6.3 正弦型函数的图像和性质-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

１７　 ６．３　 正弦型函数的图像和性质 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解正弦型函数与正弦函数之间的关系; ◎ 初步掌握利用“五点法”在一个周期上画正弦型函 数的简图; ◎ 理解正弦型函数的图像和性质． 重点:掌握利用“五点法”在一个周期上画正弦型函 数的简图;理解正弦型函数与正弦函数之间的关系． 难点:理解正弦型函数的图像和性质． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A ＞０,ω ＞０)的性质: (１)振幅是 ,相位是 ,初相是 ,频率是 ; (２)定义域为 ,值域为 ; (３)最小正周期为 ; (４)最大值为 ,最小值为 ; (５)单调性:当－ π ２＋２kπ≤ωx＋φ≤ π ２＋２kπ (k∈Z)时是 函数;当 π ２＋２kπ≤ωx＋φ ≤ ３π ２ ＋２kπ (k∈Z)时是 函数． ２．从正弦函数y＝sinx 得到正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A ＞０,ω ＞０)的方法: (１)y＝sinx 所有点的横坐标变为原来的 １ ω (纵坐标不变) →y＝sinωx(周期变换); (２)y＝sinωx 向左(φ ＞０)或向右(φ ＜０)平移 φω 个单位 →y＝sin(ωx＋φ)(相位变换); (３)y＝sin(ωx＋φ) 所有点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变) →y＝Asin(ωx＋φ)(振幅变换)． ３．函数y＝asinωx＋bcosωx 可以化为正弦型函数y＝ a２＋b２sin(ωx＋θ)． (１)其中cosθ＝ ,sinθ＝ ; (２)最小正周期为 ; (３)最大值为 ,最小值为 ． 　　 １ 正弦型函数的性质 【例１】 求函数y＝２sin３x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷ 的最小正周期和值域． 【解题思路】 利用正弦型函数的性质求解． 因为在y＝２sin３x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷ 中,A＝２,ω＝３,所以最小正周期T＝ ２π ω ＝ ２π ３ ,值域为 －２,２[ ] ． １８　 变式训练１ 求函数y＝３sin２x＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ 的最小正周期、最大值、最小值． 　　 ２ 正弦型函数的图像 【例２】 指出y＝２sin２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷ 的图像如何由y＝sinx 的图像变换得到． 【解题思路】 按照正弦函数y＝sinx 变换到正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A ＞０,ω ＞０)的方法逐步 得到． 因为A＝２,ω＝２,φ＝－ π ４ ,所以图像变化分以下三步: (１)y＝sinx 所有点的横坐标变为原来的 １ ２ (纵坐标不变) →y＝sin２x; (２)y＝sin２x 向右平移 π ８ 个单位 →y＝sin２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷ ; (３)y＝sin２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷ 所有点的纵坐标变为原来的２倍(横坐标不变) →y＝２sin２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷ ． 变式训练２ 指出y＝３sin４x＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ 的图像如何由y＝sinx 的图像变换得到． 　　 ３ 正弦型函数的图像和性质综合运用 【例３】 函数y＝２sin(ωx＋φ),x ∈R,０＜φ ＜ π ２ 的部分图像如例３题图所示． 