6.1.3 两角和与差的正切公式-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

９　 ３．已知cos(α＋β)＝－ ２４ ２５ ,cos(α－β)＝ ４ ５ ,０＜β ＜α ＜ π ２ ,求sin２α 的值． ６．１．３ 　 两角和与差的正切公式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解两角和与差的正切公式的推导过程; ◎ 理解两角和与两角差的正切公式在求值、化简及证 明等方面的应用． 重点:掌握两角和与差的正切公式． 难点:会用两角和与差的正切公式进行求值、化简和 证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由同角基本关系式商数关系tanα＝ sinα cosα 可知, tan(α＋β)＝ sin(α＋β) cos(α＋β) ＝ sinαcosβ＋cosαsinβ cosαcosβ－sinαsinβ ． 当cosαcosβ ≠０时,上式分子分母同除以cosαcosβ 化弦为切得 tan(α＋β)＝ 　 两角和的正切公式 Tα＋β． 将公式中β 替换为－β,可得 tan(α－β)＝ 　 两角差的正切公式 Tα－β． 要求:公式中α、β 的取值应使分式有意义． 和角与差角公式:Sα±β、Cα±β、Tα±β 三组公式统称为 ．应用这些公式可以计算三角函数值、化简三 角函数式、证明三角恒等式． 　　 １ 两角和与差的正切公式正用 【例１】 求下列各式的值． (１)tan７π１２ ;　(２)tan(－１５°)． 【解题思路】 将所求角转化为两个特殊角的和与差,然后用公式运算即可． (１)tan７π１２＝tan π ３＋ π ４ æ è ç ö ø ÷＝ tanπ３＋tan π ４ １－tan π ３tan π ４ ＝ ３＋１ １－ ３ ＝－(２＋ ３)． (２)tan(－１５°)＝tan(３０°－４５°)＝ tan３０°－tan４５° １＋tan３０°tan４５°＝ ３ ３ －１ １＋ ３ ３ ＝－２＋ ３． １０　 变式训练１ 求下列各式的值． (１)tan－ ５π １２ æ è ç ö ø ÷ ;　(２)tan１９５°． 　　 ２ 两角和与差的正切公式逆用 【例２】 求下列各式的值． (１) tan７π１２－tan π ３ １＋tan ７π １２tan π ３ ;　(２)１－tan７５°１＋tan７５° ． 【解题思路】 观察所求式子的结构,结合公式 Tα－β,逆用求值． (１) tan７π１２－tan π ３ １＋tan ７π １２tan π ３ ＝tan ７π １２－ π ３ æ è ç ö ø ÷＝tan π ４＝１． (２)将分子中的１看作tan４５°的值,分母中的tan７５°的系数１看作tan４５°的值,则可得 １－tan７５° １＋tan７５°＝ tan４５°－tan７５° １＋tan４５°tan７５°＝ tan(４５°－７５°)＝tan(－３０°)＝－tan３０°＝－ ３ ３． 变式训练２ 求下列各式的值． (１)tan５°－tan３５°１＋tan５°tan３５° ;　(２)１＋tan１０５°１－tan１０５° ． 　　 ３ 两角和与差的正切公式综合应用 【例３】 已知β 为锐角,tanα＝ ３ ４ ,cosβ＝ １２ １３ ,求tan(α＋β)和tan(α－β)的值． 【解题思路】 先用同角基本关系式求出sinβ,再求出tanβ,最后用公式 Tα＋β 和 Tα－β 求值． 因为β 为锐角且cosβ＝ １２ １３ ,故 sinβ＝ １－cos２β ＝ １－ １２ １３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ５ １３． 从而得 tanβ＝ sinβ cosβ ＝ ５ １２． 所以 １１　 tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ ３ ４＋ ５ １２ １－ ３ ４× ５ １２ ＝ ５６ ３３． tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ＝ ３ ４－ ５ １２ １＋ ３ ４× ５ １２ ＝ １６ ６３． 变式训练３ 已知α,β 为第四象限角,cosα＝ ３ ５ ,sinβ＝－ １２ １３ ,求tan(α＋β)和tan(α－β)的值． 自 我 测 评 一、选择题 １．已知tanθ＝２,则tanθ＋ π ４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２ B．－３ C．０ D． ２ ３ ２．已知tanα＝３,tanβ＝５,则tan(α－β)＝ (　　) A．１８ B．－ １ ８ C． ３ ８ D．－ ３ ８ ３．tan４１°＋tan１９°１－tan４１°tan１９°＝ (　　) A．３３ B．－ ３ ３ C．３ D．－ ３ ４．已知tanα＝４,则tanα＋ π ４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．５３ B．－ ５ ３ C． ３ ５ D．－ ３ ５ ５．已知tanα,tanβ 是方程x２－７x＋１０＝０的两个实数根,则tan(α＋β)＝ (　　) A．９７ B． ７ ９ C．－ ９ ７ D．－ ７ ９ ６．已知tanα＋ π ４ æ è ç ö ø ÷＝９,则tanα＝ (　　) A．４５ B．