3.3.2 抛物线的几何性质-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

４４　 １７．已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程: (１)y２＝６x; (２)２y２＋５x＝０． 根据下列条件分别求抛物线的方程: (１)准线方程为y＝ ２ ３ ; (２)经过点(－３,１)． ３．３．２ 　 抛物线的几何性质 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解抛物线标准方程所表示的性质． 重点:四种形式的抛物线标准方程所表示的性质． 难点:四种形式的抛物线标准方程所表示的性质应用． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 四种形式的抛物线方程: 标准方程 y２ ＝２px (p ＞０) y２ ＝ －２px (p ＞０) x２ ＝２py (p ＞０) x２ ＝ －２py (p ＞０) p 的几何意义:焦点F 到准线l的距离 图形 续表 ４５　 顶点 O(０,０) 对称轴 y ＝０ x ＝０ 焦点 F p２ ,０( ) F －p２,０( ) F ０, p ２( ) F ０,－ p ２( ) 离心率 e＝１ 准线方程 x ＝ － p ２ x ＝ p ２ y ＝ － p ２ y ＝ p ２ 范围 x ≥０,y ∈R x ≤０,y ∈R y ≥０,x ∈R y ≤０,x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 抛物线的几何性质 【例】 点M(５,３)到抛物线y＝ax２ 的准线的距离为６,那么抛物线的标准方程是 (　　) A．x２＝ １ １２y B．x ２＝ １ １２y 或x２＝－ １ ３６y C．x２＝－ １ ３６y D．x ２＝１２y 或x２＝－３６y 【解题思路】 将y＝ax２ 转化为x２＝ １ ay ,当a＞０时,抛物线开口向上,准线方程为y＝－ １ ４a ,点M(５, ３)到准线的距离为３＋ １ ４a＝６ ,解得a＝ １ １２ ,所以抛物线方程为y＝ １ １２x ２,即x２＝１２y;当a＜０时,抛物线 开口向下,准线方程为y＝－ １ ４a ,点M(５,３)到准线的距离为 ３＋ １ ４a ＝６ ,解得a＝－ １ ３６ 或a＝ １ １２ (舍去), 所以抛物线方程为y＝－ １ ３６x ２,即x２＝－３６y．所以抛物线的方程为x２＝１２y 或x２＝－３６y．故选D． 变式训练 以直线y＝ ３ ２ 为准线的抛物线标准方程为 (　　) A．x２＝－３y B．x２＝３y C．x２＝－６y D．x２＝６y 自 我 测 评 一、选择题 １．若抛物线y２＝２px(p ＞０)上一点P(２,y０)到其焦点的距离为４,则抛物线的标准方程为 (　　) A．y２＝２x B．y２＝４x C．y２＝６x D．y２＝８x ４６　 ２．顶点在原点,关于x 轴对称,并且经过点M(－１,２)的抛物线标准方程为 (　　) A．y２＝４x B．y２＝－４x C．x２＝ １ ２y D．x ２＝－ １ ２y ３．过点(１,－２),且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是 (　　) A．y２＝４x B．y２＝－４x C．x２＝－ １ ２y D．x ２＝ １ ２y ４．已知抛物线y２＝２px(p ＞０)的焦点坐标为(１,０),则p＝ (　　) A．２ B．３ C．５ D．７ ５．已知抛物线x２＝２py(p ＞０),若抛物线上纵坐标为２的点到焦点的距离为３,则p＝ (　　) A．１２ B．１ C．２ D．３ ６．抛物线y２＝１２ax(a ＞０)上有一点M,它的横坐标是３,它到焦点的距离是５,则抛物线的方程为 (　　) A．y２＝８x B．y２＝１２x 第７题图 C．y２＝１６x D．y２＝２０x ７．如图,某地一拱桥垂直轴截面是抛物线x２＝－８y,已知水利人员在某个时刻 测得水面宽 AB ＝８m,则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为 (　　) A．８m B．６m C．４m D．２m ８．方程mx＋ny２＝０与mx２＋ny２＝１(mn ≠０)在同一坐标系中的图像可能是 (　　) A． B． C． D． 