2.2.3 向量的数乘运算-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

１４　 ２．２．３ 　 向量的数乘运算 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 理解向量的数乘运算及其几何意义;逐步提升直观 想象、数学运算和数学抽象等核心素养． 重点:向量数乘运算及其几何意义． 难点:向量数乘运算法则． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)实数λ 与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作λa． ① λa ＝ λ a ; ② 当λ ＞０时,λa的方向与a的方向相同;当λ ＜０时,λa的方向与a的方向相反;当λ＝０时,λa＝０． (２)运算律:①λ(μa)＝(λμ)a;②(λ＋μ)a＝λa＋μa;③λ(a＋b)＝λa＋λb． (３)坐标运算:设a＝(x,y),则λa＝λ(x,y)＝(λx,λy)． 例题图 向量的运算 【例】 如图,在平行四边形ABCD 中,AB→＝a,AD→＝b,M 是DC的中点,以a,b为 基底表示向量AM→＝ ． 【解题思路】AM→＝AD→＋ １ ２DC →＝AD→＋ １ ２AB →＝b＋ １ ２a． 变式训练 如图,平行四边形ABCD 的对角线交于M,若AB→＝a,AD→＝b,用 a,b表示MD→ 为 (　　) 变式训练图 A．１２a＋ １ ２b B． １ ２a－ １ ２b C．－ １ ２a－ １ ２b D．－ １ ２a＋ １ ２b 自 我 测 评 一、选择题 １．化简２(a－３b)－３(a＋b)的结果为 (　　) 第２题图 A．a＋４b B．－a－９b C．２a＋b D．a－３b ２．如图,在矩形ABCD 中,E 为CD 的中点,那么向量１２AB →＋AD→＝ (　　) A．AE→ B．AC→ C．DC→ D．AB→ ３．要得到向量－２a,可将 (　　) A．向量a 向左平移２个单位 １５　 B．向量a 向右平移２个单位 C．向量a 保持方向不变,长度伸长为原来的２倍 D．向量a 的方向反向,长度伸长为原来的２倍 ４．３(a－７b)－(７a＋４b)＋２(２a＋１３b)等于 (　　) A．２a B．２３b C．０ D．b ５．在 △ABC 中,D 是BC 的中点,则AB→＋AC→ 等于 (　　) A．２AD→ B．２DA→ C．２DB→ D．２BD→ ６．在 △ABC 中,点D 在BC 边上,BD→＝２DC→,则AD→＝ (　　) A．２３AB →＋ １ ３AC → B．１３AB →＋ ２ ３AC → C．１２AB →＋ １ ２AC → D．１４AB →＋ ３ ４AC → 二、填空题 ７．若a＝e１＋２e２,b＝２e１－２e２,则a＋b＝ ,a－b＝ ,２a－ １ ２b＝ ． ８．已知 a ＝２,则 ２a－３a＋ １ ２a æ è ç ö ø ÷ ＝ ． ９．设 a ＝３,且b是与a 方向相反的向量,b ＝２,则a＝ b． １０．m 为实数,则m０＝ ． １１．已知向量a 与b反向,a ＝５,b ＝８,则a＝ b． １２．解关于x 的方程a＋４(b－x)＝０的解为 ． 三、解答题 １３．已知３(２a－b＋c)＋x＝２(－a＋３b),求x． １４．已知向量a＝e１－ １ ２e２ ,b＝－３(e２－２e１),求证:a 与b是共线向量． １６　 １５．如图:已知 AD→＝３AB→,DE→＝３BC→,试判断AC→ 与AE→ 是否共线． 第１５题图 设e１,e２ 是两个不共线向量,若向量ke１＋２e２ 与８e１＋ke２ 方向相反,求实数k的值． 试题精讲 ２．３　 向量的内积 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解平面向量内积的概念、运算和性质,会计算两 个向量的内积;了解平面向量内积的几何应用,会利 用向量内积解决简单几何问题． 重点:平面向量内积的概念及计算公式． 难点:内积的概念及利用内积来计算两个非零向量的 夹角． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．平面向量的数量积． 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量 a b cosθ叫做a和b的数量积(或内积),记作 a􀅰b＝ a b cosθ． 