3.1.1 椭圆的标准方程-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

１４４　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 二、填空题 ９．(３,１) 【解析】AB→＝(１,３),AC→＝(－２,２),AB→－ AC→ ＝ (３,１)． １０．１３２ 【解析】因为OA→ ＝ (－１,２),OB→ ＝ (８,m), 所以AB→ ＝OB→ －OA→ ＝ (９,m －２)．因为OA→ ⊥ AB→,所以(－１)×９＋２(m－２)＝０,即m ＝１３２． １１．６２ 【解析】因为a＝ (－４,５),b＝ (－２,４),所 以２a－b＝ (－６,６),所以 ２a－b ＝ ３６＋３６＝ ６ ２． １２．－２ 【解析】因为向量a＝ (１,２),b＝ (２,－２), 所以a􀅰b＝１×２＋２×(－２)＝ －２． １３．１５ 【解析】因为a⊥b,所以－２m＋３(m－５)＝ ０,得m ＝１５． １４．５ 【解析】由题意得１×２＋２×t＝０,解得t＝ －１,故 b ＝ ２２ ＋(－１)２ ＝ ５． 三、解答题 １５．解:由题意可知AB→ ＝ (５,－１),CB→ ＝ (－２, －３),所以AB→􀅰CB→ ＝５× (－２)＋ (－１)× (－３)＝ －７． １６．解:(１)因为a＝(５,６),b＝(－５,３),所以a􀅰b＝ ５×(－５)＋６×３＝ －７． (２)因为a＝(－３,－２),b＝(－１,２),所以a􀅰b＝ (－３)×(－１)＋(－２)×２＝ －１． １７．解:AB→ ＝ (x－２,x－２),因为 AB→ ＝３,所以 (x－２)２ ×２ ＝３,解得x ＝ ４±３ ２ ２ ． １８．解:由题意得a􀅰a＝ (１,２)􀅰(１,２)＝１２＋２２ ＝ ５．a􀅰b＝ (１,２)􀅰(３,－２)＝３－４＝ －１． a􀅰c＝ (１,２)􀅰(－２,１)＝ －２＋２＝０． 故a􀅰a＝５,a􀅰b＝ －１,a􀅰c＝０． 【能力提升】 １．解:(１)因为a＝(３,－１),b＝(１,－２),则a􀅰b＝ ３×１＋(－１)×(－２)＝５． (２)因为a＝ (３,－１),b＝ (１,－２),则a＋b＝ (４,－３),因此,(a＋b)２ ＝４２ ＋(－３)２ ＝２５． (３)由已知可得a－b＝ (２,１),则(a＋b)􀅰(a－ b)＝４×２＋(－３)×１＝５． ２．解:(１)因为a＝(１,１),b＝(０,－２),所以ka－b＝ (k,k)－(０,－２)＝ (k,k＋２),a＋b＝ (１,１)＋ (０,－２)＝ (１,－１)．因为ka－b与a＋b共线,所 以k＋２－(－k)＝０,解得k＝ －１． (２)因为ka－b＝ (k,k＋２),a＋b＝ (１,－１),所 以 ka－b ＝ k２ ＋(k＋２)２ ,a＋b ＝ ２, (ka－b)􀅰(a＋b)＝k－(k＋２)＝ －２,因为ka－ b与a ＋b 的 夹 角 为 １２０°,所 以 cos１２０° ＝ (ka－b)􀅰(a＋b) ka－b a＋b ＝ －２ ２􀅰 k２ ＋(k＋２)２ ＝ － １ ２． 化简得k２＋２k－２＝０,解得k＝ －１± ３． 第３章 　 圆锥曲线 ３．１　 椭圆 ３．１．１　 椭圆的标准方程 【变式训练】 C 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】椭圆３x２＋５y２ ＝１５的标准方程为 x２ ５＋ y２ ３ ＝１ ,所以a＝ ５,b＝ ３,则c＝ a２ －b２ ＝ ２,所以椭圆的焦点坐标为(± ２,０)． ２．B 【解析】由椭圆x ２ ２５＋ y２ ９ ＝１ ,可得a＝５,b＝３, 故 c ＝ a２ －b２ ＝ ４．