7.1 数列的概念-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

３８　 ７．１　 数列的概念 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解数列的有关概念; ◎ 理解数列的通项(一般项)和通项公式; ◎ 发现数列的变化规律,并写出通项公式． 重点:数列的通项公式及其应用． 难点:根据数列的前若干项写出它的一个通项公式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．按照一定的次序排成的一列数叫做 　　　　,数列中的每一个数叫做数列的 　　　　　． ２．只有有限项的数列叫做 　　　　　　,有无限多项的数列叫做 　　　　　　　． ３．一般地,当一个数列的第n项an 与项数n之间的关系可以用一个式子来表示时,这个式子就称为这 个数列的 　　　　　　　　． 　　 １ 已知数列的通项公式,求出数列的前n项 【例１】 设数列 an{ } 的通项公式为an ＝ １ ２n ,写出数列{an}的前５项． 【解题思路】 知道数列的通项公式,求数列中的某一项时,只需将通项公式中的n 换成该项的项数,并 计算出结果． a１＝ １ ２１ ＝ １ ２ ;a２＝ １ ２２ ＝ １ ４ ;a３＝ １ ２３ ＝ １ ８ ;a４＝ １ ２４ ＝ １ １６ ;a５＝ １ ２５ ＝ １ ３２． 【注意】 数列的通项公式可能不止一个． 变式训练１ 根据下列各数列的通项公式,写出下列数列{an}的前４项． (１)an ＝３n －２;　(２)an ＝(－１)n􀅰n． ３９　 　　 ２ 已知数列的通项公式,判断一个具体的数是否是该数列中的项 【例２】 判断１６和４５是否为数列{３n＋１}中的项,如果是,请指出是第几项． 【解题思路】 如果数a 是数列中的第k项,那么k必须是正整数,并且a＝３k＋１． 数列的通项公式为an ＝３n＋１． 将１６代入数列的通项公式有１６＝３n＋１,解得n＝５∈N∗ ．所以,１６是数列{３n＋１}中的第５项．将４５ 代入数列的通项公式有４５＝３n＋１,解得n＝ ４４ ３ ∉N ∗ ．所以,４５不是数列{３n＋１}中的项． 变式训练２ 判断１２和５６是否为数列{n２－n}中的项,如果是,请指出是第几项． 自 我 测 评 一、选择题 １．数列０,２,０,２,􀆺 的通项公式是 (　　) A．an ＝１＋(－１)n＋１ B．an ＝２－(－１)n C．an ＝１＋(－１)n D．an ＝２－(－１)n＋１ ２．２６ 是数列 ３,６,３,２３,􀆺 的 (　　) A．第７项 B．第８项 C．第９项 D．第１０项 ３．在数列 an{ } 中,an＋１＝ an ３＋２an ,a１＝１,则a４＝ (　　) A．２５３ B． １ ５ C． １ ５３ D． １ １７ ４．数列－ １ ３ ,１ ３ ,－ ５ ２７ ,７ ８１ ,􀆺 的一个通项公式是 (　　) A．an ＝(－１)n＋１ ２n－１ ３n B．an ＝ (－１)n ２n－１ ３n C．an ＝(－１)n＋１ ２n－１ ３n D．an ＝(－１)n ２n－１ ３n ５．已知数列 an{ } 的通项公式为an ＝n２－２n－５０,则１３是该数列的 (　　) A．第７项 B．第９项 C．第８项 D．非任何一项 ６．已知数列 an{ } 中,对所有的n ≥２都有a１􀅰a２􀅰a３􀆺an ＝(n＋１)２,则a４＝ (　　) A．２５１６ B． １６ ９ C． １６ ２５ D． ４ ９ ７．数列 an{ } 的通项公式an ＝３n＋２,则an－１＝ (　　) A．３n－１ B．３n＋１ C．３n－２ D．－３n＋２ ８．已知数列 an{ } 的首项a１＝２,an ＝３an－１＋１(n ≥２),则a５＝ (　　) A．６７ B．２２ C．２０２ D．２０１ ４０　 二、填空题 ９．数列２,－４,６,－８,１０,􀆺 的通项公式an ＝　　　　　． １０．数列的前４项为 －１, １ ２ ,－ １ ３ ,１ ４ ,则an ＝　　　　　． １１．已知数列 an{ } 中,a１＝ １ ３ ,an＋１＝２－ １ an ,则a６＝　　　　　． １２．数列１,－ ３ ４ ,３ ５ ,－ １ ２ ,􀆺 的一个通项公式是 　　　　　　　． １３．已知数列 an{ } 的通项公式为an ＝ １ n(n＋２) ,那么 １ １２０ 是这个数列的第 　　　　　 项． １４．