2.4.1 向量的坐标表示-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

训练测评参考答案 １４１　 (２a＋b)＝ ４a２ －４a􀅰b－３b２ ＝ ４ a ２ － ４ a b cosθ－３b ２ ＝ －３２－３２cosθ ＝ －４８,解得cosθ＝ １ ２． 因为０°≤θ≤１８０°,所以 θ＝６０°． １１．共线 【解析】设向量a 与b 的夹角为θ,因为 a􀅰b ＝ a b cosθ ,a􀅰b ＝ a b , 所以 cosθ ＝１,此时θ＝０或π,所以向量a与 b的位置关系是共线． １２．矩 【解析】因为AB→ ＝DC→,所以AB ∥ DC,且 AB ＝DC,此时,四边形ABCD 是平行四边形, 又因为AB→􀅰AD→ ＝０,所以AB ⊥AD,所以四边 形ABCD 是矩形． １３．３２ 【解析】两个单位向量a 与b 的夹角为 π３ , a２ ＋a􀅰b＝ a ２＋ a 􀅰 b cosθ＝１２＋１× １×cos π ３ ＝１＋ １ ２ ＝ ３ ２． １４．－９ 【解析】由已知得p􀅰q＝ p q cos１８０°＝ ３×３×(－１)＝ －９． 三、解答题 １５．解:(１)当向量a与b平行时,向量a与b的夹角 为０°或１８０°,由向量数量积的定义得a􀅰b ＝ a b cos０°＝３×４×１＝１２或a􀅰b ＝ a b cos１８０°＝３×４×(－１)＝ －１２．所以 a􀅰b＝ ±１２． (２)当向量a与b的夹角为６０°时,由向量数量积 的定义得a􀅰b＝ a b cos６０°＝３×４× １ ２ ＝ ６,所以a􀅰b＝６． (３)当向量a与b垂直时,向量a与b的夹角为９０°, 由向量数量积的定义得a􀅰b＝ a b cos９０°＝ ３×４×０＝０．所以a􀅰b＝０． １６．解:cos‹a,b›＝ a􀅰b a b ＝ １２ ４×３ ２ ＝ ２ ２ ,因 为向量夹角取值范围为 ０,π[ ] ,所以‹a,b›＝ π ４． １７．解:(１)当a∥b 时,若a与b同向,则θ＝０°,a􀅰 b＝ a b cos０°＝４×５＝２０． 若a与b反向,则θ＝１８０°,a􀅰b＝ a b cos１８０°＝ ４×５×(－１)＝ －２０． (２)a⊥b时,θ＝９０°,a􀅰b＝ a b cos９０°＝０． (３)当 a 与 b 的 夹 角 为 ３０° 时,a 􀅰b ＝ a b cos３０°＝４×５× ３ ２ ＝１０ ３． 【能力提升】 证明:因为a－b与a＋２b互相垂直,所以(a－b)􀅰 (a＋２b)＝０,即a２ ＋a􀅰b－２b２ ＝０．又因为a２ ＝ a ２ ＝２,b２ ＝ b ２ ＝１,所以a􀅰b＝２b２ －a２ ＝ ２×１－２＝０．即a􀅰b＝０,又因为a,b是非零向量, 所以a⊥b． ２．４　 向量的坐标表示 ２．４．１　 向量的坐标表示 【变式训练】 B 【解析】设点B的坐标为(x,y),则AB→ ＝ (x,y)－ (－２,５)＝ (１,３),所以(x,y)＝ (１,３)＋(－２,５)＝ (－１,８),即点B 的坐标为(－１,８)．故选B． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】利用向量的坐标表示求解．因为A(１, ２),B(４,－２),所以AB→ ＝ (３,－４)． ２．D ３．B 【解析】由中点坐标公式可得 M(２,２),所以 OM→ ＝ (２,２),故选B． ４．B 【解析】设点P 的坐标为(x,y),则PQ→ ＝ (７－ x,８－y)＝(８,５),故 ７－x ＝８, ８－y ＝５,{ 解得x＝ －１, y ＝３,故点P 的坐标为(－１,３)．故选B． ５．C 【解析】先根据向量的坐标表示求出AB→,再根 据正交分解即可得解．因为 A(２,３),B(４,２),所 以AB→ ＝ (２,－１),所以AB→ ＝２i－j．故选C． ６．D 【解析】根据平面向量的坐标运算计算即可． AB→ ＝ (１,４),所以BC→ ＝AC→－AB→ ＝ (－１,－６)． 故选 D． ７．B 【解析】设点B 的坐标为(x,y),则可得AB→ 的 坐标,根据题意,列出等式,即可得答案．设点B 的 坐标为(x,y),所以AB→ ＝ (x＋１,y－２)＝ (３, １４２　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 －６),解得 x ＝２, y ＝ －４,{ 所以点B的坐标为(２,－４)． 故选B． ８．D 【解析】设D(x,y),由AB→＝DC→求解即可．设 D(x,y),由平行四边形ABCD 可得AB→＝DC→,即 (３,２)＝ (３－x,２－y),解得x ＝０,y ＝０,故 D(０,０)．故选 D． 二、填空题 ９．