3.3.1 抛物线的标准方程-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

４２　 ３．３　 抛物线 ３．３．１ 　 抛物线的标准方程 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解抛物线的定义,知道四种抛物线的标准方程． 重点:四种形式的抛物线标准方程． 难点:处理代数中抛物线之间的关系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．抛物线的定义:一般地,把平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 定点F 称为抛物线的焦点,定直线l 称为抛物线的准线． ２．抛物线的标准方程: 顶点在坐标原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为y２＝２px(p ＞０); 顶点在坐标原点,焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为y２＝－２px(p ＞０); 顶点在坐标原点,焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为x２＝２py(p ＞０); 顶点在坐标原点,焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为x２＝－２py(p ＞０)． 抛物线的标准方程 【例】 焦点在直线３x－４y－１２＝０上的抛物线的标准方程为 (　　) A．y２＝１６x 或x２＝１６y B．y２＝１６x 或x２＝－１２y C．y２＝１６x 或x２＝１２y D．y２＝－１２x 或x２＝１６y 【解题思路】 直线３x－４y－１２＝０与x 轴的交点为(４,０),与y 轴的交点为(０,－３),当以(４,０)为焦 点时,抛物线的标准方程为y２＝１６x;当以(０,－３)为焦点时,抛物线的标准方程为x２＝－１２y,故焦点在直 线３x－４y－１２＝０上的抛物线的标准方程为y２＝１６x 或x２＝－１２y．故选B． 变式训练 以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为２的抛物线方程是 　　　． 自 我 测 评 一、选择题 １．抛物线y２＝－２x 的准线方程是 (　　) A．y＝ １ ２ B．y＝－１ C．x＝ １ ２ D．x＝１ ４３　 ２．已知抛物线x２＝４y,则焦点坐标为 (　　) A． １１６ ,０æ è ç ö ø ÷ B．０,１１６ æ è ç ö ø ÷ C．(１,０) D．(０,１) ３．若抛物线x２＝２py 的焦点坐标为(０,１),则抛物线的标准方程为 (　　) A．x２＝－２y B．x２＝２y C．x２＝－４y D．x２＝４y ４．到直线x＝－２与到定点P(２,０)的距离相等的点的轨迹是 (　　) A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 ５．已知抛物线的焦点是F(－２,０),则抛物线的标准方程是 (　　) A．y２＝４x B．y２＝－４x C．y２＝８x D．y２＝－８x ６．准线方程为x＝２的抛物线的标准方程为 (　　) A．y２＝８x B．y２＝－８x C．x２＝８y D．x２＝－８y ７．抛物线y＝４ax２(a ＜０)的焦点坐标是 (　　) A． １４a ,０æ è ç ö ø ÷ B．０,１１６a æ è ç ö ø ÷ C．０,－ １ １６a æ è ç ö ø ÷ D． １１６a ,０æ è ç ö ø ÷ ８．抛物线y＝－ １ ２x ２ 的焦点坐标为 (　　) A．(－１,０) B．－ １ ２ ,０æ è ç ö ø ÷ C．(０,－１) D．０,－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ 二、填空题 ９．抛物线y＝ １ １０x ２ 的焦点坐标是 　　　　． １０．抛物线y２＝４x 的准线方程为 　　　　． １１．抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,其上有一点A(４,m),其到准线的距离为６,则m＝　　　　． １２．已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(－２,－４),则该抛物线的标准方程为 　　　　． １３．若曲线y２＝４x 上一点P 到焦点的距离为４,则点P 到y 轴的距离为 　　　　． １４．已知抛物线x＝４y２,则抛物线的焦点坐标为 　　　　． 三、解答题 １５．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线过点(－１,２),求它的标准方程． １６．求经过点P(－２,－４)的抛物线的标准方程． ４４　 １７．已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程: (１)y２＝６x; (２)２y２＋５x＝０． 根据下列条件分别求抛物线的方程: (１)准线方程为y＝ ２ ３ ; (２)经过点(－３,１)． ３．３．２ 　 抛物线的几何性质 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解抛物线标准方程所表示的性质． 重点:四种形式的抛物线标准方程所表示的性质． 难点:四种形式的抛物线标准方程所表示的性质应用． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 四种形式的抛物线方程: 标准方程 y２ ＝２px (p ＞０) y２ ＝ －２px (p ＞０) x２ ＝２py (p ＞０) x２ ＝ －２py (p ＞０) p 的几何意义:焦点F 到准线l的距离 图形 训练测评参考答案 １５１　 轴上时,双曲线的标准方程为y２ － x２ ８ ＝１． １２．４ 【解析】因为双曲线x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞ ０, b＞０)的离心率是２,实轴长为２,所以 c a ＝２ , ２a＝２,即a＝１,c＝２,所以双曲线的焦距是４． １３．３ 【解析】由题意得m ＞０,因为 ３＝ b a ＝ １ １ m ＝ m ,所以解得m ＝３． １４．x ２ ３ ＋ y２ ２ ＝１ 【解析】由双曲线方程顶点坐标为 (±１,０),焦点坐标为(± ３,０),所以所求椭圆的 焦点为(±１,０),顶点为(± ３,０),即a＝ ３,c＝ １,故b２ ＝２,则椭圆方程为 x２ ３ ＋ y２ ２ ＝１． 三、解答题 １５．解:由已知可设双曲线的标准方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １,则其渐近线方程为y＝ ± b ax ,因为渐近线方 程为y＝ ± ３ ４x ,所以b a ＝ ３ ４ ,又因为双曲线的 一个焦点为(５,０),所以a２ ＋b２ ＝５２, 则 b a ＝ ３ ４ , a２ ＋b２ ＝５２, { 解得 a ２ ＝１６, b２ ＝９,{ 故所求双曲线的标准方程为x ２ １６－ y２ ９ ＝１． １６．解:(１)由题意知,c＝ a２ －b２ ＝ １６－１２＝ ２,又a＝４＞b＝２３,所以椭圆E 的焦点坐标 为(±２,０)． (２)令双曲线C 为x２－３y２ ＝λ(λ＞０),由(１) 知,λ＋ λ ３ ＝c ２ ＝４,可得λ＝３,所以双曲线C 的标准方程为x ２ ３ －y ２ ＝１． １７．解:(１)设椭圆方程为x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １且a＞b＞０, 因为２a＝１２,a＝６, c a ＝ ２ ３ ,所以c＝４,故 b２ ＝a２－c２ ＝３６－１６＝２０,故椭圆方程为 x２ ３６＋ y２ ２０＝１． (２)x ２ １０＋ y２ ５ ＝１ 的焦点为(－ ５,０),(５,０),据 题意知b a ＝ １ ２ ,则b ２ a２ ＝ ５－a２ a２ ＝ １ ４ ,解得 a２ ＝４,故b２ ＝c２－a２ ＝５－４＝１,故双曲线的 方程为x ２ ４ －y ２ ＝１． 【能力提升】 １．解:(１)设双曲线的方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞０, b＞０)．