2.4.3 向量内积的坐标表示-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

２４　 ２．４．３ 　 向量内积的坐标表示 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解平面向量内积的坐标表示;了解平面向量垂直 的充要条件及向量的模、夹角的计算公式;正确进行 平面向量的内积运算,会计算向量的模及夹角的余弦 值;根据条件判断两个向量是否垂直． 重点:平面向量数量积的计算公式． 难点:利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和,即a􀅰b＝x１x２＋y１y２．根据内积的定义,还可得到以下 结论: (１)a ⊥b⇔a􀅰b＝０⇔x１x２＋y１y２＝０; (２)a ＝ a􀅰a ＝ x２１ ＋y２１ ; (３)cos‹a,b›＝ a􀅰b a b ＝ x１x２＋y１y２ x２１ ＋y２１ x２２ ＋y２２ ． 利用向量的模、夹角的计算公式来求平面向量数量积 【例】 已知向量a,b的夹角为６０°,且a＝(１,３),b ＝２,则a􀅰b＝ (　　) A．０ B．１０ C．１０ D．－ １０ 【解题思路】 由a＝(１,３)可得 a ＝ １０,故a􀅰b＝ a b cos６０°＝ １０×２× １ ２＝ １０ ,故选C． 变式训练 已知向量a＝(２,１),b＝(－２,４),则 a－b ＝ (　　) A．２ B．３ C．４ D．５ 自 我 测 评 一、选择题 １．若向量OM→＝(１,１),ON→＝(－３,－２)分别表示两个力F１,F２,则 F１＋F２ ＝ (　　) A．１０ B．２５ C．５ D．１５ ２．已知向量a＝(m,１),b＝(２,－３),若a ⊥b,则实数m＝ (　　) A．－ ２ ３ B． ２ ３ C． ３ ２ D．－ ３ ２ ３．已知向量a＝(１,m),b＝(－１,２),若a ⊥b,则实数m＝ (　　) A．１２ B．－ １ ２ C．－２ D．２ ２５　 ４．已知向量a＝(１,３),b＝(１,０),则a 与b的夹角为 (　　) A．３０° B．６０° C．１２０° D．１５０° ５．已知向量a＝(３,k),b＝(２,－１),a ⊥b,则实数k的值为 (　　) A．－ ３ ２ B． ３ ２ C．６ D．２ ６．已知向量a＝(２,０),b＝ － １ ２ ,１æ è ç ö ø ÷ ,则 a＋２b ＝ (　　) A．５ B．３ C．２３ D．５ ７．设向量a＝(１,－２),b＝(－３,４),c＝(３,２),则(a＋２b)􀅰c＝ (　　) A．(－１５,１２) B．０ C．－３ D．－１１ ８．设向量a＝(２,０),b＝(１,１),则下列结论中正确的是 (　　) A．a ＝ b B．a􀅰b＝０ C．a ∥b D．(a－b)⊥b 二、填空题 ９．已知平面直角坐标系内的点A(１,１),B(２,４),C(－１,３),则AB→－AC→＝　　　　． １０．已知向量OA→＝(－１,２),OB→＝(８,m),若OA→ ⊥AB→,则m＝　　　　　． １１．已知向量a＝(－４,５),b＝(－２,４),则 ２a－b ＝　　　　． １２．已知向量a＝(１,２),b＝(２,－２),则a􀅰b＝　　　　． １３．已知向量a＝(２m,３),b＝(－１,m－５),且a ⊥b,则实数m＝　　　　． １４．已知向量a＝(１,２),b＝(２,t),且a􀅰b＝０,则 b ＝　　　　． 三、解答题 １５．在平面直角坐标系中,已知点A(－２,２),B(３,１),C(５,４),求AB→􀅰CB→ 的值． １６．已知向量a,b的坐标,求a􀅰b． (１)a＝(５,６),b＝(－５,３); (２)a＝(－３,－２),b＝(－１,２)． １７．已知 AB→ ＝３,A(２,３),B(x,x＋１),求x 的值． ２６　 １８．已知a＝(１,２),b＝(３,－２),c＝(－２,１),求a􀅰a,a􀅰b,a􀅰c． １．