二、填空题 ９．焦点为F(－１,０)的抛物线的标准方程为 　　　　． １０．顶点在原点,焦点在y 轴上,且过点P(－６,－３)的抛物线的方程是 　　　　　　． １１．已知点A(１,２)在抛物线y２＝２px 上,则点A 到抛物线准线的距离为 　　　　　． １２．设抛物线y＝mx２(m ≠０)的准线与直线y＝１的距离为３,则抛物线的标准方程为 　　　　． １３．已知抛物线y２＝ax 过点A １ ４ ,１æ è ç ö ø ÷ ,那么点A 到此抛物线的焦点的距离为 ． １４．已知过抛物线y２＝８x 的焦点F 且与x 轴垂直的直线与抛物线交于A,B 两点,则 AB ＝ ． ４７　 三、解答题 １５．求适合下列条件的抛物线的标准方程和准线方程: (１)抛物线的焦点到准线的距离是３,而且焦点在x 轴的正半轴上; (２)抛物线的焦点是F(－３,０)． １６．求适合下列条件的抛物线的标准方程: (１)焦点为F(０,－４); (２)准线方程为x＝ １ ２． １７．已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在原点,并且经过点P(１,２)．求该抛物线的标准方程． １８．求适合下列条件的抛物线的标准方程: (１)焦点为F(－２,０); (２)准线方程为y＝－４; (３)焦点到准线的距离为６． ４８　 １．求适合下列条件的抛物线的标准方程: (１)顶点在原点,准线方程为y＝４; (２)顶点在原点,且过点(－３,２); (３)焦点在x 轴上,且抛物线上一点A(３,m)到焦点的距离为５． ２．已知抛物线y２＝２px(p ＞０)的顶点为O,焦点坐标为 １ ２ ,０æ è ç ö ø ÷ ． (１)求抛物线方程; 试题精讲 (２)过点(１,０)且斜率为１的直线l与抛物线交于P,Q 两点,求线段PQ 的长． 训练测评参考答案 １５３　 入抛物线的标准方程得４＝８m,解得m ＝ １ ２ , 此时,所求抛物线的标准方程为x２ ＝ －y． 综上所述,所求抛物线的标准方程为y２ ＝ －８x 或x２ ＝ －y． １７．解:(１)由抛物线方程为y２ ＝６x,可得p＝３,且 焦点 在 x 轴 正 半 轴 上,所 以 可 得 其 焦 点 为 ３ ２ ,０( ) ,准线方程为x ＝ －３２． (２)将２y２＋５x＝０化成标准方程为y２ ＝ － ５ ２x , 可得p＝ ５ ４ ,且焦点在x 轴负半轴上,所以焦点 为 － ５ ８ ,０( ) ,准线方程为x ＝ ５８． 【能力提升】 解:(１)由题意知,抛物线的焦点在y轴的负半轴上, 所以设抛物线的方程为x２ ＝ －２py(p＞０)．因为 p ２ ＝ ２ ３ ,所以p＝ ４ ３ ,故抛物线的方程为x２ ＝ － ８ ３y． (２)当焦点在x 轴的负半轴上时,设其方程为y２ ＝ －２px(p＞０),代入点(－３,１)得p＝ １ ６ ,此时方程 为y２ ＝ － １ ３x ;当焦点在y 轴的正半轴上时,设其 方程为x２ ＝２py(p ＞０),代入点(－３,１),得p ＝ ９ ２ ,此时方程为x２ ＝９y． 综上所述,所求抛物线的方程为y２ ＝ － １ ３x 或 x２ ＝９y． ３．３．２　 抛物线的几何性质 【变式训练】 C 【解析】因为抛物线的准线是直线y ＝ ３ ２ ,则该 抛物线焦点在y轴上,开口向下,其标准方程为x２ ＝ －６y,所以所求抛物线标准方程为x２ ＝ －６y． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．D 【解析】抛物线y２ ＝２px上一点P(２,y０)到焦 点的距离等于到其准线的距离,即为４,所以p２ ＋ ２＝４,解得p＝４,故抛物线的标准方程为y２ ＝８x． ２．B 【解析】依题意,设抛物线方程为y２ ＝ mx, m ≠０,于是得２２ ＝m􀅰(－１),解得m ＝ －４,所 以所求抛物线方程是y２ ＝ －４x． ３．C 【解析】依题意,设抛物线方程为x２ ＝my,因 为抛物线过点(１,－２),所以１２ ＝m×(－２),解得 m ＝ － １ ２ ,所以抛物线方程为x２ ＝ － １ ２y． ４．A 【解析】由于抛物线y２ ＝２px 的焦点为(１, ０),所以p２ ＝１ ,p ＝２． ５．C 【解析】草图如右图:因为 抛物线上纵坐标为２的点到焦 点的距离为３,又抛物线上一 点到焦点的距离等于其到准线 的距离,所以２＋ p ２ ＝３ ,解得p ＝２． ６．