由 c a ＝ ５ ３ ,２a＝６,得c＝５,b２＝c２－a２＝ １６,b＝４,所以双曲线的方程为 x２ ９ － y２ １６＝１． (２)由题意可知,双曲线的焦点在y 轴上．设双曲 线的方程为y ２ a２－ x２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０),则c２ ＝９, a２ ＝９－５＝４,b２ ＝c２－a２ ＝５,所以双曲线的方 程为y ２ ４ － x２ ５ ＝１． ２．解:(１)由题意知,e＝ c a ＝ ３ ,且c＝３,解得a＝ ３,b＝ ６,所以双曲线的标准方程为 x２ ３ － y２ ６ ＝１． (２)因为x ２ ３－ y２ ６ ＝１ ,所以a２ ＝３,b２ ＝６,焦点在 x 轴上,故渐近线方程为y ＝ ± b ax ＝ ± ２x． ３．３　 抛物线 ３．３．１　 抛物线的标准方程 【变式训练】 y２ ＝８x 或y２ ＝ －８x 【解析】依题意知,设抛物线 方程为y２ ＝ ±２px(p ＞０)．因为焦点与原点之间 的距离为２,所以p２ ＝２ ,即２p＝８,所以抛物线方程 为y２ ＝８x 或y２ ＝ －８x． １５２　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】由抛物线方程可知,其准线方程为x ＝ －－ ２ ４ ＝ １ ２． ２．D 【解析】由抛物线x２ ＝４y 可知其焦点在y 轴 上,其焦点坐标为(０,１)． ３．D 【解析】因为抛物线C:x２ ＝２py 的焦点坐标 为(０,１),所以p２ ＝１ ,得p ＝２,所以抛物线方程 为x２ ＝４y． ４．C 【解析】动点 M 到定点P(２,０)的距离与到定 直线l:x ＝ －２的距离相等,所以 M 的轨迹是以 点P 为焦点,直线l为准线的抛物线． ５．D 【解析】因为抛物线的焦点是F(－２,０),所以 开口向左,设抛物线方程为y２ ＝ －２px(p＞０), 又－ p ２ ＝ －２ ,则p＝４,所以抛物线方程为y２ ＝ －８x． ６．B 【解析】由于抛物线的准线方程是x ＝２,所以 抛物线 的 开 口 向 左,设 抛 物 线 的 方 程 为y２ ＝ －２px(p ＞０),则 p ２ ＝２ ,２p＝８,所以抛物线的 标准方程为y２ ＝ －８x． ７．B 【解析】a＜０,则抛物线y＝４ax２ 的标准方程 为x２ ＝ １ ４ay ,焦点坐标在y 轴的负半轴上,焦点 坐标为 ０,１１６a( ) ． ８．D 【解析】把抛物线y ＝ － １ ２x ２ 化为标准方程 得x２ ＝ －２y,所以焦点坐标为 ０,－ １ ２( ) ． 二、填空题 ９．０,５２( ) 【解析】由y＝ １ １０x ２ 得x２ ＝１０y,所以 ２p ＝１０,p＝５,所以抛物线y＝ １ １０x ２ 的焦点坐 标是 ０,５２( ) ． １０．x ＝ －１ 【解析】抛物线y２ ＝２px 的准线方程 为x＝ － p ２ ,由此得到抛物线y２ ＝４x的准线方 程是x ＝ －１． １１．±４ ２ 【解析】由题意知,抛物线的焦点在x 轴 正半轴上,设抛物线的方程为y２ ＝２px(p ＞ ０),因为准线方程为x ＝ － p ２ ,点A(４,m)到准 线的距离为６,所以４＋ p ２ ＝６ ,所以p＝４,故抛 物线的方程为y２ ＝８x,又因为点A(４,m)在抛 物线上,所以m２ ＝８×４,即m ＝ ±４ ２． １２．y２ ＝ －８x 或x２ ＝ －y 【解析】设抛物线方程 为y２ ＝２px(p ≠０),或x２ ＝２py(p ≠０)．将 P(－２,－４)代入,分别得方程为y２ ＝ －８x 或 x２ ＝ －y． １３．３ 【解析】因为点P 到焦点的距离为４,所以点P 到抛物线准线x＝ －１的距离为４,所以点P到y 轴的距离为３． １４． １１６ ,０( ) 【解析】抛物线x ＝４y２ 即y２ ＝ １４x, 所以抛物线的焦点坐标为 １ １６ ,０( ) ． 三、解答题 １５．解:① 当抛物线的焦点在x 轴上时,设抛物线的 方程为y２ ＝ －２px(p ＞０)．因为抛物线过点 (－１,２),所以２２ ＝ －２p×(－１),所以p＝２．