2.3 向量的内积-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

１６　 １５．如图:已知 AD→＝３AB→,DE→＝３BC→,试判断AC→ 与AE→ 是否共线． 第１５题图 设e１,e２ 是两个不共线向量,若向量ke１＋２e２ 与８e１＋ke２ 方向相反,求实数k的值． 试题精讲 ２．３　 向量的内积 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解平面向量内积的概念、运算和性质,会计算两 个向量的内积;了解平面向量内积的几何应用,会利 用向量内积解决简单几何问题． 重点:平面向量内积的概念及计算公式． 难点:内积的概念及利用内积来计算两个非零向量的 夹角． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．平面向量的数量积． 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量 a b cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作 a􀅰b＝ a b cosθ． 规定:零向量与任一向量的数量积为 　　　　． 两个非零向量a 与b垂直的充要条件是a􀅰b＝０,两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a􀅰b＝ ± a b ． ２．平面向量数量积的几何意义． 数量积a􀅰b等于a 的长度 a 与b在a 的方向上的投影 b cosθ 的乘积． ３．平面向量数量积的重要性质． (１)非零向量a,b,a ⊥b⇔a􀅰b＝０． (２)当a与b同向时,a􀅰b＝ a b ;当a与b反向时,a􀅰b＝－ a b ,a􀅰a＝a２,a ＝ a􀅰a． (３)cosθ＝ a􀅰b a b ． １７　 求向量的夹角 【例】 已知向量a,b满足 a ＝２,b ＝１,a􀅰(a－２b)＝２,则a 与b的夹角为 (　　) A．３０° B．６０° C．１２０° D．１５０° 【分析】 由题意知,先求出a􀅰b,然后根据向量的夹角公式即可求解． 【解题思路】 因为a􀅰(a－２b)＝a２－２a􀅰b＝ a ２－２a􀅰b＝４－２a􀅰b＝２,所以a􀅰b＝１,设a与 b的夹角为θ,则cosθ＝ a􀅰b a b ＝ １ ２ ,因为θ ∈ ０°,１８０°[ ] ,所以θ＝６０°,故选B． 变式训练 已知向量a 与b的夹角为π３ ,且 a ＝ １ ２ ,b ＝４,则a􀅰b的值是 (　　) A．１ B．±１ C．２ D．±２ 自 我 测 评 一、选择题 １．已知向量a 与b的夹角θ 满足cosθ＝ １ ４ ,且 a ＝４,b ＝２,则a􀅰b＝ (　　) A．２ B．３２ C．１ D． １ ２ ２．下列式子中正确的是 (　　) A．AB→＋BC→＋CD→＝AD→ B．AB→＋BA→＝０ C．０􀅰AB→＝０ D．OA→－OB→＝AB→ ３．在锐角 △ABC 中,关于向量夹角的说法,正确的是 (　　) A．AB→ 与BC→ 的夹角是锐角 B．AC→ 与BA→ 的夹角是锐角 C．AC→ 与BC→ 的夹角是锐角 D．AC→ 与BC→ 的夹角是钝角 ４．下列结论,其中正确的个数是 (　　) ①a ∥b⇒a􀅰b＝０　　②a􀅰b＝b􀅰a　　③a􀅰(b􀅰c)＝(a􀅰b)􀅰c　　④ a􀅰b ≤ a 􀅰 b A．１ B．２ C．３ D．４ ５．已知 a ＝ ３,b ＝２３,a􀅰b＝－３,则a 与b的夹角是 (　　) A．３０° B．６０° C．１２０° D．１５０° ６．已知平面向量a,b满足 a ＝２,b ＝１,a 与b的夹角为 π ３ ,则 a－b ＝ (　　) A． ５－２３ B．１ C．２ D．３ ７．已知等边三角形 △ABC,则AB→ 与BC→ 的夹角为 (　　) A．１２０° B．６０° C．３０° D．－６０° ８．若 a ＝３,b ＝４,a,b的夹角为１３５°,则a􀅰b＝ (　　) A．－３２ B．－６２ C．６２ D．２ 二、填空题 ９．若 a ＝１,b ＝２,a 与b的夹角为６０°,且(３a＋５b)⊥ (ma－b),则m 的值为 　　　　． １８　 １０．已知 a ＝２,b ＝４,且(２a－３b)􀅰(２a＋b)＝－４８,则a 与b的夹角为 　　　　　． １１．当 a􀅰b ＝ a b 时,向量a 与b的位置关系是 　　　　． １２．