－ ４ ５ C． ３ ４ D．－ ３ ４ ７．已知cosα＝ ３ ２ ,α 为第四象限角,则tan π６－α æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．３３ B．－ ３ ３ C．３ D．－ ３ １２　 ８．已知sinα＋cosα２sinα－cosα＝ １ ３ ,则tanα＋ π ４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ４ ５ B． ３ ５ C．－ ３ ５ D． ４ ５ 二、填空题 ９．tan－ ７π １２ æ è ç ö ø ÷＝ ． １０．１＋tan１５°１－tan１５°＝ ． １１．已知角α 终边上有一点P(－３,４),则tanα－ π ４ æ è ç ö ø ÷＝ ． １２．已知α＋β＝ ５π ４ ,则(１＋tanα)(１＋tanβ)＝ ． 三、解答题 １３．求tan１５°＋ １ tan１５° 的值． １４．已知α 为锐角,β 为第三象限角,sinα＝ ５ １３ ,cosβ＝－ １５ １７ ,求tan(α＋β)和tan(α－β)的值． １５．已知tan(β－α)＝７,tan(α＋β)＝３,求tan２β 的值． １．cos１５°－sin１５°cos１５°＋sin１５°＝ ． ２．已知tanα＝ １ ２ ,求tan２α． １３　 ３．求证:tanα＋ π ４ æ è ç ö ø ÷􀅰tanα－ π ４ æ è ç ö ø ÷＝－１． ６．２　 二倍角公式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式的推 导过程; ◎ 会运用二倍角公式求值、化简与证明． 重点:理解二倍角公式中“二倍”的关系． 难点:掌握二倍角公式求值、化简与证明的技巧． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在公式Sα＋β、Cα＋β、Tα＋β 中,令α＝β,可得 sin(α＋β)＝sin(α＋α)＝sin２α＝ 　 二倍角的正弦公式S２α． cos(α＋β)＝cos(α＋α)＝cos２α＝cos２α－sin２α,又因为sin２α＋cos２α＝１,故cos２α＝ 或cos２α＝ 　 二倍角的余弦公式C２α． tan(α＋β)＝tan(α＋α)＝tan２α＝ 　 二倍角的正切公式 T２α． S２α、C２α、T２α三个公式统称为二倍角公式． 　　 １ 运用二倍角公式求值 【例１】 已知tanα＝２,α 是第三象限角,求sin２α、cos２α、tan２α 的值． 【解题思路】 用同角基本关系式求出sinα,cosα,再用二倍角公式求值． 联立 sinα cosα＝２ , sin２α＋cos２α＝１, ì î í ïï ï 解得sin２α＝ ４ ５ ,cos２α＝ １ ５ ,因为α 是第三象限角,故sinα＝－ ２５ ５ ,cosα＝ － ５ ５ ,所以 sin２α＝２sinαcosα＝２× － ２５ ５ æ è ç ö ø ÷× － ５ ５ æ è ç ö ø ÷＝ ４ ５． cos２α＝２cos２α－１＝２× １ ５－１＝－ ３ ５． tan２α＝ sin２α cos２α＝－ ４ ３． １５０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ２．证明: 左 边 ＝ ２( １２cosα ＋ ３ ２sinα) ＝ ２sinπ６cosα＋cos π ６sinα( ) ＝２sin π ６ ＋α( ) ＝ 右边得证． ３．解:因为０＜β＜α＜ π ２ ,cos(α＋β)＝－ ２４ ２５ ,故π ２ ＜ α＋β＜π,于是,sin(α＋β)＝ １－cos２(α＋β)＝ １－ － ２４ ２５( ) ２ ＝ ７ ２５． 又０＜β＜α＜ π ２ ,故０＜ α－β＜ π ２ ,于是,sin(α－β)＝ １－cos２(α－β)＝ １－ ４ ５( ) ２ ＝ ３ ５． 所以sin２α＝sin (α＋β)＋(α－β)[ ] ＝sin(α＋ β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝ ７ ２５× ４ ５ ＋ － ２４ ２５( ) × ３ ５ ＝ － ４４ １２５． ６．１．３　 两角和与差的正切公式 【变式训练１】 (１)－(２＋ ３);(２)２－ ３． 【变式训练２】 (１)－ ３ ３ ; (２)－ ３ ３ 【解析】将分子的１看作tan４５°的值,分母 中的tan１０５°的系数１看作tan４５°的值,则可得 １＋tan１０５° １－tan１０５°＝ tan４５°＋tan１０５° １－tan４５°tan１０５°＝ tan(４５°＋ １０５°)＝tan１５０°＝ － ３ ３． 【变式训练３】 解:因为α,β为第四象限角,故sinα＝－ １－cos２α＝ － ４ ５ ,从而tanα＝ － ４ ３ ;cosβ＝ １－sin２β ＝ ５ １３ , 从而tanβ＝－ １２ ５． 所以tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ － ４ ３ － ５ １２ １－ － ４ ３( ) × － ５ １２( ) ＝ － ６３ １６． tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ＝ － ４ ３ － － ５ １２( ) １＋ － ４ ３( ) × － ５ １２( ) ＝ － ３３ ５６． