4.1.1 平面的特征和表示-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

训练测评参考答案 １５５　 以p ２ ＝ １ ２ ,p ＝１,故抛物线的方程为y２ ＝２x． (２)设直线l的方程为x ＝y＋１,设P(x１,y１), Q(x２,y２),联立 x ＝y＋１, y２ ＝２x,{ 消元得y ２－２y－２＝ ０,所以Δ ＝１２＞０,y１＋y２ ＝２,y１y２ ＝ －２,故 PQ ＝ １＋ １ k２ y１ －y２ ＝ １＋１２ 􀅰 (y１ ＋y２)２ －４y１y２ ＝ １＋１２ 􀅰 ２２ －４×(－２) ＝２ ６． 所以线段PQ 的长为２ ６． 第４章 　 立体几何 ４．１　 平面 ４．１．１　 平面的特征和表示 【变式训练１】 D 【解析】四条线段首尾相连形成的四边形也可能 是空间四边形．故选 D． 【变式训练２】 B 【解析】因为直线和平面都是由点形成的,所以根 据元素与集合的关系知,点A 在平面α 内表示为A ∈α,点A 不在直线l上表示为A ∉l,根据集合与集 合的关系知,直线l在平面α 内可表示为l⊆α．故 选B． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】对于 ①,由平面的概念可得平面是绝 对平的且是无限延展的,故 ① 正确;对于 ②,由平 面的概念可判断 ② 错误;对于 ③,可以用三角形 表示平面,故 ③ 正确;对于 ④,平面是无限延展 的,所以 ④ 错误;对于 ⑤,平面没有厚度,所以 ⑤ 错误．说法中正确的有２个．故选B． ２．D 【解析】镜面可以抽象成平面,但不是平面,所 以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选 项C都不正确,故选 D． ３．A 【解析】对于 ①,因为平面是无限延展的,故 ① 错误;对于 ②,因为平面是无限延展的,不可能有 长和宽,故 ② 错误;对于 ③,根据平面的性质可 得,平面是绝对平的、无厚度,可以无限延展的抽 象数学概念,故 ③ 正确．故选 A． ４．B 【解析】根据图形可将点A、线m、面α 之间的 位置关系用数学符号语言表示出来．由题图可知, A ∉m,A ∈α,m ⊆α．故选B． ５．C 【解析】利用集合语言表示即可．“直线a 经过 平面α外一点P”用符号表示为P ∈a,P ∉α．故 选C． ６．D 【解析】点A 在直线l上,则A ∈l,l在平面α 内,则l⊆α．故选 D． ７．B 【解析】点在直线上或不在直线上分别用 ∈, ∉ 表示．直线在平面内或不在平面内用 ⊆,⊈ 表 示．由题意可知A ∈b⊆β．故选B． ８．D 【解析】对于 A,平面是无限延展的,所以一个 平面图形不是一个平面,所以 A 不正确;对于 B, 平静的太平洋面是个有边界的图形,不是平面,所 以B不正确;对于 C,平面可以用平行四边形表 示,但平面不是平行四边形,所以 C不正确;对于 D,在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆 都可以表示一个平面,所以 D正确．故选 D． 二、填空题 ９．A ∈a,a⊆α 【解析】点属于或不属于线、面,线 包含于或不包含于面．由点在直线上,即A ∈a; 由直线在平面内,即a ⊆α．故答案为 A ∈a,a ⊆α． １０．A ∈a,B∈a 【解析】由点A,B在直线a上,可 表示为A ∈a,B ∈a,故答案为A ∈a,B ∈a． １１．∈ 　 ∉ 　 ⊆ 　　１２．M ∈l 三、解答题 １３．解:(１)α ∩β ∩γ ＝P,α ∩β＝PA,α ∩γ ＝ PB,β ∩γ ＝PC． (２)平面ABD ∩ 平面BCD ＝BD,平面ABC∩ 平面ACD ＝AC． １４．解:(１)由点A 在平面α内,即A ∈α;由点B 不 在直线l上,即B ∉l． (２)由直线l在平面α内,即l⊆α;由直线m与平面 α有且只有一个公共点M,即m⊈α且m∩α＝M． (３)由直线a和b相交于一点M,即a∩b＝M． １５６　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 【能力提升】 １．解:符号语句:由A,B在直线a上,即A∈a,B∈ a;直线a在平面α内,点C在平面α上且不在直线 AB 上,即a⊆α,C ∈α,C ∉AB;点D 在直线b 上,直线b不在平面α 内,即D ∈b,b⊈α． 如图所示: 或 ２．解:直接用符号表示并画图即可． BC ∩α ＝C,AC ⊆α,BD ∥α． ４．１．２　 平面的基本性质 【变式训练１】 ∈ 　 ∉ 　 ⊈ 　AC 【变式训练２】 D 【解析】若直线在平面内,应将直线画在平面内, A错误;平面与平面相交时,两个平面相交于直线, 而不是点,B错误;直线与平面相交,看不到的部分 应当画虚线,C错误;两直线异面满足作图规范．故 选 D． 