3.1.2 椭圆的几何性质-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

１４６　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 ３．１．２　 椭圆的几何性质 【变式训练１】 B 【解析】由题意可知,椭圆的焦点在y 轴上,b２ ＝ ５,a２ ＝１６,所以c２ ＝a２－b２ ＝１１,所以椭圆 x２ ５＋ y２ １６＝ １的焦点坐标是(０,± １１)． 【变式训练２】 A 【解析】因为椭圆４x２＋９y２ ＝３６即 x２ ９＋ y２ ４ ＝１ , 所以a２ ＝９,b２ ＝４,可得c＝ ９－４＝ ５,椭圆的 焦点为(± ５,０),设椭圆方程是 x２ m ＋ y２ n ＝１ (m ＞ n＞０),则 m－n＝５, ３２ m ＋ (－２)２ n ＝１ ,{ 解得 m ＝１５ , n＝１０．{ 所以所 求椭圆的方程为x ２ １５＋ y２ １０＝１． 故选 A． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】在x２＋ y２ ６ ＝１ 中,a２ ＝６,故a＝ ６, 焦点在y 轴上,所以长轴端点坐标为(０,－ ６), (０,６)． ２．D 【解析】因为圆x２ ＋y２ －６x ＋８＝０即为 (x－３)２ ＋y２ ＝１,所以圆心为(３,０),所以椭圆 的一个焦点坐标为(３,０),故c＝３,又因为２b＝ ８,则b＝４,所以a２ ＝b２＋c２ ＝１６＋９＝２５,所以 a＝５,所以椭圆的左顶点为(－５,０)． ３．B 【解析】椭圆x ２ ２５＋ y２ １６＝１ 的两个焦点F１(－３, ０),F２(３,０),短轴的两个端点B１(０,－４),B２(０, ４),则以点F１(－３,０),F２(３,０)及B１(０,－４), B２(０,４)为 四 个 顶 点 的 椭 圆 长 轴 长 ２a ＝ B１B２ ＝８,短轴长２b＝ F１F２ ＝６,其焦点 在y轴上,中心在原点,方程为 x２ ９ ＋ y２ １６＝１ ,所以 所求的椭圆方程是x ２ ９ ＋ y２ １６＝１． ４．B 【解析】因为椭圆x ２ m ＋ y２ ４ ＝１ 的焦距是２,所以 c＝１,当椭圆焦点在x 轴上时,m ＝４＋１＝５,所 以e＝ c a ＝ １ ５ ＝ ５ ５ ;当椭圆焦点在y 轴上时, ４＝a２,所以e＝ c a ＝ １ ２ ,故选B． ５．B 【解析】椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的 两倍,所以２a＋２c＝２×２b,即a＋c＝２b,又因为 a２ ＝b２ ＋c２,所以５c２＋２ac－３a２ ＝０,故５e２＋ ２e－３＝０,(e＋１)(５e－３)＝０,又０＜e＜１,则 e＝ ３ ５ ,因此椭圆的离心率为e＝ ３ ５． ６．C 【解析】如图,因为该椭 圆的 离 心 率 为 １ ２ ,且a ＞ ２ ３,所以e２ ＝ a２－１２ a２ ＝ １ ４ ,解得a ＝４,则c ＝ a２ －１２ ＝ ２,所 以 △PF１F２ 的周长为２a＋２c＝１２． ７．D 【解析】因为长轴长为１０,故长半轴长a ＝５, 因为e＝ c a ＝ ３ ５ ,所以半焦距c＝３,故b２ ＝a２－ c２ ＝２５－９＝１６,又焦点在y轴上,所以椭圆的标 准方程为y ２ ２５＋ x２ １６＝１． ８．B 【解析】椭圆x２＋my２ ＝１化为标准方程为x２＋ y２ １ m ＝１,故m ＞０,因为焦点在y 轴上,长轴长是 短轴长的２倍,所以２ １m ＝４⇒m ＝ １ ４． 二、填空题 ９．x ２ １５＋ y２ １０＝１ 【解析】设椭圆的标准方程为x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a＞b＞０),因为椭圆过点(０, １０),所 以b２ ＝１０,则b２ ＝a２－c２ ＝１０,又 c a ＝ ３ ３ ,解得 a２ ＝１５,因此椭圆的标准方程为 x２ １５＋ y２ １０＝１． １０．