已知向量a＝(３,－１),b＝(１,－２),求: (１)a􀅰b; (２)(a＋b)２; (３)(a＋b)􀅰(a－b)． ２．已知a＝(１,１),b＝(０,－２),求当k为何值时: (１)ka－b与a＋b共线; (２)ka－b与a＋b的夹角为１２０°． 试题精讲 二、填空题 【能力提升】 9.-2【解析】因为a=(1,0).b=(1,1).c=(-1, 1L.解：因为a=(-3,4),b=(5.2),所以a+b= 1),满足c=Aa+b,所以(-1,1)=A(1,0)+(1 (-3+5,4+2)=(2,6):a-b=(-3-5,4-2) 1)=(a十1,1)，所以入十1=1，得1=-2. (-8,2):2a-3h=(-3×2-3×5,2×4-3×2)= 10.(-7,-4)【解析】设C(x·y),因为A(0,1). (-21,2) AC=(-4.-3).所以AC=(xy-1)=(-4, 2.解：由题意知，(2，-7)+(xy)=(3,5), -3),即=-4， 解得尺=一4， x+2=3 所以C(-4, 所以 y-7=5 解得1, y-1=-3, y=-2, y=12. -2),又B(3,2),故BC=(-7,-4). 2.4.3 向量内积的坐标表示 11,(5,4)【解析】设O为坐标原点，因为OA 【变式训练】 (-1,-5),Ai=3a=(6.9).故O店=0i+Ai= D【解析】因为a-b=(2,1)-(-2,4=(4,-3), (5,4),故点B的坐标为(5,4)， 所以|a-b|=√4+(-3)严=5. 12.(0,20)【解析】由题意得C入=(-2+3,4+ 自我测评 4)=(1,8),所以CM=3CA=(3,24).设M(x y),则CM=(x+3y+4)=(3,24),所以 【基础巩固】 一、选择题 x+3=3, y+4=24, 解得下=0， y=20, 故点M的坐标为 1.C【解析】由题意知，向量OM=(1,1).ON (-3,一2)分别表示两个力F,F1,可得F:+F2 (0,20) 13.(-2,-2)【解析】因为A店=(2,4).AC=(0, 0M+0N=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所 2),所以BC=AC-AB=(-2,-2) 以|F,+F:|=√(-2)+(-1)下=5 三、解答题 2.C【解析】因为a=(m,1),b=(2.-3)且a⊥ 14.解：b=(-3,4),c=(-1,1),a=3b-2c= b,则a·b=2m-3=0,解得m=号.故选C 3 3(-3,4)-2(-1.1)=(-7,10),又B(1,0).设 3.A【解析】由于a⊥b.所以a·b=-1+2m= A点坐标为(xy),则AB=(1-x,0一y)= 1-x=-7 解得 =8, 0,m=2.故选A (一7,10)，所以 -y=10, y=-10. 所以A点坐标为(8，一10). 4.B【解析】cos(ab>=Tab a·b 15.解：因为a=(2,1),b=(一3,4)，所以a十b 1X1+3×0 1 (2.1)+(-3.4)=(-1.5),a-b=(2.1) √1+(3)2×√ 因为0°≤(a,b)≤ (-3,4)=(5,-3),3a+4b=3(2,1)+4(-3, 180°，所以(a,b)=60°，故选B. 4)=(6,3)+(-12.16)=(-6,19). 5.C【解析】因为a⊥b.所以a·b=0.即6一k= 16.解：因为AB-(2,3).BC=(mn).C元-(-1 0,解得k=6. 4),D月=(-5，-3)，所以AC=AB+BC=(2, 6.A【解析】a+2b=(1,2),所以|a+2b= 3)+(m,n)=(m+2,n+3).C=CD+DA √1+2=5. (-1,4)+(-5,-3)=(-6,1)=-AC,所以 7.C【解析】(a十2b)·c=(-5,6)·(3,2)=一15十 m+2=6,n+3=一1，故m=4n=-4. 