6.2 二倍角公式-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

训练测评参考答案 １５１　 tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝１,从而可得tanα＋tanβ＋ tanαtanβ＝１,所以,(１＋tanα)(１＋tanβ)＝ １＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝２． 三、解答题 １３．解: 因 为 tan １５° ＝ tan(６０° － ４５°) ＝ tan６０°－tan４５° １＋tan６０°tan４５°＝ ３－１ １＋ ３ ＝２－ ３,所以, tan１５°＋ １ tan１５°＝２－ ３＋ １ ２－ ３ ＝４． １４．解:因 为α 为 锐 角,sinα ＝ ５ １３ ,故 cosα ＝ １－sin２α ＝ １２ １３ ,得tanα＝ ５ １２． 又因为β为第三 象限角,cosβ＝－ １５ １７ ,故sinβ＝－ １－cos２β ＝ － ８ １７ ,得 tanβ ＝ ８ １５． 所 以,tan(α ＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ ５ １２＋ ８ １５ １－ ５ １２× ８ １５ ＝ １７１ １４０． tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ＝ ５ １２－ ８ １５ １＋ ５ １２× ８ １５ ＝ － ２１ ２２０． １５．解:tan２β＝tan (β－α)＋(α＋β)[ ] ＝ tan(β－α)＋tan(α＋β) １－tan(β－α)＋tan(α＋β) ＝ ７＋３ １－７×３ ＝ － １ ２． 【能力提升】 １．３３ 【解析】cos１５°－sin１５° cos１５°＋sin１５° ＝ １－tan１５° １＋tan１５° ＝ tan４５°－tan１５° １＋tan４５°tan１５°＝ tan３０°＝ ３ ３． ２．解:tan２α ＝tan(α ＋α)＝ tanα＋tanα １－tanαtanα ＝ １ ２ ＋ １ ２ １－ １ ２ × １ ２ ＝ ４ ３． ３．证 明:左 边 ＝ tanα＋ π ４( ) 􀅰tanα－ π ４( ) ＝ tanα＋１ １－tanα 􀅰tanα－１ １＋tanα ＝ － １＝ 右边得证． ６．２　 二倍角公式 【变式训练１】 解:因为θ ∈ (０,π),故 θ ２ ∈ ０ ,π ２( ) ,cos θ ２ ＝ １－sin２ θ ２ ＝ ２ ２ ３ ,所以sinθ＝２sin θ ２cos θ ２ ＝ ２× １ ３ × ２ ２ ３ ＝ ４ ２ ９ ;cosθ＝cos２ θ ２ －sin ２ θ ２ ＝ (２ ２３ ) ２ － １ ３( ) ２ ＝ ７ ９ ;tanθ＝ sinθ cosθ ＝ ４ ２ ７ ． 【变式训练２】 (１)解:sin π１２cos π １２ ＝ １ ２ ×２sin π １２cos π １２ ＝ １ ２sin π ６ ＝ １ ２ × １ ２ ＝ １ ４． (２) 解:２sin２７５° ＝ － (１ － ２sin２７５°)＋ １ ＝ －cos１５０°＋１＝ ３ ２ ＋１． 【变式训练３】 解: ２cos２α １ tanα－tanα ＝ ２(cos２α－sin２α) cosα sinα－ sinα cosα ＝ ２(cos２α－sin２α) cos２α－sin２α sinαcosα ＝２sinαcosα ＝sin２α． 【变式训练４】 证明:右边 ＝ １－cos２α ２ ＝ １－(cos２α－sin２α) ２ ＝ (sin２α＋cos２α)－(cos２α－sin２α) ２ ＝sin ２α＝ 左边． 得证． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】sin７５°cos７５°＝ １ ２ ×２sin７５°cos７５°＝ １ ２sin１５０°＝ １ ４． １５２　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ２．B ３．D 【解 析】sin２１５°－cos２１５° ＝ － (cos２１５°－ sin２１５°)＝ －cos３０°＝ － ３ ２． ４．