6.1.2 两角和与差的正弦公式-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

１４８　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ＝ － ４ ５ × １ ２ ＋ ３ ５ × ３ ２ ＝ － ４＋３ ３ １０ ． １４．解:因为在 △ABC中,cosB＝ － ５ １３＜０ ,故B为 钝角, 那 么 A,C 为 锐 角, 所 以 cos A ＝ １－sin２A ＝ ４ ５ ,sinB ＝ １－cos２B ＝ １２ １３ , 则cosC＝cos π－(A＋B)[ ] ＝ －cos(A＋B) ＝ －(cosAcosB－sinAsinB) ＝sinAsinB－cosAcosB ＝ ３ ５ × １２ １３－ ４ ５ × － ５ １３( ) ＝ ５６ ６５． １５．解:(１)因为α,β 均为第四象限角,所以cosα ＝ １－sin２α ＝ ４ ５ ,sinβ＝ － １－cos２β ＝ － １２ １３ , 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝ ４ ５× ５ １３＋ － ３ ５( ) × － １２ １３( ) ＝ ５６ ６５． (２)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝ ４ ５ × ５ １３－ － ３ ５( ) × － １２ １３( ) ＝ － １６ ６５． 【能力提升】 １．解:因为cos π２ ＋α( ) ＝ －sinα,２cos(π－α)＝ －２cosα,于是可得－sinα＝ －２cosα,即sinα＝ ２cosα,即tanα ＝２＞０, 联立 sinα ＝２cosα, sin２α＋cos２α ＝１,{ 解得sin ２α ＝ ４ ５ , cos２α ＝ １ ５． 由sinα ＝２cosα,得tanα ＝２＞０,故α 为第一 或第三象限角． ① 当α 为第一象限角时,sinα ＝ ２ ５ ５ ,cosα ＝ ５ ５ ,此时cos π４ －α( ) ＝cos π ４cosα＋sin π ４sinα＝ ２ ２ × ５ ５ ＋ ２ ２ × ２ ５ ５ ＝ ３ １０ １０ ． ② 当α为第三象限角时,sinα＝ － ２ ５ ５ ,cosα＝ － ５ ５ ,此时cos π４ －α( ) ＝cos π ４cosα＋sin π ４sinα ＝ ２ ２ × (－ ５ ５ ) ＋ ２ ２ × (－ ２ ５ ５ ) ＝ － ３ １０ １０ ． ２．解:原式＝cos４２°cos１８°－sin４２°sin１８° ＝cos(４２°＋１８°) ＝cos６０° ＝ １ ２． ６．１．２　 两角和与差的正弦公式 【变式训练１】 (１)２－ ６４ ;(２)－ ６＋ ２ ４ ． 【变式训练２】 (１)－ １ ２ ;(２)－ ２ ２． 【变式训练３】 【解题思路】 先利 用 同 角 基 本 关 系 式 求 出 sinβ, cos(α－β),再用两角差的正弦公式求sinα．因为β为 锐角,所以sinβ＝ １－cos２β ＝ １－ １２ １３( ) ２ ＝ ５ １３ ,因为α,β 为锐角,且sin(α－β)＝ － ４ ５ ＜０ ,可 得 － π ２ ＜ α － β ＜ ０ , 故 cos(α － β) ＝ １－sin２(α－β)＝ １－ － ４ ５( ) ２ ＝ ３ ５． 所以sinα ＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋ cos(α－β)sinβ＝ － ４ ５( ) × １２ １３＋ ３ ５× ５ １３＝ － ３３ ６５． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C ２．B 【解析】因 为 sin１６５°＝ sin(１８０°－１５°)＝ sin１５°,故原式 ＝sin３０°cos１５°＋cos３０°sin１５°＝ sin４５°＝ ２ ２． ３．C 【解析】因为cos７２°＝cos(９０°－１８°)＝sin１８°, 训练测评参考答案 １４９　 故原 式 ＝ sin４８°cos１８°－cos４８°sin１８° ＝ sin３０°＝ １ ２． ４．