规定:零向量与任一向量的数量积为 　　　　． 两个非零向量a 与b垂直的充要条件是a􀅰b＝０,两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a􀅰b＝ ± a b ． ２．平面向量数量积的几何意义． 数量积a􀅰b等于a 的长度 a 与b在a 的方向上的投影 b cosθ 的乘积． ３．平面向量数量积的重要性质． (１)非零向量a,b,a ⊥b⇔a􀅰b＝０． (２)当a与b同向时,a􀅰b＝ a b ;当a与b反向时,a􀅰b＝－ a b ,a􀅰a＝a２,a ＝ a􀅰a． (３)cosθ＝ a􀅰b a b ． 训练测评参考答案 １３９　 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B ２．C 【解析】根据平面向量减法原则,PM→－PN→ ＝ NM→,而MN→ ＝ －NM→,故PM→－PN→＋MN→ ＝０． 故选C． ３．C ４．D 【解析】根据平面向量的线性运算求解即可． MN→＋NP→－MQ→ ＝ MP→－MQ→ ＝QP→． ５．D 【解析】AB→－DC→－CB→ ＝AB→－DB→ ＝AB→＋ BD→ ＝AD→ ＝BC→．故选 D． ６．B 【解析】OA→＋OC→－OB→＋CO→ ＝OA→＋OC→－ OB→－OC→ ＝OA→－OB→ ＝BA→．故选B． ７．B 【解析】由正六边形的特征可知,AC→ ＝FD→, AE→ ＝BD→．所以AC→＋BD→－FD→ ＝BD→ ＝AE→．故 选B． ８．B 【解析】直接利用向量的减法的三角形法则求 解即可．因为BC→ ＝a,CA→ ＝b,所以AB→ ＝CB→－ CA→ ＝ －BC→－CA→ ＝ －a－b ＝ －a＋ (－b), 故选B． 二、填空题 ９．AB→ 【解析】OB→－OA→－OC→－CO→＝(OB→－OA→)＋ CO→－CO→ ＝AB→． １０．０ １１．BC→ 【解析】AC→－BD→＋CD→－AB→＋BC→＝AC→＋ CD→＋DB→＋BA→＋BC→ ＝０＋BC→ ＝BC→． １２．a－b＋c 【解析】OD→ ＝OA→ ＋AD→ ＝OA→ ＋ BC→ ＝OA→＋OC→－OB→ ＝a－b＋c． １３．２　　１４．０ 三、解答题 １５．解:(１)如图,将向量b 的起点 平移到向量a的起点,以向量b 的终点为起点,向量a 的终点 为终点的向量即为向量a－b． (２)如图,将向量b的起点 平移到向量a的起点,以向 量b的终点为起点,向量a的终点为终点的向量 即为向量a－b． １６．解:(１)因为四边形ABCD 是边长为１的正方形, 所以 AB→＋BC→ ＝ AC→ ＝ ２． (２)AB→＋CA→－BC→ ＝ CB→－BC→ ＝２CB→ ＝２． １７．解:因 为 四 边 形 ACDE 是 平 行 四 边 形,所 以 CD→ ＝AE→ ＝c,BC→ ＝AC→－AB→ ＝b－a,BD→ ＝ BC→＋CD→ ＝b－a＋c． 【能力提升】 解:(１)因 为 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形,所 以 a＋b ＝ AB→＋AD→ ＝ AC→ , a－b ＝ AB→－AD→ ＝ DB→ ,又 a＋b ＝ a－b ,所以 AC→ ＝ DB→ ．故 ▱ABCD 的对角线相等,▱ABCD 为矩形,所以当a与b垂直时,a＋b ＝ a－b ． (２)欲使 ABCD 为菱形,需 a ＝ b ;当 a ＝ b ,且a与b垂直时,平行四边形为正方形． ２．２．３　 向量的数乘运算 【变式训练】 D 【解析】MD→ ＝ １２BD → ＝ １２ (AD→－AB→)＝ １２ (b－ a)＝ － １ ２a＋ １ ２b． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】２(a－３b)－３(a＋b)＝２a－６b－３a－ ３b＝ －a－９b． ２．A 【解析】因为在矩形ABCD 中,E 为CD 的中 点,所以DE→ ＝ １２DC → ＝ １２AB →,所以１ ２AB →＋AD→ ＝ DE→＋AD→ ＝AE→． ３．D 【解析】根据向量数乘的概念及几何意义可 知,要得到向量－２a,可将向量a 的方向反向,长 度伸长为原来的２倍． ４．D 【解析】３(a－７b)－(７a＋４b)＋２(２a＋１３b)＝ ３a－２１b－７a－４b＋４a＋２６b＝b． ５．