6.1.1 两角和与差的余弦公式-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(下册)同步辅导与测评(高教版2021)

１　 ６．１　 和角公式 ６．１．１ 　 两角和与差的余弦公式 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 知道两角差的余弦公式的推导过程; ◎ 会用两角差的余弦公式推导两角和的余弦公式; ◎ 会用两角和与差的余弦公式进行求值、化简和证明． 重点:掌握两角和与差的余弦公式． 难点:会用两角和与差的余弦公式进行求值、化简和 证明． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 如图所示,当P２、O、P３ 不在同一条直线上时, ∠P２OP３＝∠P４OP１＝α－β, 且 OP１ ＝ OP２ ＝ OP３ ＝ OP４ ＝１, 因此 △P２OP３ △P１OP４, 所以 P２P３ P１P４ ． 当P２、O、P３ 在同一条直线上时,容易看出也有 P２P３ ＝ P１P４ ． 根据两点距离公式,可得 (cosβ－cosα)２＋(sinβ－sinα)２ ＝ [cos(β－α)－１]２＋[sin(β－α)－０]２ ． 整理可得, cos(β－α)＝cosαcosβ＋sinαsinβ． 由诱导公式cos(－α)＝cosα,可得 cos(α－β)＝ 　 两角差的余弦公式Cα－β． 在上式中,以－β代替β,得到 cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β), 即 cos(α＋β)＝ 　 两角和的余弦公式Cα＋β． ２　 　　 １ 两角和与差的余弦公式正用 【例１】 求下列各式的值． (１)cos(－１５°);　(２)cos ５π １２． 【解题思路】 将所求角转化为两个特殊角的和与差,然后用两角和与差的余弦公式即可求解． (１)cos(－１５°)＝cos(３０°－４５°)＝cos３０°cos４５°＋sin３０°sin４５°＝ ３ ２ × ２ ２ ＋ １ ２× ２ ２ ＝ ６＋ ２ ４ ． (２)cos５π１２＝cos π ６＋ π ４ æ è ç ö ø ÷＝cos π ６cos π ４－sin π ６sin π ４＝ ３ ２ × ２ ２ － １ ２× ２ ２ ＝ ６－ ２ ４ ． 变式训练１ 求下列各式的值． (１)cos１０５°;　(２)cos－ ５π １２ æ è ç ö ø ÷ ． 　　 ２ 两角和与差的余弦公式逆用 【例２】 求下列各式的值． (１)cos５０°cos５°＋sin５０°sin５°;　(２)sin ５π １２sin π ３－cos ５π １２cos π ３． 【解题思路】 观察所求式子的结构,结合公式Cα－β 和Cα＋β,逆用求值． (１)cos５０°cos５°＋sin５０°sin５°＝cos(５０°－５°)＝cos４５°＝ ２ ２． (２)sin５π１２sin π ３－cos ５π １２cos π ３＝－cos ５π １２＋ π ３ æ è ç ö ø ÷＝－cos ３ ４π＝－cosπ－ π ４ æ è ç ö ø ÷＝cos π ４＝ ２ ２． 变式训练２ 求下列各式的值． (１)cos４０°cos５°－sin４０°sin５°;　(２)sin π ４sin π １２＋cos π ４cos π １２． 　　 ３ 两角和与差的余弦公式综合运用 【例３】 已知α,β 为锐角,sinβ＝ １２ １３ ,cos(α＋β)＝－ ４ ５ ,求cosα． 【解题思路】 先利用同角基本关系式求出cosβ,sin(α＋β),再用两角差的余弦公式求cosα． 因为β 为锐角,所以cosβ＝ １－sin２β ＝ １－ １２ １３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ５ １３． 因为α,β 为锐角,且cos(α＋β)＝－ ４ ５ ＜０ ,可得α＋β 为钝角,所以 ３　 sin(α＋β)＝ １－cos２(α＋β)＝ １－ － ４ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ３ ５． cosα＝cos (α＋β)－β[ ] ＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－ ４ ５× ５ １３＋ ３ ５× １２ １３＝ １６ ６５． 变式训练３ 已知α,β 为钝角,sinα＝ ５ １３ ,cos(α－β)＝ ３ ５ ,求cosβ． 自 我 测 评 一、选择题 １．计算cos３７°cos２３°－sin３７°sin２３°＝ (　　) A．１２ B． ３ ２ C．－ ３ ２ D．－ １ ２ ２．cosπ１２＝ (　　) A．６＋ ２４ B． ６－ ２ ４ C．