A 【解析】因为cosθ＝ － ３ ５ ,且θ∈ π ２ ,π( ) ,故 sinθ ＝ ４ ５ ,所以sinθ＋ π ３( ) ＝sinθcos π ３ ＋ cosθsinπ３ ＝ ４ ５× １ ２＋ － ３ ５( ) × ３ ２ ＝ ４－３ ３ １０ ． ５．A 【解析】因为cos２０°＝cos(１８０°－１６０°)＝ －cos１６０°,故 原式＝sin１６０°cos１０°－cos１６０°sin１０° ＝sin(１６０°－１０°) ＝sin１５０°＝ １ ２． ６．B 【解析】因为sin３π８ ＝sinπ－ ５π ８( ) ＝sin ５π ８ , cos７π８ ＝ cosπ－ π ８( ) ＝ －cos π ８ ,故 原 式 ＝ sinπ８cos ５π ８ －cos π ８sin ５π ８ ＝sin π ８ － ５π ８( ) ＝ sin － π ２( ) ＝ －１． ７．B 【解 析】因 为 cos７１°＝ cos(１８０°－１０９°)＝ －cos１０９°,又cos２９６°＝cos(３６０°－６４°)＝cos６４°, 所以原式 ＝sin１０９°cos６４°－cos１０９°sin６４°＝ sin(１０９°－６４°)＝sin４５°＝ ２ ２． ８．B ９．C 【解析】原式 ＝sin４５°cos７５°＋cos４５°sin７５°＝ sin(４５°＋７５°)＝sin１２０°＝ ３ ２． 二、填空题 １０．２－ ６４ １１．１２－５ ３２６ 【解析】由三角函数定义可知,sinα ＝ － １２ １３ ,cosα ＝ － ５ １３ , 所 以 sin π３ －α( ) ＝ sinπ３cosα－cos π ３sinα＝ ３ ２× － ５ １３( ) － １ ２× － １２ １３( ) ＝ １２－５ ３ ２６ ． １２．３２ 【解析】因为sin４６°＝sin(９０°－４４°)＝cos４４°, 所以原式 ＝sin４４°cos１６°＋cos４４°sin１６°＝ sin(４４°＋１６°)＝sin６０°＝ ３ ２． １３．３２ 三、解答题 １４．解:(１)sin７°cos３７°－sin３７°cos７°＝sin(７°－ ３７°)＝sin(－３０°)＝ －sin３０°＝ － １ ２ ; (２)sin ２５π１２cos １１π ６ － cos ２５π １２sin １１π ６ ＝ sin２５π１２ － １１π ６( ) ＝sin π ４ ＝ ２ ２． １５．解:因 为 sinα ＝ － ８ １７ ,α 是 第 四 象 限 角,故 cosα ＝ １－sin２α ＝ １５ １７ ,所以sin π４ －α( ) ＝ sinπ４cosα－cos π ４sinα ＝ ２ ２ × １５ １７－ ２ ２ × － ８ １７( ) ＝ ２３ ２ ３４ ． １６．解:因为sinα ＝ ２ ３ ,α ∈ ０, π ２( ) ,故cosα ＝ １－sin２α ＝ １－ ２ ３( ) ２ ＝ ５ ３． 又cosβ ＝ － ３ ５ ,β ∈ π ２ ,π( ) ,故sinβ ＝ １－cos２β ＝ １－ － ３ ５( ) ２ ＝ ４ ５． 所 以,sin(α ＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ＝ ２ ３ × － ３ ５( ) ＋ ５ ３ × ４ ５ ＝ －６＋４ ５ １５ ． 【能力提升】 １．解: 因 为 tanαtanβ ＝ sinα cosα sinβ cosβ ＝ sinαcosβ cosαsinβ , 由 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２ , sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , ì î í ï ï ï ï 联立,解方程组得sinαcosβ＝ ５ １２ ,cosαsinβ ＝ １ １２ ,所以tanα tanβ ＝５． １５０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ２．