2.2.2 向量的减法运算-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

１３８　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 AD→ 的模为１０００ ２km,方向为东南方向． ２．２　 向量的线性运算 ２．２．１　 向量的加法运算 【变式训练】 A 【解析】EB→＋FC→ ＝ １２ (AB→＋CB→)＋ １２ (AC→＋ BC→)＝ １２ (AB→＋AC→)＝AD→,故选 A． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】根据向量的加法运算求解即可．CB→＋ AD→＋BA→ ＝ (CB→＋BA→)＋AD→ ＝CA→＋AD→ ＝ CD→,故选C． ２．A ３．C 【解析】原式 ＝AB→＋BO→＋MB→＋BC→＋OM→＝ AO→＋OM→＋MC→ ＝AM→＋MC→ ＝AC→．故选C． ４．C 【解析】因为AO→ ＋OD→ ＝ AD→,AC→ ＋CD→ ＝ AD→,所以AO→＋OD→ ＝AC→＋CD→． ５．B 【解析】由题意得AB→＋AD→ ＝AC→．故选B． ６．B 【解析】根据向量的加法法则可得AB→＋OM→＋ BO→＋MC→＝AB→＋BO→＋OM→＋MC→＝AO→＋OM→＋ MC→ ＝AM→＋MC→ ＝AC→,故选B． ７．B 【解析】AO→＋OB→＋OC→＋CA→＋BO→ ＝ (AO→＋ OC→＋CA→)＋(BO→＋OB→)＝０＋０＝０．故选B． ８．D 【解析】由平行四边形法则可得,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形．故选D． 二、填空题 ９．BE→ 【解析】CD→＝AF→,则BA→＋CD→＋FE→＝(BA→＋ AF→)＋FE→ ＝BE→． １０．４ 【解析】在 矩 形 ABCD 中,由 AB→ ＝ ３, BC→ ＝１可得 AC→ ＝２,又因为AB→＋AD→ ＝ AC→, 所 以 AB→ ＋ AD→ ＋ AC→ ＝ ２ AC→, 故 AB→＋AD→＋AC→ ＝４． １１．２ 【解析】因为正方形ABCD 的边长为１,由平 行四边形法则得 AB→＋AD→ ＝ AC→ ＝ ２． １２．０ 【解析】在平行四边形ABCD 中,AB→ ＝DC→, BC→ ＝AD→,所以BC→＋DC→＋BA→＋DA→ ＝BC→－ AD→＋DC→－AB→ ＝０． １３．０　　１４．OA→ 三、解答题 １５．解:(１)AB→＋AD→ ＝AC→． (２)AC→＋CD→＋DO→ ＝AD→＋DO→ ＝AO→． (３)AB→＋AD→＋CD→ ＝AC→＋CD→ ＝AD→． (４)AC→＋BA→＋DA→ ＝BA→＋AC→＋DA→ ＝BC→＋ DA→ ＝０． １６．解:(１)a＋d＝d＋a＝DO→＋OA→ ＝DA→． (２)c＋b＝CO→＋OB→ ＝CB→． (３)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋CB→＝DC→＋CB→＝ DB→． (４)c＋f ＋b ＝c＋b ＋f ＝ CO→ ＋OB→ ＋ BA→ ＝CA→． １７．解:(１)AD→＋DC→＋CB→＝AC→＋ CB→ ＝AB→． (２)由向量的平行四边形法则与 三角形法则,如图,AB→＋AD→＋ CD→ ＝ AC→＋CD→ ＝ AD→ ＝２． 【能力提升】 证明:如图,设 △ABC的三边对 应的向量为a ＝BC→,b ＝CA→, c＝AB→,显然a＋b＋c＝０,设 D,E,F 分 别 为 三 边 BC,CA, AB 的中点,于是中线对应的向 量分别为AD→ ＝AB→＋BD→ ＝c＋ １２a ,BE→ ＝BC→＋ CE→ ＝a＋ １２b ,CF→ ＝CA→ ＋AF→ ＝b＋ １２c ,所以 AD→＋BE→＋CF→＝a＋b＋c＋１２ (a＋b＋c)＝０．