例３题图 (１)求函数的最小正周期T 及φ 的值; (２)求函数的单调递增区间． 【解题思路】 (１)观察图像得最小正周期,求出ω;当x＝－ π １２ 时,函 数值为０,得出φ．(２)根据正弦型函数的单调性得出． (１)根据图像可知,最小正周期T＝２ ５π １２－ － π １２ æ è ç ö ø ÷ é ë êê ù û úú＝π,由T＝ ２π ω 得ω＝２．由函数图像过点 － π １２ ,０æ è ç ö ø ÷ 得２sin－ π ６＋φ æ è ç ö ø ÷＝０,即sin－ π ６＋φ æ è ç ö ø ÷＝０,所以 － π ６ ＋φ＝kπ⇒φ＝ kπ＋ π ６ (k∈Z),又因为０＜φ ＜ π ２ ,所以φ＝ π ６． (２)由(１)知y＝２sin２x＋ π ６ æ è ç ö ø ÷ ,令 １９　 － π ２＋２kπ≤２x＋ π ６ ≤ π ２＋２kπ (k∈Z) － ２π ３ ＋２kπ≤２x ≤ π ３＋２kπ , － π ３＋kπ≤x ≤ π ６＋kπ (k∈Z), 所以函数的单调递增区间为 － π ３＋kπ ,π ６＋kπ é ë êê ù û úú (k∈Z)． 变式训练３ 已知函数y＝３sin２xcos π ６－cos２xsin π ６ æ è ç ö ø ÷ ．求: (１)该函数的最小正周期; (２)该函数的单调递减区间． 自 我 测 评 一、选择题 １．函数y＝cosx 的图像向左平移１个单位后,所得函数图像的解析式为 (　　) A．y＝cosx－１ B．y＝cos(x－１) C．y＝cosx＋１ D．y＝cos(x＋１) ２．下列函数中,最小正周期为π２ 的是 (　　) A．y＝sin４x B．y＝cos２x C．y＝cos x ２ D．y＝sin x ４ ３．欲得到y＝sin２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ 的图像,可将函数y＝sin２x 的图像 (　　) A．向左平移π６ 个单位长度 B．向右平移π６ 个单位长度 C．向左平移π３ 个单位长度 D．向右平移π３ 个单位长度 ４．把函数y＝sinx 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 １ ２ (纵坐标不变),再把图像上的所有点向左 平移π ３ 个单位长度,得到的图像所表示的函数是 (　　) A．y＝sin２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ B．y＝sin x ２＋ π ６ æ è ç ö ø ÷ C．y＝sin２x＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ D．y＝sin２x＋ ２π ３ æ è ç ö ø ÷ ２０　 ５．函数y＝ １ ２cosx－ ３ ２sinx 化为正弦型函数可以是 (　　) A．y＝sin π ３－x æ è ç ö ø ÷ B．y＝sin π ３＋x æ è ç ö ø ÷ C．y＝sin π ６－x æ è ç ö ø ÷ D．y＝sin π ６＋x æ è ç ö ø ÷ ６．将函数y＝２sin２x－ π ６ æ è ç ö ø ÷ 的图像向右平移１ ４ 个周期后,所得图像对应的函数为 (　　) A．y＝２sin２x＋ π １２ æ è ç ö ø ÷ B．y＝２sin２x＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ C．y＝２sin２x－ ５π １２ æ è ç ö ø ÷ D．y＝２sin２x－ ２π ３ æ è ç ö ø ÷ ７．若函数y＝２sinωx－ π ６ æ è ç ö ø ÷ 的最小正周期为π,则ω 的值为 (　　) A．１ B．２ C．１２ D．４ ８．函数y＝sin２x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷ 在一个周期内的图像可能是 (　　) A． B． C． D． 第９题图 ９．函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中ω ＞０,x ∈R)的部分图像如第９题图 所示,则该函数的解析式是 (　　) A．y＝２sin x ４＋ π ４ æ è ç ö ø ÷ B．