则 △PF１F２ 的 周 长 ＝ PF１ ＋ PF２ ＋ F１F２ ＝２a＋２c＝２× ５＋２×４＝１８． ３．D 【解析】由题意得 c＝３, ２a＝８, a２ －b２ ＝c２, ì î í ïï ïï 故b２ ＝１６－ ９＝７,故b＝ ７,２b＝２ ７,故短轴长为２ ７． ４．D 【解析】因为a＞５,所以椭圆的焦点在x轴上． 又因为c＝４,所以a２－２５＝４２,所以a＝ ４１． 由椭圆 的 定 义 知 △ABF２ 的 周 长 ＝ BA ＋ F２A ＋ F２B ＝ BF１ ＋ BF２ ＋ AF１ ＋ 训练测评参考答案 １４５　 AF２ ＝４a＝４ ４１． ５．D 【解 析】 由 题 意 知, ５m－６＞０, m２ ＞５m－６,{ 解 得 m ＞ ６ ５ , m ＜２或m ＞３, { 故６５ ＜m ＜２或m ＞３．所以 实数m 的取值范围为 ６５ ,２( ) ∪ (３,＋∞)． ６．A 【解 析】因 为 F１(０,－２),F２(０,２),所 以 F１F２ ＝ ４,所 以 PF１ ＋ PF２ ＝ ５ ＞ F１F２ ,所以点P 的轨迹是以F１,F２ 为焦点的 椭圆．故选 A． ７．C 【解析】定点F１(０,－３),F２(０,３),F１F２ ＝ ６,常数a ∈ R,a２ －２a＋７＝ (a－１)２ ＋６≥ F１F２ ＝６,所 以 动 点 P 满 足 条 件 PF１ ＋ PF２ ＝ F１F２ 或 PF１ ＋ PF２ ＞ F１F２ , 因此,点P 的轨迹是线段或椭圆．故选C． ８．C 【解析】因为点P 为椭圆x ２ ４ ＋ y２ ２ ＝１ 上的一 点,所 以 PF１ ＋ PF２ ＝ ４,因 为 PF２ ＝ ３ PF１ ,所以 PF１ ＝１．故选C． 二、填空题 ９．２ 【解析】由椭圆的焦距是２可知,２c＝２,即c＝ １．依题意得m－１＝１或１－m＝１,解得m＝２或 m ＝０(舍去)． １０．(±２,０) 【解析】因为８－k－(４－k)＝４＞０,所 以椭圆焦点在x 轴上,a２ ＝８－k,b２ ＝４－k,则 c２ ＝a２ －b２ ＝４,焦点坐标为(－２,０)和(２,０)． １１．x ２ １６＋ y２ １２＝１ 【解析】设椭圆x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １长轴长 为８,即２a ＝８,故a ＝４．又因为与椭圆 x２ １３＋ y２ ９ ＝１ 有公共焦点,所以c＝ １３－９＝ ４,即 c＝２．所以b２ ＝a２－c２ ＝１２．所以椭圆的标准 方程为x ２ １６＋ y２ １２＝１． １２．１ 【解析】因为椭圆x ２ ９ ＋y ２ ＝１的a＝３,b＝１, 所以c＝２ ２．设 PF１ ＝t１,PF２ ＝t２,则 根据椭圆的定义得t１＋t２ ＝６,因为 ∠F１PF２ ＝ ９０°,根据勾股定理得t２１＋t２２ ＝３２,解得t１t２ ＝２． 所以 △F１PF２ 的面积为 １ ２ ×２＝１． １３．x ２ ８＋ y２ ５ ＝１ 【解析】椭圆a＝２２,b＝ ５,焦点 在x 轴上,所以椭圆的方程为x ２ ８ ＋ y２ ５ ＝１． １４．(６,７)∪ (７,８) 【解析】由 ８－k＞０, k－６＞０, ８－k≠k－６, ì î í ïï ï 可得 ６＜k＜８且k≠７,所以实数k的取值范围为(６, ７)∪ (７,８)． 三、解答题 １５．解:设椭圆的方程为x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a＞b＞０),因为 过点(３,２)和点(２３,１),故 ３ a２ ＋ ４ b２ ＝ １, １２ a２ ＋ １ b２ ＝ １, ì î í ï ï ï ï 解得 a２ ＝１５, b２ ＝５．{ 所以椭圆的方程为 x２ １５＋ y２ ５ ＝１． １６．