所 以AD→＋BE→＋CF→＝０,故结论得证,即三角形的三条 中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形． ２．２．２　 向量的减法运算 【变式训练】 C 【解析】因为BC→ ＝AD→,BD→ ＝BA→＋AD→,所以 AB→＋BC→＋BD→ ＝ AB→＋BC→＋BA→＋AD→ ＝ ２ BC→ ＝２,故选C． 训练测评参考答案 １３９　 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B ２．C 【解析】根据平面向量减法原则,PM→－PN→ ＝ NM→,而MN→ ＝ －NM→,故PM→－PN→＋MN→ ＝０． 故选C． ３．C ４．D 【解析】根据平面向量的线性运算求解即可． MN→＋NP→－MQ→ ＝ MP→－MQ→ ＝QP→． ５．D 【解析】AB→－DC→－CB→ ＝AB→－DB→ ＝AB→＋ BD→ ＝AD→ ＝BC→．故选 D． ６．B 【解析】OA→＋OC→－OB→＋CO→ ＝OA→＋OC→－ OB→－OC→ ＝OA→－OB→ ＝BA→．故选B． ７．B 【解析】由正六边形的特征可知,AC→ ＝FD→, AE→ ＝BD→．所以AC→＋BD→－FD→ ＝BD→ ＝AE→．故 选B． ８．B 【解析】直接利用向量的减法的三角形法则求 解即可．因为BC→ ＝a,CA→ ＝b,所以AB→ ＝CB→－ CA→ ＝ －BC→－CA→ ＝ －a－b ＝ －a＋ (－b), 故选B． 二、填空题 ９．AB→ 【解析】OB→－OA→－OC→－CO→＝(OB→－OA→)＋ CO→－CO→ ＝AB→． １０．０ １１．BC→ 【解析】AC→－BD→＋CD→－AB→＋BC→＝AC→＋ CD→＋DB→＋BA→＋BC→ ＝０＋BC→ ＝BC→． １２．a－b＋c 【解析】OD→ ＝OA→ ＋AD→ ＝OA→ ＋ BC→ ＝OA→＋OC→－OB→ ＝a－b＋c． １３．２　　１４．０ 三、解答题 １５．解:(１)如图,将向量b 的起点 平移到向量a的起点,以向量b 的终点为起点,向量a 的终点 为终点的向量即为向量a－b． (２)如图,将向量b的起点 平移到向量a的起点,以向 量b的终点为起点,向量a的终点为终点的向量 即为向量a－b． １６．解:(１)因为四边形ABCD 是边长为１的正方形, 所以 AB→＋BC→ ＝ AC→ ＝ ２． (２)AB→＋CA→－BC→ ＝ CB→－BC→ ＝２CB→ ＝２． １７．解:因 为 四 边 形 ACDE 是 平 行 四 边 形,所 以 CD→ ＝AE→ ＝c,BC→ ＝AC→－AB→ ＝b－a,BD→ ＝ BC→＋CD→ ＝b－a＋c． 【能力提升】 解:(１)因 为 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形,所 以 a＋b ＝ AB→＋AD→ ＝ AC→ , a－b ＝ AB→－AD→ ＝ DB→ ,又 a＋b ＝ a－b ,所以 AC→ ＝ DB→ ．故 ▱ABCD 的对角线相等,▱ABCD 为矩形,所以当a与b垂直时,a＋b ＝ a－b ． (２)欲使 ABCD 为菱形,需 a ＝ b ;当 a ＝ b ,且a与b垂直时,平行四边形为正方形． ２．２．３　 向量的数乘运算 【变式训练】 D 【解析】MD→ ＝ １２BD → ＝ １２ (AD→－AB→)＝ １２ (b－ a)＝ － １ ２a＋ １ ２b． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】２(a－３b)－３(a＋b)＝２a－６b－３a－ ３b＝ －a－９b． ２．A 【解析】因为在矩形ABCD 中,E 为CD 的中 点,所以DE→ ＝ １２DC → ＝ １２AB →,所以１ ２AB →＋AD→ ＝ DE→＋AD→ ＝AE→． ３．D 【解析】根据向量数乘的概念及几何意义可 知,要得到向量－２a,可将向量a 的方向反向,长 度伸长为原来的２倍． ４．