A 【解析】由题意DB→＝ －DC→,AB→＋AC→＝(AD→＋ DB→)＋(AD→＋DC→)＝２AD→． ６．B 【解析】AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋２３BC →＝AB→＋ ２ ３ (AC→－AB→)＝ １３ AB →＋ ２３ AC →． １４０　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 二、填空题 ７．３e１　－e１ ＋４e２　e１ ＋５e２ ８．５ 【解析】 ２a－３a＋ １ ２a( ) ＝ － ５ ２a ＝ ５ ２ ×２＝５． ９．－ ３ ２ 【解析】因为 a ＝３,且b是与a方向相反 的向量,b ＝２,所以a＝ － ３ ２b． １０．０　　１１．－ ５ ８　　１２．x ＝ １ ４a＋b 三、解答题 １３．解:因为３(２a－b＋c)＋x＝２(－a＋３b),所以 ６a－３b＋３c＋x ＝ －２a＋６b,即x ＝ －８a＋ ９b－３c． １４．证明:因为a＝ １ ２ (２e１－e２),b＝３(２e１－e２), 所以b＝６a,由向量共线定理知a 与b 是共线 向量． １５．解:因为AE→＝AD→＋DE→＝３AB→＋３BC→＝３(AB→＋ BC→)＝３AC→,所以AC→ 与AE→ 共线． 【能力提升】 解:由题意知,ke１＋２e２ 与８e１＋ke２ 共线,所以存在 实数λ,使ke１＋２e２ ＝λ(８e１＋ke２)＝８λe１＋kλe２． 又 因 为e１,e２ 不 共 线, 所 以 k＝８λ, ２＝λk,{ 解 得 λ ＝ １ ２ , k＝４ { 或 λ ＝ － １ ２ , k＝ －４． { 又因为ke１＋２e２ 与８e１＋ ke２ 反向,故λ ＝ － １ ２ ,k＝ －４． ２．３　 向量的内积 【变式训练】 A 【解析】根 据 向 量 的 数 量 积 公 式 得 a􀅰b ＝ a b cos‹a,b›＝ １ ２ ×４×cos π ３ ＝１． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．A ２．A 【解析】对于 A选项,AB→＋BC→＋CD→ ＝AC→＋ CD→ ＝AD→,A选项正确;对于B选项,AB→＋BA→＝ ０,B选项错误;对于C选项,０􀅰AB→ ＝０,C选项错 误;对于 D选项,OA→－OB→ ＝BA→,D选项错误． ３．C 【解析】如图所示:对于 A选 项,AB→ 与BC→ 的 夹 角 为 π－ ∠ABC,为钝角,A错;对于B选 项,AC→ 与BA→ 的 夹 角 为 π－ ∠BAC,为钝角,B错;对于C,D选项,AC→与BC→的 夹角等于 ∠ACB,为锐角,C对 D错．故选C． ４．B 【解析】由数量积的定义知a􀅰b＝ a b cosθ, 对于 ①,若a∥b,则a􀅰b＝ a b 或a􀅰b＝ － a b ,a􀅰b＝０不一定成立,① 错误;对于 ②,a􀅰b＝b􀅰a成立,② 正确;对于 ③,a􀅰(b􀅰c) 与a共线,(a􀅰b)􀅰c与c共线,两向量不一定相 等,③ 错误;对于 ④,a􀅰b ＝ a b cosθ ≤ a 􀅰 b ,④ 正确．故选B． ５．C 【解析】cos‹a,b›＝ a􀅰b a 􀅰 b ＝ －３ ３×２３ ＝ － １ ２ ,因为‹a,b›∈ ０,π[ ] ,所以‹a,b›＝ ２π ３ ,a 与b的夹角是１２０°．故选C． ６．D 【解析】(a－b)２ ＝a２ －２a􀅰b＋b２ ＝４－ ２ a 􀅰 b cosπ３＋１＝４－２×２× １ ２＋１＝３ ,所 以 a－b ＝ ３,故选 D． ７．A 【解析】因为三角形ABC为等边三角形,故BA→ 与BC→ 的夹角为６０°,AB→ 与BC→ 的夹角和BA→ 与BC→ 的夹角互补,为１２０°．故选 A． ８．B 【解析】由数量积的定义即可计算:a􀅰b ＝ a 􀅰 b cos１３５°＝３×４× － ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ＝ －６ ２． 二、填空题 ９．２３８ 【解析】因为(３a＋５b)⊥ (ma－b),所以 (３a＋５b)􀅰(ma－b)＝０,即３m a ２ ＋(５m－ ３)a􀅰b－５b ２ ＝０,即３m＋１×２× １ ２ (５m－３)－ ５×２２ ＝０,即３m＋５m－３－２０＝０,解得m＝ ２３ ８． １０．６０° 【解析】设a与b的夹角为θ,则(２a－３b)􀅰