数列１,２,４,８,１６,􀆺 的通项公式是 　　　　　　　　． 三、解答题 １５．在数列 an{ } 中,已知an ＝(－１)nn－a(a 为常数),且a１＋a３＝３a２,求a２０１０． １６．已知数列 an{ } 的通项公式为an ＝n２－７n＋６．求: (１)数列中有多少项是负数? (２)a５． １７．已知数列的通项公式为an ＝n２ ＋３n,试判断１０是否为该数列中的项．若是,它是数列 an{ } 的第 几项? ４１　 １．写出数列３＋１３,８＋１３,１５＋１３,２４＋１３,３５＋１３,􀆺 的一个通项公式,并验证４５３是否为该数列中的 项．若是,请指出是第几项． ２．数列 an{ } 的通项公式an ＝１－log１２n,求a８ 的值． ７．２　 等差数列 ７．２．１ 　 等差数列的概念 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解等差数列的定义; ◎ 掌握等差数列的通项公式． 重点:等差数列的概念,通项公式的应用． 难点:等差数列概念的理解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．如果一个数列从第２项开始,每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列叫做 　　　　　　．这个常数叫做等差数列的 　　　　,一般用字母 　　　 表示． ２．等差数列的通项公式:　　　　　　　　　　． ３．等差中项:① 一般地,当三个数a,A,b成等差数列时,A 称为a 和b的 　　　　 ,即A＝ a＋b ２ ． ② 数列 an{ } 是等差数列 ⇔２an ＝an－１＋an＋１(n ≥２)． 训练测评参考答案 １６１　 ７．１００２ m 【解析】已知:∠ACB ＝４５°,∠BAC ＝ １０５°,AC ＝１００m,所以 ∠CBA ＝１８０°－４５°－ １０５°＝３０°．由正弦定理得 AB sin∠ACB ＝ AC sin∠CBA , 所以AB＝ AC􀅰sin４５° sin３０° ＝ １００× ２ ２ １ ２ ＝１００２(m)． 三、解答题 ８．解:如图所示,依题意知,AB ＝BC ＝２０００km, ∠ABC ＝ ６０°,所 以 AC ＝ ２０００ km．因 为 ∠ACD ＝４５°,CD ＝ １０００ ２ km,所 以 AD ＝ AC２＋CD２－２AC􀅰CD􀅰cos∠ACD ＝１０００２, 即AD ＝CD ＝１０００２,∠CAD ＝４５°,D 地在A 地的南偏东４５°,D 地距A 地１０００ ２km． ９．解:由题意,可得如下示意图．４０min后,正北方向 的游艇行驶１０× ２ ３ ＝ ２０ ３ (km),北偏东４５°的方 向的游艇行驶７× ２ ３ ＝ １４ ３ (km),所以两艇相距 d２ ＝ ２０ ３( ) ２ ＋ １４ ３( ) ２ －２× ２０ ３ × １４ ３ ×cos４５°＝ ５９６－２８０ ２ ９ ,即d ≈４．７１km． 【能力提升】 解:在 △MFN 中,∠FMN ＝６０°,∠FNM ＝７５°,则 ∠MFN ＝４５°． 由正弦定理得 MN sin∠MFN ＝ NF sin∠FMN ,即 NF ＝ MNsin∠FMN sin∠MFN ＝ ８０×sin６０° sin４５° ＝ ８０× ３ ２ ２ ２ ＝４０６．所 以在Rt△NEF 中,EF ＝NF􀅰tan∠ENF ＝４０６× tan３０°＝４０６× ３ ３ ＝４０２ (m)． 第７章 　 数列 ７．１　 数列的概念 【变式训练１】 (１)a１ ＝１;a２ ＝７;a３ ＝２５;a４ ＝７９． (２)a１ ＝ －１;a２ ＝２;a３ ＝ －３;a４ ＝４． 【变式训练２】 １２是数列{n２－n}中的第４项,５６是数列{n２－n}中 的第８项． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】此题中奇数项为１－１,偶数项为１＋１, 数列的通项公式为an ＝１＋(－１)n． ２．B 【解析】由数列 ３,６,９, １２,􀆺 可得出数 列的一个通项公式为 ３n,则２６＝ ２４为数列 的第８项． ３．C ４．D 【解析】此数列奇数项为负,偶数项为正,则通 项公式的符号为(－１)n,观察从第一项开始的分 母分别为３,３,２７,８１,所以分母表示为３n,此时将 第二项化成３ ９ ,则从第一项开始的分子分别为１, ３,５,７,则分子可表示为２n－１,所以此数列的一 个通项公式是an ＝ (－１)n ２n－１ ３n ． ５．