１２ 【解析】因为椭圆的短半轴长是２ ２,所以 b＝２ ２．离心率是e＝ c a ＝ １ ３ ,所以c＝ １ ３a． 训练测评参考答案 １４７　 由a２ ＝b２＋c２ 可得a２ ＝９,即a＝３．根据椭圆 的 定 义 AF１ ＋ AF２ ＝ ２a, BF１ ＋ BF２ ＝２a,可得 △ABF２ 的周长为４a ＝３× ４＝１２． １１．５ 【解析】因为焦点在x 轴上的椭圆x ２ m ＋ y２ ３ ＝ １(m ＞０)的焦距为２ ２,所以a２ ＝m,b２ ＝３, c＝ ２,所以a２ ＝m ＝b２ ＋c２ ＝３＋２＝５． １２．２ 【解析】因为椭圆x ２ ３ ＋ y２ m ＝１ 的长轴长为４, 所以２ m ＝４,得m＝４,所以c２ ＝４－３＝１,即 c＝１,故该椭圆的焦距为２c＝２． １３．２ ３ 【解析】由题意得c２ ＝a２－b２ ＝m＋１－ m ＝１,又因为e ＝ c a ＝ １ m＋１ ＝ １ ２ ,解得 m ＝３,所以椭圆的方程为 x２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ ,则C 的 短轴长为２b＝２ ３． １４．(０,－ ６),(０,６) 【解析】因为椭圆方程化为 标准式为y ２ ６ ＋x ２ ＝１,所以a２ ＝６,且焦点在y 轴上,故长轴端点坐标为(０,－ ６),(０,６)． 三、解答题 １５．解:(１)由x ２ ８＋ y２ ４ ＝１ 得a＝ ８＝２２,b＝ ４＝ ２,c＝ a２－b２ ＝２,所以椭圆的长轴长为２a＝ ４２,短轴长为２b＝４,离心率为e＝ c a ＝ ２ ２ ,顶 点坐标为(－２２,０),(２２,０),(０,－２),(０,２), 焦点坐标为(２,０),(－２,０)． (２)由x２ ＋ y２ ９ ＝１ 得a＝ ９ ＝３,b＝１,c＝ a２ －b２ ＝２２,所以椭圆的长轴长为２a＝６, 短轴长为２b＝２,离心率为e＝ c a ＝ ２ ２ ３ ,顶点 坐标为(－１,０),(１,０),(０,－３),(０,３),焦点坐 标为(０,２ ２),(０,－２ ２)． (３)由４x２＋９y２ ＝３６得 x２ ９ ＋ y２ ４ ＝１ ,a＝ ９＝ ３,b＝ ４＝２,c＝ a２ －b２ ＝ ５,所以椭圆的 长轴长为２a ＝６,短轴长为２b＝４,离心率为 e＝ c a ＝ ５ ３ ,顶点坐标为(－３,０),(３,０),(０, －２),(０,２),焦点坐标为(－ ５,０),(５,０)． １６．解:(１)x２＋９y２ ＝９整理为 x２ ９ ＋y ２ ＝１,焦点在 x 轴上,则a＝３,b＝１,c＝ a２ －b２ ＝２２, 所以长轴长为２a＝６,短轴长为２b＝２,离心率 c a ＝ ２ ２ ３ ,焦点为(－２２,０)与(２２,０),顶点坐 标为(３,０),(－３,０),(０,１),(０,－１)． (２)４x２＋２y２ ＝１６,整理为 x２ ４ ＋ y２ ８ ＝１ ,焦点在 y轴上,则a＝２２,b＝２,c２ ＝a２－b２ ＝８－４ ＝４,所以c＝２,长轴长为２a＝４２,短轴长为 ２b＝４,离心率 c a ＝ ２ ２ ２ ＝ ２ ２ ,焦点为(０,２), (０,－２),顶点坐标为(０,２ ２),(０,－２ ２),(２, ０),(－２,０) １７．解:因为椭圆的焦点在x 轴上,由题意知a ＝３, 又因为e＝ c a ＝ ６ ３ ,所以c＝ ６,则由椭圆的几 何性质可知b２ ＝a２－c２ ＝９－６＝３,所以b＝ ３,所以椭圆的标准方程为x ２ ９ ＋ y２ ３ ＝１． １８．解:(１)由已知,２a＝１２,e＝ c a ＝ ２ ３ ,得a＝６, c＝４,从而b２ ＝a２－c２ ＝２０．所以椭圆的标准 方程为x ２ ３６＋ y２ ２０＝１． (２)由椭圆的几何性质知,以坐标轴为对称轴的 椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以点 P,Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,于 是有b＝６,a＝８．又短轴、长轴分别在x 轴和y 轴上,所以椭圆的标准方程为y ２ ６４＋ x２ ３６＝１． 