(－３,４) 【解析】点 A(２,－１),B(－１,３),则 AB→ ＝(－１,３)－(２,－１)＝ (－３,４),所以AB→ 的 坐标是(－３,４)． １０．(１,－１)(１,１)(－１,１) 【解析】因 为OA→ ＝ (－１,－１),所以A(－１,－１),B(１,－１),C(１, １),D(－１,１),所以OB→＝(１,－１),OC→＝(１,１), OD→ ＝ (－１,１)． １１．(５,－１) 【解析】根据向量坐标和点坐标的关系 AB→ ＝ (３＋２,２－３)＝ (５,－１)． １２．(２,－３) 【解析】在平面直角坐标系内,已知i,j 是两个互相垂直的单位向量,若a＝２i－３j,则 向量用坐标表示a＝ (２,－３)． 三、解答题 １３．解:(１)AC→ ＝ (－１－２,３－１)＝ (－３,２),BC→ ＝ (－１＋３,３－２)＝ (２,１)． (２)设D(x,y),所以AD→＝ (x－２,y－１),因为 四边形ABCD 是平行四边形,所以BC→＝AD→,所 以 x－２＝２, y－１＝１,{ 解得 x ＝４, y ＝２,{ 所以D(４,２)． １４．解:依题意e１,e２ 分别为x 轴,y 轴的单位向量, 且a＝ －２e１＋e２,b＝３e１－ ２e２,c＝ － ３e１, 所以a＝(－２,１),b＝(３,－ ２),c＝(－ ３,０)． １５．解:设坐标原点为O,由平行四边形可得:DC→ ＝ AB→,OD→ ＝OC→－AB→ ＝ (５,６)－(４,１)＝ (１,５)． 所以D 的坐标为(１,５)﹒ １６．解:设A(x,y),因为B(３,４),AB→＝ (５,５),所以 AB→ ＝ (３ － x,４ － y) ＝ (５,５), 所 以 ３－x ＝５, ４－y ＝５,{ 解得 x ＝ －２, y ＝ －１,{ 所以点A 的坐标为 (－２,－１)． 【能力提升】 解:(１)由题设,AB→＝(－５,１),若D(x,y),则CD→＝ (x＋１,y－４),所以(－５,１)＝ (x＋１,y－４),即 x＋１＝ －５, y－４＝１,{ 可得 x ＝ －６, y ＝５,{ 故D(－６,５)． (２)若P(a,b),则OP→ ＝ (a,b),又OP→ ＝AB→,所以 (－５,１)＝ (a,b),即 a＝ －５, b＝１,{ 故P(－５,１)． ２．４．２　 向量线性运算的坐标表示 【变式训练】 A 【解析】设 O 为坐标原点,OP→ ＝OA→ ＋AP→ ＝ OA→－２PB→＝OA→－２(OB→－OP→),整理得OP→＝２OB→－ OA→ ＝ (２,８)－(２,３)＝ (０,５)．故选 A． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．D 【解析】已知平面向量a ＝ (１,１),b ＝ (１, －１),则向量 １ ２a－ ３ ２b＝ １ ２ (１,１)－ ３ ２ (１,－１)＝ (－１,２)． ２．A 【解析】CA→＝ －(AB→＋BC→)＝ －[(－１,－２)＋ (－３,－４)]＝ －(－４,－６)＝ (４,６)． ３．A 【解析】因为a＝(２,３),b＝(－１,２),所以a＋ b＝ (１,５)． ４．D 【解析】因为OA→＝(－１,２),OB→＝(１,－１),所 以AB→ ＝ OB→ －OA→ ＝ (１,－１)－ (－１,２)＝ (２,－３)． ５．A 【解析】因为a∥b,所以 x ２ ＝ －２ １ ,x ＝ －４, b＝(－４,－２),a＋b＝ (－２,－１)． ６．D 【解析】因为a＝ (－１,２),b＝ (１,－１),所以 b－a＝ (１,－１)－(－１,２)＝ (２,－３)． ７．D 【解析】因为a－ １ ２b＝ (１,２),所以２a－b＝ (２,４),又a＋b＝(４,－１０),所以２a－b＋a＋b＝ ３a＝ (４,－１０)＋(２,４)＝ (６,－６),则a＝ (２, －２)． ８．D 【解析】因为a＝(－１,２),b＝(１,０),所以３b－ a＝３×(１,０)－(－１,２)＝ (４,－２)． １９　 ２．４　 向量的坐标表示 ２．４．１ 　 向量的坐标表示 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解向量坐标的概念及会用直角坐标表示向量． 重点:用直角坐标表示向量． 难点:向量的坐标的概念． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．对于平面直角坐标系中的任一向量a,都存在着一对有序实数(x,y),使得a＝xi＋yj．我们把有序 实数对称为向量a 的坐标．方便起见,常把向量a 用它的坐标(x,y)表示,即a＝(x,y)． ２．以点A 为起点的向量AB→,记点A 与点B 的坐标分别为(x１,y１)和(x２,y２),则有AB→＝OB→－OA→＝ (x２i＋y２j)－(x１i,y１j)＝(x２－x１)i＋(y２－y１)j． 