:在等差数列 an{ } 中, a１ ＋４d ＝ －３, a１ ＋８d ＝ －１５,{ 解得 a１ ＝９, d＝ －３．{ 故an ＝９＋(n－１)×(－３)＝ －３n＋ １２．把－４８代入,则－３n＋１２＝ －４８,n＝２０．故 ４８是该数列中的项,且是第２０项． １８．解:设公差为k,所以b＝a＋k,c＝a＋２k,d＝ a＋３k,e＝a＋４k． 故 b＋c＋d a＋e ＝ a＋k＋a＋２k＋a＋３k a＋a＋４k ＝ ３a＋６k ２a＋４k ＝ ３(a＋２k) ２(a＋２k)＝ ３ ２． 【能力提升】 １．解:(１)设等差数列 an{ } 的公差为d,因为a１ ＝ －３,１１a５ ＝５a８－１２,所以１１(－３＋４d)＝５(－３＋ ７d)－１２,解得d ＝ ２ ３ ,故an ＝ －３＋ ２ ３ (n－ １)＝ ２n－１１ ３ ． (２)由(１)an ＝ ２ ３n－ １１ ３ ,可知a２ ＝ － ７ ３ ,a２６ ＝ ４１ ３ ,所求各项组成以a２ ＝ － ７ ３ 为首项,公差为２ 的等差数列,此时有４１ ３ ＝ － ７ ３＋ (n－１)×２,n＝ ９,此等差数列有９项．因此a２ ＋a５ ＋a８ ＋ 􀆺 ＋ a２６ ＝９a１ ＋３６d ＝９× － ７ ３( ) ＋３６×２＝５１． ２．解:(１)因为a１ ＝２,an＋１ ＝ an １＋an (n∈N∗ ),所 以 １ an＋１ ＝ １＋an an ＝ １ an ＋ １,１an＋１ － １ an ＝ １为常数, １ a１ ＝ １ ２． 故数列 １ an{ } 是以 １ ２ 为首项,１为公差的 等差数列． (２)１an ＝ １ a１ ＋ (n－１)d ＝ １ ２ ＋ (n－１)×１＝ ２n－１ ２ ,所以an ＝ ２ ２n－１ ． ７．２．２　 等差数列前n项和公式 【变式训练１】 解:解法一:由a６＋a９＋a１２＋a１５ ＝３４得４a１＋３８d＝ ３４,故S２０ ＝２０a１ ＋ ２０×１９ ２ d ＝２０a１ ＋１９０d ＝ ５(４a１ ＋３８d)＝５×３４＝１７０． 解法 二:因 为 S２０ ＝ (a１ ＋a２０)×２０ ２ ＝ １０ (a１ ＋ a２０),由等差数列的性质可得a６＋a１５ ＝a９＋a１２ ＝ a１ ＋a２０,所以a１ ＋a２０ ＝１７,故S２０ ＝１７０． 【变式训练２】 解:由已知可得an＋１ n＋１＝ an n ＋１ ,即an＋１ n＋１－ an n ＝１ ,又 因为a１ ＝ ３ ５ ,所以 an n{ } 是以 a１ １ ＝ ３ ５ 为首项,１为 公差的等差数列．所以 an n ＝ ３ ５ ＋ (n－１)×１＝n－ ２ ５ ,故an ＝n２ － ２ ５n． ４１　 １．写出数列３＋１３,８＋１３,１５＋１３,２４＋１３,３５＋１３,􀆺 的一个通项公式,并验证４５３是否为该数列中的 项．若是,请指出是第几项． ２．数列 an{ } 的通项公式an ＝１－log１２n,求a８ 的值． ７．２　 等差数列 ７．２．１ 　 等差数列的概念 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解等差数列的定义; ◎ 掌握等差数列的通项公式． 重点:等差数列的概念,通项公式的应用． 难点:等差数列概念的理解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．如果一个数列从第２项开始,每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做 　　　　　　．这个常数叫做等差数列的 　　　　,一般用字母 　　　 表示． ２．等差数列的通项公式:　　　　　　　　　　． ３．等差中项:① 一般地,当三个数a,A,b成等差数列时,A 称为a 和b的 　　　　 ,即A＝ a＋b ２ ． ② 数列 an{ } 是等差数列 ⇔２an ＝an－１＋an＋１(n ≥２)． ４２　 　　 １ 等差数列的通项公式 【例１】 求等差数列－１,５,１１,１７,􀆺 的第５０项． 【解题思路】 由于a１＝－１,d＝a２－a１＝５－(－１)＝６,所以通项公式为an ＝a１＋(n－１)d＝－１＋ (n－１)×６＝６n－７,即an ＝６n－７．