－ ６＋ ２ ４ D．－ ６－ ２ ４ ３．化简:cos(α－β)cosβ＋sin(α－β)sinβ＝ (　　) A．cosβ B．cosα C．cos(２α－β) D．cos(α－２β) ４．cos６６°cos６°＋sin６６°sin６°＝ (　　) A．１２ B． １ ３ C． １ ５ D． １ ６ ５．cos２４°cos３６°－sin２４°cos５４°＝ (　　) A．cos１２° B．－cos１２° C．－ １ ２ D． １ ２ ６．在 △ABC 中,若cosA＝ ３ ５ ,cosB＝－ ５ １３ ,则cos(A＋B)等于 (　　) A．－ １６ ６５ B． ３３ ６５ C． ５６ ６５ D．－ ６３ ６５ ７．已知cosα＝－ ４ ５ ,α 是第三象限角,则cos π４－α æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．７２１０ B．－ ７２ １０ C． ２ １０ D．－ ２ １０ ８．１２cos１５°＋ ３ ２sin１５°＝ (　　) A．１２ B．－ １ ２ C． ２ ２ D．－ ２ ２ ４　 二、填空题 ９．化简:cos(３０°－α)＋cos(３０°＋α)＝ ． １０．求值:cos７π１２＝ ． １１．已知cosα＝ ３ ５ ,α ∈ ０, π ２ æ è ç ö ø ÷ ,则cos π３＋α æ è ç ö ø ÷＝ ． １２．在 △ABC 中,sinA＝ ４ ５ ,cosB＝－ １２ １３ ,则cos(A－B)＝ ． 三、解答题 １３．已知sinα＝ ３ ５ ,α ∈ π ２ ,３π ２ æ è ç ö ø ÷ ,求: (１)cosα;　(２)cosα－ π ３ æ è ç ö ø ÷ ． １４．在 △ABC 中,sinA＝ ３ ５ ,cosB＝－ ５ １３ ,求cosC． １５．已知sinα＝－ ３ ５ ,cosβ＝ ５ １３ ,且α,β 均为第四象限角,求下列各式的值． (１)cos(α－β);　(２)cos(α＋β) １．已知cos π２＋α æ è ç ö ø ÷＝２cos(π－α),求cos π ４－α æ è ç ö ø ÷ ． ２．求值:cos(－４２°)cos１８°＋sin４２°sin(－１８°)． 训练测评参考答案 １４７　 第６章 　 三角计算 ６．１　 和角公式 ６．１．１　 两角和与差的余弦公式 【变式训练１】 (１)２－ ６４ ;(２)６－ ２４ ． 【变式训练２】 (１)２２ ;(２)３２． 【变式训练３】 解:因为α 为钝角,所以cosα ＝ － １－sin２α ＝ １－ ５ １３( ) ２ ＝ － １２ １３ ,因为α,β为钝角,且cos(α－ β)＝ ３ ５ ＞０ ,可得α－β为锐角,所以sin(α－β)＝ １－cos２(α－β)＝ １－ ３ ５( ) ２ ＝ ４ ５． cosβ＝cos(－β)＝cos (α－β)－α[ ] ＝cos(α－ β)cosα＋sin(α－β)sinα ＝ ３ ５ × － １２ １３( ) ＋ ４ ５ × ５ １３＝ － １６ ６５． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．A　２．A　３．D　４．A ５．D 【解析】因 为 cos５４°＝ sin３６°,故 原 式 ＝ cos２４°cos３６°－sin２４°sin３６°＝cos(２４°＋３６°)＝ cos６０°＝ １ ２． ６．D 【解析】因为在 △ABC 中,由cosA ＝ ３ ５ , cosB ＝ － ５ １３ ,得sinA ＝ ４ ５ ,sinB ＝ １２ １３ ,所以 cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB ＝ ３ ５ × － ５ １３( ) － ４ ５ × １２ １３＝ － ６３ ６５． ７．B 【解析】因为cosα＝ － ４ ５ ,α是第三象限角,故 sinα＝ － ３ ５ ,所以cos π４ －α( ) ＝cos π ４cosα＋ sinπ４sinα ＝ ２ ２ × － ４ ５( ) ＋ ２ ２ × － ３ ５( ) ＝ － ７ ２ １０ ． ８．C 【解析】因为cos６０°＝ １ ２ ,sin６０°＝ ３ ２ ,故原 式 １ ２cos１５°＋ ３ ２sin１５° ＝ cos６０°cos１５°＋ sin６０°sin１５°＝cos(６０°－１５°)＝cos４５°＝ ２ ２． 二、填空题 ９．３cosα 【解析】cos(３０°－α)＋cos(３０°＋α)＝ (cos３０°cosα＋sin３０°sinα)＋ (cos３０°cosα－ sin３０°sinα)＝２cos３０°cosα ＝２× ３ ２cosα ＝ ３cosα． １０．２－ ６４ １１．