C ５．C 【解析】因为cosα ＝ － １ ２ ,且０＜α ＜π,故 sinα ＝ １－cos２α ＝ ３ ２ , 所 以 sin ２α ＝ ２sinαcosα ＝２× ３ ２ × － １ ２( ) ＝ － ３ ２． ６．A 【解析】因为sinα＝ ２ ３ ,故cos２α＝１－sin２α＝ １－ ２ ３( ) ２ ＝ ５ ９ ,所以cos(－２α)＝cos２α ＝ cos２α－sin２α ＝ ５ ９ － ４ ９ ＝ １ ９． ７．A 【解析】因为tan４５°＝ ２tan２２．５° １－tan２２２．５° ＝１,故 ２tan２２．５°＝１－tan２２２．５°,从而(１＋tan２２．５°)２ ＝ ２,所以１＋tan２２．５°＝ ２． ８．B 【解析】因为cosα ＝１－２sin２ α ２ ＝ ３ ５ ,故 sin２ α２ ＝ １ ５ ,又因为α∈(０,π),故 α ２ ∈ ０ ,π ２( ) , 所以sinα２ ＝ ５ ５． ９．B 【解析】因为 sinα２ －cos α ２( ) ２ ＝ １ ５ ,即１－ ２sinα２cos α ２ ＝ １ ５ ,所以sinα＝２sin α ２cos α ２ ＝ ４ ５． １０．A 【解析】由cosα ＝ １ ２⇒cos２α ＝２cos ２α－ １＝２× １ ２( ) ２ －１＝ － １ ２ ,而由cos２α＝２cos２α－ １＝ － １ ２⇒cos ２α＝ １ ４⇒cosα＝ ± １ ２． 二、填空题 １１．３２ 【解析】２ ３sin７５°cos７５°＝ ３sin１５０°＝ ３× １ ２ ＝ ３ ２． １２．３３ 【解析】４ ３cos ２１５°－ ２ ３ ＝ ２ ３ (２cos２１５°－１)＝ ２ ３cos３０°＝ ３ ３． １３．７２５ 【解析】根据三角函数定义可得,sinα＝ ３ ５ , 所以cos２α＝１－２sin２α＝１－２× ３ ５( ) ２ ＝ ７ ２５． １４．cos２θ 【解析】cos４θ－sin４θ ＝ (cos２θ－sin２θ) (cos２θ＋sin２θ)＝cos２θ－sin２θ＝cos２θ． 三、解答题 １５．解:因为sinα ＝ ３ ５ ,α ∈ π ２ ,π( ) ,故cosα ＝ － １－sin２α ＝－ ４ ５ ,所以sin２α＝２sinαcosα＝ ２× ３ ５ × － ４ ５( ) ＝ － ２４ ２５． cos２α＝cos２α－sin２α＝ － ４ ５( ) ２ － ３ ５( ) ２ ＝ ７ ２５． tan２α ＝ sin２α cos２α ＝ － ２４ ７． １６．解:(１)根据三角函数定义可知,tanα ＝２． (２)原式＝ ２sinα＋cosα ２ sinαcosπ４ －cosαsin π ４( ) ＝ ２sinα＋cosα ２ ２ ２sinα－ ２ ２cosα æ è ç ö ø ÷ ＝ ２sinα＋cosα sinα－cosα ＝ ２tanα＋１ tanα－１ ＝５． １７．证明:左边＝ cos２α－sin２１５°－cos２１５° sin２α ＝ cos２α－(sin２１５°＋cos２１５°) sin２α ＝ cos２α－１ sin２α ＝ １－２sin２α－１ ２sinαcosα ＝ － ２sin２α ２sinαcosα ＝ － sinα cosα ＝ －tanα ＝ 右边,得证． 【能力提升】 １．２－２２ 【解析】因为 １ cosα＋ １ sinα＝ sinα＋cosα sinαcosα , 训练测评参考答案 １５３　 即sinα＋cosα sinαcosα ＝ １ ,两 边 平 方 整 理 得 １ ＋ ２sinαcosα＝ (sinαcosα)２,即(sinαcosα)２ － ２sinαcosα－１＝０,解得sinαcosα＝１－ ２ 或 sinαcosα＝１＋ ２(舍)．所以sin２α＝２sinαcosα＝ ２(１－ ２)＝２－２ ２． ２．解:４sin２４°cos２４°cos１２° ＋tan１２° ＝ ２sin４８° cos１２°＋ sin１２° cos１２° ＝ ２sin(６０°－１２°) cos１２° ＋ sin１２° cos１２° ＝ ２(sin６０°cos１２°－cos６０°sin１２°)＋sin１２° cos１２° ＝ ２ ３ ２cos１２°－ １ ２sin１２° æ è ç ö ø ÷ ＋sin１２° cos１２° ＝ ３． ６．