6.5 三角计算的应用-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

３３　 ６．５　 三角计算的应用 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 初步掌握用三角计算解决实际问题的方法． 重点:能够针对实际问题选用合适的三角计算公式． 难点:培养和提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推 理和数学建模等核心素养． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．三角形中有关三角计算的知识点 (１)内角和定理:∠A＋∠B＋∠C＝１８０°; (２)大角对大边:∠A ＞ ∠B⇔a ＞b,∠B ＞ ∠C⇔ , ⇔c＞a; (３)正弦定理:asinA ＝ b sinB＝ ; (４)余弦定理:a２＝b２＋c２－２bccosA,b２＝ ,c２＝ ． (５)三角形的面积公式:S△ABC ＝ １ ２bcsinA＝ １ ２acsinB＝ １ ２absinC． ２．解决实际问题的有关知识点 (１)仰角和俯角:如图１所示,与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线 在水平视线上方时称为仰角,目标视线在水平视线下方时称为俯角． (２)方位角:如图２所示,指从正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角,如B 点的方位角为α． (３)方位角的其他表示 ——— 方向角． ① 正南方向:指从原点O 出发的经过目标的射线与正南的方向线重合,即目标在正南的方向线上．依 此可类推正北方向、正东方向和正西方向． ② 东南方向:如图３所示,指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线．依此可类推东北方向、西北 方向和西南方向． 图１ 　 图２ 　 图３ ３．解决实际问题的步骤 (１)理解题意,分清已知量与未知量; (２)画图建模,利用三角计算等知识点求解; (３)解答． ３４　 　　 １ 利用正弦型函数建模 【例１】 如例１题图所示,矩形ABCD 内接于半径为r的半圆中．问矩形的长和宽各为多少时,矩形的面 积最大? 最大面积是多少? 例１题图 【解题思路】 在Rt△OAB 中,用半径r和角θ表示出矩形的长和宽,从而 用角θ 表示出矩形的面积． 在Rt△OAB 中,AB＝rsinθ,OA＝rcosθ,故AD＝２OA＝２rcosθ． 于是,矩形ABCD 的面积S＝AB􀅰AD＝rsinθ􀅰２rcosθ＝r２sin２θ． 依题意,０＜θ＜ π ２ ,故０＜２θ＜π,故当２θ＝ π ２ ,即θ＝ π ４ 时,sin２θ＝１, 矩形面积有最大值Smax＝r２． 此时矩形的长AD＝２rcos π ４＝ ２r ,宽AB＝rsin π ４＝ ２ ２r． 答:当矩形的长为 ２r,宽为 ２２r 时,矩形有最大面积,最大面积是r２． 变式训练１ 在纯电容电路中,瞬时功率P(瓦)等于瞬时电压U(伏)与瞬时电流I(安培)的乘积． 已知电容器两端的瞬时电压U＝２２０２sin１００πt,通过它的瞬时电流I＝０．０４２sin１００πt＋ π ２ æ è ç ö ø ÷ ．求: (１)瞬时功率P; (２)瞬时功率P 的最大值; (３)瞬时功率P 的周期． 　　 ２ 利用正弦定理或余弦定理建模 【例２】 某城市计划利用城中一块四边形空地进行草坪绿化,如例２题图所示．经测量,AB＝３５０m,AD＝ ２４０m,∠DAB＝６０°,∠ABC＝１２５°,∠ADC＝１０５°,已知草坪绿化每平方米需投入６元人民币． 