3.2.1 双曲线的标准方程-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

３５　 ３．２　 双曲线 ３．２．１ 　 双曲线的标准方程 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解双曲线的定义,理解焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的两种双曲线的标准方程． 重点:双曲线两种形式的标准方程． 难点:双曲线标准方程的推导． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．双曲线的定义． 在平面内到两定点F１,F２ 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F１F２ 且大于零)的点的轨迹(或集 合)叫做双曲线．定点F１,F２ 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M |MF１|－|MF２| ＝２a,F１F２ ＝２c,其中a,c为常数且a ＞０,c＞０}． (１)当a ＜c时,M 点的轨迹是双曲线; (２)当a＝c时,M 点的轨迹是两条射线; (３)当a ＞c时,M 点不存在． ２．双曲线的标准方程． 中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞０,b＞０); 中心在坐标原点,焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 y２ a２ － x２ b２ ＝ １(a ＞０,b＞０)． 双曲线的标准方程 【例】 已知双曲线的一个焦点为(５,０),一个顶点为(３,０),则双曲线的标准方程为 (　　) A．y ２ １６－ x２ ９ ＝１ B． x２ ２５－ y２ ９ ＝１ C． x２ ２５－ y２ １６＝１ D． x２ ９ － y２ １６＝１ 【解题思路】 由题意知,双曲线的焦点在x 轴上,所以可设方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １,且c＝５,a＝３,所以b２＝ c２－a２＝１６,所以双曲线方程为 x２ ９ － y２ １６＝１ ,故选D． 变式训练 已知双曲线的上、下焦点分别为F１(０,４),F２(０,－４),P 是双曲线上一点且 |PF１|－ |PF２| ＝６,则双曲线的标准方程为 (　　) A．x ２ ７ － y２ ９ ＝１ B． x２ ９ － y２ ７ ＝１ C． y２ ９ － x２ ７ ＝１ D． y２ ７ － x２ ９ ＝１ ３６　 自 我 测 评 一、选择题 １．设P 为双曲线x ２ １６－ y２ ９ ＝１ 上一点,F１,F２ 分别为双曲线的左,右焦点,若 PF１ ＝１０,则 PF２ 等于 (　　) A．２ B．２或１８ C．４ D．１８ ２．在平面直角坐标系xOy中,已知点F１(－５,０),F２(５,０),动点P满足 |PF１|－|PF２| ＝８,则动点 P 的轨迹是 (　　) A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆 ３．已知双曲线的上、下焦点分别为F１(４,０),F２(－４,０),P 是双曲线上一点且 PF１ － PF２ ＝６, 则双曲线的标准方程为 (　　) A．x ２ ７ － y２ ９ ＝１ B． x２ ９ － y２ ７ ＝１ C． y２ ９ － x２ ７ ＝１ D． y２ ７ － x２ ９ ＝１ ４．若双曲线x ２ p ＋ y２ ４ ＝１ 的一个焦点为(０,－３),则p 的值为 (　　) A．－５ B．－４ C．－１ D．－２ ５．