A 【解析】由题意,在抛物线y２ ＝１２ax(a ＞０) 中,准线方程l:x ＝ － １２a ４ ＝ －３a． 因为 M 到准 线的距离等于它到焦点的距离,所以３＋３a ＝５, 解得a＝ ２ ３． 故抛物线方程为y２ ＝８x． ７．D 【解析】设B点的坐标为(４,y),由抛物线方程 x２ ＝ －８y 得y＝ ４２ －８＝ － ２,则此时刻拱桥的最 高点到水面的距离为２m． ８．A 【解析】mx＋ny２ ＝０变形为y２ ＝ － m nx ,此 表示焦点在x 轴的抛物线,排除D;当mn＜０时, y２ ＝ － m nx 表示开口向右的抛物线,此时mx２＋ ny２ ＝１(mn≠０)表示双曲线,排除C;当mn＞０ 时,y２ ＝ － m nx 表示开口向左的抛物线,此时 mx２ ＋ny２ ＝１(mn≠０)表示椭圆或圆或不表示 任何图形,排除B． 二、填空题 ９．y２ ＝ －４x 【解析】设抛物线的标准方程为y２ ＝ －２px,则－ p ２ ＝ －１ ,可得p＝２．因此,抛物线 １５４　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 的标准方程为y２ ＝ －４x． １０．x２ ＝ －１２y 【解析】根据题意,设所求抛物线的 方程为x２ ＝ －２py,将点P(－６,－３)代入方程 得３６＝６p,p ＝６,所以抛物线的方程为x２ ＝ －１２y． １１．２ 【解析】因为A(１,２)在抛物线y２ ＝２px 上, 所以４＝２p,解得p ＝２,故抛物线的准线为x ＝ －１,所以点A 到抛物线的准线的距离为１－ (－１)＝２． １２．x２ ＝８y或x２ ＝ －１６y 【解析】y＝mx２(m ≠ ０)可化为x２ ＝ １ my ,其准线方程为y ＝ － １ ４m． 由题意知－ １ ４m ＝ －２ 或－ １ ４m ＝４ ,解得m＝ １ ８ 或－ １ １６ ,故所求抛物线的标准方程为x２ ＝８y或 x２ ＝ －１６y． １３．５４ 【解析】因为抛物线y２ ＝ax过点A １ ４ ,１( ) , 所以１２ ＝a× １ ４ ,解得a＝４,抛物线的方程为 y２ ＝４x,抛物线的准线方程为x ＝ －１,焦点为 F(１,０),由抛物线的定义可得AF＝ １ ４＋１＝ ５ ４． １４．８ 【解析】抛物线y２ ＝８x 的焦点F(２,０),则直 线AB:x ＝２,由 x ＝２, y２ ＝８x,{ 得 y ＝４,所以 AB ＝８． 三、解答题 １５．解:(１)根据题意可知,抛物线的标准方程具有 y２ ＝２px(p＞０)的形式,而且p＝３,因此所求 标准方程为y２ ＝６x,准线方程为x ＝ － ３ ２． (２)因为抛物线的焦点坐标是F(－３,０),所以抛 物线的标准方程具有y２ ＝ －２px(p ＞０)的形 式,而且p ２ ＝３ ,因此p ＝６,从而所求抛物线的 标准方程是y２ ＝ －１２x,准线方程为x ＝３． １６．解:(１)因为抛物线焦点F(０,－４)在y轴的负半 轴上,设焦准距为p,则－ p ２ ＝ －４ ,即p＝８．因 此,所求抛物线的标准方程为x２ ＝ －１６y． (２)由抛物线准线方程为x＝ １ ２ 知,焦点在x轴 的负半轴上,并且p ２ ＝ １ ２ ,即p＝１,因此,所求 抛物线的标准方程为y２ ＝ －２x． １７．解:由于抛物线关于x 轴对称,顶点在原点,并且 经过点(１,２),因此抛物线的焦点在x 轴正半轴 上,可设它的标准方程为y２ ＝２px(p ＞０),将 点P(１,２)的坐标代入方程,得２２ ＝２p×１,即 p ＝２．因此,所求抛物线的标准方程为y２ ＝４x． １８．解:(１)因为焦点为F(－２,０),故抛物线焦准距 为p ＝４,则抛物线标准方程为y２ ＝ －８x． (２)抛物线准线方程为y＝ －４,则 p ２ ＝４ ,所以 p＝８,焦点在y轴正半轴上,则抛物线标准方程 为x２ ＝１６y． (３)焦点到准线的距离为６,即p＝６,焦点位置可 能在x轴上或y轴上,故抛物线标准方程为y２ ＝ １２x 或y２ ＝ －１２x 或x２ ＝１２y或x２ ＝ －１２y． 【能力提升】 １．