例２题图 (１)求四边形ABCD 的面积(精确到１m２); (２)全部绿化这块空地,共需投入多少元人民币? 【解题思路】 连接BD,将四边形面积转化为 △ABD 和 △CBD 面积之和． (１)在 △ABD 中,由余弦定理知, BD２＝AD２＋AB２－２AD􀅰AB􀅰cos∠DAB ＝２４０２＋３５０２－２×２４０×３５０× １ ２ ＝９６１００．所以BD＝３１０m． ３５　 又由正弦定理知, AB sin∠ADB＝ BD sin∠DAB． 于是,sin∠ADB＝ ABsin∠DAB BD ＝ ３５０sin６０° ３１０ ≈０．９７７８． 利用计算器求得,∠ADB ≈７７．９０°,所以 ∠BDC＝１０５°－７７．９０°＝２７．１０°．由四边形内角和定理知, ∠C＝３６０°－(６０°＋１２５°＋１０５°)＝７０°．由三角形内角和定理得,∠DBC＝１８０°－(７０°＋２７．１０°)＝８２．９０°． 在 △CBD 中,由正弦定理知, BCsin∠BDC ＝ BD sin∠C． 于是,BC ＝ BDsin∠BDC sin∠C ＝ ３１０􀅰sin２７．１０° sin７０° ≈ １５０．３(m)． 因此,四边形的面积 S＝S△ABD ＋S△CBD ＝ １ ２AB 􀅰ADsin∠BAD＋ １ ２BD 􀅰BCsin∠DBC ＝ １ ２×３５０×２４０×sin６０°＋ １ ２×３１０×１５０．３×sin８２．９０° ≈５９４９１(m２)． (２)全部绿化这块空地共需５９４９１×６＝３５６９４６(元)． 答:四边形的面积是５９４９１m２,全部绿化这块空地共需３５６９４６元． 变式训练２题图 变式训练２ 如变式训练２题图,已知两座灯塔A,B 与C 的距离都是 ３km,灯塔 A 在C 的北偏东２０°,灯塔B 在C 的南偏东４０°,求灯塔A 与灯塔B 的距离． 自 我 测 评 第１题图 一、选择题 １．如第１题图,A,B 两点在河的两岸,在与B 同侧的河岸选取点C,测得BC 的 距离为１００m,∠ABC＝７５°,∠ACB＝６０°,则A,B 两点间的距离为 (　　) A．５０２m B．５０３m C．５０５m D．５０６m ２．开封铁塔是宋都开封具有代表性的文物,是文物价值最高、分量最重的宝物之 一,１９６１年被国务院定为首批国家重点保护文物之一．某司机驾车行驶到 M 处,测得铁塔S在汽车的北偏东１５°,与铁塔S相距２０km,汽车继续沿正西方向行驶３０分钟到达N 处 后,又测得铁塔在汽车的北偏东４５°,则汽车的速度为 (　　) A．１０２km/h B．１０３km/h C．２０２km/h D．２０３km/h ３．把一根长为３０cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC,且 ∠ABC＝１２０°,则 第三边AC 的最小值为 (　　) A．１５３ B．１５２ C．１５６ D．１５ ３６　 ４．和谐钟塔位于江西省赣州市,它有四个直径达１２．８m 的钟面．小赵同学经过和谐钟塔时,想测量该钟 塔的高度．他在该钟塔塔底B 点的正西处的C 点测得该钟塔塔顶A 点的仰角为３０°,然后沿着东偏南 ６７°的方向行进１８０．８m后到达D 点(B,C,D 三点处于同一水平面),且B 点在D 点北偏东３７°方向 上(如第４题图),则该钟塔的高度为(参考数据:sin５３°＝０．８) (　　) A．１１０m B．１１１m C．１１２m D．１１３m ５．如第５题图,海平面上的甲船位于中心O 的南偏西３０°、与O 相距１５nmile的C 处．现甲船以 ３５nmile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向２５nmile的B处的乙船,则甲船到达B处 需要的时间为 (　　) A．１h B．１．５h C．２h D．２．５h 第４题图 　　　　　 第５题图 二、填空题 ６．