平面向量内积的坐标表示 【例】 已知a＝(x,２),A(１,－１),B(－２,y),且a＝AB→,求x,y 的值． 【分析】 根据向量的坐标表示列出关于x,y 的方程组解出即可． 【解题思路】 因为a＝AB→＝(－２－１,y＋１)＝(－３,y＋１)＝(x,２),所以 x＝－３, y＋１＝２,{ 即 x＝－３, y＝１．{ 变式训练 已知AB→＝(１,３),且点A(－２,５),则点B 的坐标为 (　　) A．(１,８) B．(－１,８) C．(３,－２) D．(－３,２) 自 我 测 评 一、选择题 １．已知A(１,２),B(４,－２),则AB→＝ (　　) A．(５,０) B．(５,－４) C．(３,－４) D．(－３,４) ２．已知AB→＝(－２,４),则下列说法中正确的是 (　　) A．A 点的坐标是(－２,４) B．B 点的坐标是(－２,４) C．当B 点是原点时,A 点的坐标是(－２,４) D．当A 点是原点时,B 点的坐标是(－２,４) ２０　 ３．已知O 为坐标原点,点A(１,０),B(３,４),M 是线段AB 的中点,那么向量OM→ 的坐标是 (　　) A． ５２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷ B．(２,２) C． ３２ ,５ ２ æ è ç ö ø ÷ D． １２ ,７ ２ æ è ç ö ø ÷ ４．已知PQ→＝(８,５),点Q(７,８),则点P 的坐标为 (　　) A．(１,３) B．(－１,３) C．(－１,－３) D．(１５,２３) ５．若用i,j分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量,且A(２,３),B(４,２),则AB→ 可以表示为 (　　) A．２i＋３j B．４i＋２j C．２i－j D．－２i＋j ６．已知点A(１,３),B(２,７),向量AC→＝(０,－２),则BC→＝ (　　) A．(１,４) B．(－１,－４) C．(１,６) D．(－１,－６) ７．设平面向量AB→＝(３,－６),点A(－１,２),则点B 的坐标为 (　　) A．(－２,４) B．(２,－４) C．(－４,８) D．(４,－８) ８．平行四边形ABCD 三个顶点坐标分别为A(－２,１),B(１,３),C(３,２),则顶点D 的坐标为 (　　) A．(－２,３) B．(１,１) C．(０,－１) D．(０,０) 第１０题图 二、填空题 ９．已知点A(２,－１),B(－１,３),则AB→ 的坐标是 　　　　． １０．如图,在正方形ABCD 中,O 为中心,且OA→＝(－１,－１),则OB→＝　　　　;OC→＝ 　　　　;OD→＝　　　　　　． １１．在平面直角坐标系中,若A(－２,３),B(３,２),则AB→＝　　　　． １２．在平面直角坐标系内,已知i,j是两个互相垂直的单位向量,若a＝２i－３j,则向 量用坐标表示a＝　　　　 ． 三、解答题 １３．如图,平面上A,B,C 三点的坐标分别为(２,１)、(－３,２)、(－１,３)． 第１３题图 (１)写出向量AC→,BC→ 的坐标; (２)如果四边形ABCD 是平行四边形,求D 的坐标． １４．已知e１,e２ 分别为x 轴、y轴正方向上的单位向量,且a＝－２e１＋e２,b＝３e１－ ２e２,c＝－ ３e１,求 a,b,c的坐标． ２１　 １５．已知 ▱ABCD 的顶点A(－１,－２),B(３,－１),C(５,６),求顶点D 的坐标． １６．已知点B(３,４),AB→＝(５,５),求点A 的坐标． 设A,B,C,D 为平面内的四点,已知A(３,１),B(－２,２),且AB→＝CD→． (１)若C 点坐标为(－１,４),求D 点坐标; (２)原点为O,OP→＝AB→,求P 点坐标． 试题精讲 ２．４．２ 　 向量线性运算的坐标表示 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解向量坐标的概念及平面向量运算的坐标表示; 了解两个向量共线充要条件的坐标形式;正确进行平 面向量的坐标形式的线性运算;根据向量的坐标判断 两个向量是否共线． 重点:向量线性运算的坐标表示及运算法则． 难点:向量的坐标的概念． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差):a＋b＝(x１ ＋x２,y１ ＋y２),a－b＝ (x１－x２,y１－y２)． ２．实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积:λa＝(λx,λy)．