12=-3. 17.解：因为AB=(1,2),BC=(3,5),C方=(-2， 8.D【解析】a-b=(1,-1),所以(a-b)·b= -2),所以AD=AB+BC+CD=(1.2)+(3: 1-1=0,所以(a-b)⊥b. 5)+(-2,-2)=(2,5). 训练测评参考答案 143 二、填空题 2.解：(1)因为a=(1.1),b=(0,-2),所以ka-b= 9.(3,1)【解析】AB=(1,3),AC=(-2,2),Ai (k,k)-(0,-2)=(k,k+2),a+b=(1,1)+ AC=(3,1). (0,-2)=(1,-1).因为ka-b与a+b共线，所 10.号【锅折】因为0i-(一1,2).0成=8，m 以k十2一(-)=0，解得k=一1. (2)因为ka-b=(k,k+2)a+b=(1,一1)，所 所以A序=O丽-Oi=(9,m-2).因为Oi上 以|ka-b|=+(k+2)F,|a+b|=2, AB,所以(-1)×9+2m-2)=0.即m=1 (ka-b)·(a+b)=k-(k+2)=-2,因为ka- 11.62【解析】因为a=(-4,5),b=(-2,4),所 b与a+b的夹角为120°，所以cos120°= (ka-b)·(a十b) -2 以2a-b=(-6,6),所以|2a-b|=√/36+36= ka-b a+b 2,√R+(k+2F 6w2. 12.-2【解析】因为向量a=(1,2).b=(2,一2)， 2·化简得k2+2一2三0，解得为=一1士正 所以a·b=1×2+2×(-2)=-2. 第3章 圆锥曲线 13.15【解析】因为a⊥b,所以一2m+3(m-5) 3.1 椭圆 0,得m=15. 14.√5【解析】由题意得1×2十2×t=0,解得1= 3.1.1 椭圆的标准方程 -1,故|b|=√2+(-1)下=5. 【变式训练】 三、解答题 C 15.解：由题意可知AB=(5,-1),CB=(-2, 自我测评 -3),所以AB·C克=5×(-2)+(-1)× 【基础巩固】 (-3)=-7. 一、选择题 16.解：(1)因为a=(5,6),b=(-5.3),所以a·b= 5×(-5)+6×3=-7. 1.C【解折】椭圆3x+5-15的标准方程为写十 (2)因为a=(-3,-2),b=(-1,2),所以a·b= =1,所以a=5,b=5,则c=√a-b= (-3)×(-1)+(-2)×2=-1. 17.解：AB=(x-2,x-2).因为|AB=3,所以 2,所以椭圆的焦点坐标为（士√2,0）. V-2×2=3,解得x=4±3区 2.B【得折】由椭圆号+号-1，可得a=56=3 2 18.解：由题意得a·a=(1,2)·(1,2)=1+22= 故c=√a-b=4.则△PF,F:的周 5.a·b=(1,2)·(3,-2)=3-4=-1. 长=|PF:|+|PFz|+|FF,|=2a+2c=2X a·c=(1,2)·(-2,1）=-2+2=0. 5+2×4=18. 故a·a=5,a·b=-1,a·c=0. c=3, 【能力提升】 3.D【解析】由题意得{2a=8, 故b2=16 1.解：(1)因为a=(3,一1)，b=(1,-2),则a·b= a3-62=c2, 3×1+(-1)×(-2)=5. 9=7,故b=7,2b=27,故短轴长为27. (2)因为a=(3,-1),b=(1,-2),则a+b= 4.D【解析】因为a>5,所以椭圆的焦点在x轴上. (4,-3),因此，(a+b)2=4+(-3)2=25. 又因为e=4,所以a”-25=42,所以4=√41. (3)由已知可得a-b=(2,1),则(a+b)·(a- 由椭圆的定义知△ABF:的周长=|BA|十 b)=4×2+(-3)×1=5. IF:A+F:B=IBF+BF:+AF,+ 144 关测数学同步辅导与测评·拓展模块一·上册