解:(１)由题意知,顶点在原点,准线方程为y＝４, 可知抛物线焦点在y轴负半轴上,且 p ２ ＝４ ,所以 p ＝８,故抛物线标准方程为x２ ＝ －１６y． (２)由题意知,顶点在原点,且过点(－３,２),则抛 物线焦点可能在y 轴正半轴上或x 轴负半轴上, 则设抛物线标准方程为 x２ ＝２py(p ＞ ０)或 y２ ＝ －２p′x(p ＞０),分别将(－３,２)代入,求得 p＝ ９ ４ ,p′＝ ２ ３ ,故抛物线标准方程为x２ ＝ ９ ２y 或y２ ＝ － ４ ３x． (３)由题意知抛物线焦点在x轴上,且抛物线上一 点A(３,m)到焦点的距离为５,则设抛物线方程为 y２ ＝２px(p ＞０),焦点为 p ２ ,０( ) ,准线为x ＝ － p ２ ,故３－ － p ２( ) ＝５,所以p＝４,故抛物线标准 方程为y２ ＝８x． ２．解:(１)因为y２ ＝２px 的焦点坐标为 p ２ ,０( ) ,所 训练测评参考答案 １５５　 以p ２ ＝ １ ２ ,p ＝１,故抛物线的方程为y２ ＝２x． (２)设直线l的方程为x ＝y＋１,设P(x１,y１), Q(x２,y２),联立 x ＝y＋１, y２ ＝２x,{ 消元得y ２－２y－２＝ ０,所以Δ ＝１２＞０,y１＋y２ ＝２,y１y２ ＝ －２,故 PQ ＝ １＋ １ k２ y１ －y２ ＝ １＋１２ 􀅰 (y１ ＋y２)２ －４y１y２ ＝ １＋１２ 􀅰 ２２ －４×(－２) ＝２ ６． 所以线段PQ 的长为２ ６． 第４章 　 立体几何 ４．１　 平面 ４．１．１　 平面的特征和表示 【变式训练１】 D 【解析】四条线段首尾相连形成的四边形也可能 是空间四边形．故选 D． 【变式训练２】 B 【解析】因为直线和平面都是由点形成的,所以根 据元素与集合的关系知,点A 在平面α 内表示为A ∈α,点A 不在直线l上表示为A ∉l,根据集合与集 合的关系知,直线l在平面α 内可表示为l⊆α．故 选B． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】对于 ①,由平面的概念可得平面是绝 对平的且是无限延展的,故 ① 正确;对于 ②,由平 面的概念可判断 ② 错误;对于 ③,可以用三角形 表示平面,故 ③ 正确;对于 ④,平面是无限延展 的,所以 ④ 错误;对于 ⑤,平面没有厚度,所以 ⑤ 错误．说法中正确的有２个．故选B． ２．D 【解析】镜面可以抽象成平面,但不是平面,所 以选项A不正确;平面没有大小,所以选项B和选 项C都不正确,故选 D． ３．A 【解析】对于 ①,因为平面是无限延展的,故 ① 错误;对于 ②,因为平面是无限延展的,不可能有 长和宽,故 ② 错误;对于 ③,根据平面的性质可 得,平面是绝对平的、无厚度,可以无限延展的抽 象数学概念,故 ③ 正确．故选 A． ４．B 【解析】根据图形可将点A、线m、面α 之间的 位置关系用数学符号语言表示出来．由题图可知, A ∉m,A ∈α,m ⊆α．故选B． ５．C 【解析】利用集合语言表示即可．“直线a 经过 平面α外一点P”用符号表示为P ∈a,P ∉α．故 选C． ６．D 【解析】点A 在直线l上,则A ∈l,l在平面α 内,则l⊆α．故选 D． ７．B 【解析】点在直线上或不在直线上分别用 ∈, ∉ 表示．直线在平面内或不在平面内用 ⊆,⊈ 表 示．由题意可知A ∈b⊆β．故选B． ８．D 【解析】对于 A,平面是无限延展的,所以一个 平面图形不是一个平面,所以 A 不正确;对于 B, 平静的太平洋面是个有边界的图形,不是平面,所 以B不正确;对于 C,平面可以用平行四边形表 示,但平面不是平行四边形,所以 C不正确;对于 D,在几何体的直观图中,平面多边形和圆、椭圆 都可以表示一个平面,所以 D正确．故选 D． 二、填空题 ９．A ∈a,a⊆α 【解析】点属于或不属于线、面,线 包含于或不包含于面．由点在直线上,即A ∈a; 由直线在平面内,即a ⊆α．故答案为 A ∈a,a ⊆α． １０．A ∈a,B∈a 【解析】由点A,B在直线a上,可 表示为A ∈a,B ∈a,故答案为A ∈a,B ∈a． １１．∈ 　 ∉ 　 ⊆ 　　１２．M ∈l 三、解答题 １３．解:(１)α ∩β ∩γ ＝P,α ∩β＝PA,α ∩γ ＝ PB,β ∩γ ＝PC． (２)平面ABD ∩ 平面BCD ＝BD,平面ABC∩ 平面ACD ＝AC． １４．解:(１)由点A 在平面α内,即A ∈α;由点B 不 在直线l上,即B ∉l． (２)由直线l在平面α内,即l⊆α;由直线m与平面 α有且只有一个公共点M,即m⊈α且m∩α＝M． (３)由直线a和b相交于一点M,即a∩b＝M．