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B　２．B　３．C　４．B ５．D 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知 tanα＋tanβ＝７,tanαtanβ＝１０,故tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ ７ １－１０＝ － ７ ９． ６．A 【解析】tanα＋ π ４( ) ＝ tanα＋１ １－tanα＝ ９,从而解 得tanα ＝ ４ ５． ７．C 【解析】因为cosα ＝ ３ ２ ,α 为第四象限角,故 sinα ＝ － １－cos２α ＝ － １ ２ ,从 而tanα ＝ － ３ ３ ,所以,tan(π６ －α )＝ tanπ６ －tanα １＋tan π ６tanα ＝ ３ ３ － (－ ３ ３ ) １＋ ３ ３ × (－ ３ ３ ) ＝ ３． ８．C 【解析】将 sinα＋cosα２sinα－cosα ＝ １ ３ 化弦为切得 tanα＋１ ２tanα－１ ＝ １ ３ ,解 得 tanα ＝ －４,所 以, tanα＋ π ４( ) ＝ tanα＋１ １－tanα ＝ － ３ ５． 二、填空题 ９．２＋ ３　　１０．３ １１．７ 【解析】根据三角函数定义可知tanα＝ － ４ ３ , 所以tanα－ π ４( ) ＝ tanα－１ １＋tanα＝ － ４ ３ －１ １－ ４ ３ ＝７． １２．２ 【解 析】tan(α ＋β)＝ tan ５π ４ ＝ １ , 即 训练测评参考答案 １５１　 tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝１,从而可得tanα＋tanβ＋ tanαtanβ＝１,所以,(１＋tanα)(１＋tanβ)＝ １＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝２． 三、解答题 １３．解: 因 为 tan １５° ＝ tan(６０° － ４５°) ＝ tan６０°－tan４５° １＋tan６０°tan４５°＝ ３－１ １＋ ３ ＝２－ ３,所以, tan１５°＋ １ tan１５°＝２－ ３＋ １ ２－ ３ ＝４． １４．解:因 为α 为 锐 角,sinα ＝ ５ １３ ,故 cosα ＝ １－sin２α ＝ １２ １３ ,得tanα＝ ５ １２． 又因为β为第三 象限角,cosβ＝－ １５ １７ ,故sinβ＝－ １－cos２β ＝ － ８ １７ ,得 tanβ ＝ ８ １５． 所 以,tan(α ＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ ５ １２＋ ８ １５ １－ ５ １２× ８ １５ ＝ １７１ １４０． tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ＝ ５ １２－ ８ １５ １＋ ５ １２× ８ １５ ＝ － ２１ ２２０． １５．解:tan２β＝tan (β－α)＋(α＋β)[ ] ＝ tan(β－α)＋tan(α＋β) １－tan(β－α)＋tan(α＋β) ＝ ７＋３ １－７×３ ＝ － １ ２． 【能力提升】 １．３３ 【解析】cos１５°－sin１５° cos１５°＋sin１５° ＝ １－tan１５° １＋tan１５° ＝ tan４５°－tan１５° １＋tan４５°tan１５°＝ tan３０°＝ ３ ３． ２．解:tan２α ＝tan(α ＋α)＝ tanα＋tanα １－tanαtanα ＝ １ ２ ＋ １ ２ １－ １ ２ × １ ２ ＝ ４ ３． ３．证 明:左 边 ＝ tanα＋ π ４( ) 􀅰tanα－ π ４( ) ＝ tanα＋１ １－tanα 􀅰tanα－１ １＋tanα ＝ － １＝ 右边得证． ６．２　 二倍角公式 【变式训练１】 解:因为θ ∈ (０,π),故 θ ２ ∈ ０ ,π ２( ) ,cos θ ２ ＝ １－sin２ θ ２ ＝ ２ ２ ３ ,所以sinθ＝２sin θ ２cos θ ２ ＝ ２× １ ３ × ２ ２ ３ ＝ ４ ２ ９ ;cosθ＝cos２ θ ２ －sin ２ θ ２ ＝ (２ ２３ ) ２ － １ ３( ) ２ ＝ ７ ９ ;tanθ＝ sinθ cosθ ＝ ４ ２ ７ ． 【变式训练２】 (１)解:sin π１２cos π １２ ＝ １ ２ ×２sin π １２cos π １２ ＝ １ ２sin π ６ ＝ １ ２ × １ ２ ＝ １ ４． (２) 解:２sin２７５° ＝ － (１ － ２sin２７５°)＋ １ ＝ －cos１５０°＋１＝ ３ ２ ＋１． 【变式训练３】 解: ２cos２α １ tanα－tanα ＝ ２(cos２α－sin２α) cosα sinα－ sinα cosα ＝ ２(cos２α－sin２α) cos２α－sin２α sinαcosα ＝２sinαcosα ＝sin２α． 【变式训练４】 证明:右边 ＝ １－cos２α ２ ＝ １－(cos２α－sin２α) ２ ＝ (sin２α＋cos２α)－(cos２α－sin２α) ２ ＝sin ２α＝ 左边． 得证． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】sin７５°cos７５°＝ １ ２ ×２sin７５°cos７５°＝ １ ２sin１５０°＝ １ ４．