解:因为 x ２ ２m－１＋ y２ ３－m ＝ １表示椭圆,所以 ２m－１＞０, ３－m ＞０, ２m－１≠３－m, ì î í ïï ï 解得１ ２ ＜m＜ ４ ３ 或４ ３ ＜m＜３． 【能力提升】 解:(１)由于椭圆的焦点在x轴上,故可设它的标准方 程为x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a＞b＞０),由椭圆的定义知２a＝ １０,所以a＝５,又因为c＝３,所以b２ ＝a２－c２ ＝２５－ ９＝１６,因此,所求椭圆的标准方程为 x２ ２５＋ y２ １６＝１． (２)由于椭圆的焦点在y轴上,故可设它的标准方程为 y２ a２ ＋ x２ b２ ＝ １(a＞b＞０),已知焦点坐标及椭圆上一点(３, ２),由椭圆的定义可知２a＝ (３－０)２＋[２－(－２)]２ ＋ (３－０)２ ＋(２－２)２ ＝５＋３＝８,因此a＝４．又 因为c＝２,所以b２ ＝a２ －c２ ＝１６－４＝１２．因此,所 求椭圆的标准方程为y ２ １６＋ x２ １２＝１． ２７　 ３．１　 椭 　 圆 ３．１．１ 　 椭圆的标准方程 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解椭圆的定义,理解焦点在x 轴上与焦点在y 轴 上的两种椭圆的标准方程;通过椭圆的标准方程的推 导,理解“解析法”的应用,从而让学生的数学思维能 力得到提高． 重点:椭圆两种形式的标准方程． 难点:标准方程的推导． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．椭圆定义:平面内与两个定点F１,F２ 的距离之和为常数(大于 F１F２ )的点的轨迹称为椭圆．这两个 定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距,焦距的一半叫作半焦距． ２．椭圆两种标准方程形式如下表: 类型 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a＞b＞０) y２ a２ ＋ x２ b２ ＝ １(a＞b＞０) 焦点坐标 F１(－c,０),F２(c,０) F１(０,－c),F２(０,c) a,b,c的关系 a２ ＝b２ ＋c２ ２８　 椭圆的标准方程 【例】 已知在 △ABC 中,BC ＝８,△ABC 的周长为１８,求顶点A 的轨迹方程． 【解题思路】 以BC 边所在直线为x 轴,线段BC 的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示, 则B(－４,０),C(４,０)． 设顶点A 的坐标为(x,y)． 例题图 因为 △ABC 的周长为１８,BC ＝８,所以 AB ＋ AC ＝１８－８＝１０, 即点A 到两定点B,C 的距离之和为定值１０． 由椭圆的定义可知,点A 的轨迹是以B,C 为焦点,长轴长为１０的椭圆 (不含长轴端点),则２a＝１０,即a＝５． 又因为c＝４,所以 b２＝a２－c２＝２５－１６＝９． 因此,A 点的轨迹方程为 x２ ２５＋ y２ ９ ＝１　 (x ≠±５)． 变式训练 动点P 到定点F１(－４,０)和F２(４,０)的距离之和为１０,则动点P 的轨迹方程为 (　　) A．x ２ １６＋ y２ ２５＝１ B． x２ ２５＋ y２ １６＝１ C． x２ ２５＋ y２ ９ ＝１ D． x２ ９ ＋ y２ ２５＝１ 自 我 测 评 一、选择题 １．椭圆３x２＋５y２＝１５的焦点坐标为 (　　) A．(±４,０) B．(０,±４) C．(± ２,０) D．(０,± ２) ２．设F１,F２ 为椭圆 x２ ２５＋ y２ ９ ＝１ 的焦点,P 为椭圆上一点,则 △PF１F２ 的周长为 (　　) A．１６ B．１８ C．２０ D．２２ ３．