第2章 平面向量测试卷-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

第２章测试卷 １１１　 第２章测试卷 (本卷满分１００分,完成时间９０分钟) 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 一、选择题:本大题共１０小题,每小题３分,共３０分． １．AB→－２AC→＋BC→＝ (　　) A．CA→ B．AC→ C．BC→ D．CB→ ２．设x 为实数,若向量a＝(２,３),b＝(x,－６),且a ∥b,则x 的值为 (　　) A．－ ９ ２ B．－４ C． ３ ２ D．４ ３．已知平面向量a,b满足(a＋b)⊥ (２a－b),且 a ＝ b ＝１,则 a－b ＝ (　　) A．４ B．３ C．２ D．３ ４．已知 △ABC 中,D 是BC 上一点,BD→＝ １ ３DC →,则AD→＝ (　　) A．３４AB →＋ １ ４AC → B．１４AB →＋ ３ ４AC → C．３４AB →＋ １ ３AC → D．１３AB →＋ ３ ４AC → 第５题图 ５．如图,在４×４正方形网格中,蚂蚁甲从A 点爬到了B 点,蚂蚁乙 从C 点爬到了D 点,则向量AB→ 与CD→ 夹角的余弦值为 (　　) A．１５ B． ２ ５ C． ３ ５ D． ４ ５ ６．若正方形ABCD 的边长为２２,则CA→􀅰BA→＝ (　　) A．８ B．－８ C．４ D．－４ ７．已知向量a 是非零向量,b 是单位向量,a,b 的夹角为１２０°,且a ⊥ (a＋b),则 a－b ＝ (　　) A．７２ B． ３ ４ C． １ ４ D． １ ２ １１２　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 ８．已知向量m＝(x,３),n＝(２,４),若(m＋n)⊥n,则x＝ (　　) A．１２ B．－１２ C．１６ D．－１６ ９．已知平面向量a,b满足 a－b ＝ ３,a ＝２,b ＝１,则a 与b的夹角为 (　　) A．π６ B． π ４ C． π ３ D． ２π ３ １０．已知在 △ABC 中,AB＝４,AC＝６,其外接圆的圆心为O,则AO→􀅰BC→＝ (　　) A．２０ B．２９２ C．１０ D． ９ ２ 二、填空题:本大题共５小题,每小题３分,共１５分． １１．已知a,b为单位向量,且满足 a－ ５b ＝ ６,则 ２a＋b ＝ ． 第１３题图 １２．已知向量m＝(x,１),n＝(－３,２),若２m＋n＝(１,４),则m􀅰 n＝ ． １３．向量a,b 在正方形网格中的位置如图,则a 与b 的夹角为 ． １４．已知平面向量a,b满足 a ＝ １０,b ＝２,且(２a＋b)􀅰(a－ b)＝１４,则 a＋b ＝ ． １５．设向量a＝(２,０),b＝(０,３),若向量c满足(２a－c)⊥ (b＋c),则 c 的取值范围 是 ． 三、解答题:本大题共７小题,共５５分．解答写出过程或步骤． １６．(５分)已知向量a,b满足 a ＝１,b ＝２,a＋b ＝３,求 a－b ． １７．(６分)已知向量a＝(－１,３),b＝(１,２)． (１)求 ２a－b 的值; (２)(a－mb)⊥a,求m 的值． 第２章测试卷 １１３　 １８．