3.2.2 双曲线的几何性质-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

３８　 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (１)a＝２５,经过点A(２,－５),焦点在y 轴上; (２)与椭圆x ２ ２７＋ y２ ３６＝１ 有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为４． ３．２．２ 　 双曲线的几何性质 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶 点、离心率等几何性质． 重点:双曲线的性质． 难点:双曲线离心率、渐近线概念． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 双曲线的标准方程和几何性质如下: 标准方程 x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０) y２ a２ － x２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０) 图形 性质 范围 x ≥a或x ≤－a,y ∈R x ∈R,y ≤－a或y ≥a 对称性 对称轴:坐标轴 　 对称中心:原点 对称轴:坐标轴 　 对称中心:原点 顶点 顶点坐标:A１(－a,０),A２(a,０) 顶点坐标:A１(０,－a),A２(０,a) 渐近线 y ＝ ± b ax y ＝ ± a bx 离心率 e＝ c a ,e∈ (１,＋∞),其中c＝ a２ ＋b２ 性质 实虚轴:线段A１A２ 称为双曲线的实轴,它的长 A１A２ ＝２a;线段B１B２ 称为双曲线的虚轴, 它的长 B１B２ ＝２b;a是双曲线的实半轴长,b是双曲线的虚半轴长 ３９　 　　 １ 双曲线的渐近线方程的概念 【例１】 双曲线x ２ ４ － y２ ９ ＝－１ 的渐近线方程为 (　　) A．y＝± ２ ３x B．y＝± ３ ２x C．y＝± ４ ９x D．y＝± ９ ４x 【解题思路】 由题意可知,双曲线的焦点在y 轴上,a２＝９,b２＝４,即a＝３,b＝２,所以双曲线 x２ ４ － y２ ９ ＝ －１的渐近线方程为y＝± ３ ２x． 故选B． 变式训练１ 双曲线y ２ ２ －x ２＝１的渐近线方程为 　　　　． 　　 ２ 双曲线的性质 【例２】 求双曲线４x２－９y２＝－４的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 【解题思路】 双曲线方程可化为y ２ ４ ９ －x２＝１,则双曲线焦点在y轴上,a２＝ ４ ９ ,b２＝１,所以c２＝ ４ ９＋１＝ １３ ９ ,故a＝ ２ ３ ,b＝１,c＝ １３ ３ ,所以顶点坐标为 ０,± ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ;焦点坐标为 ０,± １３ ３ æ è ç ö ø ÷ ;实轴长为２a＝ ４ ３ ;虚轴长 为２b＝２;离心率e＝ c a ＝ １３ ２ ;渐近线方程为y＝± a bx＝± ２ ３x． 变式训练２ 与双曲线x ２ ５ － y２ ４ ＝１ 有公共焦点,且短轴长为２的椭圆方程为 　　　　． 自 我 测 评 一、选择题 １．若双曲线的渐近线方程是y＝±２x,虚轴长为４,且焦点在x 轴上,则双曲线的标准方程为 (　　) A．x２－ y２ ４ ＝１ 或y ２ １６－ x２ ４ ＝１ B． y２ １６－ x２ ４ ＝１ C．x２－ y２ ４ ＝１ D． x２ ４ －y ２＝１ ２．已知双曲线x ２ a２ －y ２＝１(a ＞０)的一条渐近线方程为y＝ ３x,则a＝ (　　) A．３３ B． １ ３ C．３ D．３ ３．已知双曲线x ２ ４ － y２ b２ ＝ １(b＞０)的离心率是２,则b＝ (　　) A．１２ B．２３ C．３ D．３２ ４０　 ４．设双曲线x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞０,b＞０)的渐近线方程为y＝± ４ ３x ,则此双曲线的离心率为 (　　) A．５３ B． ５ ４ C． ４ ３ D． ３ ５ ５．已知中心在原点,焦点在y 轴上的双曲线的离心率为 ５,则它的渐近线方程为 (　　) A．y＝±２x B．y＝± ５ ２x C．y＝± １ ２x D．y＝± ６x ６．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,则等轴双曲线的离心率为 (　　) A．２ B．２ C．３ D．３ ７．双曲线x ２ ８ － y２ ４ ＝１ 的离心率为 (　　) A．