３　 正弦型函数的图像和性质 【变式训练１】 解:因为在y＝３sin２x＋ π ３( ) 中,A＝３,ω＝２,所 以最小正周期T ＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π ,最大值ymax ＝３, 最小值ymin ＝ －３． 【变式训练２】 解:因为A＝３,ω＝４,φ＝ π ３ ,所以,图像变化分以 下三步: (１)y ＝sinx 所有点的横坐标变为原 来的 １ ４ (纵坐标不变) →y ＝sin４x; (２)y ＝sin４x 向左平移 π １２ 个单位 →y ＝sin(４x＋ π ３ ) ; (３)y＝sin４x＋ π ３( ) 所有点的纵坐标变为 原来的３倍(横坐标不变) →y＝ ３sin４x＋ π ３( ) ． 【变式训练３】 解:(１)因为y＝３(sin２xcosπ６ －cos２xsin π ６ ) ＝ ３sin２x－ π ６( ) ,故A ＝３,ω＝２,φ＝ － π ６ ,所以最 小正周期为T ＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π． (２)由(１)知,f(x)＝３sin２x－ π ６( ) ,令 π ２ ＋２kπ≤２x－ π ６ ≤ ３π ２ ＋２kπ (k∈Z), ２π ３ ＋２kπ≤２x ≤ ５π ３ ＋２kπ (k∈Z), π ３ ＋kπ≤x ≤ ５π ６ ＋kπ (k∈Z), 所以该函数的单调递减区间为 π ３ ＋kπ ,５π ６ ＋kπ[ ] (k∈Z)． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．D　２．A　３．B ４．D 【解析】(１)y ＝sinx 所有点的横坐标变为原 来的 １ ２ (纵坐标不变) → y ＝sin２x; (２)y＝sin２x 向左平移 π ３ 个单位 →y＝sin２(x＋ π ３ ) ＝sin２x＋ ２π ３( ) ． ５．C 【解析】y＝ １ ２cosx－ ３ ２sinx＝sin π ６cosx－ cosπ６sinx ＝sin π ６ －x( ) ． ６．D 【解析】在y＝２sin２x－ π ６( ) 中,ω＝２,故T＝ ２π ω ＝ ２π ２ ＝π ,则T ４ ＝ π ４ ,即向右平移π ４ 个单位,可 得y＝２sin ２x－ π ４( ) － π ６[ ] ＝２sin２x－ ２π ３( ) ． ７．B ８．A 【解析】令sin２x＋ π ４( ) ＝０,可得２x＋ π ４ ＝ kπ⇒x ＝ kπ ２－ π ８ (k∈Z),所以,当k＝０时,x ＝ － π ８． ９．C 【解析】依图像可知,T＝２ ３－(－１)[ ] ＝８,故 ω＝ ２π T ＝ π ４ ,最大值ymax ＝２,最小值ymin＝ －２, １３　 ３．求证:tanα＋ π ４ æ è ç ö ø ÷􀅰tanα－ π ４ æ è ç ö ø ÷＝－１． ６．２　 二倍角公式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式的推 导过程; ◎ 会运用二倍角公式求值、化简与证明． 重点:理解二倍角公式中“二倍”的关系． 难点:掌握二倍角公式求值、化简与证明的技巧． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在公式Sα＋β、Cα＋β、Tα＋β 中,令α＝β,可得 sin(α＋β)＝sin(α＋α)＝sin２α＝ 　 二倍角的正弦公式S２α． cos(α＋β)＝cos(α＋α)＝cos２α＝cos２α－sin２α,又因为sin２α＋cos２α＝１,故cos２α＝ 或cos２α＝ 　 二倍角的余弦公式C２α． tan(α＋β)＝tan(α＋α)＝tan２α＝ 　 二倍角的正切公式 T２α． S２α、C２α、T２α三个公式统称为二倍角公式． 　　 １ 运用二倍角公式求值 【例１】 已知tanα＝２,α 是第三象限角,求sin２α、cos２α、tan２α 的值． 【解题思路】 用同角基本关系式求出sinα,cosα,再用二倍角公式求值． 