证明: 左 边 ＝ ２( １２cosα ＋ ３ ２sinα) ＝ ２sinπ６cosα＋cos π ６sinα( ) ＝２sin π ６ ＋α( ) ＝ 右边得证． ３．解:因为０＜β＜α＜ π ２ ,cos(α＋β)＝－ ２４ ２５ ,故π ２ ＜ α＋β＜π,于是,sin(α＋β)＝ １－cos２(α＋β)＝ １－ － ２４ ２５( ) ２ ＝ ７ ２５． 又０＜β＜α＜ π ２ ,故０＜ α－β＜ π ２ ,于是,sin(α－β)＝ １－cos２(α－β)＝ １－ ４ ５( ) ２ ＝ ３ ５． 所以sin２α＝sin (α＋β)＋(α－β)[ ] ＝sin(α＋ β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝ ７ ２５× ４ ５ ＋ － ２４ ２５( ) × ３ ５ ＝ － ４４ １２５． ６．１．３　 两角和与差的正切公式 【变式训练１】 (１)－(２＋ ３);(２)２－ ３． 【变式训练２】 (１)－ ３ ３ ; (２)－ ３ ３ 【解析】将分子的１看作tan４５°的值,分母 中的tan１０５°的系数１看作tan４５°的值,则可得 １＋tan１０５° １－tan１０５°＝ tan４５°＋tan１０５° １－tan４５°tan１０５°＝ tan(４５°＋ １０５°)＝tan１５０°＝ － ３ ３． 【变式训练３】 解:因为α,β为第四象限角,故sinα＝－ １－cos２α＝ － ４ ５ ,从而tanα＝ － ４ ３ ;cosβ＝ １－sin２β ＝ ５ １３ , 从而tanβ＝－ １２ ５． 所以tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ － ４ ３ － ５ １２ １－ － ４ ３( ) × － ５ １２( ) ＝ － ６３ １６． tan(α－β)＝ tanα－tanβ １＋tanαtanβ ＝ － ４ ３ － － ５ １２( ) １＋ － ４ ３( ) × － ５ １２( ) ＝ － ３３ ５６． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B　２．B　３．C　４．B ５．D 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知 tanα＋tanβ＝７,tanαtanβ＝１０,故tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ １－tanαtanβ ＝ ７ １－１０＝ － ７ ９． ６．A 【解析】tanα＋ π ４( ) ＝ tanα＋１ １－tanα＝ ９,从而解 得tanα ＝ ４ ５． ７．C 【解析】因为cosα ＝ ３ ２ ,α 为第四象限角,故 sinα ＝ － １－cos２α ＝ － １ ２ ,从 而tanα ＝ － ３ ３ ,所以,tan(π６ －α )＝ tanπ６ －tanα １＋tan π ６tanα ＝ ３ ３ － (－ ３ ３ ) １＋ ３ ３ × (－ ３ ３ ) ＝ ３． ８．C 【解析】将 sinα＋cosα２sinα－cosα ＝ １ ３ 化弦为切得 tanα＋１ ２tanα－１ ＝ １ ３ ,解 得 tanα ＝ －４,所 以, tanα＋ π ４( ) ＝ tanα＋１ １－tanα ＝ － ３ ５． 二、填空题 ９．２＋ ３　　１０．３ １１．７ 【解析】根据三角函数定义可知tanα＝ － ４ ３ , 所以tanα－ π ４( ) ＝ tanα－１ １＋tanα＝ － ４ ３ －１ １－ ４ ３ ＝７． １２．２ 【解 析】tan(α ＋β)＝ tan ５π ４ ＝ １ , 即 ５　 ６．１．２ 　 两角和与差的正弦公式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解两角和与差的正弦公式的推导过程; ◎ 理解两角和与两角差的正弦公式在求值、化简及证 明等方面的应用． 重点:掌握两角和与差的正弦公式． 