３－４ ３１０ 【解析】因为cosα＝ ３ ５ ,α∈ ０, π ２( ) , 故sinα＝ ４ ５ ,所以cos π３ ＋α( ) ＝cos π ３cosα－ sinπ３sinα ＝ １ ２ × ３ ５ － ３ ２ × ４ ５ ＝ ３－４ ３ １０ ． １２．－ １６ ６５ 【解析】因为在 △ABC中,cosB＝ － １２ １３＜ ０,故B 为钝角,那么 A 为锐角,所以sinB ＝ １－cos２B ＝ ５ １３ ,cosA ＝ １－sin２A ＝ ３ ５ , 则cos(A－B)＝cosAcosB ＋sinAsinB ＝ ３ ５ × － １２ １３( ) ＋ ４ ５ × ５ １３＝ － １６ ６５． 三、解答题 １３．解:(１)因为α∈ π ２ ,３π ２( ) ,所以cosα＜０,于是 cosα ＝ － １－sin２α ＝ － ４ ５． (２)cosα－ π ３( ) ＝cosαcos π ３ ＋sinαsin π ３ １４８　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·下册 ＝ － ４ ５ × １ ２ ＋ ３ ５ × ３ ２ ＝ － ４＋３ ３ １０ ． １４．解:因为在 △ABC中,cosB＝ － ５ １３＜０ ,故B为 钝角, 那 么 A,C 为 锐 角, 所 以 cos A ＝ １－sin２A ＝ ４ ５ ,sinB ＝ １－cos２B ＝ １２ １３ , 则cosC＝cos π－(A＋B)[ ] ＝ －cos(A＋B) ＝ －(cosAcosB－sinAsinB) ＝sinAsinB－cosAcosB ＝ ３ ５ × １２ １３－ ４ ５ × － ５ １３( ) ＝ ５６ ６５． １５．解:(１)因为α,β 均为第四象限角,所以cosα ＝ １－sin２α ＝ ４ ５ ,sinβ＝ － １－cos２β ＝ － １２ １３ , 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝ ４ ５× ５ １３＋ － ３ ５( ) × － １２ １３( ) ＝ ５６ ６５． (２)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝ ４ ５ × ５ １３－ － ３ ５( ) × － １２ １３( ) ＝ － １６ ６５． 【能力提升】 １．解:因为cos π２ ＋α( ) ＝ －sinα,２cos(π－α)＝ －２cosα,于是可得－sinα＝ －２cosα,即sinα＝ ２cosα,即tanα ＝２＞０, 联立 sinα ＝２cosα, sin２α＋cos２α ＝１,{ 解得sin ２α ＝ ４ ５ , cos２α ＝ １ ５． 由sinα ＝２cosα,得tanα ＝２＞０,故α 为第一 或第三象限角． ① 当α 为第一象限角时,sinα ＝ ２ ５ ５ ,cosα ＝ ５ ５ ,此时cos π４ －α( ) ＝cos π ４cosα＋sin π ４sinα＝ ２ ２ × ５ ５ ＋ ２ ２ × ２ ５ ５ ＝ ３ １０ １０ ． ② 当α为第三象限角时,sinα＝ － ２ ５ ５ ,cosα＝ － ５ ５ ,此时cos π４ －α( ) ＝cos π ４cosα＋sin π ４sinα ＝ ２ ２ × (－ ５ ５ ) ＋ ２ ２ × (－ ２ ５ ５ ) ＝ － ３ １０ １０ ． ２．解:原式＝cos４２°cos１８°－sin４２°sin１８° ＝cos(４２°＋１８°) ＝cos６０° ＝ １ ２． ６．１．２　 两角和与差的正弦公式 【变式训练１】 (１)２－ ６４ ;(２)－ ６＋ ２ ４ ． 【变式训练２】 (１)－ １ ２ ;(２)－ ２ ２． 【变式训练３】 【解题思路】 先利 用 同 角 基 本 关 系 式 求 出 sinβ, cos(α－β),再用两角差的正弦公式求sinα．因为β为 锐角,所以sinβ＝ １－cos２β ＝ １－ １２ １３( ) ２ ＝ ５ １３ ,因为α,β 为锐角,且sin(α－β)＝ － ４ ５ ＜０ ,可 得 － π ２ ＜ α － β ＜ ０ , 故 cos(α － β) ＝ １－sin２(α－β)＝ １－ － ４ ５( ) ２ ＝ ３ ５． 所以sinα ＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋ cos(α－β)sinβ＝ － ４ ５( ) × １２ １３＋ ３ ５× ５ １３＝ － ３３ ６５． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C ２．B 【解析】因 为 sin１６５°＝ sin(１８０°－１５°)＝ sin１５°,故原式 ＝sin３０°cos１５°＋cos３０°sin１５°＝ sin４５°＝ ２ ２． ３．C 【解析】因为cos７２°＝cos(９０°－１８°)＝sin１８°,