y＝２sin x ４－ π ４ æ è ç ö ø ÷ C．y＝２sin π ４x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷ D．y＝２sin π ４x－ π ４ æ è ç ö ø ÷ １０．函数y＝３sin２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ 的单调递增区间是 (　　) A．－ π １２＋２kπ ,５π １２＋２kπ é ë êê ù û úú (k∈Z) B．－ π １２＋kπ ,５π １２＋kπ é ë êê ù û úú (k∈Z) C．５π１２＋２kπ ,１１π １２ ＋２kπ é ë êê ù û úú (k∈Z) D． ５π １２＋kπ ,１１π １２ ＋kπ é ë êê ù û úú (k∈Z) 二、填空题 １１．函数y＝sin２x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷ 的初相是 ． １２．函数y＝ ３sinx－cosx 的最小正周期是 ． １３．函数y＝sin２x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ 的图像向左平移π ３ 个单位后的函数解析式为 ． １４．函数y＝ ３sinx＋cosx 取得最大值时,x 的值为 ． ２１　 三、解答题 １５．计算y＝８sin４x－ π ３ æ è ç ö ø ÷ 的最小正周期,并指出该函数如何由y＝sinx 变换得到． １６．已知函数f(x)＝２sinωx－ π ６ æ è ç ö ø ÷ 的最小正周期为π． (１)求ω 的值及f(x)的最小值; (２)若π２ ＜x ＜π ,且sinx＝ ４ ５ ,求f(x)的值． 已知函数f(x)＝２sinωxcosωx＋Acos２ωx(x ∈R)(其中A ＞０,ω ＞０)的最小值为－ ２,最小正 周期为π．求: (１)A 的值; (２)函数f(x)的解析式; (３)函数f(x)的单调递增区间． 训练测评参考答案 １５３　 即sinα＋cosα sinαcosα ＝ １ ,两 边 平 方 整 理 得 １ ＋ ２sinαcosα＝ (sinαcosα)２,即(sinαcosα)２ － ２sinαcosα－１＝０,解得sinαcosα＝１－ ２ 或 sinαcosα＝１＋ ２(舍)．所以sin２α＝２sinαcosα＝ ２(１－ ２)＝２－２ ２． ２．解:４sin２４°cos２４°cos１２° ＋tan１２° ＝ ２sin４８° cos１２°＋ sin１２° cos１２° ＝ ２sin(６０°－１２°) cos１２° ＋ sin１２° cos１２° ＝ ２(sin６０°cos１２°－cos６０°sin１２°)＋sin１２° cos１２° ＝ ２ ３ ２cos１２°－ １ ２sin１２° æ è ç ö ø ÷ ＋sin１２° cos１２° ＝ ３． ６．３　 正弦型函数的图像和性质 【变式训练１】 解:因为在y＝３sin２x＋ π ３( ) 中,A＝３,ω＝２,所 以最小正周期T ＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π ,最大值ymax ＝３, 最小值ymin ＝ －３． 【变式训练２】 解:因为A＝３,ω＝４,φ＝ π ３ ,所以,图像变化分以 下三步: (１)y ＝sinx 所有点的横坐标变为原 来的 １ ４ (纵坐标不变) →y ＝sin４x; (２)y ＝sin４x 向左平移 π １２ 个单位 →y ＝sin(４x＋ π ３ ) ; (３)y＝sin４x＋ π ３( ) 所有点的纵坐标变为 原来的３倍(横坐标不变) →y＝ ３sin４x＋ π ３( ) ． 【变式训练３】 解:(１)因为y＝３(sin２xcosπ６ －cos２xsin π ６ ) ＝ ３sin２x－ π ６( ) ,故A ＝３,ω＝２,φ＝ － π ６ ,所以最 小正周期为T ＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π． (２)由(１)知,f(x)＝３sin２x－ π ６( ) ,令 π ２ ＋２kπ≤２x－ π ６ ≤ ３π ２ ＋２kπ (k∈Z), ２π ３ ＋２kπ≤２x ≤ ５π ３ ＋２kπ (k∈Z), π ３ ＋kπ≤x ≤ ５π ６ ＋kπ (k∈Z), 所以该函数的单调递减区间为 π ３ ＋kπ ,５π ６ ＋kπ[ ] (k∈Z)． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．D　２．A　３．B ４．D 【解析】(１)y ＝sinx 所有点的横坐标变为原 来的 １ ２ (纵坐标不变) → y ＝sin２x; (２)y＝sin２x 向左平移 π ３ 个单位 →y＝sin２(x＋ π ３ ) ＝sin２x＋ ２π ３( ) ． ５．C 【解析】y＝ １ ２cosx－ ３ ２sinx＝sin π ６cosx－ cosπ６sinx ＝sin π ６ －x( ) ． ６．D 【解析】在y＝２sin２x－ π ６( ) 中,ω＝２,故T＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π ,则T ４ ＝ π ４ ,即向右平移π ４ 个单位,可 得y＝２sin ２x－ π ４( ) － π ６[ ] ＝２sin２x－ ２π ３( ) ． ７．B ８．A 【解析】令sin２x＋ π ４( ) ＝０,可得２x＋ π ４ ＝ kπ⇒x ＝ kπ ２－ π ８ (k∈Z),所以,当k＝０时,x ＝ － π ８． ９．C 【解析】依图像可知,T＝２ ３－(－１)[ ] ＝８,故 ω＝ ２π T ＝ π ４ ,最大值ymax ＝２,最小值ymin＝ －２, １５４　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 故A ＝２,于是y＝２sin πx ４ ＋φ( ) ．又因为图像过 点(－１,０),故２sin － π ４ ＋φ( ) ＝０,从而－ π ４ ＋ φ ＝kπ(k∈Z),于是得φ ＝kπ＋ π ４ (k ∈Z)．当 k＝０时,φ ＝ π ４ ,所以y＝２sin πx ４ ＋ π ４( ) ． １０．B 【解析】令 － π ２ ＋２kπ≤２x － π ３ ≤ π ２ ＋ ２kπ(k∈Z),得－ π ６ ＋２kπ≤２x ≤ ５π ６ ＋２kπ (k ∈Z),－ π １２＋kπ≤x≤ ５π １２＋kπ (k∈Z),所以函 数的单调递增区间为 － π １２＋kπ ,５π １２＋kπ[ ] (k ∈Z)． 二、填空题 １１．π４ １２．２π 【解析】y＝ ３sinx－cosx＝２( ３２sinx－ １ ２cosx ) ＝２(cos π ６sinx－sin π ６cosx ) ＝ ２sinx－ π ６( ) ,故得ω ＝１,所以T ＝２π． １３．y ＝sin２x＋ π ３( ) １４．２kπ＋ π ３ (k∈Z) 【解析】y＝ ３sinx＋cosx＝ ２( ３２sinx ＋ １ ２cosx) ＝ ２(cos π ６sinx ＋ sinπ６cosx ) ＝２sinx＋ π ６( ) ． 当ymax ＝２时,x＋ π ６ ＝２kπ＋ π ２ (k∈Z), 所以x ＝２kπ＋ π ３ (k∈Z)． 三、解答题 １５．解:因为A ＝８,ω ＝４,φ ＝ － π ３ ,所以,最小正 周期T ＝ ２π ω ＝ π ２ ;图像变化分以下三步: (１)y＝sinx 所有点的横坐标变为原 来的 １ ４ (纵坐标不变) →y＝sin４x; (２)y＝sin４x 向右平移 π １２ 个单位 →y＝sin(４x－ π ３ ) ; (３)y＝sin４x－ π ３( ) 所有点的纵坐标变为原 来的８倍(横坐标不变) →y＝ ８sin４x－ π ３( ) ． １６．解:(１)因为T ＝ ２π ω ＝π⇒ω ＝２ ,故f(x)＝ ２sin２x－ π ６( ) ,所以f (x)min ＝ －２; (２)因为π２ ＜x ＜π ,且sinx ＝ ４ ５ ,故cosx ＝ － １－sin２x ＝－ ３ ５ ,所以sin２x＝２sinxcosx＝ ２× ４ ５ × － ３ ５( ) ＝ － ２４ ２５． cos２x ＝cos２x－sin２x ＝ － ３ ５( ) ２ － ４ ５( ) ２ ＝ － ７ ２５． 所以f(x)＝２sin２x－ π ６( ) ＝２sin２xcos π ６ －cos２xsin π ６( ) ＝２( ３２sin２x－ １ ２cos２x ) ＝２ ３ ２ × － ２４ ２５( ) － １ ２ × － ７ ２５( ) é ë êê ù û úú ＝ ７－２４ ３ ２５ ． 