(６分)已知向量a＝(m,１),b＝(１,－２),c＝(２,３)． (１)若a＋b与c垂直,求实数m 的值; (２)求cos‹b,c›的值． １９．(８分)已知向量 a ＝２,b ＝１,a􀅰b＝ １ ２． 求: (１)(２a＋b)􀅰(a－b)的值; (２)２a＋b与a－b的夹角的余弦值． ２０．(１０分)已知a,b,c在同一平面内,且a＝(１,２)． (１)若 c ＝３５,且a ∥c,求c; (２)若 b ＝ ２,且(a＋２b)⊥ (a－b),求a 与b的夹角的余弦值． １１４　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 ２１．(８分)已知 a ＝２,b ＝３,(２a－b)􀅰(a＋３b)＝－３４． (１)求a 与b的夹角θ; (２)当x 为何值时,向量xa＋b的模长为 ７? ２２．(１２分)在边长为２的菱形ABCD 中,已知 ∠BAD＝６０°,E 为线段CD 上任意一点, 求AE→􀅰BD→ 的最大值和向量AE→ 的模的取值范围． 测试卷参考答案 １８１　 １－x x ＞０ ,则x(x－１)＜０,解得０＜x＜１,０＜ x ＜ １ 的 一 个 充 分 条 件 是 ０, １ ２( ) ,故 答 案 为 ０,１２( ) ． 三、解答题 １６．解:(１)有两个角相等不一定是等边三角形,反之 一定成立,所以p不能推出q,q能推出p,故p是 q的必要不充分条件． (２)因为当－２＜x ＜１时,不能得到x ＞１或 x ＜－１,而x＞１或x＜－１时,不能得到－２＜ x ＜１,所以“－２＜x＜１”是“x＞１或x＜－１” 的既不充分也不必要条件,故p 是q的既不充分 也不必要条件． １７．解:若x ∈P 是x ∈S 的充分不必要条件,则 P ⫋S,所以 １－m ≤－１, ４≤１＋m,{ 解得 m ≥３．所以 m 的取值范围是[３,＋∞)． １８．解:(１)B＝[２,＋∞)．若a＝３,则A＝[－２,３], 故A ∪B ＝ [－２,＋∞)． (２)若p 是q的充分不必要条件,所以A 是B 的 真子集．所以a－５≥２,所以a≥７．实数a的取值 范围是[７,＋∞)． １９．解:(１)当a＝１时,A＝{x a－１≤x≤a＋２}＝ {x ０≤ x ≤ ３},B ＝ {x １ ＜ ２x ＜ １６}＝ {x ０＜x ＜４},故A ∪B ＝ {x ０≤x ＜４}． (２)因为 “x ∈A”是“x ∈B”的充分不必要条 件,所以A ⫋B,所以 a－１＞０, a＋２＜４,{ 解得１＜a＜ ２,故实数a的取值范围为(１,２)． ２０．解:由p 是q 的必要不充分条件,得B ⫋A,则 m ＞０, １－m ≤－２, １＋m ＞１０, { 或 m ＞０, １－m ＜－２, １＋m ≥１０, { 解得 m ≥９,所 以m 的取值范围是{m m ≥９}． ２１．解:(１)当a＝１时,集合A ＝ {x ０≤x ≤５}, ∁UA ＝ {x x ＜０或x ＞５},(∁UA)∩B ＝ {x －１≤x ＜０}． (２)若“x ∈B”是“x ∈A”的必要条件,则A ⊆ B,① 当A＝ ∅ 时,a－１＞２a＋３,所以a＜－４; ② 当A≠∅时,则a≥－４且a－１≥－１,２a＋３≤ ４,所以０≤a ≤ １ ２． 所以实数a 的取值范围是 ０,１２[ ] ∪ (－∞,－４)． 综上所述,a＜－４或０≤a≤ １ ２． ２２．