在四边形ABCD 中,若AB→＝DC→,且AB→􀅰AD→＝０,则四边形ABCD 是 　　　　 形． １３．两个单位向量a 与b的夹角为π３ ,则a２＋a􀅰b＝　　　　． １４．若p 与q是相反向量,且 p ＝３,则p􀅰q＝　　　　． 三、解答题 １５．已知 a ＝４,b ＝３,在下列条件下分别求a 与b的数量积． (１)向量a 与b平行时; (２)向量a 与b的夹角为６０°﹔ (３)向量a 与b垂直时． １６．已知 a ＝４,b ＝３２,a􀅰b＝１２,求a 与b的夹角‹a,b›． １７．已知 a ＝４,b ＝５,a 与b的夹角为θ．满足下列条件时,分别求a 与b的数量积． (１)a ∥b; (２)a ⊥b; (３)a 与b的夹角为３０°时． 已知 a ＝ ２,b ＝１,且a－b与a＋２b互相垂直,求证:a ⊥b． 试题精讲 １４０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 二、填空题 ７．３e１　－e１ ＋４e２　e１ ＋５e２ ８．５ 【解析】 ２a－３a＋ １ ２a( ) ＝ － ５ ２a ＝ ５ ２ ×２＝５． ９．－ ３ ２ 【解析】因为 a ＝３,且b是与a方向相反 的向量,b ＝２,所以a＝ － ３ ２b． １０．０　　１１．－ ５ ８　　１２．x ＝ １ ４a＋b 三、解答题 １３．解:因为３(２a－b＋c)＋x＝２(－a＋３b),所以 ６a－３b＋３c＋x ＝ －２a＋６b,即x ＝ －８a＋ ９b－３c． １４．证明:因为a＝ １ ２ (２e１－e２),b＝３(２e１－e２), 所以b＝６a,由向量共线定理知a 与b 是共线 向量． １５．解:因为AE→＝AD→＋DE→＝３AB→＋３BC→＝３(AB→＋ BC→)＝３AC→,所以AC→ 与AE→ 共线． 【能力提升】 解:由题意知,ke１＋２e２ 与８e１＋ke２ 共线,所以存在 实数λ,使ke１＋２e２ ＝λ(８e１＋ke２)＝８λe１＋kλe２． 又 因 为e１,e２ 不 共 线, 所 以 k＝８λ, ２＝λk,{ 解 得 λ ＝ １ ２ , k＝４ { 或 λ ＝ － １ ２ , k＝ －４． { 又因为ke１＋２e２ 与８e１＋ ke２ 反向,故λ ＝ － １ ２ ,k＝ －４． ２．３　 向量的内积 【变式训练】 A 【解析】根 据 向 量 的 数 量 积 公 式 得 a􀅰b ＝ a b cos‹a,b›＝ １ ２ ×４×cos π ３ ＝１． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．A ２．A 【解析】对于 A选项,AB→＋BC→＋CD→ ＝AC→＋ CD→ ＝AD→,A选项正确;对于B选项,AB→＋BA→＝ ０,B选项错误;对于C选项,０􀅰AB→ ＝０,C选项错 误;对于 D选项,OA→－OB→ ＝BA→,D选项错误． ３．C 【解析】如图所示:对于 A选 项,AB→ 与BC→ 的 夹 角 为 π－ ∠ABC,为钝角,A错;对于B选 项,AC→ 与BA→ 的 夹 角 为 π－ ∠BAC,为钝角,B错;对于C,D选项,AC→与BC→的 夹角等于 ∠ACB,为锐角,C对 D错．故选C． ４．B 【解析】由数量积的定义知a􀅰b＝ a b cosθ, 对于 ①,若a∥b,则a􀅰b＝ a b 或a􀅰b＝ － a b ,a􀅰b＝０不一定成立,① 错误;对于 ②,a􀅰b＝b􀅰a成立,② 正确;对于 ③,a􀅰(b􀅰c) 与a共线,(a􀅰b)􀅰c与c共线,两向量不一定相 等,③ 错误;对于 ④,a􀅰b ＝ a b cosθ ≤ a 􀅰 b ,④ 正确．故选B． ５．C 【解析】cos‹a,b›＝ a􀅰b a 􀅰 b ＝ －３ ３×２３ ＝ － １ ２ ,因为‹a,b›∈ ０,π[ ] ,所以‹a,b›＝ ２π ３ ,a 与b的夹角是１２０°．故选C． ６．D 【解析】(a－b)２ ＝a２ －２a􀅰b＋b２ ＝４－ ２ a 􀅰 b cosπ３＋１＝４－２×２× １ ２＋１＝３ ,所 以 a－b ＝ ３,故选 D． ７．A 【解析】因为三角形ABC为等边三角形,故BA→ 与BC→ 的夹角为６０°,AB→ 与BC→ 的夹角和BA→ 与BC→ 的夹角互补,为１２０°．故选 A． ８．B 【解析】由数量积的定义即可计算:a􀅰b ＝ a 􀅰 b cos１３５°＝３×４× － ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ＝ －６ ２． 