【变式训练３】 D 【解析】对于选项 A,若两个平面有一个公共点, 则它们有经过该公共点的一条直线,即两平面相交 有无数个公共点,故选项 A 命题正确;对于选项 B, 若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线,否 则,若存在三点共线,则问题转化为一条直线与直线 外一点,则四点共面,故选项 B命题正确;对于选项 C,因为两条平行直线确定一个平面,所以梯形可确 定一个平面,故选项C命题正确;对于选项D,共线的 三点不能确定一个平面,故选项 D命题错误．故选 D． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】三个不共线的点可以确定一个平面,A 错误;长方体一定是直四棱柱,正四棱柱一定是长 方体,B正确;一条直线和直线外一点可以确定一 个平面,C错误;两条异面直线不能确定平面,D错 误．故选B． ２．C 【解析】结合确定一个平面的方法确定正确选 项．自行车的前后轮与脚撑分别接触地面,使得自 行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在 同一条线上,即不共线的三点确定一个平面．故 选C． ３．C 【解析】对于选项 A,三个平面将空间分成４个 部分,不合题意;对于选项 B,三个平面将空间分 成６个部分,不合题意;对于选项C,三个平面将空 间分成７个部分,符合题意;对于选项D,三个平面 将空间分成８个部分,不合题意．故选C． ４．A 【解析】由题图可知,两个平面α与β相交于直 线m,直线n在平面α内,直线m 和直线n相交于 点A,故用符号语言可表达为α∩β＝m,n⊆α, m ∩n＝A,故选 A． ５．B 【解析】将空间不重合的三个平面位置关系分 为:三个平面互相平行;三个平面有两个平面平 行;三个平面交于一线;三个平面两两相交且三条 交线平行;三个平面两两相交且三条交线交于一 点,分情况分析求解即可．空间不重合的三个平 面,若三个平面互相平行,则可将空间分为４部 分;若三个平面有两个平面平行,则第三个平面与 其他两个平面相交,可将空间分为６部分;若三个 平面交于一线,则可将空间分为６部分;若三个平 面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧 面的关系),则可将空间分为７部分;若三个平面 两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙 面的关系),则可将空间分为８部分．所以空间不重 合的三个平面可以把空间分成４或６或７或８个部 分．(如图 ① ~ ⑤)故选B． 　 　 　 ４９　 ４．１　 平面 ４．１．１ 　 平面的特征和表示 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解平面的概念; ◎ 掌握平面的表示法与画法; ◎ 理解点、线、面的位置关系; ◎ 培养学生的空间想象能力． 重点:平面的表示法与画法． 难点:对平面的概念及点、线、面位置关系的理解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．平面的概念． 几何中所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的,类似于直 线向两端无限延伸,平面是向四周 　　　 的． ２．平面的表示． 平面通常用希腊字母 　　　　􀆺 表示,如平面α、平面β、平面γ等,也可以用代表平面的平行四边形 的 　　　　,或者相对的两个顶点的 　　　　 作为这个平面的名称．如平面ABCD、平面AC 或者 平面BD,还可以用平面内 　　　　 的字母表示,如平面ABC． ３．点、线、面的位置关系． 考虑到直线和平面均可看作由无数个点组成的点集,当点P 在直线l上或平面α内时,可分别表示为 　　　　 ,　　　　．当点P 不在直线l上或不在平面α 内时,可分别表为 　　　　,　　　　． 　　 １ 平面的概念 【例１】 下列说法中正确的是 (　　) A．每一个平面都有确定的面积 B．一个平面长８米,宽６米 C．一个平面把空间分成两个部分 D．两个平面只能把空间分成三部分 【解题思路】 根据平面的概念及画法进行判断即可． ５０　 【解题过程】 因为平面是向四周无限延展的,而且两个平面相交时可以把空间分成四部分,故选C． 变式训练１ 下列图形中不一定是平面图形的是 (　　) A．三角形 B．正方形 C．梯形 D．四条线段首尾相连形成的四边形 　　 ２ 点、线与面的位置关系 【例２】 用符号表示“点A 不在直线m 上,直线m 在平面α 内”,正确的是 (　　) A．A ∉m,m ⊆α B．A ∉m,m ∈α C．A ⊈m,m ⊆α D．A ⊈m,m ∈α 【解题思路】 由题意用符号表示“点A 不在直线m 上,直线m 在平面α 内”,即A ∉m,m ⊆α,故选A． 变式训练２ 若点A 在平面α内,直线l在平面α内,点A 不在直线l上,下列用集合表示这些语句 的描述中,正确的是 (　　) A．A ∈l⊆α 且A ⊆α B．A ∉l⊆α 且A ∈α C．A ⊈l∈α 且A ∈α D．