6.4.1 三角形面积公式-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

２２　 ６．４　 解三角形 ６．４．１ 　 三角形面积公式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 知道解三角形的实际意义; ◎ 掌握三角形的面积公式． 重点:掌握三角形的面积公式． 难点:会用三角形的面积公式解决问题． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．解三角形:在△ABC中,常用∠A,∠B,∠C表示三个内角,用a,b,c分别表示这三个角的对边,根据 已知条件求三角形的边和角的过程称为解三角形． ２．三角形的面积公式: 如图所示,将△ABC的顶点A放在坐标原点,边AB放在x轴上, 则 S△ABC ＝ １ ２AB 􀅰CD＝ １ ２c 􀅰bsinA＝ １ ２bcsinA , 同理可得 S△ABC ＝ １ ２ac ＝ １ ２ab ． 即三角形的面积公式为 S△ABC ＝ １ ２ac ＝ １ ２ab ＝ １ ２bc ． 也就是说,三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦值乘积的一半． 　　 １ 运用公式求三角形面积 【例１】 在 △ABC 中,∠B＝ π ６ ,a＝４,c＝６,求S△ABC． 【解题思路】 根据已知的边和角,选用合适的面积公式计算即可． S△ABC ＝ １ ２acsinB＝ １ ２×４×６×sin π ６＝ １ ２×４×６× １ ２＝６． 变式训练１ 根据下列条件,求S△ABC． (１)∠B＝１３５°,a＝５,c＝８;　(２)∠A＝ ２π ３ ,b＝２,c＝ ３． ２３　 　　 ２ 运用公式求边或角 【例２】 在 △ABC 中,S△ABC ＝３,a＝２,c＝２３,求 ∠B． 【解题思路】 用三角形面积公式先求得sinB,再求 ∠B． S△ABC ＝ １ ２acsinB＝ １ ２×２×２３×sinB 于是,２３sinB＝３,即sinB＝ ３ ２． 又因为０°＜ ∠B ＜１８０°,故 ∠B＝６０°或１２０°． 变式训练２ 在 △ABC 中,∠C＝ π ３ ,a＝５,S△ABC ＝ １５３ ４ ,求b． 自 我 测 评 一、选择题 １．在 △ABC 中,若a＝ ２,c＝ ５,∠B＝６０°,则 △ABC 的面积为 (　　) A． ３０２ B． １０ ４ C． １０ ２ D． ３０ ４ ２．在 △ABC 中,若 ∠A＝ π ６ ,b＝２,S△ABC ＝ ３ ２ ,则c＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ３．在 △ABC 中,若AB＝３,BC＝３２,∠B＝４５°,则 △ABC 的面积为 (　　) A．２２ B．４ C．７２ D． ９ ２ ４．在 △ABC 中,若AB＝４,AC＝３,cosA＝ １ ２ ,则 △ABC 的面积为 (　　) A．３ B．３３ C．６ D．６３ ５．在 △ABC 中,若a＝２,b＝２,∠C＝１５°,则 △ABC 的面积为 (　　) A．６－ ２ B． ６＋ ２ ２ C． ６－ ２ ２ D． １ ２ 二、填空题 ６．在 △ABC 中,若a＝２,b＝３,∠C＝４５°,则 △ABC 的面积为 ． ７．已知等边 △ABC 的边长为８,则 △ABC 的面积为 ． ８．已知菱形ABCD 的边长为６,∠C＝４５°,则菱形ABCD 的面积为 ． ９．在 ▱ABCD 中,∠A＝ π ３ ,AB＝５,BC＝４,则 ▱ABCD 的面积为 ． ２４　 三、解答题 １０．在 △ABC 中,若a＝１,b＝２,cosC＝ １ ４ ,求 △ABC 的面积． １１．在 △ABC 中,若a＝２３,b＝２,其面积S△ABC ＝ ３,求 ∠C． １２．