第3章 圆锥曲线测试卷-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

第３章测试卷 １１５　 第３章测试卷 (本卷满分１００分,完成时间９０分钟) 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 一、选择题:本大题共１０小题,每小题３分,共３０分． １．双曲线x ２ ８ － y２ ４ ＝１ 的虚轴长为 (　　) A．２ B．２２ C．４ D．４２ ２．抛物线x２＝４y 的准线方程为 (　　) A．y＝－２ B．x＝－２ C．y＝－１ D．x＝－１ ３．曲线x２－ y２ ２ ＝１ 的离心率为 (　　) A．２ B．３ C．２ D．３ ４．已知椭圆x ２ ３m ＋ y２ m ＝１ 的一个焦点的坐标是(－２,０),则实数m 的值为 (　　) A．１ B．２ C．２ D．４ ５．已知双曲线C:x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０)的一条渐近线方程为２x－y＝０,则双曲 线C 的离心率为 (　　) A．２ B．２ C．３ D．５ ６．已知抛物线y２＝２px(p ＞０)的焦点在圆x２＋y２＝４上,则该抛物线的焦点到准线 的距离为 (　　) A．１ B．２ C．４ D．８ ７．若椭圆C:x ２ m ＋ y２ ２ ＝１ 的离心率为 ６ ３ ,则椭圆C 的长轴长为 (　　) A．６ B．２６３ 或２６ C．２６ D．２２ 或２６ １１６　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 ８．已知F１,F２ 是椭圆C: x２ ９ ＋ y２ １６＝１ 的两个焦点,P 是C 上一点(端点除外),则 △PF１F２ 的周长为 (　　) A．１４ B．１６ C．８＋２７ D．６＋２７ ９．若双曲线C１ 与双曲线C２: x２ ７ －y ２＝１有相同的焦距,且C１ 过点(３,１),则双曲线C１ 的标准方程为 (　　) A．x ２ ６ － y２ ２ ＝１ B． y２ ９－ ７３ － x２ ７３－１ ＝１ C．x ２ ６ － y２ ２ ＝１ 或y２－ x２ ３ ＝１ D． x２ ６ － y２ ２ ＝１ 或 y ２ ９－ ７３ － x２ ７３－１ ＝１ １０．已知点A(４,２),F 为抛物线y２ ＝４x 的焦点,P 为抛物线上任意一点,则 PA ＋ PF 的最小值为 (　　) A．４ B．５ C．１３＋１ D．１３ 二、填空题:本大题共５小题,每小题３分,共１５分． １１．抛物线x２＋２y＝０的准线方程为 ． １２．若双曲线x２－ y２ m ＝１ 的一条渐近线方程为y＝３x,则实数m＝ ． １３．已知椭圆方程为x ２ ２ ＋y ２＝１,且椭圆内有一条以点P １, １ ２ æ è ç ö ø ÷ 为中点的弦AB,则弦 AB 所在的直线l的方程是 ． １４．已知椭圆x２＋my２＝１的焦点在x轴上,且长轴长是短轴长的２倍,则m＝ ． １５．已知F１,F２ 是椭圆C: x２ ２５＋ y２ ９ ＝１ 的左、右焦点,点P 是椭圆上的一点,若 PF１ ＝ ４,则S△PF１F２ ＝ ． 三、解答题:本大题共７小题,共５５分．解答写出过程或步骤． １６．(６分)焦点在x 轴上的椭圆的方程为x ２ ４ ＋ y２ m ＝１ ,点P(２,１)在椭圆上． (１)求m 的值． (２)依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率． 