难点:会用两角和与差的正弦公式进行求值、化简和 证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由三角函数的诱导公式可知,sinx＝cos π ２－x æ è ç ö ø ÷ ,因此可得 sin(α＋β)＝cos π ２－ (α＋β) é ë êê ù û úú ＝cos π ２－α æ è ç ö ø ÷－β) é ë êê ù û úú ＝cos π ２－α æ è ç ö ø ÷cosβ＋sin π ２－α æ è ç ö ø ÷sinβ ＝sinαcosβ＋cosαsinβ, 即 sin(α＋β)＝ 　 两角和的正弦公式Sα＋β． 在上式中,用－β 代替β,可得 sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β), 即 sin(α－β)＝ 　 两角差的正弦公式Sα－β． 　　 １ 两角和与差的正弦公式正用 【例１】 求下列各式的值． (１)sin７５°;　(２)sinπ１２． 【解题思路】 将所求角转化为两个特殊角的和与差,然后用公式运算即可． (１)sin７５°＝sin(４５°＋３０°)＝sin４５°cos３０°＋cos４５°sin３０°＝ ２ ２ × ３ ２ ＋ ２ ２ × １ ２＝ ６＋ ２ ４ ． (２)sinπ１２＝sin π ３－ π ４ æ è ç ö ø ÷＝sin π ３cos π ４－cos π ３sin π ４＝ ３ ２ × ２ ２ － １ ２× ２ ２ ＝ ６－ ２ ４ ． 变式训练１ 求下列各式的值． (１)sin(－１５°);　(２)sin－ ５π １２ æ è ç ö ø ÷ ． ６　 　　 ２ 两角和与差的正弦公式逆用 【例２】 求下列各式的值． (１)sin３５°cos２５°＋cos３５°sin２５°;　(２)sin ７π １２cos π ３－cos ７π １２sin π ３． 【解题思路】 观察所求式子的结构,结合公式Sα＋β 和Sα－β,逆用求值． (１)sin３５°cos２５°＋cos３５°sin２５°＝sin(３５°＋２５°)＝sin６０°＝ ３ ２． (２)sin７π１２cos π ３－cos ７π １２sin π ３＝sin ７π １２－ π ３ æ è ç ö ø ÷＝sin π ４＝ ２ ２． 变式训练２ (１)sin５°cos３５°－cos５°sin３５°;　(２)sin π １２cos π ３－cos π １２sin π ３． 　　 ３ 两角和与差的正弦公式综合运用 【例３】 已知α,β 为锐角,sinβ＝ ５ １３ ,cos(α＋β)＝－ ４ ５ ,求sinα． 【解题思路】 先利用同角基本关系式求出cosβ,sin(α＋β),再用两角差的正弦公式求sinα． 因为β 为锐角,所以 cosβ＝ １－sin２β ＝ １－ ５ １３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ １２ １３． 因为α,β 为锐角,且cos(α＋β)＝－ ４ ５ ＜０ ,可得α＋β 为钝角,故 sin(α＋β)＝ １－cos２(α＋β)＝ １－ － ４ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３ ５． 所以sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝ ３ ５× １２ １３－ － ４ ５ æ è ç ö ø ÷× ５ １３＝ ５６ ６５． 变式训练３ 已知α,β 为锐角,cosβ＝ １２ １３ ,sin(α－β)＝－ ４ ５ ,求sinα． ７　 自 我 测 评 一、选择题 １．sin４５°cos１５°－cos４５°sin１５°的值等于 (　　) A．３２ B． ２ ２ C． １ ２ D．－ ３ ２ ２．sin３０°cos１５°＋cos３０°sin１６５°的值等于 (　　) A．３２ B． ２ ２ C． １ ２ D．－ ３ ２ ３．sin４８°cos１８°－cos４８°cos７２°的值等于 (　　) A．３２ B． ２ ２ C． １ ２ D． ３ ３ ４．若cosθ＝－ ３ ５ 且θ ∈ π ２ ,πæ è ç ö ø ÷ ,则sinθ＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ 的值为 (　　) A．