在 △ABC 中,∠A,∠B,∠C 成等差数列,a＝２,S△ABC ＝ ３,求c． １．在 ▱ABCD 中,∠A＝ π ４ ,AB＝６,▱ABCD 的面积为１２２,求AD． ２．已知扇形AOB 的弧长为２π,扇形AOB 的面积为１２π,求 △AOB 的面积． 训练测评参考答案 １５５　 得－ ３π ４ ＋２kπ≤２x ≤ π ４ ＋２kπ (k ∈Z),－ ３π ８ ＋ kπ≤x ≤ π ８ ＋kπ (k∈Z),所以函数的单调递增区 间为 [－３π８ ＋kπ, π ８ ＋kπ] (k∈Z)． ６．４　 解三角形 ６．４．１　 三角形面积公式 【变式训练１】 (１)１０ ２;(２)３２． 【变式训练２】 解:S△ABC ＝ １ ２absinC ＝ １ ２ ×５b×sin π ３ ＝ １ ２ × ５b× ３ ２ ＝ ５ ３ ４b． 即５ ３ ４b＝ １５ ３ ４ ,解得b＝３． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．D ２．C 【解析】S△ABC ＝ １ ２bcsinA＝ １ ２×２c×sin π ６ ＝ １ ２ ×２c× １ ２ ＝ c ２ ,即c ２ ＝ ３ ２ ,解得c＝３． ３．D 【解析】AB ＝c ＝３,BC ＝a ＝３ ２,所以 S△ABC ＝ １ ２acsinB ＝ １ ２ ×３２×３× ２ ２ ＝ ９ ２． ４．B 【解析】在 △ABC中,AB＝c＝４,AC＝b＝３, 又因为０＜ ∠A ＜π,sinA ＝ １－cos２A ＝ ３ ２ , 所以S△ABC ＝ １ ２bcsinA＝ １ ２×４×３× ３ ２ ＝３３． ５．C 【解析】sinC ＝sin１５°＝sin(４５°－３０°)＝ sin４５°cos３０°－cos４５°sin３０°＝ ２ ２ × ３ ２ － ２ ２ × １ ２ ＝ ６－ ２ ４ ． 所以S△ABC ＝ １ ２absinC ＝ １ ２ × ２×２× ６－ ２ ４ ＝ ６－ ２ ２ ． 二、填空题 ６．３ ２２ 　　７．１６ ３ ８．１８２ 【解析】S△ABD ＝ １ ２AB 􀅰ADsinA ＝ １ ２ × ６×６× ２ ２ ＝９２． 所以S菱形ABCD ＝２S△ABD ＝１８２． ９．１０ ３ 【解析】在 ▱ABCD 中,AD ＝BC ＝４,故 S△ABD ＝ １ ２AB 􀅰ADsinA ＝ １ ２ ×５×４× ３ ２ ＝ ５ ３,所以S▱ABCD ＝２S△ABD ＝１０ ３． 三、解答题 １０．解:在 △ABC 中,０ ＜ ∠C ＜ π,sinC ＝ １－cos２C ＝ １５ ４ ,所以S△ABC ＝ １ ２absinC＝ １ ２ ×１×２× １５ ４ ＝ １５ ４ ． １１．解:S△ABC ＝ １ ２absinC＝ １ ２×２３×２×sinC＝ ２３sinC．于是,２３sinC＝ ３,即sinC＝ １ ２． 又 因为０°＜ ∠C ＜１８０°,故 ∠C ＝３０°或１５０°． １２．解:因为 ∠A,∠B,∠C 成等差数列,故２∠B ＝ ∠A＋∠C　①． 又因为在△ABC中,∠A＋∠B＋∠C＝１８０°　②, 联立①②解得∠B＝６０°,故S△ABC ＝ １ ２acsinB＝ １ ２ ×２×c×sin６０°＝ １ ２ ×２×c× ３ ２ ＝ ３ ２c , 即 ３ ２c＝ ３ ,解得c＝２． 【能力提升】 １．解:在 ▱ABCD 中,S▱ABCD ＝２S△ABD ,可得 S△ABD ＝６ ２,而S△ABD ＝ １ ２AB 􀅰ADsinA ＝ １ ２ ×６×AD× ２ ２ ＝ ３ ２ ２ AD． 即３ ２ ２ AD ＝６２ , 解得AD ＝４． ２．解:设扇形AOB 的半径为r,中心角为α,可得弧 长l＝ α r ＝２π　①,面积S ＝ １ ２ α r ２ ＝ １２π　②,由①②可得α＝ π ６ ,r＝１２,所以S△AOB ＝ １ ２OA 􀅰OBsinα ＝ １ ２ ×１２×１２× １ ２ ＝３６．