第３章测试卷 １１７　 １７．(５分)求抛物线C:y＝x２ 上的点到直线l:y＝ １ ２x－１ 的最小距离． １８．(６分)已知双曲线x ２ n － y２ １６＝１ 的焦点在x 轴上,焦距为１０． (１)求n 的值; (２)求双曲线的顶点坐标与渐近线方程． １９．(８分)抛物线C 顶点在原点,焦点是圆x２＋y２－４x＝０的圆心． (１)求抛物线C 的方程; (２)过点P(１,１)作直线l与抛物线C 相交于A,B 两点,且线段AB 被点P 平分,求 直线l的方程． １１８　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 ２０．(６分)已知A,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且 顶角为１２０°,求E 的两条渐近线的夹角． ２１．(１０分)已知F(３,０)是椭圆C:x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a ＞b＞０)的右焦点,且点A(２,０) 在椭圆上． (１)求椭圆C 的标准方程; (２)过点F 且斜率为１的直线与椭圆C 相交于M,N 两点,求线段MN 的长度． ２２．(１４分)已知椭圆C 与椭圆x２ ＋３６y２ ＝３６的焦点F１,F２ 相同,且椭圆C 过点 ５７ ２ ,－６ æ è ç ö ø ÷ ． (１)求椭圆C 的标准方程; (２)若点P 在椭圆C 上,且 ∠F１PF２＝ π ３ ,求 △F１PF２ 的面积． 测试卷参考答案 １８３　 (２)b＝(１,－２),c＝(２,３),则b􀅰c＝２－６＝ －４, b ＝ １２＋(－２)２ ＝ ５,c ＝ ２２＋３２ ＝ １３,故cos ‹b,c›＝ b􀅰c b c ＝ －４ ５× １３ ＝ －４ ６５ ６５ ． １９．解:(１)根据题意,向量 a ＝２,b ＝１,a􀅰 b＝ １ ２ ,则(２a＋b)􀅰(a－b)＝２a２－a􀅰b－b２ ＝ ８－ １ ２ －１＝ １３ ２． (２)设２a＋b与a－b的夹角为θ,(２a＋b)２ ＝ ４a２ ＋４a􀅰b＋b２ ＝１９,则 ２a＋b ＝ １９, (a－b)２ ＝a２－２a􀅰b＋b２ ＝４,则 a－b ＝２, 故cosθ＝ (２a＋b)􀅰(a－b) ２a＋b a－b ＝ １３ １９ ７６ ． ２０．解:(１)根据题意,设c＝(x,y),因为a∥c,a＝ (１,２),则有２x－y ＝０,即y ＝２x　①,又由 c ＝３ ５,则有 x２ ＋y２ ＝ ４５　②,解可得 x ＝３, y＝６,{ 或 x ＝ －３, y＝ －６．{ 所以,c＝(３,６)或c＝(－３, －６)． (２)由(a＋２b)⊥(a－b),则有(a＋２b)􀅰(a－b)＝ ０,变形可得a２ ＋a􀅰b－２b２ ＝０,即 a ２＋a􀅰 b－２b ２ ＝０,又 a ２ ＝５,b ２ ＝２,则有a􀅰 b＝ －１,则有cosθ＝ a􀅰b a 􀅰 b ＝ －１ ５􀅰 ２ ＝ － １０ １０ ,故a与b的夹角的余弦值为－ １０ １０ ． ２１．解:(１)因为 a ＝２,b ＝３,(２a－b)􀅰(a＋ ３b)＝ －３４．所以(２a－b)􀅰(a＋３b)＝２a２＋５a􀅰 b－３b２ ＝ －３４,得a􀅰b ＝ －３,所以cosθ ＝ a􀅰b a b ＝ － １ ２ ,又θ∈ [０,π],所以θ＝ ２π ３． (２)若向量xa＋b的模长为 ７,则(xa＋b)２ ＝ x２a２ ＋２xa􀅰b＋b２ ＝４x２ －６x＋９＝７,解得 x ＝１或 １ ２． ２２．