【能力提升】 １．解:因为椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上且过点 P ０,３２( ) ,所以b＝ ３ ２ ,又e＝ ３ ２ ,所以e２ ＝ c２ a２ ＝ １４８　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 a２ －b２ a２ ＝ ３ ４ ,故a２ ＝９,所以这个椭圆的方程是 x２ ９ ＋ ４y２ ９ ＝１． ２．解:(１)将x２ ＋９y２ ＝３６化为标准方程为 x２ ３６＋ y２ ４ ＝１ ,所以a＝６,b＝２,则c＝ a２ －b２ ＝ ３６－４＝４２,所以椭圆的长轴长为１２,短轴长 为４,焦距为８２,顶点坐标为(－６,０)、(６,０)、(０, ２)、(０,－２),焦点坐标为(－４ ２,０)和(４ ２,０), 离心率为e＝ c a ＝ ２ ２ ３ ． (２)将９x２＋５y２ ＝４５化为标准方程为 x２ ５ ＋ y２ ９ ＝ １,因为９＞５,所以椭圆的焦点在y 轴上,所以 a＝３,b＝ ５,则c＝ a２ －b２ ＝ ９－５＝２, 所以椭圆的长轴长为６,短轴长为２ ５,焦距为４, 顶点坐标为(－ ５,０)、(５,０)、(０,３)、(０,－３),焦 点坐标为(０,２)和(０,－２),离心率为e＝ c a ＝ ２ ３． ３．２　 双曲线 ３．２．１　 双曲线的标准方程 【变式训练】 C 【解析】由题意知,双曲线的焦点在y 轴上,设双 曲线方程为y ２ a２ － x２ b２ ＝ １, |PF１|－|PF２| ＝ ２a＝６,故a＝３,又c＝４,故b２ ＝c２ －a２ ＝１６－ ９＝７,故双曲线的标准方程为 y２ ９ － x２ ７ ＝１． 故选C． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】根据双曲线的定义,|PF１|－|PF２| ＝ ２a＝８,即 １０－|PF２| ＝８,解得 PF２ ＝２ 或１８,均满足 PF２ ≥c－a＝５－４＝１． ２．C 【解 析】 因 为 F１(－ ５,０),F２(５,０),所 以 F１F２ ＝１０,因为 |PF１|－|PF２| ＝８＜ F１F２ ＝１０,所以动点P 的轨迹是以F１,F２ 为 焦点的双曲线． ３．B 【解析】由题意知,双曲线的焦点在x 轴上,设双 曲线方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １, PF１ － PF２ ＝ ２a＝６,故a＝３,又c＝４,故b２ ＝c２－a２ ＝１６－ ９＝７,故双曲线的标准方程为 x２ ９ － y２ ７ ＝１． ４．A 【解析】由题意知,双曲线x ２ p ＋ y２ ４ ＝１ 的一个 焦点为(０,－３),可得双曲线的焦点在y 轴上,且 c＝３,且p ＜０,所以c２ ＝４＋(－p)＝３２,解得 p ＝ －５． ５．B 【解析】由题意得９＋b２ ＝２５,解得b＝ ±４,因 为b＞０,所以b＝４． ６．D 【解 析】由 题 意 知,a２ ＝ ２,a ＝ ２,所 以 PF１ － PF２ ＝ －２ ２． ７．C 【解析】由题意知,椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上,且 焦 点 相 同,所 以 c ＝ ４－a２ ＝ a２ ＋２,解得a＝ ±１． ８．B 【解析】椭圆x ２ １２＋ y２ ９ ＝１ 的焦点坐标是(± ３, ０)．设双曲线的标准方程为x ２ a２ － y２ b２ ＝ １(a ＞０, b＞０),因为双曲线过点P(２,１),所以 ４ a２ － １ b２ ＝ １,又a２＋b２ ＝３,解得a２ ＝２,b２ ＝１,所以所求双 曲线的标准方程是x ２ ２ －y ２ ＝１． 二、填空题 ９．±２ 【解析】由题意得:双曲线标准方程为x２ － y２ １ ２ ＝１,则a ＝１,由双曲线定义知,|PF１|－ |PF２| ＝２a＝２,则 PF１ － PF２ ＝ ±２． １０．