A ⊈l⊆α 且A ⊆α 自 我 测 评 一、选择题 １．关于平面的说法中正确的有 (　　) ① 平面是绝对平的且是无限延展的; ② 平面的形状是平行四边形; ③ 三角形可以表示平面; ④ 某一个平面的面积为１m２; ⑤８个平面重叠起来,要比５个平面重叠起来厚． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ２．下列说法中正确的是 (　　) A．镜面是一个平面 B．一个平面长１０m,宽５m C．一个平面的面积是另一个平面面积的２倍 D．所有的平面都是无限延展的 ３．下列说法中正确的个数为 (　　) ① 书桌面是平面;　② 有一个平面的长是５０m,宽是２０m; ③ 平面是绝对平的、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念． A．１个 B．２个 C．３个 D．０个 第４题图 ４．如图,点A、线m、面α 之间的数学符号语言关系为 (　　) A．m ⊆α,A ∈m B．m ⊆α,A ∉m C．m ∈α,A ∉m D．m ∈α,A ∈m ５．“直线a 经过平面α 外一点P”用符号表示为 (　　) A．P ∈a,a ∥α B．a ∩α＝P C．P ∈a,P ∉α D．P ∈a,a ⊂α ６．点A 在直线l上,直线l在平面α 内,用符号表示,正确的是 (　　) A．A ∈l,l∈α B．A ∈l,l∉α C．A ⊆l,l⊆α D．A ∈l,l⊆α ７．若点A 在直线b上,b在平面β 内,则点A,直线b,平面β 之间的关系可以记作 (　　) A．A ∈b∈β B．A ∈b⊆β C．A ⊆b⊆β D．A ⊆b∈β ８．下面说法中正确的是 (　　) A．任何一个平面图形都是一个平面 ５１　 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 二、填空题 ９．如果点A 在直线a 上,而直线a 又在平面α 内,那么可以记作 　　　　． 第１１题图 １０．对于语句“点A,B 在直线a 上”用集合语言表示为 　　　　． １１．如 图,填 入 相 应 的 符 号:A　　　　 平 面 ABC;A　　　　 平 面 BCD; BD　　　　 平面ABD． １２．点M 在直线l上,可用集合符号表示为 　　　　． 三、解答题 １３．用符号语言表示下列语句． (１)三个平面α,β,γ 交于一点P,且平面α 与平面β交于直线PA,平面α 与平 面γ 交于直线PB,平面β 与平面γ 交于直线PC; (２)平面ABD 与平面BCD 相交于直线BD,平面ABC 与平面ACD 相交于直线AC． １４．用符号语言改写下列语句: (１)点A 在平面α 内,点B 不在直线l上; (２)直线l在平面α 内,直线m 与平面α 有且只有一个公共点M; (３)直线a 和b相交于一点M． １．用符号表示下列语句并作图:A、B 在直线a 上,直线a 在平面α 内,点C 在平面α 上且不在直线AB 上,点D 在直线b上,直线b不在平面α 内． ５２　 ２．用符号表示下列语句,并画出图形． 直线BC 与平面α 交于点C,平面α 经过直线AC,直线BD 平行于平面α． ４．１．２ 　 平面的基本性质 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解平面的基本性质; ◎ 熟练掌握三个数学公理及应用; ◎ 利用平面的性质和三个结论,解释生活空间中的一些实例; ◎ 培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 重点:掌握平面的基本性质． 难点:掌握三个数学公理及应用． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．公理１　 经过 　　　　　　 的三点,有且只有一个平面． ２．公理２　 如果一条直线上的 　　　　 在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 由公理１,２得到以下结论． 推论１　 经过一条直线和 　　　　 的一点有且只有一个平面． 推论２　 经过 　　　　 有且只有一个平面． 推论３　 经过 　　　　 有且只有一个平面． ３．公理３　 如果两个平面有一个 　　　　,那么它们有且只有一条经过该点的 　　　　． 　　 １ 立体图形中数学符号语言及图形的应用 【例１】 用符号语言表示下面语句,并画出图形． (１)三个平面α,β,γ 相交于一点P,且平面α 与平面β交于PA,平面α 与平面γ 交于PB,平面β与平 面γ 交于PC． (２)点A,B 在平面α 内,直线a 与平面α 交于点C,点C 不在直线AB 上． 【解题思路】 根据题目中的条件,然后结合其对应数学语言的意义画出图形． (１)符号语言表示:α ∩β ∩γ＝P,α ∩β＝PA,α ∩γ＝PB,β ∩γ＝PC．如图,例１题图(１)． (２)用符号表示:A ∈α,B ∈α,a ∩α＝C,C ∉AB,如图,例１题图(２)． 例１题图(１) 　　　 例１题图(２)