若双曲线x ２ ９ － y２ b２ ＝ １(b＞０)的焦点为F１(－５,０),F２(５,０),则b等于 (　　) A．３ B．４ C．５ D．６ ６．双曲线x ２ ２ － y２ ４ ＝１ 的左、右焦点分别为F１,F２,点P 位于其左支上,则 PF１ － PF２ ＝ (　　) A．４ B．２２ C．－４ D．－２２ ７．椭圆x ２ ４ ＋ y２ a２ ＝ １与双曲线x ２ a２ － y２ ２ ＝１ 有相同的焦点,则a＝ (　　) A．－１ B．１ C．±１ D．２ ８．与椭圆x ２ １２＋ y２ ９ ＝１ 共焦点且过点P(２,１)的双曲线的标准方程是 (　　) A．x ２ ４ －y ２＝１ B． x２ ２ －y ２＝１ C． x２ ３ － y２ ３ ＝１ D．x ２－ y２ ２ ＝１ 二、填空题 ９．若P 是双曲线x２－２y２＝１上一点,则P 到两个焦点的距离之差为 ． １０．椭圆y ２ ４９＋ x２ ２４＝１ 与双曲线y２－ x２ ２４＝１ 有公共点P,则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为 ． １１．已知平面内两定点A(－５,０),B(５,０),动点 M 满足 MA － MB ＝６,则点 M 的轨迹方程是 ． １２．曲线 x ２ ９－m ＋ y２ m－１＝ １表示焦点在y 轴上的双曲线,则m 的取值范围为 ． １３．经过点 ４３ ３ ,２３ æ è ç ö ø ÷ 且焦点为(０,－５),(０,５)的双曲线的标准方程是 ． １４．若双曲线的焦点在x 轴上,且a＋c＝９,b＝３,则双曲线的标准方程为 ． ３７　 三、解答题 １５．判断下列方程是否表示双曲线,若是,求出a,b,c的值及焦距;若不是,请说明理由． (１)x ２ ２ － y２ ２ ＝１ ; (２)x ２ ４ － y２ ２ ＝－１ ; (３)４y２－９x２＝３６; (４)４x２－y２＝０． １６．求适合下列条件的双曲线的标准方程: (１)c＝５,b＝３,焦点在x 轴上; (２)焦点为F１(０,－６),F２(０,６),且a＝３; (３)a＝４,b＝３． １７．求以椭圆x ２ １６＋ y２ ２５＝１ 的焦点为顶点,以椭圆长轴的端点为焦点的双曲线方程． １８．已知曲线C 的方程为 x ２ ７－m － y２ ３－m ＝ １,根据下列条件,求实数m 的取值范围: (１)曲线C 是椭圆; (２)曲线C 是双曲线． ３８　 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (１)a＝２５,经过点A(２,－５),焦点在y 轴上; (２)与椭圆x ２ ２７＋ y２ ３６＝１ 有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为４． ３．２．２ 　 双曲线的几何性质 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解标准方程所表示的双曲线的范围、对称性、顶 点、离心率等几何性质． 重点:双曲线的性质． 难点:双曲线离心率、渐近线概念． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 双曲线的标准方程和几何性质如下: 标准方程 x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０) y２ a２ － x２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０) 图形 性质 范围 x ≥a或x ≤－a,y ∈R x ∈R,y ≤－a或y ≥a 对称性 对称轴:坐标轴 　 对称中心:原点 对称轴:坐标轴 　 对称中心:原点 顶点 顶点坐标:A１(－a,０),A２(a,０) 顶点坐标:A１(０,－a),A２(０,a) 渐近线 y ＝ ± b ax y ＝ ± a bx 离心率 e＝ c a ,e∈ (１,＋∞),其中c＝ a２ ＋b２ 性质 实虚轴:线段A１A２ 称为双曲线的实轴,它的长 A１A２ ＝２a;线段B１B２ 称为双曲线的虚轴, 它的长 B１B２ ＝２b;a是双曲线的实半轴长,b是双曲线的虚半轴长 １４８　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 a２ －b２ a２ ＝ ３ ４ ,故a２ ＝９,所以这个椭圆的方程是 x２ ９ ＋ ４y２ ９ ＝１． ２．解:(１)将x２ ＋９y２ ＝３６化为标准方程为 x２ ３６＋ y２ ４ ＝１ ,所以a＝６,b＝２,则c＝ a２ －b２ ＝ ３６－４＝４２,所以椭圆的长轴长为１２,短轴长 为４,焦距为８２,顶点坐标为(－６,０)、(６,０)、(０, ２)、(０,－２),焦点坐标为(－４ ２,０)和(４ ２,０), 离心率为e＝ c a ＝ ２ ２ ３ ． (２)将９x２＋５y２ ＝４５化为标准方程为 x２ ５ ＋ y２ ９ ＝ １,因为９＞５,所以椭圆的焦点在y 轴上,所以 a＝３,b＝ ５,则c＝ a２ －b２ ＝ ９－５＝２, 所以椭圆的长轴长为６,短轴长为２ ５,焦距为４, 顶点坐标为(－ ５,０)、(５,０)、(０,３)、(０,－３),焦 点坐标为(０,２)和(０,－２),离心率为e＝ c a ＝ ２ ３． ３．２　 双曲线 ３．２．１　 双曲线的标准方程 【变式训练】 C 【解析】由题意知,双曲线的焦点在y 轴上,设双 曲线方程为y ２ a２ － x２ b２ ＝ １, |PF１|－|PF２| ＝ ２a＝６,故a＝３,又c＝４,故b２ ＝c２ －a２ ＝１６－ ９＝７,故双曲线的标准方程为 y２ ９ － x２ ７ ＝１． 故选C． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】根据双曲线的定义,|PF１|－|PF２| ＝ ２a＝８,即 １０－|PF２| ＝８,解得 PF２ ＝２ 或１８,均满足 PF２ ≥c－a＝５－４＝１． ２．C 【解 析】 因 为 F１(－ ５,０),F２(５,０),所 以 F１F２ ＝１０,因为 |PF１|－|PF２| ＝８＜ F１F２ ＝１０,所以动点P 的轨迹是以F１,F２ 为 焦点的双曲线． ３．B 【解析】由题意知,双曲线的焦点在x 轴上,设双 曲线方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １, PF１ － PF２ ＝ ２a＝６,故a＝３,又c＝４,故b２ ＝c２－a２ ＝１６－ ９＝７,故双曲线的标准方程为 x２ ９ － y２ ７ ＝１． ４．A 【解析】由题意知,双曲线x ２ p ＋ y２ ４ ＝１ 的一个 焦点为(０,－３),可得双曲线的焦点在y 轴上,且 c＝３,且p ＜０,所以c２ ＝４＋(－p)＝３２,解得 p ＝ －５． ５．B 【解析】由题意得９＋b２ ＝２５,解得b＝ ±４,因 为b＞０,所以b＝４． ６．D 【解 析】由 题 意 知,a２ ＝ ２,a ＝ ２,所 以 PF１ － PF２ ＝ －２ ２． ７．C 【解析】由题意知,椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上,且 焦 点 相 同,所 以 c ＝ ４－a２ ＝ a２ ＋２,解得a＝ ±１． ８．B 【解析】椭圆x ２ １２＋ y２ ９ ＝１ 的焦点坐标是(± ３, ０)．设双曲线的标准方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞０, b＞０),因为双曲线过点P(２,１),所以 ４ a２ － １ b２ ＝ １,又a２＋b２ ＝３,解得a２ ＝２,b２ ＝１,所以所求双 曲线的标准方程是x ２ ２ －y ２ ＝１． 