解:(１)由题意,x－１ ≤３,即－３≤x－１≤ ３,解得－２≤x ≤４,所以A ＝ {x －２≤x ≤ ４}．由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,得 A ⫋B,则 m－４≤－２, ３m＋１≥４,{ 且等号不能同时取到, 解得１≤m ≤２,故m 的取值范围为{m １≤m ≤２}． (２)① 当B ＝ ∅ 时,得m－４＞３m＋１,即m ＜ － ５ ２ ,符合题意;② 当B≠∅时,得m－４≤３m＋ １,即m ≥－ ５ ２ ,由A ∩B ＝ ∅,得m－４＞４或 ３m＋１＜－２,解得m＞８或m＜－１,所以－ ５ ２ ≤ m ＜－１或m ＞８． 综上 所 述,m 的 取 值 范 围 为 {m m ＜－１ 或 m ＞８}． 第２章测试卷 一、选择题 １．A 【解析】AB→－２AC→＋BC→＝AB→＋BC→－２AC→＝ AC→－２AC→ ＝ －AC→ ＝CA→．故选 A． ２．B 【解析】因为a＝ (２,３),b＝ (x,－６),且a∥ b,所以２×(－６)＝３x,即x ＝ －４．故选B． ３．C 【解析】(a＋b)⊥ (２a－b),且 a ＝ b ＝ １,则(a＋b)􀅰(２a－b)＝２a２＋a􀅰b－b２ ＝０,即 ２＋a􀅰b－１＝０,解得a􀅰b＝ －１,故 a－b ＝ a２ ＋b２ －２a􀅰b ＝２．故选C． ４．A 【解析】BD→＝ １３DC →,则BD→＝ １４BC →,故AD→＝ AB→＋BD→＝AB→＋１４BC →＝AB→＋１４ (AC→－AB→)＝ ３ ４AB →＋ １４AC →．故选 A． ５．C 【解析】如图,以A 为原点,AC 为２个单位长 度,建立直角坐 标 系,则 B(４,２),C(２,０),D(４, －１),AB→＝ (４,２),CD→＝ (２,－１),所以向量AB→, CD→夹角的余弦值为 AB →􀅰CD→ AB→ CD→ ＝ ８－２ ２ ５× ５ ＝ ３ ５． 故选C． １８２　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 ６．A 【解析】CA→􀅰BA→ ＝AC→􀅰AB→ ＝ (AB→＋AD→)􀅰 AB→ ＝AB→２ ＋AD→􀅰AB→ ＝８．故选 A． ７．A 【解析】由b是单位向量,a,b 的夹角为１２０°, 则 b ＝ １,a 􀅰 b ＝ a b cos １２０° ＝ － １ ２ a ,又a⊥ (a＋b),则a􀅰(a＋b)＝０,即 a２－ １ ２ a ＝０ ,又向量a是非零向量,则 a ＝ １ ２ , a－b ＝ a２ ＋b２ －２a􀅰b ＝ １ ４ ＋１－２× １ ２ ×１× － １ ２( ) ＝ ７ ２． 故选 A． ８．D 【解析】因为m ＝ (x,３),n＝ (２,４),所以m＋ n＝ (x＋２,７),又(m＋n)⊥n,所以２(x＋２)＋ ４×７＝０,解得x ＝ －１６．故选 D． ９．C 【解析】设a与b的夹角为θ,由 a－b ＝ ３ 两边平方得a２－２a􀅰b＋b２ ＝３,即４－２×２×１× cosθ＋１＝３,cosθ＝ １ ２ ,由于０≤θ ≤π,所以 θ＝ π ３． 故选C． １０．