２４ 【解析】由已知得椭圆与双曲线具有共同的 焦点 F１(０,５),F２(０,－５),由椭圆定义可知, PF１ ＋ PF２ ＝１４,故P 与双曲线两焦点的 距离之和为１４,又 F１F２ ＝１０,因此P 与双曲 线两 焦 点 连 线 构 成 三 角 形 的 周 长 为 １４＋ １０＝２４． ３０　 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (１)焦点坐标为(－３,０)和(３,０),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为１０; (２)焦点坐标为(０,－２)和(０,２),且经过点(３,２)． ３．１．２ 　 椭圆的几何性质 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解标准方程所表示的椭圆的范围、对称性、顶点、 离心率等几何性质． 重点:椭圆的性质． 难点:椭圆离心率概念． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 椭圆的几何性质如下表: 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a＞b＞０) y２ a２ ＋ x２ b２ ＝ １(a＞b＞０) 范围 －a≤x ≤a,－b≤y ≤b －b≤x ≤b,－a≤y ≤a 对称性 关于x,y 轴、原点对称 轴长 长轴长:２a;短轴长:２b 长轴长:２a;短轴长:２b 顶点 (±a,０),(０,±b) (０,±a),(±b,０) 离心率 e＝ c a ＝ １－ b２ a２ (０＜e＜１) e＝ c a ＝ １－ b２ a２ (０＜e＜１) 离心率越接近０,则椭圆越圆;离心率越接近１,则椭圆越扁 续 　 表 ３１　 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 通径 通径的定义:过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小:２b ２ a 　　 椭圆的几何性质 【例１】椭圆的方程为９x２＋２５y２＝２２５,则此椭圆的长半轴的长为 ,短轴长为 ,焦距为 ,顶点坐标为 ,焦点坐标为 ,离心率为 ． 请在下边的坐标系中画出该椭圆的大致图像． 【解题思路】 化椭圆方程为标准方程得x ２ ２５＋ y２ ９ ＝１ ,则a＝５,b＝３,c＝４,所以长半轴长为５,短轴长为 ６,焦距为８,顶点坐标为(±５,０)和(０,±３),焦点坐标为(±４,０),离心率为 ４ ５ ,图像如图所示． 变式训练１ 椭圆x ２ ５ ＋ y２ １６＝１ 的焦点坐标是 (　　) A．(±１１,０) B．(０,± １１) C．(０,±１１) D．(± １１,０) 【例２】 过点(２,１),焦点在x 轴上且与椭圆x ２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ 有相同的离心率的椭圆方程为 (　　) A．x ２ １６＋ y２ ４ ３ ＝１ B． x２ １２＋ y２ ９ ＝１ C． x２ １６＋ y２ １２＝１ D． x２ １６ ３ ＋ y２ ４ ＝１ 【解题思路】 因为所求椭圆与椭圆x ２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ 有相同的离心率,可设所求椭圆的方程为x ２ ４ ＋ y２ ３ ＝ λ(λ ＞０),又由椭圆过点(２,１),代入椭圆的方程,可得 ２２ ４＋ １２ ３＝λ ,解得λ＝ ４ ３ ,即所求椭圆的方程为x ２ ４＋ y２ ３＝ ４ ３ ,即x ２ １６ ３ ＋ y２ ４ ＝１． 故选D． 变式训练２ 过点(３,－２)且与椭圆４x２＋９y２＝３６有相同焦点的椭圆的标准方程是 (　　) A．x ２ １５＋ y２ １０＝１ B． x２ １５２ ＋ y２ １０２ ＝ １ C．x ２ １０＋ y２ １５＝１ D． x２ １０２ ＋ y２ １５２ ＝ １ ３２　 自 我 测 评 一、选择题 １．