二、填空题 ９．±２ 【解析】由题意得:双曲线标准方程为x２ － y２ １ ２ ＝１,则a ＝１,由双曲线定义知,|PF１|－ |PF２| ＝２a＝２,则 PF１ － PF２ ＝ ±２． １０．２４ 【解析】由已知得椭圆与双曲线具有共同的 焦点 F１(０,５),F２(０,－５),由椭圆定义可知, PF１ ＋ PF２ ＝１４,故P 与双曲线两焦点的 距离之和为１４,又 F１F２ ＝１０,因此P 与双曲 线两 焦 点 连 线 构 成 三 角 形 的 周 长 为 １４＋ １０＝２４． 训练测评参考答案 １４９　 １１．x ２ ９ － y２ １６ ＝１ 【解析】由题意知, AB ＝１０, |MA|－|MB| ＝６＜ AB ,故 M 的轨迹 是以A,B为焦点,实轴长２a＝６的双曲线,设双 曲线方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １,由a ＝３,c＝５可得 b２ ＝c２ －a２ ＝１６,故点 M 的轨迹方程是 x２ ９ － y２ １６＝１． １２．(９,＋∞) 【解析】因为该曲线表示焦点在y 轴 上的双曲线,则有 ９－m ＜０, m－１＞０,{ 解得m ＞９,即m 的求值范围为(９,＋∞)． １３．y ２ ９－ x２ １６＝１ 【解析】双曲线的焦点在y轴上,且 c＝５,因为双曲线过点 (４ ３３ ,２ ３) ,根据双曲 线的定义得２a＝ (４ ３３ ) ２ ＋(２ ３＋５) ２ － (４３３ ) ２ ＋(２３－５)２ ＝６,解得a ＝３,则 b２ ＝c２－a２ ＝１６,所以双曲线的标准方程为 y２ ９ － x２ １６＝１． １４．x ２ １６－ y２ ９ ＝１ 【解析】因为a２＋b２ ＝c２,b＝３, a＋c＝９,解得c＝５,a＝４．所以双曲线的标准 方程为x ２ １６－ y２ ９ ＝１． 三、解答题 １５．解:(１)表示双曲线,a＝ ２,b＝ ２,c＝２,焦距 为２c＝４． (２)表示双曲线,a＝ ２,b＝２,c＝ ６,焦距为 ２c＝２ ６． (３)表示双曲线,a＝３,b＝２,c＝ １３,焦距为 ２c＝２ １３． (４)不表示双曲线,由４x２ －y２ ＝０,得(２x ＋ y)(２x－y)＝０,即２x＋y＝０或２x－y＝０,所 以该方程表示直线２x ＋y ＝０和直线 ２x － y ＝０． １６．解:(１)a＝ c２ －b２ ＝４,双曲线的焦点在x 轴 上,所以双曲线的标准方程为x ２ １６－ y２ ９ ＝１． (２)c＝６,b＝ c２ －a２ ＝ ３６－９＝３３,双 曲线的焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为 y２ ９ － x２ ２７＝１． (３)当双曲线的焦点在x 轴上时,双曲线的标准 方程为x ２ １６－ y２ ９ ＝１ ;当双曲线的焦点在y 轴上 时,双曲线的标准方程为y ２ １６－ x２ ９ ＝１． １７．解:椭圆x ２ １６＋ y２ ２５ ＝１ ,所以a２ ＝２５,b２ ＝１６, c２ ＝２５－１６＝９且椭圆焦点在y轴上．所以双曲 线的焦距是２×５＝１０,实轴长为２×３＝６,虚轴 长为８,即a＝３,b＝４,c＝５．因为焦点在y 轴 上,故双曲线方程为y ２ ９ － x２ １６＝１． １８．解:(１)因为曲线C 的方程为 x ２ ７－m － y２ ３－m ＝ １,所以 x ２ ７－m ＋ y２ m－３＝ １,又曲线C 是椭圆,所 以 ７－m ＞０, m－３＞０, ７－m ≠m－３, ì î í ïï ï 解得３＜m＜７且m≠５,故 实数m 的取值范围为(３,５)∪ (５,７)． (２)因为曲线C是双曲线,所以(７－m)(３－m)＞ ０,解得m ＜３或m ＞７,故实数m 的取值范围为 (－∞,３)∪ (７,＋∞)． 