B 【解析】由n２－２n－５０＝１３解得n＝９或n＝ －７(舍),故１３是该数列的第９项． ６．A 【解析】因为对所有n≥２有a１􀅰a２􀅰a３􀆺an ＝ １６２　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 (n＋１)２,所以当n ＝３时,有a１ 􀅰a２ 􀅰a３ ＝ (３＋１)２ ＝４２ ＝１６;当n＝４时,有a１􀅰a２􀅰a３􀅰 a４ ＝ (４ ＋ １)２ ＝ ５２ ＝ ２５, 所 以 a４ ＝ a１􀅰a２􀅰a３􀅰a４ a１􀅰a２􀅰a３ ＝ ２５ １６ ,故选 A． ７．A 【解析】由an ＝３n＋２可得an－１ ＝３(n－１)＋ ２＝３n－１． ８．C 【解析】可由递推公式得a２ ＝７,a３ ＝２２, a４ ＝６７,a５ ＝２０２． 二、填空题 ９．an ＝ (－１)n＋１􀅰２n(n∈N∗ ) １０．an ＝ (－１)n n １１．９７ 【解析】由递推公式得a２ ＝ －１,a３ ＝３, a４ ＝ ５ ３ ,a５ ＝ ７ ５ ,则a６ ＝ ９ ７． １２．an ＝ (－１)n＋１ ３ n＋２ 【解析】数列可化为 ３ ３ , － ３ ４ ,３ ５ ,－ ３ ６ ,􀆺,则 可 知 每 项 的 符 号 由 (－１)n＋１ 确定,每一项的分子都为３,分母可表示 为n＋２,则这个数列的一个通项公式为an ＝ (－１)n＋１ ３ n＋２ ． １３．１０ 【解析】因为 １n(n＋２)＝ １ １２０ 且n只能取正整 数,所以n＝１０． １４．an ＝２n－１ 三、解答题 １５．解:因为an ＝ (－１)nn－a,所以a１ ＝ (－１)１􀅰 １－a＝ －１－a ,a２ ＝ (－１)２􀅰２－a＝２－a, a３ ＝(－１)３􀅰３－a＝ －３－a,又因为a１＋a３ ＝ ３a２,所以(－１－a)＋(－３－a)＝３(２－a),故 a＝１０．所以a２０１０ ＝(－１)２０１０􀅰２０１０－１０＝２０００． １６．解:(１)因为通项公式an ＝n２ －７n＋６,要让 an ＜０,即n２－７n＋６＜０,解得１＜n＜６,所以 只有２,３,４,５项为负数,故此数列中有４项为 负数． (２)a５ ＝５２－７×５＋６＝２５－３５＋６＝ －１０＋ ６＝ －４． １７．解:设１０是数列 an{ } 中的第n 项,将１０代入数 列的通项公式an ＝a２＋３n得n２＋３n＝１０,解 得n＝ －５(舍去)或n＝２,所以n＝２．故１０是 该数列中的项,且是它的第２项． 【能力提升】 １．解:根据题目中已知数列的项观察分析,可得出 数列的一个通项公式为an ＝n(n＋２)＋１３．假设 ４５３为数列中的一项,则有n(n＋２)＋１３＝４５３, 因为n为正整数,解得n＝２０,即４５３是该数列中 的第２０项． ２．解:通项公式中n可以取从１开始的任何一个正 整数,n取几就代表第几项．此题中是求第８项,只 需将通项公式中的n 换成８算出结果即可,即 a８ ＝１－log１２８＝１－(－３)＝４．故a８ ＝４． ７．２　 等差数列 ７．２．１　 等差数列的概念 【变式训练１】 a１ ＝ ２ ５ ,d ＝a２－a１ ＝１－ ２ ５ ＝ ３ ５ ,an ＝ ３ ５n－ １ ５ ,a１５ ＝ ３ ５ ×１５－ １ ５ ＝ ４４ ５． 【变式训练２】 ３ 【解析】１与５的等差中项为１＋５２ ＝３． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】由题意可知,a１ ＝４,a２ ＝８．所以公差 d ＝a２ －a１ ＝８－４＝４．故a６ ＝a１＋５d＝４＋ ５×４＝２４． ２．B 【解析】由等差中项的定义可知,２B ＝A＋C, 又因为A＋B＋C ＝１８０°,所以３B ＝１８０°,B ＝ ６０°． ３．C ４．C 【解析】由等差中项的定义可知,２lgb＝lga＋ lgc,所以lgb２ ＝lgac,即b２ ＝ac(b＞０),故b＝ ac． ５．D 【解析】在等差数列 an{ } 中,已知a３＝９,a９＝３． 由等差数列的通项公式,可得 a１＋(３－１)d＝９, a１＋(９－１)d＝３,{ 解得 a１ ＝１１, d ＝ －１,{ 即等差数列的公差d ＝ －１． ６．A 【解析】根据数列 an{ } 的通项公式是an ＝ ２n＋５求出首项,再把相邻两项作差求出公差即 可得出结论．因为an ＝２n＋５,所以a１ ＝２×１＋