如第６题图,在倾斜角等于１５°的山坡上有一根旗杆,当太阳的仰角α＝４５°时,旗杆在山坡上的影子 的长是３０m,则旗杆的高是 ． ７．如第７题图,A,B 两点分别在河的两侧,为了测量A,B 两点之间的距离,在点A 的同侧选取点C,测 得 ∠ACB＝４５°,∠BAC＝１０５°,AC＝１００m,则A,B 两点之间的距离是 ． 第６题图 　　　　　 第７题图 三、解答题 ８．已知飞机从A 地按北偏东３０°的方向飞行２０００km 到达B 地,再从B 地按南偏东３０°的方向飞行 ２０００km 到达C 地,再从C 地按西南方向飞行１０００２km 到达D 地．求D 地与A 地之间的距离． ３７　 ９．两游艇自某地同时出发,一艇以１０km/h的速度向正北方向行驶,另一艇以７km/h的速度向北偏东 ４５°的方向行驶．问经过４０min,两艇相距多远(精确到０．０１km)? 为了测量一座古塔的高EF,可以在地面上引一条基线 MN,它和塔底在同一平面上,且延长后不过塔 底,如图所示．现测得MN ＝８０m,∠FMN ＝６０°,∠FNM ＝７５°,仰角 ∠ENF＝３０°,求塔高EF． 试题精讲 训练测评参考答案 １５９　 accosB ＋abcosC ＝ bc 􀅰 b２ ＋c２ －a２ ２bc ＋ ac􀅰a ２＋c２－b２ ２ac ＋ab 􀅰a ２＋b２－c２ ２ab ＝ １ ２ [(b２＋ c２－a２)＋(a２ ＋c２ －b２)＋(a２ ＋b２ －c２)]＝ １ ２ (a２ ＋b２＋c２),即c２ ＝ １ ２ (a２＋b２＋c２),从而 得c２ ＝a２＋b２．所以,△ABC 是直角三角形． 三、解答题 １５．解:(１)因为a２－c２＋b２ ＝ab,故根据余弦定理 知,cosC＝ a２ ＋b２ －c２ ２ab ＝ １ ２． 因为０＜ ∠C ＜ π,所以 ∠C ＝ π ３． (２)S△ABC ＝ １ ２absinC＝ １ ２×３×３×sin π ３ ＝ １ ２ ×３×３× ３ ２ ＝ ９ ３ ４ ． １６．解:由三角形面积公式知,S△ABC ＝ １ ２bcsinA ＝ １ ２bcsin６０°＝ ３ ４bc． 故 ３ ４bc ＝ ３ ３⇒bc ＝ １２　①．由余弦定理知,a２ ＝b２＋c２－２bccosA＝ b２ ＋c２－bc,故b２＋c２－bc＝１３　②．联立 ①② 解得 b＝３, c＝４,{ 或 b＝４, c＝３．{ １７．解:(１)f(x)＝ ３ ２sin２x－ １ ２ (１－２sin２x)＋ １ ２ ＝ ３ ２sin２x－ １ ２cos２x＋ １ ２ ＝cos π ６sin２x－sin π ６cos２x＋ １ ２ ＝sin２x－ π ６( ) ＋ １ ２． 令π ２ ＋２kπ≤２x － π ６ ≤ ３π ２ ＋２kπ (k ∈ Z), ２π ３ ＋２kπ≤２x ≤ ５π ３ ＋２kπ (k∈Z), π ３ ＋kπ≤ x ≤ ５π ６ ＋kπ (k∈Z),所以f(x)的单调递减区 间为 [ π３ ＋kπ, ５π ６ ＋kπ] (k∈Z)． (２)由(１)知,f(x)＝sin２x－ π ６( ) ＋ １ ２ ,故 f(A)＝sin２A－ π ６( ) ＋ １ ２ ,即sin２A－ π ６( ) ＋ １ ２ ＝ ３ ２ ,于是sin２A－ π ６( ) ＝１,可得２A－ π ６ ＝ π ２ ＋２kπ (k∈Z),故 ∠A ＝ π ３＋kπ (k∈Z)．因 为０＜ ∠A ＜π,所以 ∠A ＝ π ３． 由余弦定理知,a２ ＝b２ ＋c２－２bccosA ＝b２＋ c２ －２bccos π ３ ＝b ２ ＋c２ －bc．因为b＝３c,故 a２ ＝ (３c)２ ＋c２ －３c×c＝７c２,得a＝ ７c． 由 余 弦 定 理 知,cos C ＝ a２ ＋b２ －c２ ２ab ＝ (７c) ２ ＋(３c)２ －c２ ２× ７c×３c ＝ ５ ７ １４ ． 