【能力提升】 解:(１)因为双曲线的焦点在y 轴上,所以可设双曲 线的标准方程为y ２ a２ － x２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０)．由题意 知,a＝２ ５,且点 A(２,－５)在双曲线上,所以 a＝２ ５, ２５ a２ － ４ b２ ＝ １,{ 解得 a ２ ＝２０, b２ ＝１６,{ 故所求双曲线的标 准方程为y ２ ２０－ x２ １６＝１． １５０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 (２)椭圆x ２ ２７＋ y２ ３６ ＝１ 的两个焦点为F１(０,－３), F２(０,３),双曲线与椭圆的一个交点为( １５,４)或 (－ １５,４)．因为双曲线与椭圆有相同的焦点,故设 双曲线的标准方程为y ２ a２ － x２ b２ ＝ １(a＞０,b＞０),则 ４２ a２ － ( １５) ２ b２ ＝ １, a２ ＋b２ ＝３２, ì î í ïï ï 解得 a２ ＝４, b２ ＝５．{ 故所求双曲线的 标准方程为y ２ ４ － x２ ５ ＝１． ３．２．２　 双曲线的几何性质 【变式训练１】 y ＝ ± ２x 【变式训练２】 x２ １０＋y ２ ＝１ 【解析】由题意知,所求椭圆的焦点在x 轴上,设椭圆方程为x ２ a２＋ y２ b２ ＝ １,双曲线x ２ ５－ y２ ４ ＝１ 的焦点坐标为(３,０),(－３,０),又短轴长为２,故２b＝ ２,即b＝１,则a２ ＝９＋１＝１０,故椭圆方程为 x２ １０＋ y２ ＝１． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】由题可得 b a ＝２ , ２b＝４, { 解得 a＝１ , b＝２,{ 所以 双曲线的标准方程为x２ － y２ ４ ＝１． ２．A 【解析】由题意知,１a ＝ ３ ,解得a＝ ３ ３． ３．B 【解 析】 由 题 意 知,e ＝ c a ＝ c２ a２ ＝ a２ ＋b２ a２ ＝ ４＋b２ ４ ＝２ ,解得b＝２ ３． ４．A 【解析】双曲线x ２ a２ － y２ b２ ＝ １的渐近线方程为 y ＝ ± b ax ,所以b a ＝ ４ ３ ,b＝ ４ ３a ,又c２ ＝a２＋ b２ ＝a２ ＋ １６ ９a ２ ＝ ２５ ９a ２,所以e２ ＝ c２ a２ ＝ ２５ ９ , e＝ ５ ３． ５．C 【解析】设双曲线的方程为y ２ a２ － x２ b２ ＝ １(a ＞ ０,b＞０),因为 c a ＝ １＋ b２ a２ ＝ ５,所以b ２ a２ ＝ ４,则ba ＝２ ,所以渐近线方程为y ＝ ± a bx ＝ ± １ ２x． ６．A 【解析】依题意知,等轴双曲线中a＝b,则c＝ a２ ＋b２ ＝ ２a,所以其离心率e＝ c a ＝ ２． ７．A 【解析】因为双曲线x ２ ８ － y２ ４ ＝１ ,所以a２ ＝８, b２ ＝４,所以c２ ＝a２＋b２ ＝１２．离心率e＝ c a ＝ １２ ８ ＝ ６ ２． ８．C 【解析】由题可知, ２b＝８, b a ＝ １ ２{ 解得 b＝４, a＝８,{ 所以双曲线方程为x ２ ６４－ y２ １６＝１． 二、填空题 ９．３ 【解析】双曲线x ２ ６ － y２ b２ ＝ １的离心率为 ６２ ,则 有 b ２ ＋６ ６ ＝ ６ ２ ,解得b２ ＝３． １０．x ２ ９ － y２ ７ ＝１ 【解析】依题意知,c＝４,e＝ c a ＝ ４ ３ ,a＝３,则b＝ c２ －a２ ＝ ７,所以双曲线 的标准方程为x ２ ９ － y２ ７ ＝１． １１．x２ － y２ ８ ＝１ 或y２ － x２ ８ ＝１ 【解析】依题意知 ２c＝６,c＝３,由 c a ＝３ ,得a＝１,所以b２ ＝c２－ a２ ＝８,当双曲线的焦点在x 轴上时,双曲线的 标准方程为x２ － y２ ８ ＝１ ;当双曲线的焦点在y