【能力提升】 解:(１)f(x)＝sin２ωx＋Acos２ωx＝ １＋A２sin(２ωx＋ θ),由f(x)的最小值为－ ２,A ＞０,得f(x)min ＝ － １＋A２ ＝ － ２,解得A ＝１． (２)由(１)知,f(x)＝ ２sin(２ωx＋θ),又因为最小 正周期为π,ω ＞０,故 T ＝ ２π ２ω ＝π⇒ω ＝１． 再由 sinθ＝ A １＋A２ ＝ ２ ２ ,sinθ＝ １ １＋A２ ＝ ２ ２ ,得 θ＝ π ４． 所以函数解析式为f(x)＝ ２sin２x＋ π ４( ) ． (３)令－ π ２ ＋２kπ≤２x＋ π ４ ≤ π ２ ＋２kπ (k∈Z), 训练测评参考答案 １５５　 得－ ３π ４ ＋２kπ≤２x ≤ π ４ ＋２kπ (k ∈Z),－ ３π ８ ＋ kπ≤x ≤ π ８ ＋kπ (k∈Z),所以函数的单调递增区 间为 [－３π８ ＋kπ, π ８ ＋kπ] (k∈Z)． ６．４　 解三角形 ６．４．１　 三角形面积公式 【变式训练１】 (１)１０ ２;(２)３２． 【变式训练２】 解:S△ABC ＝ １ ２absinC ＝ １ ２ ×５b×sin π ３ ＝ １ ２ × ５b× ３ ２ ＝ ５ ３ ４b． 即５ ３ ４b＝ １５ ３ ４ ,解得b＝３． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．D ２．C 【解析】S△ABC ＝ １ ２bcsinA＝ １ ２×２c×sin π ６ ＝ １ ２ ×２c× １ ２ ＝ c ２ ,即c ２ ＝ ３ ２ ,解得c＝３． ３．D 【解析】AB ＝c ＝３,BC ＝a ＝３ ２,所以 S△ABC ＝ １ ２acsinB ＝ １ ２ ×３２×３× ２ ２ ＝ ９ ２． ４．B 【解析】在 △ABC中,AB＝c＝４,AC＝b＝３, 又因为０＜ ∠A ＜π,sinA ＝ １－cos２A ＝ ３ ２ , 所以S△ABC ＝ １ ２bcsinA＝ １ ２×４×３× ３ ２ ＝３３． ５．C 【解析】sinC ＝sin１５°＝sin(４５°－３０°)＝ sin４５°cos３０°－cos４５°sin３０°＝ ２ ２ × ３ ２ － ２ ２ × １ ２ ＝ ６－ ２ ４ ． 所以S△ABC ＝ １ ２absinC ＝ １ ２ × ２×２× ６－ ２ ４ ＝ ６－ ２ ２ ． 二、填空题 ６．３ ２２ 　　７．１６ ３ ８．１８２ 【解析】S△ABD ＝ １ ２AB 􀅰ADsinA ＝ １ ２ × ６×６× ２ ２ ＝９２． 所以S菱形ABCD ＝２S△ABD ＝１８２． ９．１０ ３ 【解析】在 ▱ABCD 中,AD ＝BC ＝４,故 S△ABD ＝ １ ２AB 􀅰ADsinA ＝ １ ２ ×５×４× ３ ２ ＝ ５ ３,所以S▱ABCD ＝２S△ABD ＝１０ ３． 三、解答题 １０．解:在 △ABC 中,０ ＜ ∠C ＜ π,sinC ＝ １－cos２C ＝ １５ ４ ,所以S△ABC ＝ １ ２absinC＝ １ ２ ×１×２× １５ ４ ＝ １５ ４ ． １１．解:S△ABC ＝ １ ２absinC＝ １ ２×２３×２×sinC＝ ２３sinC．于是,２３sinC＝ ３,即sinC＝ １ ２． 又 因为０°＜ ∠C ＜１８０°,故 ∠C ＝３０°或１５０°． １２．解:因为 ∠A,∠B,∠C 成等差数列,故２∠B ＝ ∠A＋∠C　①． 又因为在△ABC中,∠A＋∠B＋∠C＝１８０°　②, 联立①②解得∠B＝６０°,故S△ABC ＝ １ ２acsinB＝ １ ２ ×２×c×sin６０°＝ １ ２ ×２×c× ３ ２ ＝ ３ ２c , 即 ３ ２c＝ ３ ,解得c＝２． 【能力提升】 １．解:在 ▱ABCD 中,S▱ABCD ＝２S△ABD ,可得 S△ABD ＝６ ２,而S△ABD ＝ １ ２AB 􀅰ADsinA ＝ １ ２ ×６×AD× ２ ２ ＝ ３ ２ ２ AD． 即３ ２ ２ AD ＝６２ , 解得AD ＝４． ２．解:设扇形AOB 的半径为r,中心角为α,可得弧 长l＝ α r ＝２π　①,面积S ＝ １ ２ α r ２ ＝ １２π　②,由①②可得α＝ π ６ ,r＝１２,所以S△AOB ＝ １ ２OA 􀅰OBsinα ＝ １ ２ ×１２×１２× １ ２ ＝３６．