６２ B．２ C．３ D．６ ８．若双曲线x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞０,b＞０)的虚轴长为８,渐近线方程为y＝± １ ２x ,则双曲线的方程为 (　　) A．x ２ １６－ y２ ４ ＝１ B． x２ ４ － y２ １６＝１ C． x２ ６４－ y２ １６＝１ D．x ２－ y２ ４ ＝１ 二、填空题 ９．已知双曲线x ２ ６ － y２ b２ ＝ １的离心率为 ６２ ,则b２＝　　　　． １０．已知双曲线的离心率e＝ ４ ３ ,且其右焦点为F２(４,０),则双曲线的标准方程为 　　　　． １１．已知双曲线的焦距为６,它的离心率为３,则该双曲线的标准方程为 　　　　． １２．已知双曲线x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞０,b＞０)的离心率是２,实轴长为２,则双曲线的焦距是 　　　　． １３．已知双曲线mx２－y２＝１的一条渐近线方程为y＝ ３x,则m＝　　　　． １４．以双曲线x２－ y２ ２ ＝１ 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为 ． 三、解答题 １５．已知双曲线的一个焦点为(５,０),其渐近线方程为y＝± ３ ４x ,求此双曲线的标准方程． １６．已知双曲线C 与椭圆E:x ２ １６＋ y２ １２＝１ 有公共焦点,且它的一条渐近线方程为y＝ ３ ３x． (１)求椭圆E 的焦点坐标; (２)求双曲线C 的标准方程． ４１　 １７．(１)求长轴长为１２,离心率为２３ ,焦点在x 轴上的椭圆标准方程; (２)已知双曲线的渐近线方程为y＝± １ ２x ,且与椭圆x ２ １０＋ y２ ５ ＝１ 有公共焦点,求此双曲线的方程． １．求满足下列条件的双曲线的标准方程: (１)焦点在x 轴上,离心率为５３ ,两顶点间的距离为６; (２)以椭圆x ２ ５ ＋ y２ ９ ＝１ 的焦点为顶点,顶点为焦点． ２．已知双曲线x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０)的离心率e＝ ３,F１,F２ 是双曲线的两个焦点,且F１(－３,０)．求: (１)双曲线的标准方程; (２)双曲线的渐近线方程． 试题精讲 １５０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 (２)椭圆x ２ ２７＋ y２ ３６ ＝１ 的两个焦点为F１(０,－３), F２(０,３),双曲线与椭圆的一个交点为( １５,４)或 (－ １５,４)．因为双曲线与椭圆有相同的焦点,故设 双曲线的标准方程为y ２ a２ － x２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０),则 ４２ a２ － ( １５) ２ b２ ＝ １, a２ ＋b２ ＝３２, ì î í ïï ï 解得 a２ ＝４, b２ ＝５．{ 故所求双曲线的 标准方程为y ２ ４ － x２ ５ ＝１． ３．２．２　 双曲线的几何性质 【变式训练１】 y ＝ ± ２x 【变式训练２】 x２ １０＋y ２ ＝１ 【解析】由题意知,所求椭圆的焦点在x 轴上,设椭圆方程为x ２ a２＋ y２ b２ ＝ １,双曲线x ２ ５－ y２ ４ ＝１ 的焦点坐标为(３,０),(－３,０),又短轴长为２,故２b＝ ２,即b＝１,则a２ ＝９＋１＝１０,故椭圆方程为 x２ １０＋ y２ ＝１． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】由题可得 b a ＝２ , ２b＝４, { 解得 a＝１ , b＝２,{ 所以 双曲线的标准方程为x２ － y２ ４ ＝１． ２．A 【解析】由题意知,１a ＝ ３ ,解得a＝ ３ ３． ３．B 【解 析】 由 题 意 知,e ＝ c a ＝ c２ a２ ＝ a２ ＋b２ a２ ＝ ４＋b２ ４ ＝２ ,解得b＝２ ３． ４．A 【解析】双曲线x ２ a２ － y２ b２ ＝ １的渐近线方程为 y ＝ ± b ax ,所以b a ＝ ４ ３ ,b＝ ４ ３a ,又c２ ＝a２＋ b２ ＝a２ ＋ １６ ９a ２ ＝ ２５ ９a ２,所以e２ ＝ c２ a２ ＝ ２５ ９ , e＝ ５ ３． ５．C 【解析】设双曲线的方程为y ２ a２ － x２ b２ ＝ １(a ＞ ０,b＞０),因为 c a ＝ １＋ b２ a２ ＝ ５,所以b ２ a２ ＝ ４,则ba ＝２ ,所以渐近线方程为y ＝ ± a bx ＝ ± １ ２x． ６．A 【解析】依题意知,等轴双曲线中a＝b,则c＝ a２ ＋b２ ＝ ２a,所以其离心率e＝ c a ＝ ２． ７．