C 【解析】如图,过O 作OD ⊥ AB 于D,OE ⊥ AC 于E,可得 D,E 为AB,AC 的中点,则AO→􀅰 BC→ ＝AO→􀅰(AC→－AB→)＝AO→􀅰 AC→－AO→􀅰AB→ ＝ (AE→＋EO→)􀅰 AC→－(AD→＋DO→)􀅰AB→＝AE→􀅰AC→＋EO→􀅰AC→－ AD→􀅰AB→－DO→􀅰AB→ ＝ １２AC →２＋０－ １２AB →２－ ０＝ １ ２ × (３６－１６)＝１０．故选C． 二、填空题 １１．５ 【解析】a,b为单位向量,且满足 a－ ５b ＝ ６,所以a２－２５a􀅰b＋５b２ ＝６,１－２５a􀅰b＋ ５＝ ６,解 得 a􀅰b ＝ ０,所 以 ２a＋b ＝ ４a２ ＋４a􀅰b＋b２ ＝ ５． １２．－４ 【解析】因为２m＋n＝２(x,１)＋(－３,２)＝ (２x－３,４)＝ (１,４),所以２x－３＝１,所以x ＝ ２,所以m ＝ (２,１),所以m􀅰n＝２×(－３)＋１× ２＝ －４． １３．３π４ 【解析】根据题意,设a 与b 的夹角为θ,如 图,以 O 为坐标原点建立坐标系,则 A(３,１), B(－１,－２),则a ＝OA→ ＝ (３,１),b ＝OB→ ＝ (－１,－２),故 OA→ ＝ １０,OB→ ＝ １＋４ ＝ ５,OA→􀅰OB→ ＝ －３－２ ＝ －５,故 cosθ ＝ OA→􀅰OB→ OA→ OB→ ＝ － ５ ５× １０ ＝ － ２ ２ ,而０≤θ≤ π,则θ＝ ３π ４ ,即a与b的夹角为３π４． １４．３ ２ 【解析】因为 a ＝ １０,b ＝２,所以 (２a＋b)􀅰(a－b)＝２a２－a􀅰b－b２ ＝２０－a􀅰 b－４＝１４,可得a􀅰b ＝２,所以 a＋b ＝ (a＋b)２ ＝ a２＋２a􀅰b＋b２ ＝ １０＋４＋４＝ ３２． １５．[０,５] 【解析】设２a－b和c的夹角为９０°,因为 (２a－c)⊥ (b＋c),所以(２a－c)􀅰(b＋c)＝２a􀅰 b－c２＋(２a－b)􀅰c＝ － c ２＋５c cosθ＝ ０,所以 c ＝０或 c ＝５cosθ,所以 c 的取值 范围是[０,５]． 三、解答题 １６．解:由 a＋b ＝３,得 a＋b ２＝(a＋b)２＝a２＋ ２a􀅰b＋b２ ＝１＋２a􀅰b＋４＝９,所以a􀅰b＝２．所以 a－b ＝ a２－２a􀅰b＋b２ ＝ １－４＋４＝１． １７．解:(１)a ＝ (－１,３),b ＝ (１,２),则２a－b ＝ (－３,４),故 ２a－b ＝ (－３)２ ＋４２ ＝ ５． (２)a＝ (－１,３),b＝ (１,２),则a􀅰b＝５,因为 (a－mb)⊥a,则(a－mb)􀅰a＝a２－ma􀅰b＝ ０,即(－１)２ ＋３２ －５m ＝０,解得m ＝２． １８．解:(１)a＝(m,１),b＝(１,－２),则a＋b＝(m＋ １,－１),因a＋b与c垂直,c＝ (２,３),则２(m＋ １)－３＝０,解得m ＝ １ ２． 测试卷参考答案 １８３　 (２)b＝(１,－２),c＝(２,３),则b􀅰c＝２－６＝ －４, b ＝ １２＋(－２)２ ＝ ５,c ＝ ２２＋３２ ＝ １３,故cos ‹b,c›＝ b􀅰c b c ＝ －４ ５× １３ ＝ －４ ６５ ６５ ． １９．解:(１)根据题意,向量 a ＝２,b ＝１,a􀅰 b＝ １ ２ ,则(２a＋b)􀅰(a－b)＝２a２－a􀅰b－b２ ＝ ８－ １ ２ －１＝ １３ ２． (２)设２a＋b与a－b的夹角为θ,(２a＋b)２ ＝ ４a２ ＋４a􀅰b＋b２ ＝１９,则 ２a＋b ＝ １９, (a－b)２ ＝a２－２a􀅰b＋b２ ＝４,则 a－b ＝２, 故cosθ＝ (２a＋b)􀅰(a－b) ２a＋b a－b ＝ １３ １９ ７６ ． ２０．