椭圆x２＋ y２ ６ ＝１ 的长轴端点坐标为 (　　) A．(－１,０),(１,０) B．(－６,０),(６,０) C．(０,－ ６),(０,６) D．(－ ６,０),(６,０) ２．已知椭圆x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a＞b＞０)的一个焦点是圆x２＋y２－６x＋８＝０的圆心,且短轴长为８,则椭 圆的左顶点为 (　　) A．(－３,０) B．(－４,０) C．(－１０,０) D．(－５,０) ３．以椭圆x ２ ２５＋ y２ １６＝１ 的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是 (　　) A．x ２ １６＋ y２ ９ ＝１ B． x２ ９ ＋ y２ １６＝１ C． x２ ２５＋ y２ １６＝１ D． x２ １６＋ y２ ２５＝１ ４．已知椭圆x ２ m ＋ y２ ４ ＝１ 的焦距是２,则该椭圆的离心率e的值是 (　　) A．５５ B． １ ２ 或 ５ ５ C． １ ２ 或 ３ ２ D． ５ ５ 或２５ ５ ５．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍,则该椭圆的离心率为 (　　) A．４５ B． ３ ５ C． ２ ５ D． １ ５ ６．已知F１,F２ 分别为椭圆C: x２ a２ ＋ y２ １２＝１ (a＞２３)的两个焦点,且C 的离心率为 １ ２ ,P 为椭圆C 上的 一点,则 △PF１F２ 的周长为 (　　) A．６ B．９ C．１２ D．１５ ７．焦点在y 轴上,长轴长为１０,离心率为 ３ ５ 的椭圆的标准方程为 (　　) A．x ２ １００＋ y２ ６４＝１ B． y２ １００＋ x２ ６４＝１ C．x ２ ２５＋ y２ １６＝１ D． x２ １６＋ y２ ２５＝１ ８．椭圆x２＋my２＝１的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的２倍,则m 的值为 (　　) A．１２ B． １ ４ C．２ D．４ 二、填空题 ９．中心在原点,焦点在x 轴上,过点(０,１０),且离心率为 ３３ 的椭圆的标准方程为 　　　　． １０．一椭圆的短半轴长是２２,离心率是１３ ,焦点为F１,F２,弦AB 过F１,则 △ABF２ 的周长为 ． １１．已知焦点在x 轴上的椭圆x ２ m ＋ y２ ３ ＝１ (m ＞０),其焦距为２２,则实数m＝ ． ３３　 １２．已知椭圆x ２ ３ ＋ y２ m ＝１ 的长轴长为４,则该椭圆的焦距为 ． １３．已知椭圆 x ２ m＋１＋ y２ m ＝１ 的离心率为１ ２ ,则该椭圆的短轴长为 ． １４．椭圆６x２＋y２＝６的长轴端点坐标为 ． 三、解答题 １５．求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标: (１)x ２ ８ ＋ y２ ４ ＝１ ; (２)x２＋ y２ ９ ＝１ ; (３)４x２＋９y２＝３６． １６．求下列椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标: (１)x２＋９y２＝９; (２)４x２＋２y２＝１６． ３４　 １７．求适合下列条件的椭圆的标准方程:经过点P(３,０),离心率为 ６３ ,焦点在x 轴上． １８．求适合下列条件的椭圆的标准方程: (１)长轴在x 轴上,长轴的长为１２,离心率为２３ ; (２)经过点P(－６,０)和Q(０,８)． 试题精讲 １．设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e＝ ３ ２ ,且过点P ０,３２ æ è ç ö ø ÷ ,求这个椭圆的方程． ２．求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率: (１)x２＋９y２＝３６; (２)９x２＋５y２＝４５．