A 【解析】因为双曲线x ２ ８ － y２ ４ ＝１ ,所以a２ ＝８, b２ ＝４,所以c２ ＝a２＋b２ ＝１２．离心率e＝ c a ＝ １２ ８ ＝ ６ ２． ８．C 【解析】由题可知, ２b＝８, b a ＝ １ ２{ 解得 b＝４, a＝８,{ 所以双曲线方程为x ２ ６４－ y２ １６＝１． 二、填空题 ９．３ 【解析】双曲线x ２ ６ － y２ b２ ＝ １的离心率为 ６２ ,则 有 b ２ ＋６ ６ ＝ ６ ２ ,解得b２ ＝３． １０．x ２ ９ － y２ ７ ＝１ 【解析】依题意知,c＝４,e＝ c a ＝ ４ ３ ,a＝３,则b＝ c２ －a２ ＝ ７,所以双曲线 的标准方程为x ２ ９ － y２ ７ ＝１． １１．x２ － y２ ８ ＝１ 或y２ － x２ ８ ＝１ 【解析】依题意知 ２c＝６,c＝３,由 c a ＝３ ,得a＝１,所以b２ ＝c２－ a２ ＝８,当双曲线的焦点在x 轴上时,双曲线的 标准方程为x２ － y２ ８ ＝１ ;当双曲线的焦点在y 训练测评参考答案 １５１　 轴上时,双曲线的标准方程为y２ － x２ ８ ＝１． １２．４ 【解析】因为双曲线x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞ ０, b＞０)的离心率是２,实轴长为２,所以 c a ＝２ , ２a＝２,即a＝１,c＝２,所以双曲线的焦距是４． １３．３ 【解析】由题意得m ＞０,因为 ３＝ b a ＝ １ １ m ＝ m ,所以解得m ＝３． １４．x ２ ３ ＋ y２ ２ ＝１ 【解析】由双曲线方程顶点坐标为 (±１,０),焦点坐标为(± ３,０),所以所求椭圆的 焦点为(±１,０),顶点为(± ３,０),即a＝ ３,c＝ １,故b２ ＝２,则椭圆方程为 x２ ３ ＋ y２ ２ ＝１． 三、解答题 １５．解:由已知可设双曲线的标准方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １,则其渐近线方程为y＝ ± b ax ,因为渐近线方 程为y＝ ± ３ ４x ,所以b a ＝ ３ ４ ,又因为双曲线的 一个焦点为(５,０),所以a２ ＋b２ ＝５２, 则 b a ＝ ３ ４ , a２ ＋b２ ＝５２, { 解得 a ２ ＝１６, b２ ＝９,{ 故所求双曲线的标准方程为x ２ １６－ y２ ９ ＝１． １６．解:(１)由题意知,c＝ a２ －b２ ＝ １６－１２＝ ２,又a＝４＞b＝２３,所以椭圆E 的焦点坐标 为(±２,０)． (２)令双曲线C 为x２－３y２ ＝λ(λ＞０),由(１) 知,λ＋ λ ３ ＝c ２ ＝４,可得λ＝３,所以双曲线C 的标准方程为x ２ ３ －y ２ ＝１． １７．解:(１)设椭圆方程为x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １且a＞b＞０, 因为２a＝１２,a＝６, c a ＝ ２ ３ ,所以c＝４,故 b２ ＝a２－c２ ＝３６－１６＝２０,故椭圆方程为 x２ ３６＋ y２ ２０＝１． (２)x ２ １０＋ y２ ５ ＝１ 的焦点为(－ ５,０),(５,０),据 题意知b a ＝ １ ２ ,则b ２ a２ ＝ ５－a２ a２ ＝ １ ４ ,解得 a２ ＝４,故b２ ＝c２－a２ ＝５－４＝１,故双曲线的 方程为x ２ ４ －y ２ ＝１． 【能力提升】 １．解:(１)设双曲线的方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞０, b＞０)．由 c a ＝ ５ ３ ,２a＝６,得c＝５,b２＝c２－a２＝ １６,b＝４,所以双曲线的方程为 x２ ９ － y２ １６＝１． (２)由题意可知,双曲线的焦点在y 轴上．设双曲 线的方程为y ２ a２－ x２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０),则c２ ＝９, a２ ＝９－５＝４,b２ ＝c２－a２ ＝５,所以双曲线的方 程为y ２ ４ － x２ ５ ＝１． ２．解:(１)由题意知,e＝ c a ＝ ３ ,且c＝３,解得a＝ ３,b＝ ６,所以双曲线的标准方程为 x２ ３ － y２ ６ ＝１． (２)因为x ２ ３－ y２ ６ ＝１ ,所以a２ ＝３,b２ ＝６,焦点在 x 轴上,故渐近线方程为y ＝ ± b ax ＝ ± ２x． ３．３　 抛物线 ３．３．１　 抛物线的标准方程 【变式训练】 y２ ＝８x 或y２ ＝ －８x 【解析】依题意知,设抛物线 方程为y２ ＝ ±２px(p ＞０)．因为焦点与原点之间 的距离为２,所以p２ ＝２ ,即２p＝８,所以抛物线方程 为y２ ＝８x 或y２ ＝ －８x．