【能力提升】 １．解:由余弦定理知,b２ ＝a２ ＋c２ －２accosB ＝ a２ ＋c２ －ac,又因为已知a２＋c２－ac＝４b－４,可 得b２ ＝４b－４⇒b２ －４b＋４＝０,解得b＝２． ２．(１)证明:左边＝acosB＋bcosA＝a􀅰 a２＋c２－b２ ２ac ＋ b􀅰b ２ ＋c２ －a２ ２bc ＝ a２ ＋c２ －b２ ２c ＋ b２ ＋c２ －a２ ２c ＝ ２c２ ２c ＝c＝ 右边．得证． (２)解:因为２c－bcosB ＝ a cosA ,故２ccosA＝acosB＋ bcosA,由 (１)知acosB ＋bcosA ＝c,可 得 ２ccosA ＝c⇒cosA ＝ １ ２． 由余弦定理得a２ ＝ b２ ＋c２ －２bccosA,即７２ ＝５２＋c２－２×５×c× １ ２ ,整理得c２ －５c－２４＝０,解得c＝８或c＝ －３(舍)．所以,三角形的周长C ＝a＋b＋c＝ ７＋５＋８＝２０． ６．５　 三角计算的应用 【变式训练１】 解:(１)由已知得,P ＝UI ＝２２０ ２sin１００πt× ０．０４２sin１００πt＋ π ２( ) ＝１７．６sin１００πt×cos１００πt＝ ８．８sin２００πt． (２)由(１)知,A ＝８．８,由正弦型函数的性质可知,瞬 时功率的最大值为８．８瓦． (３)由(１)知,ω ＝２００π,由正弦型函数的性质可知, 瞬时功率的周期T ＝ ２π ω ＝ ２π ２００π＝ １ １００ 秒． １６０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 【变式训练２】 解:如图,连接AB,依题意知,在 △ABC 中,∠ACB ＝１８０°－２０°－ ４０°＝１２０°,AC ＝BC ＝ ３． 由余弦定理可知,AB２ ＝AC２ ＋ BC２ －２AC􀅰BC􀅰cos∠ACB ＝ (３) ２ ＋(３) ２ －２ ３× ３􀅰cos １２０°＝ (３) ２ ＋(３) ２ －２３× ３× － １ ２( ) ＝９．所以AB ＝３km,即 灯塔A 与灯塔B 的距离为３km． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．D 【解析】在△ABC中,∠BAC＝１８０°－７５°－６０°＝ ４５°,由正弦定理知, BCsin∠BAC ＝ AB sin∠ACB ,所以 AB ＝ BCsin∠ACB sin∠BAC ＝ １００sin６０° sin４５° ＝ １００× ３ ２ ２ ２ ＝ ５０ ６(m) ２．C 【解析】如图所示,依题意知,∠PNS ＝４５°, ∠QMS ＝１５°,SM ＝２０．故在 △SNM 中,可得 ∠SNM ＝４５°,∠SMN ＝１０５°,∠MSN ＝３０°,则由 正弦定理知, MN sin∠MSN ＝ SM sin∠SNM ,于是MN ＝ SM􀅰sin∠MSN sin∠SNM ＝ ２０􀅰sin３０° sin４５° ＝ ２０× １ ２ ２ ２ ＝１０２, 所以汽车的速度为v ＝ MN ０．５ ＝ １０ ２ ０．５ ＝２０ ２ (km/h)． ３．A 【解析】设AB＝x,则BC＝３０－x,由余弦定 理 得,AC２ ＝ AB２ ＋ BC２ －２􀅰AB 􀅰BC 􀅰 cos∠ABC ＝x２＋(３０－x)２－２􀅰x􀅰(３０－x)􀅰 cos１２０°＝ (x－１５)２＋６７５．当x ＝１５时,AC 取 得最小值 ６７５ ＝１５ ３． ４．D 【解析】如图所示,∠BCD ＝６７°,∠CDB ＝ ９０°－６７°＋３７°＝６０°,则 ∠CBD ＝１８０°－６０°－ ６７°＝５３°． 由正弦定理 BC sin∠CDB ＝ CD sin∠CBD ,得 BC ＝ CDsin∠CDB sin∠CBD ＝ １８０．８sin６０° sin５３° ,所以 AB ＝BC􀅰 tan３０°＝ １８０．