二、填空题 ９．２３８ 【解析】因为(３a＋５b)⊥ (ma－b),所以 (３a＋５b)􀅰(ma－b)＝０,即３m a ２ ＋(５m－ ３)a􀅰b－５b ２ ＝０,即３m＋１×２× １ ２ (５m－３)－ ５×２２ ＝０,即３m＋５m－３－２０＝０,解得m＝ ２３ ８． １０．６０° 【解析】设a与b的夹角为θ,则(２a－３b)􀅰 训练测评参考答案 １４１　 (２a＋b)＝ ４a２ －４a􀅰b－３b２ ＝ ４ a ２ － ４ a b cosθ－３b ２ ＝ －３２－３２cosθ ＝ －４８,解得cosθ＝ １ ２． 因为０°≤θ≤１８０°,所以 θ＝６０°． １１．共线 【解析】设向量a 与b 的夹角为θ,因为 a􀅰b ＝ a b cosθ ,a􀅰b ＝ a b , 所以 cosθ ＝１,此时θ＝０或π,所以向量a与 b的位置关系是共线． １２．矩 【解析】因为AB→ ＝DC→,所以AB ∥ DC,且 AB ＝DC,此时,四边形ABCD 是平行四边形, 又因为AB→􀅰AD→ ＝０,所以AB ⊥AD,所以四边 形ABCD 是矩形． １３．３２ 【解析】两个单位向量a 与b 的夹角为 π３ , a２ ＋a􀅰b＝ a ２＋ a 􀅰 b cosθ＝１２＋１× １×cos π ３ ＝１＋ １ ２ ＝ ３ ２． １４．－９ 【解析】由已知得p􀅰q＝ p q cos１８０°＝ ３×３×(－１)＝ －９． 三、解答题 １５．解:(１)当向量a与b平行时,向量a与b的夹角 为０°或１８０°,由向量数量积的定义得a􀅰b ＝ a b cos０°＝３×４×１＝１２或a􀅰b ＝ a b cos１８０°＝３×４×(－１)＝ －１２．所以 a􀅰b＝ ±１２． (２)当向量a与b的夹角为６０°时,由向量数量积 的定义得a􀅰b＝ a b cos６０°＝３×４× １ ２ ＝ ６,所以a􀅰b＝６． (３)当向量a与b垂直时,向量a与b的夹角为９０°, 由向量数量积的定义得a􀅰b＝ a b cos９０°＝ ３×４×０＝０．所以a􀅰b＝０． １６．解:cos‹a,b›＝ a􀅰b a b ＝ １２ ４×３ ２ ＝ ２ ２ ,因 为向量夹角取值范围为 ０,π[ ] ,所以‹a,b›＝ π ４． １７．解:(１)当a∥b 时,若a与b同向,则θ＝０°,a􀅰 b＝ a b cos０°＝４×５＝２０． 若a与b反向,则θ＝１８０°,a􀅰b＝ a b cos１８０°＝ ４×５×(－１)＝ －２０． (２)a⊥b时,θ＝９０°,a􀅰b＝ a b cos９０°＝０． (３)当 a 与 b 的 夹 角 为 ３０° 时,a 􀅰b ＝ a b cos３０°＝４×５× ３ ２ ＝１０ ３． 【能力提升】 证明:因为a－b与a＋２b互相垂直,所以(a－b)􀅰 (a＋２b)＝０,即a２ ＋a􀅰b－２b２ ＝０．又因为a２ ＝ a ２ ＝２,b２ ＝ b ２ ＝１,所以a􀅰b＝２b２ －a２ ＝ ２×１－２＝０．即a􀅰b＝０,又因为a,b是非零向量, 所以a⊥b． ２．４　 向量的坐标表示 ２．４．１　 向量的坐标表示 【变式训练】 B 【解析】设点B的坐标为(x,y),则AB→ ＝ (x,y)－ (－２,５)＝ (１,３),所以(x,y)＝ (１,３)＋(－２,５)＝ (－１,８),即点B 的坐标为(－１,８)．故选B． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】利用向量的坐标表示求解．因为A(１, ２),B(４,－２),所以AB→ ＝ (３,－４)． ２．D ３．B 【解析】由中点坐标公式可得 M(２,２),所以 OM→ ＝ (２,２),故选B． ４．B 【解析】设点P 的坐标为(x,y),则PQ→ ＝ (７－ x,８－y)＝(８,５),故 ７－x ＝８, ８－y ＝５,{ 解得x＝ －１, y ＝３,故点P 的坐标为(－１,３)．故选B． ５．C 【解析】先根据向量的坐标表示求出AB→,再根 据正交分解即可得解．因为 A(２,３),B(４,２),所 以AB→ ＝ (２,－１),所以AB→ ＝２i－j．故选C． ６．D 【解析】根据平面向量的坐标运算计算即可． AB→ ＝ (１,４),所以BC→ ＝AC→－AB→ ＝ (－１,－６)． 故选 D． ７．B 【解析】设点B 的坐标为(x,y),则可得AB→ 的 坐标,根据题意,列出等式,即可得答案．设点B 的 坐标为(x,y),所以AB→ ＝ (x＋１,y－２)＝ (３,