D 【解析】３(a－７b)－(７a＋４b)＋２(２a＋１３b)＝ ３a－２１b－７a－４b＋４a＋２６b＝b． ５．A 【解析】由题意DB→＝ －DC→,AB→＋AC→＝(AD→＋ DB→)＋(AD→＋DC→)＝２AD→． ６．B 【解析】AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋２３BC →＝AB→＋ ２ ３ (AC→－AB→)＝ １３ AB →＋ ２３ AC →． １２　 ２．２．２ 　 向量的减法运算 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 掌握向量减法的定义,会用向量减法的三角形法则 作出两个向量的差向量． 重点:向量减法的运算及其几何意义． 难点:向量减法运算的几何意义． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 １．向量a－b称为向量a 与b的差．求两个向量差的运算称为向量的减法,也称a－b为差向量． ２．向量减法的几何意义是共起点,连终点,方向指着被减向量． 　　 向量的加、减法运算法则 【例】 在平行四边形ABCD 中,AD→＋AC→－BC→＝ (　　) A．AC→ B．BD→ C．AD→ D．－AC→ 【解题思路】 在平行四边形ABCD 中,AD→＋AC→－BC→＝AD→＋AC→＋CB→＝AD→＋AB→＝AC→． 变式训练 在矩形ABCD 中,AB→ ＝ ３,BC→ ＝１,则 AB→＋BC→＋BD→ ＝ (　　) A．４ B．０ C．２ D．２３ 自 我 测 评 一、选择题 １．AB→－DB→＝ (　　) A．DA→ B．AD→ C．DB→ D．BD→ ２．化简PM→－PN→＋MN→ 所得的结果是 (　　) A．MP→ B．NP→ C．０ D．NM→ 第３题图 ３．如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中正确的是 (　　) A．AB→＝CD→ B．AB→＋DA→＝BD→ C．AB→－AD→＝DB→ D．AD→＋BC→＝０ ４．MN→＋NP→－MQ→＝ (　　) A．MQ→ B．PQ→ C．MP→ D．QP→ ５．在平行四边形ABCD 中,AB→－DC→－CB→ 等于 (　　) A．AC→ B．BD→ C．DA→ D．BC→ ６．OA→＋OC→－OB→＋CO→＝ (　　) A．０ B．BA→ C．AB→ D．AC→ ７．已知正六边形ABCDEF,则AC→＋BD→－FD→＝ (　　) A．BC→ B．AE→ C．BE→ D．AC→ １３　 ８．在 △ABC 中,BC→＝a,CA→＝b,则AB→ 等于 (　　) A．a＋b B．－a＋(－b) C．a－b D．b－a 二、填空题 ９．OB→－OA→－OC→－CO→＝　　　　　． １０．设a 与b是两个相等向量,则a－b＝　　　　　． 第１２题图 １１．AC→－BD→＋CD→－AB→＋BC→＝　　　　　． １２．如图,已知O到平行四边形ABCD 的三个顶点A,B,C的向量分别为a,b,c,则 OD→＝ (用a,b,c表示)． １３．若菱形ABCD 的边长为２,则 AB→－CB→＋CD→ ＝ ． １４．MD→－AD→－MA→＝ ． 三、解答题 １５．如图,已知向量a,b,求作向量a－b． 第１５题图 １６．已知四边形ABCD 是边长为１的正方形,求: (１)AB→＋BC→ ; (２)AB→＋CA→－BC→ ． 第１７题图 １７．如图,四边形ACDE 是平行四边形,点B 是平行四边形ACDE 内一点, 且AB→＝a,AC→＝b,AE→＝c,试用向量a,b,c表示向量CD→,BC→,BD→． 如图,四边形ABCD 为平行四边形,设AB→＝a,AD→＝b．求: 能力提升题图 (１)当a 与b满足什么条件时,a＋b ＝ a－b ; (２)当a 与b满足什么条件时,四边形ABCD 为菱形,正方形．