８sin６０° sin５３° 􀅰tan３０°＝ １８０．８ １．６ ＝１１３ (m)． ５．A 【解析】如图所示,在 △OBC中,∠BOC＝３０°＋ ９０°＝１２０°,OC ＝１５,OB ＝２５．由余弦定理可知, BC２ ＝１５２＋２５２－２×１５×２５×cos１２０°＝１２２５, 即BC＝３５,又甲船的速度为３５nmile/h,所以甲 船到达B 处需要的时间为３５÷３５＝１(h)． 二、填空题 ６．１５ ２ m 【解析】如图所示,依题意知,在 △ABC 中,∠A ＝４５°,BC ＝３０m,∠ABC ＝ ∠ABD－ ∠CBD ＝４５°－１５°＝３０°． 由正弦定理得, AC sin∠ABC ＝ BC sin∠A ,所以AC ＝ ３０×sin３０° sin４５° ＝ ３０× １ ２ ２ ２ ＝１５ ２(m)． 训练测评参考答案 １６１　 ７．１００２ m 【解析】已知:∠ACB ＝４５°,∠BAC ＝ １０５°,AC ＝１００m,所以 ∠CBA ＝１８０°－４５°－ １０５°＝３０°．由正弦定理得 AB sin∠ACB ＝ AC sin∠CBA , 所以AB＝ AC􀅰sin４５° sin３０° ＝ １００× ２ ２ １ ２ ＝１００２(m)． 三、解答题 ８．解:如图所示,依题意知,AB ＝BC ＝２０００km, ∠ABC ＝ ６０°,所 以 AC ＝ ２０００ km．因 为 ∠ACD ＝４５°,CD ＝ １０００ ２ km,所 以 AD ＝ AC２＋CD２－２AC􀅰CD􀅰cos∠ACD ＝１０００２, 即AD ＝CD ＝１０００２,∠CAD ＝４５°,D 地在A 地的南偏东４５°,D 地距A 地１０００ ２km． ９．解:由题意,可得如下示意图．４０min后,正北方向 的游艇行驶１０× ２ ３ ＝ ２０ ３ (km),北偏东４５°的方 向的游艇行驶７× ２ ３ ＝ １４ ３ (km),所以两艇相距 d２ ＝ ２０ ３( ) ２ ＋ １４ ３( ) ２ －２× ２０ ３ × １４ ３ ×cos４５°＝ ５９６－２８０ ２ ９ ,即d ≈４．７１km． 【能力提升】 解:在 △MFN 中,∠FMN ＝６０°,∠FNM ＝７５°,则 ∠MFN ＝４５°． 由正弦定理得 MN sin∠MFN ＝ NF sin∠FMN ,即 NF ＝ MNsin∠FMN sin∠MFN ＝ ８０×sin６０° sin４５° ＝ ８０× ３ ２ ２ ２ ＝４０６．所 以在Rt△NEF 中,EF ＝NF􀅰tan∠ENF ＝４０６× tan３０°＝４０６× ３ ３ ＝４０２ (m)． 第７章 　 数列 ７．１　 数列的概念 【变式训练１】 (１)a１ ＝１;a２ ＝７;a３ ＝２５;a４ ＝７９． (２)a１ ＝ －１;a２ ＝２;a３ ＝ －３;a４ ＝４． 【变式训练２】 １２是数列{n２－n}中的第４项,５６是数列{n２－n}中 的第８项． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】此题中奇数项为１－１,偶数项为１＋１, 数列的通项公式为an ＝１＋(－１)n． ２．B 【解析】由数列 ３,６,９, １２,􀆺 可得出数 列的一个通项公式为 ３n,则２６＝ ２４为数列 的第８项． ３．C ４．D 【解析】此数列奇数项为负,偶数项为正,则通 项公式的符号为(－１)n,观察从第一项开始的分 母分别为３,３,２７,８１,所以分母表示为３n,此时将 第二项化成３ ９ ,则从第一项开始的分子分别为１, ３,５,７,则分子可表示为２n－１,所以此数列的一 个通项公式是an ＝ (－１)n ２n－１ ３n ． ５．B 【解析】由n２－２n－５０＝１３解得n＝９或n＝ －７(舍),故１３是该数列的第９项． ６．A 【解析】因为对所有n≥２有a１􀅰a２􀅰a３􀆺an ＝