解:如图,以CD 为x 轴,以C 为原点建立平面直 角坐标系,设CE＝x,则０≤x ≤２,则D(２,０), B(１,３),A(３,３),E(x,０)．所以AE→＝ (x－３, － ３),BD→＝(１,－ ３)．所以AE→􀅰BD→＝x－３＋ ３＝x,所以当x ＝２时,AE→􀅰BD→ 取得最大值为 ２．AE→ ＝ (x－３)２ ＋３＝ x２ －６x＋１２, ０≤x ≤２,当x ＝０时,AE→ 取得最大值为 １２ ＝２ ３;当x ＝２时,AE→ 取得最小值为 ４－１２＋１２ ＝２,所以向量AE→ 的模的取值范 围是[２,２ ３]． 第３章测试卷 一、选择题 １．C 【解析】由x ２ ８－ y２ ４ ＝１ 可得b２ ＝４,b＝２,故虚 轴长为２b＝４,故选C． ２．C 【解析】由抛物线x２ ＝４y的方程可得２p＝４, 所以p ＝２,且焦点在y 轴的正半轴上,所以抛物 线的准线方程为y ＝ － p ２ ＝ －１ ,故选C． ３．B 【解析】由双曲线x２－ y２ ２ ＝１ ,可得a＝１,b＝ ２,c＝ １＋２＝ ３,所以离心率e＝ c a ＝ ３． 故选B． ４．C 【解析】已知椭圆x ２ ３m＋ y２ m ＝１ 的一个焦点的坐 标是(－２,０),则３m－m ＝２２ ＝４,即m ＝２,则实 数m 的值为２．故选C． ５．D 【解析】依题意知,双曲线的一条渐近线方程为 ２x－y ＝０,即y ＝２x,所以 b a ＝２ ,e＝ c a ＝ c２ a２ ＝ a２ ＋b２ a２ ＝ １＋( b a ) ２ ＝ ５．故选D． ６．C 【解析】由于抛物线y２ ＝２px(p ＞０)的焦点 在x 轴正半轴上,x２＋y２ ＝４与x 轴正半轴的交 点为(２,０),故抛物线的焦点为(２,０),所以p２ ＝ ２⇒p ＝４,因此抛物线的焦点到准线的距离为 p ＝４．故选C． ７．D 【解 析】当 焦 点 在 y 轴 时,由e ＝ ６ ３ ＝ １８４　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 ２－m ２ ,解得m ＝ ２ ３ ,符合题意,此时椭圆C 的 长轴长为２ ２;当焦点在x 轴时,由e ＝ ６ ３ ＝ m－２ m ,解得m ＝６,符合题意,此时椭圆C的长 轴长为２ m ＝２ ６．综上所述,故选 D． ８．C 【解析】因为椭圆C:x ２ ９ ＋ y２ １６＝１ ,所以a＝４, b＝３,c＝ ７,又P 是C 上一点(端点除外),F１, F２ 是椭圆的两个焦点,所以 △PF１F２ 的周长为 ２a＋２c＝８＋２ ７,故选C． ９．D 【解析】根据题意,双曲线C２: x２ ７ －y ２ ＝１,其 焦距为４ ２,故要求双曲线C１ 的焦距也为４ ２, 即２c＝４２,则有c＝２２,分２种情况讨论:若C１ 的焦点在x轴上,设双曲线C１ 的方程为 x２ a２ － y２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０),将点(３,１)代入 x２ a２－ y２ b２ ＝ １(a＞ ０,b＞０),得 ３２ a２ － １２ b２ ＝ １①,又a２ ＋b２ ＝c２ ＝ ８②,联立解可得a２ ＝６,b２ ＝２．