所以a５０＝６×５０－７＝２９３． 变式训练１ 求等差数列２５ ,１,８５ ,􀆺 的通项公式与第１５项． 　　 ２ 等差数列的等差中项 【例２】 在等差数列 an{ } 中,若a２＋a３＋a４＝１２,则a３＝ ． 【解题思路】 因为a２＋a３＋a４＝１２,a２＋a４＝２a３,即２a３＋a３＝１２,所以a３＝４． 变式训练２ 两个数１与５的等差中项是 　　　　　． 自 我 测 评 一、选择题 １．等差数列４,８,１２,１６,􀆺 的第６项是 (　　) A．１５ B．２４ C．２５ D．３０ ２．在 △ABC 中,三个内角A,B,C 成等差数列,则B 的值是 (　　) A．３０° B．６０° C．４５° D．１２０° ３．下列各数列中是等差数列的是 (　　) A．０,１,３,５,􀆺 B．－２,２,－２,２,􀆺 C．１, ３ ２ ,２,５２ ,􀆺 D．１２ ,１ ３ ,１ ４ ,１ ５ ,􀆺 ４．若lga,lgb,lgc成等差数列,则 (　　) A．b＝ a＋c ２ B．b＝ lga＋lgc ２ C．b＝ ac D．b＝± ac ５．已知等差数列 an{ } 中,a３＝９,a９＝３,则公差d 的值为 (　　) A．１２ B．１ C．－ １ ２ D．－１ ６．已知数列 an{ } 的通项公式是an ＝２n＋５,则此数列是 (　　) A．以７为首项,公差为２的等差数列 B．以７为首项,公差为５的等差数列 C．以５为首项,公差为２的等差数列 D．不是等差数列 ７．在等差数列 an{ } 中,a１＝１３,a３＝１２,若an ＝２,则n 等于 (　　) A．２３ B．２４ C．２５ D．２６ ４３　 ８．在等差数列 an{ } 中,a１＋a５＝１０,a４＝７,则数列 an{ } 的公差为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ 二、填空题 ９．若６,A,B,－６成等差数列,则A＝ ,B＝ ． １０．等差数列的首项为１２,公差为－５,则这个数列的第４项为 ． １１．在数列 an{ } 中,a１＝１,an＋１＝an ＋３,则a５＝ ． １２．２和６的等差中项为 　　　　　． １３．在等差数列 an{ } 中,已知a１＝１,a３＝５,则a５＝　　　　　　． １４．若４与x 的等差中项为６,则x＝　　　　． 三、解答题 １５．已知 an{ } 为等差数列,a３＝－９,公差d＝３,试写出这个数列的a１,a２,a４,a５,a６． １６．已知三个数的和为１８,且这三个数组成公差为３的等差数列．求这三个数． １７．在等差数列 an{ } 中,a５＝－３,a９＝－１５,判断－４８是否为该数列中的项,如果是,请指出是第几项． １８．若a,b,c,d,e成等差数列,求b＋c＋da＋e 的值． ４４　 １．在等差数列 an{ } 中,a１＝－３,１１a５＝５a８－１２．求: (１)通项公式an; (２)a２＋a５＋a８＋􀆺＋a２６． 试题精讲 ２．在数列 an{ } 中,已知a１＝２,an＋１＝ an １＋an (n ∈N∗ )． (１)求证:１an{ } 是等差数列; (２)求数列 an{ } 的一个通项公式． ７．２．２ 　 等差数列前n项和公式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解等差数列的前n 项和公式; ◎ 应用等差数列知识,解决数列的相关计算问题． 重点:等差数列的前n 项和公式及其应用． 难点:等差数列前n项和公式的推导知识的实际应用． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．等差数列前n 项和公式:①　　　　　　　　　　　;②　　　　　　　　　　　　． ２．等差数列的性质:设数列 an{ } 为等差数列,公差为d,则 ① 若d ＞０,则此数列为 　　　　 数列;若d ＜０,则此数列为 　　　 数列;若d＝０,则此数列为常 数列． ② 若 an{ } 是等差数列,且m＋n＝p＋q(m,n,p,q∈N∗ ),则am ＋an ＝　　　(特殊地,当m＋n＝ ２p 时,am ＋an ＝　　　　)．