解:(１)根据题意,设c＝(x,y),因为a∥c,a＝ (１,２),则有２x－y ＝０,即y ＝２x　①,又由 c ＝３ ５,则有 x２ ＋y２ ＝ ４５　②,解可得 x ＝３, y＝６,{ 或 x ＝ －３, y＝ －６．{ 所以,c＝(３,６)或c＝(－３, －６)． (２)由(a＋２b)⊥(a－b),则有(a＋２b)􀅰(a－b)＝ ０,变形可得a２ ＋a􀅰b－２b２ ＝０,即 a ２＋a􀅰 b－２b ２ ＝０,又 a ２ ＝５,b ２ ＝２,则有a􀅰 b＝ －１,则有cosθ＝ a􀅰b a 􀅰 b ＝ －１ ５􀅰 ２ ＝ － １０ １０ ,故a与b的夹角的余弦值为－ １０ １０ ． ２１．解:(１)因为 a ＝２,b ＝３,(２a－b)􀅰(a＋ ３b)＝ －３４．所以(２a－b)􀅰(a＋３b)＝２a２＋５a􀅰 b－３b２ ＝ －３４,得a􀅰b ＝ －３,所以cosθ ＝ a􀅰b a b ＝ － １ ２ ,又θ∈ [０,π],所以θ＝ ２π ３． (２)若向量xa＋b的模长为 ７,则(xa＋b)２ ＝ x２a２ ＋２xa􀅰b＋b２ ＝４x２ －６x＋９＝７,解得 x ＝１或 １ ２． ２２．解:如图,以CD 为x 轴,以C 为原点建立平面直 角坐标系,设CE＝x,则０≤x ≤２,则D(２,０), B(１,３),A(３,３),E(x,０)．所以AE→＝ (x－３, － ３),BD→＝(１,－ ３)．所以AE→􀅰BD→＝x－３＋ ３＝x,所以当x ＝２时,AE→􀅰BD→ 取得最大值为 ２．AE→ ＝ (x－３)２ ＋３＝ x２ －６x＋１２, ０≤x ≤２,当x ＝０时,AE→ 取得最大值为 １２ ＝２ ３;当x ＝２时,AE→ 取得最小值为 ４－１２＋１２ ＝２,所以向量AE→ 的模的取值范 围是[２,２ ３]． 第３章测试卷 一、选择题 １．C 【解析】由x ２ ８－ y２ ４ ＝１ 可得b２ ＝４,b＝２,故虚 轴长为２b＝４,故选C． ２．C 【解析】由抛物线x２ ＝４y的方程可得２p＝４, 所以p ＝２,且焦点在y 轴的正半轴上,所以抛物 线的准线方程为y ＝ － p ２ ＝ －１ ,故选C． ３．B 【解析】由双曲线x２－ y２ ２ ＝１ ,可得a＝１,b＝ ２,c＝ １＋２＝ ３,所以离心率e＝ c a ＝ ３． 故选B． ４．C 【解析】已知椭圆x ２ ３m＋ y２ m ＝１ 的一个焦点的坐 标是(－２,０),则３m－m ＝２２ ＝４,即m ＝２,则实 数m 的值为２．故选C． ５．D 【解析】依题意知,双曲线的一条渐近线方程为 ２x－y ＝０,即y ＝２x,所以 b a ＝２ ,e＝ c a ＝ c２ a２ ＝ a２ ＋b２ a２ ＝ １＋( b a ) ２ ＝ ５．故选D． ６．C 【解析】由于抛物线y２ ＝２px(p ＞０)的焦点 在x 轴正半轴上,x２＋y２ ＝４与x 轴正半轴的交 点为(２,０),故抛物线的焦点为(２,０),所以p２ ＝ ２⇒p ＝４,因此抛物线的焦点到准线的距离为 p ＝４．故选C． ７．D 【解 析】当 焦 点 在 y 轴 时,由e ＝ ６ ３ ＝