所以双曲线C１ 的 标准方程为x ２ ６ － y２ ２ ＝１ ;若C１ 的焦点在y轴上, 设双曲线C１ 方程为 y２ a２ － x２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０), 将点(３,１)代入y ２ a２ － x２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０),得 １２ a２ － ３２ b２ ＝ １③．又a２＋b２ ＝c２ ＝８②,联立 ②③ 两式 得a２ ＝９－ ７３,b２ ＝ ７３－１,所以双曲线C１ 的标准方程为 y ２ ９－ ７３ － x２ ７３－１ ＝１． 综上所述,双曲线C１ 的标准方程为 x２ ６ － y２ ２ ＝１ 或 y ２ ９－ ７３ － x２ ７３－１ ＝１．故选 D． １０．B 【解析】如图,将A 的坐标代入可得２２ ＜４× ４,所以点A 在抛物线的内部,由抛物线的方程可 得准线方程为x ＝ －１,过点A 作准线的垂线交 抛物线于Q,交准线于A′,由抛物线的定义可得 PA ＋ PF ≥ QA ＋ QA′ ＝ AA′ ＝ ４＋１＝５,当且仅当Q,P 重合时取等号,故选B． 二、填空题 １１．y ＝ １ ２ 【解析】将抛物线的方程化成标准形式 得x２ ＝ －２y．故２p＝２,得 p ２ ＝ １ ２ ,所以准线方 程在y 正半轴上为y ＝ p ２ ,即y ＝ １ ２． １２．９ 【解析】由题知双曲线x２－ y２ m ＝１ 的焦点在x 轴上,所以b a ＝３ ,即 m ＝３,所以m ＝９． １３．２x＋２y－３＝０ 【解析】设A(x１,y１),B(x２, y２),由题意得 x２１ ２ ＋y ２ １ ＝１, x２２ ２ ＋y ２ ２ ＝１,两式相 减化简得 y１ ＋y２ x１ ＋x２ 􀅰y１ －y２ x１ －x２ ＝ － １ ２ ,而P是AB 中点,得x１ ＋x２ ＝２,y１ ＋y２ ＝１,代入得k＝ y１ －y２ x１ －x２ ＝ － １,故直线AB 的方程为y－ １ ２ ＝ －(x－１),即２x＋２y－３＝０． １４．４ 【解析】将椭圆方程化为标准形式为x２＋ y２ １ m ＝ １,(m ＞０),所以长轴长为２a ＝２,短轴长为 ２b＝２ １ m ,由题意得２a ＝４b,所以２＝２× ２ １m ,所以m ＝４． １５．３ １５ 【解析】F１,F２ 为椭圆C: x２ ２５＋ y２ ９ ＝１ 的 左、右 焦 点,若 PF１ ＝ ４,则 PF２ ＝ ６, F１F２ ＝２c＝８,cos∠F１PF２ ＝ ４２＋６２－８２ ２×４×６ ＝ － １ ４ ,所以sin∠F１PF２ ＝ １５ ４ ,所以S△F１PF２ ＝ １ ２ ×４×６× １５ ４ ＝３ １５． 测试卷参考答案 １８５　 三、解答题 １６．解:(１)把P(２,１)代入椭圆的方程 (２) ２ ４ ＋ １ m ＝ １,解得m ＝２． (２)由(１)知椭圆的方程为x ２ ４＋ y２ ２ ＝１ ,所以a＝ ２,b＝ ２,c＝ a２ －b２ ＝ ４－２＝ ２,所以 椭圆的长轴长为２a＝４,短轴长为２b＝２２,焦 距２c＝２ ２,离心率e＝ c a ＝ ２ ２． １７．解:设抛物线上的任意一点M(m,m２)．M 到直线 y＝ １ ２x－１ 的距离d＝ １ ２m－m ２ －１ １ ４ ＋１ ．由二 次函数的性质可知,当 m ＝ １ ４ 时,最小距离 d ＝ ３ ５ ８ ． １８．解:(１)双曲线x ２ n － y２ １６＝１ 的焦点在x 轴上,焦 距为１０,可得b ＝４,２c ＝１０,即c ＝５,a ＝ c２ －b２ ＝３,即n＝９． (２)双曲线x ２ ９ － y２ １６＝１ 的顶点坐标为(±３,０), 渐近线方程为y ＝ ± ４ ３x． １９．