所 以抛物线的方程为y２ ＝ －４x; ② 当抛物线的焦点在y轴上时,因为抛物线过点 (－１,２),设抛物线的方程为x２ ＝２py(p ＞０), 因为抛物线过点(－１,２),所以(－１)２ ＝２p×２, 所以p＝ １ ４ ,所以抛物线的方程为x２ ＝ １ ２y ,即 y ＝２x２． 综上所述,抛物线的方程为y ＝２x２ 或y２ ＝ －４x． １６．解:当抛物线的焦点在x 轴上时,可设所求抛物 线的标准方程为y２ ＝ －２px(p＞０),将点P 的 坐标代入抛物线的标准方程得１６＝４p⇒p＝４, 此时,所求抛物线的标准方程为y２ ＝ －８x;当 抛物线的焦点在y轴上时,可设所求抛物线的标 准方程为x２ ＝ －２my(m＞０),将点P的坐标代 训练测评参考答案 １５３　 入抛物线的标准方程得４＝８m,解得m ＝ １ ２ , 此时,所求抛物线的标准方程为x２ ＝ －y． 综上所述,所求抛物线的标准方程为y２ ＝ －８x 或x２ ＝ －y． １７．解:(１)由抛物线方程为y２ ＝６x,可得p＝３,且 焦点 在 x 轴 正 半 轴 上,所 以 可 得 其 焦 点 为 ３ ２ ,０( ) ,准线方程为x ＝ －３２． (２)将２y２＋５x＝０化成标准方程为y２ ＝ － ５ ２x , 可得p＝ ５ ４ ,且焦点在x 轴负半轴上,所以焦点 为 － ５ ８ ,０( ) ,准线方程为x ＝ ５８． 【能力提升】 解:(１)由题意知,抛物线的焦点在y轴的负半轴上, 所以设抛物线的方程为x２ ＝ －２py(p＞０)．因为 p ２ ＝ ２ ３ ,所以p＝ ４ ３ ,故抛物线的方程为x２ ＝ － ８ ３y． (２)当焦点在x 轴的负半轴上时,设其方程为y２ ＝ －２px(p＞０),代入点(－３,１)得p＝ １ ６ ,此时方程 为y２ ＝ － １ ３x ;当焦点在y 轴的正半轴上时,设其 方程为x２ ＝２py(p ＞０),代入点(－３,１),得p ＝ ９ ２ ,此时方程为x２ ＝９y． 综上所述,所求抛物线的方程为y２ ＝ － １ ３x 或 x２ ＝９y． ３．３．２　 抛物线的几何性质 【变式训练】 C 【解析】因为抛物线的准线是直线y ＝ ３ ２ ,则该 抛物线焦点在y轴上,开口向下,其标准方程为x２ ＝ －６y,所以所求抛物线标准方程为x２ ＝ －６y． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．D 【解析】抛物线y２ ＝２px上一点P(２,y０)到焦 点的距离等于到其准线的距离,即为４,所以p２ ＋ ２＝４,解得p＝４,故抛物线的标准方程为y２ ＝８x． ２．B 【解析】依题意,设抛物线方程为y２ ＝ mx, m ≠０,于是得２２ ＝m􀅰(－１),解得m ＝ －４,所 以所求抛物线方程是y２ ＝ －４x． ３．C 【解析】依题意,设抛物线方程为x２ ＝my,因 为抛物线过点(１,－２),所以１２ ＝m×(－２),解得 m ＝ － １ ２ ,所以抛物线方程为x２ ＝ － １ ２y． ４．A 【解析】由于抛物线y２ ＝２px 的焦点为(１, ０),所以p２ ＝１ ,p ＝２． ５．C 【解析】草图如右图:因为 抛物线上纵坐标为２的点到焦 点的距离为３,又抛物线上一 点到焦点的距离等于其到准线 的距离,所以２＋ p ２ ＝３ ,解得p ＝２． ６．A 【解析】由题意,在抛物线y２ ＝１２ax(a ＞０) 中,准线方程l:x ＝ － １２a ４ ＝ －３a． 因为 M 到准 线的距离等于它到焦点的距离,所以３＋３a ＝５, 解得a＝ ２ ３． 故抛物线方程为y２ ＝８x． ７．D 【解析】设B点的坐标为(４,y),由抛物线方程 x２ ＝ －８y 得y＝ ４２ －８＝ － ２,则此时刻拱桥的最 高点到水面的距离为２m． ８．A 【解析】mx＋ny２ ＝０变形为y２ ＝ － m nx ,此 表示焦点在x 轴的抛物线,排除D;当mn＜０时, y２ ＝ － m nx 表示开口向右的抛物线,此时mx２＋ ny２ ＝１(mn≠０)表示双曲线,排除C;当mn＞０ 时,y２ ＝ － m nx 表示开口向左的抛物线,此时 mx２ ＋ny２ ＝１(mn≠０)表示椭圆或圆或不表示 任何图形,排除B． 二、填空题 ９．y２ ＝ －４x 【解析】设抛物线的标准方程为y２ ＝ －２px,则－ p ２ ＝ －１ ,可得p＝２．因此,抛物线