联立 sinα cosα＝２ , sin２α＋cos２α＝１, ì î í ïï ï 解得sin２α＝ ４ ５ ,cos２α＝ １ ５ ,因为α 是第三象限角,故sinα＝－ ２５ ５ ,cosα＝ － ５ ５ ,所以 sin２α＝２sinαcosα＝２× － ２５ ５ æ è ç ö ø ÷× － ５ ５ æ è ç ö ø ÷＝ ４ ５． cos２α＝２cos２α－１＝２× １ ５－１＝－ ３ ５． tan２α＝ sin２α cos２α＝－ ４ ３． １４　 变式训练１ 已知sinθ２＝ １ ３ ,且θ ∈ (０,π),求sinθ、cosθ、tanθ 的值． 【例２】 求下列各式的值． (１)２sin２２．５°cos２２．５°;　(２)２cos２５π１２． 【解题思路】 观察式子的结构,逆用二倍角公式求值． (１)２sin２２．５°cos２２．５°＝sin４５°＝ ２ ２ ; (２)２cos２５π１２＝ ２cos ２５π １２－１ æ è ç ö ø ÷＋１＝cos ５π ６ ＋１＝－ ３ ２ ＋１． 变式训练２ 求下列各式的值． (１)sinπ１２cos π １２ ;　(２)２sin２７５°． 　　 ２ 用二倍角公式化简、求值 【例３】 已知tanα＝５,求２sin２α－sin２α＋３cos２α 的值． 【解题思路】 先用二倍角公式将２α 化为α,然后化弦为切,再求值． ２sin２α－sin２α＋３cos２α＝２sin２α－２sinαcosα＋３cos２α ＝ ２sin２α－２sinαcosα＋３cos２α sin２α＋cos２α ＝ ２tan２α－２tanα＋３ tan２α＋１ ＝ ４３ ２６． 变式训练３ 化简: ２cos２α１ tanα－tanα ． 　　 ３ 用二倍角公式证明 【例４】 证明:cos２α＝ １＋cos２α ２ ． 【解题思路】 由右到左,运用二倍角公式变形证明． 右边＝ １＋cos２α ２ ＝ １＋(cos２α－sin２α) ２ ＝ (sin２α＋cos２α)＋(cos２α－sin２α) ２ ＝cos ２α＝左边． 得证． １５　 变式训练４ 证明:sin２α＝ １－cos２α ２ ． 自 我 测 评 一、选择题 １．sin７５°cos７５°等于 (　　) A．１２ B．－ １ ２ C． １ ４ D．－ １ ４ ２．１－２sin２２２．５°等于 (　　) A．－ ２ ２ B． ２ ２ C． ３ ２ D．－ ３ ２ ３．sin２１５°－cos２１５°等于 (　　) A．１２ B．－ １ ２ C． ３ ２ D．－ ３ ２ ４．已知tanα＝２,则tan２α＝ (　　) A．－ ３ ４ B． ３ ４ C．－ ４ ３ D． ４ ３ ５．若cosα＝－ １ ２ ,且０＜α ＜π,那么sin２α＝ (　　) A．１２ B． ３ ２ C．－ ３ ２ D． ２ ２ ６．已知sinα＝ ２ ３ ,则cos(－２α)＝ (　　) A．１９ B．－ １ ９ C． ５ ３ D．－ ５ ３ ７．１＋tan２２．５°＝ (　　) A．２ B．５２ C． １＋ ５ ２ D． １＋ ２ ２ ８．已知cosα＝ ３ ５ ,α ∈ (０,π),则sin α ２＝ (　　) A．± ５ ５ B． ５ ５ C．－ ５ ５ D． １ ５ ９．已知sinα２－cos α ２＝ ５ ５ ,则sinα＝ (　　) A．３５ B． ４ ５ C．－ ３ ５ D．－ ４ ５ １０．“cosα＝ １ ２ ”是“cos２α＝－ １ ２ ”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 １６　 二、填空题 １１．２３sin７５°cos７５°＝ ． １２．４３cos ２１５°－ ２ ３＝ ． １３．若点M(－４,３)是角α 终边上一点,则cos２α＝ ． １４．化简:cos４θ－sin４θ＝ ． 三、解答题 １５．已知sinα＝ ３ ５ ,α ∈ π ２ ,πæ è ç ö ø ÷ ,求sin２α、cos２α、tan２α 的值． 试题精讲 １６．已知角α 终边上有一点P(３,６),求: (１)tanα; (２) ２sin(π－α)＋２cos２ α ２－１ ２sinα－ π ４ æ è ç ö ø ÷ ． １７．求证:cos２α－sin ２１５°－sin２７５° sin２α ＝－tanα． １．若 １cosα＋ １ sinα＝１ ,则sin２α＝ ． ２．求４sin２４°cos２４°cos１２° ＋tan１２° 的值．