解:(１)圆(x－２)２＋y２ ＝４,圆心为F(２,０),半 径r＝２,所以 p ２ ＝２ ,即p＝４,所以抛物线的方 程为y２ ＝８x． (２)由题意可知,设AB 的方程为x ＝my－m＋ １,代入抛物线的标准方程为y２ ＝８x 可得y２ － ８my＋８m－８＝０,所以y１＋y２ ＝８m ＝２,所以 m ＝ １ ４ ,所以AB 的方程为４x－y－３＝０． ２０．解:设双曲线的方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞０,b＞ ０),设 M(m,n)在第一象限,A(－a,０),B(a, ０),由题意可得 AB ＝ BM ＝２a,∠MBA ＝ １２０°,则m ＝２acos６０°＋a＝２a,n＝２asin６０°＝ ３a,即 M(２a,３a),可得４a ２ a２ － ３a２ b２ ＝ １,即为 a＝b,则双曲线的渐近线方程为y＝ ±x,可得 两条渐近线的夹角为９０°． ２１．解:(１)由题意知,椭圆的焦点F(３,０)且过点 A(２,０),所以a＝２,c＝ ３,所以b２ ＝a２－c２ ＝ ４－３＝１,所以椭圆方程为 x２ ４ ＋y ２ ＝１． (２)由题意得,直线MN 的方程为y＝x－ ３,设 M(x１,y１),N(x２,y２),联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 y ＝x－ ３, x２ ４ ＋y ２ ＝１,{ 得５x２ －８ ３x ＋８＝０,所以 Δ ＝１９２－１６０＝３２＞０,x１＋x２ ＝ ８３ ５ ,x１x２ ＝ ８ ５． 则y１－y２ ＝x１－ ３－(x２－ ３)＝x１－x２, 所 以 MN ＝ (x１－x２)２＋(y１－y２)２ ＝ ２ (x１－x２)２ , 又 因 为 (x１ －x２)２ ＝ (x１ ＋x２)２ －４x１x２ ＝ ８ ３ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ －４× ８ ５ ＝ ３２ ２５ , 所以 MN ＝ ２× ３２ ２５ ＝ ８ ５． ２２．解:(１)因为椭圆x２ ＋３６y２ ＝３６的标准方程为 x２ ３６＋y ２ ＝１,所以焦点为F１(－６,０),F２(６,０), 所以椭圆C的焦点在x 轴上,设椭圆C的标准方 程为 x ２ ３６＋b２ ＋ y２ b２ ＝ １,又 因 为 椭 圆 C 过 点 ５ ７ ２ ,－６ æ è ç ö ø ÷ ,所以 １７５ ４(３６＋b２) ＋ ３６ b２ ＝ １,化简得 ４b４ －１７５b２ －５１８４＝０,解得b２ ＝６４或b２ ＝ －２０．２５(舍),所以a２ ＝３６＋b２ ＝１００,所以椭 圆C 的标准方程为x ２ １００＋ y２ ６４＝１． (２)由(１)可知F１F２ ＝１２,PF１ ＋PF２ ＝２０,设 PF１ ＝x(４＜x＜１６),则PF２ ＝２０－x,因为点P 在椭圆C上,且∠F１PF２＝ π ３ ,所以cos∠F１PF２＝ x２＋(２０－x)２－１２２ ２x(２０－x) ＝ １ ２ ,整理得３x２ －６０x＋ ２５６＝０,解得x ＝ ３０±２ ３３ ３ ,所以S△F１PF２ ＝ １ ２PF１ 􀅰PF２􀅰sin∠F１PF２ ＝ １ ２ 􀅰３０＋２ ３３ ３ 􀅰 ３０－２ ３３ ３ 􀅰sin π３ ＝ ９００－１３２ １８ 􀅰 ３ ２ ＝ ６４ ３ ３ ．