已知椭圆上一点到两个焦点(－３,０),(３,０)的距离之和为８,则椭圆的短轴长为 (　　) A．７ B．１４ C．７ D．２７ ４．已知椭圆的方程为x ２ a２ ＋ y２ ２５＝１ (a＞５),它的两个焦点分别为F１,F２,且 F１F２ ＝８,弦AB 过F１,则 △ABF２ 的周长为 (　　) A．１０ B．２０ C．２ ４１ D．４ ４１ ５．已知椭圆 x ２ ５m－６＋ y２ m２ ＝ １的焦点在y 轴上,则m 的取值范围为 (　　) A．(－∞,２)∪ (３,＋∞) B．(２,３) ２９　 C．(３,＋∞) D． ６ ５ ,２æ è ç ö ø ÷ ∪ (３,＋∞) ６．设定点F１(０,－２),F２(０,２),动点P 满足条件 PF１ ＋ PF２ ＝５,则点P 的轨迹是 (　　) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 ７．设定点F１(０,－３),F２(０,３),动点P 满足条件 PF１ ＋ PF２ ＝a２－２a＋７(a∈R),则动点P 的 轨迹是 (　　) A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．双曲线 ８．已知点P 为椭圆x ２ ４＋ y２ ２＝１ 上的一点,F１,F２ 为该椭圆的两个焦点,若 PF２ ＝３ PF１ ,则 PF１ ＝ (　　) A．１２ B． ２ ２ C．１ D．３ 二、填空题 ９．若椭圆x ２ m ＋y ２＝１的焦距是２,则m＝ ． １０．椭圆 x ２ ８－k＋ y２ ４－k＝ １的焦点坐标为 ． １１．长轴为８且与椭圆x ２ １３＋ y２ ９ ＝１ 有公共焦点的椭圆为 ． １２．已知点P 是椭圆x ２ ９ ＋y ２＝１上一点,F１,F２ 为椭圆的焦点,且 ∠F１PF２＝９０°,则 △F１PF２ 的面积 是 ． １３．椭圆的对称中心是原点,对称轴是坐标轴,且过点 P(－２ ２,０),Q(０,５),则椭圆的方程是 ． １４．若方程 x ２ ８－k＋ y２ k－６＝ １表示椭圆,则实数k的取值范围为 ． 三、解答题 １５．已知椭圆的焦点在x 轴上,经过点(３,２)和点(２３,１),求椭圆的标准方程． １６．若 x ２ ２m－１＋ y２ ３－m ＝ １为椭圆,求m 的取值范围． ３０　 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (１)焦点坐标为(－３,０)和(３,０),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为１０; (２)焦点坐标为(０,－２)和(０,２),且经过点(３,２)． ３．１．２ 　 椭圆的几何性质 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解标准方程所表示的椭圆的范围、对称性、顶点、 离心率等几何性质． 重点:椭圆的性质． 难点:椭圆离心率概念． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 椭圆的几何性质如下表: 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝ １(a＞b＞０) y２ a２ ＋ x２ b２ ＝ １(a＞b＞０) 范围 －a≤x ≤a,－b≤y ≤b －b≤x ≤b,－a≤y ≤a 对称性 关于x,y 轴、原点对称 轴长 长轴长:２a;短轴长:２b 长轴长:２a;短轴长:２b 顶点 (±a,０),(０,±b) (０,±a),(±b,０) 离心率 e＝ c a ＝ １－ b２ a２ (０＜e＜１) e＝ c a ＝ １－ b２ a２ (０＜e＜１) 离心率越接近０,则椭圆越圆;离心率越接近１,则椭圆越扁