４－３３１０ B．－ ４＋３３ １０ C．３３－４１０ D． ３３＋４ １０ ５．sin１６０°cos１０°＋cos２０°sin１０°的值是 (　　) A．１２ B．－ １ ２ C．－ ３ ２ D． ３ ２ ６．sinπ８cos ５π ８ ＋sin ３π ８cos ７π ８ ＝ (　　) A．１ B．－１ C． ２ ２ D．－ ２ ２ ７．sin１０９°cos２９６°＋cos７１°sin６４°＝ (　　) A．１２ B． ２ ２ C． ３ ２ D．１ ８．化简:sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝ (　　) A．sinβ B．sinα C．sin(２α－β) D．sin(α－２β) ９．２２cos７５°＋ ２ ２sin７５°＝ (　　) A．１２ B．－ １ ２ C． ３ ２ D．－ ３ ２ 二、填空题 １０．sin１９５°＝ ． １１．已知点M(－５,－１２)是角α 终边上一点,则sin π ３－α æ è ç ö ø ÷＝ ． １２．sin４４°cos１６°＋sin４６°sin１６°＝ ． １３．sin π３＋x æ è ç ö ø ÷cosx－cos π ３＋x æ è ç ö ø ÷sinx＝ ． ８　 三、解答题 １４．求下列各式的值． (１)sin７°cos３７°－sin３７°cos７°; (２)sin２５π１２cos １１π ６ －cos ２５π １２sin １１π ６ ． １５．已知sinα＝－ ８ １７ ,α 是第四象限角,求sin π４－α æ è ç ö ø ÷ ． １６．已知sinα＝ ２ ３ ,α ∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷ ,cosβ＝－ ３ ５ ,β ∈ π ２ ,πæ è ç ö ø ÷ ,求sin(α＋β)． １．已知sin(α＋β)＝ １ ２ ,sin(α－β)＝ １ ３ ,求tanα tanβ 的值． ２．求证:cosα＋ ３sinα＝２sin π ６＋α æ è ç ö ø ÷ ． ９　 ３．已知cos(α＋β)＝－ ２４ ２５ ,cos(α－β)＝ ４ ５ ,０＜β ＜α ＜ π ２ ,求sin２α 的值． ６．１．３ 　 两角和与差的正切公式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解两角和与差的正切公式的推导过程; ◎ 理解两角和与两角差的正切公式在求值、化简及证 明等方面的应用． 重点:掌握两角和与差的正切公式． 难点:会用两角和与差的正切公式进行求值、化简和 证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由同角基本关系式商数关系tanα＝ sinα cosα 可知, tan(α＋β)＝ sin(α＋β) cos(α＋β) ＝ sinαcosβ＋cosαsinβ cosαcosβ－sinαsinβ ． 当cosαcosβ ≠０时,上式分子分母同除以cosαcosβ 化弦为切得 tan(α＋β)＝ 　 两角和的正切公式 Tα＋β． 将公式中β 替换为－β,可得 tan(α－β)＝ 　 两角差的正切公式 Tα－β． 要求:公式中α、β 的取值应使分式有意义． 和角与差角公式:Sα±β、Cα±β、Tα±β 三组公式统称为 ．应用这些公式可以计算三角函数值、化简三 角函数式、证明三角恒等式． 　　 １ 两角和与差的正切公式正用 【例１】 求下列各式的值． (１)tan７π１２ ;　(２)tan(－１５°)． 【解题思路】 将所求角转化为两个特殊角的和与差,然后用公式运算即可． (１)tan７π１２＝tan π ３＋ π ４ æ è ç ö ø ÷＝ tanπ３＋tan π ４ １－tan π ３tan π ４ ＝ ３＋１ １－ ３ ＝－(２＋ ３)． (２)tan(－１５°)＝tan(３０°－４５°)＝ tan３０°－tan４５° １＋tan３０°tan４５°＝ ３ ３ －１ １＋ ３ ３ ＝－２＋ ３．