2.2.1 向量的加法运算-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

１３８　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 AD→ 的模为１０００ ２km,方向为东南方向． ２．２　 向量的线性运算 ２．２．１　 向量的加法运算 【变式训练】 A 【解析】EB→＋FC→ ＝ １２ (AB→＋CB→)＋ １２ (AC→＋ BC→)＝ １２ (AB→＋AC→)＝AD→,故选 A． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】根据向量的加法运算求解即可．CB→＋ AD→＋BA→ ＝ (CB→＋BA→)＋AD→ ＝CA→＋AD→ ＝ CD→,故选C． ２．A ３．C 【解析】原式 ＝AB→＋BO→＋MB→＋BC→＋OM→＝ AO→＋OM→＋MC→ ＝AM→＋MC→ ＝AC→．故选C． ４．C 【解析】因为AO→ ＋OD→ ＝ AD→,AC→ ＋CD→ ＝ AD→,所以AO→＋OD→ ＝AC→＋CD→． ５．B 【解析】由题意得AB→＋AD→ ＝AC→．故选B． ６．B 【解析】根据向量的加法法则可得AB→＋OM→＋ BO→＋MC→＝AB→＋BO→＋OM→＋MC→＝AO→＋OM→＋ MC→ ＝AM→＋MC→ ＝AC→,故选B． ７．B 【解析】AO→＋OB→＋OC→＋CA→＋BO→ ＝ (AO→＋ OC→＋CA→)＋(BO→＋OB→)＝０＋０＝０．故选B． ８．D 【解析】由平行四边形法则可得,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形．故选D． 二、填空题 ９．BE→ 【解析】CD→＝AF→,则BA→＋CD→＋FE→＝(BA→＋ AF→)＋FE→ ＝BE→． １０．４ 【解析】在 矩 形 ABCD 中,由 AB→ ＝ ３, BC→ ＝１可得 AC→ ＝２,又因为AB→＋AD→ ＝ AC→, 所 以 AB→ ＋ AD→ ＋ AC→ ＝ ２ AC→, 故 AB→＋AD→＋AC→ ＝４． １１．２ 【解析】因为正方形ABCD 的边长为１,由平 行四边形法则得 AB→＋AD→ ＝ AC→ ＝ ２． １２．０ 【解析】在平行四边形ABCD 中,AB→ ＝DC→, BC→ ＝AD→,所以BC→＋DC→＋BA→＋DA→ ＝BC→－ AD→＋DC→－AB→ ＝０． １３．０　　１４．OA→ 三、解答题 １５．解:(１)AB→＋AD→ ＝AC→． (２)AC→＋CD→＋DO→ ＝AD→＋DO→ ＝AO→． (３)AB→＋AD→＋CD→ ＝AC→＋CD→ ＝AD→． (４)AC→＋BA→＋DA→ ＝BA→＋AC→＋DA→ ＝BC→＋ DA→ ＝０． １６．解:(１)a＋d＝d＋a＝DO→＋OA→ ＝DA→． (２)c＋b＝CO→＋OB→ ＝CB→． (３)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋CB→＝DC→＋CB→＝ DB→． (４)c＋f ＋b ＝c＋b ＋f ＝ CO→ ＋OB→ ＋ BA→ ＝CA→． １７．解:(１)AD→＋DC→＋CB→＝AC→＋ CB→ ＝AB→． (２)由向量的平行四边形法则与 三角形法则,如图,AB→＋AD→＋ CD→ ＝ AC→＋CD→ ＝ AD→ ＝２． 【能力提升】 证明:如图,设 △ABC的三边对 应的向量为a ＝BC→,b ＝CA→, c＝AB→,显然a＋b＋c＝０,设 D,E,F 分 别 为 三 边 BC,CA, AB 的中点,于是中线对应的向 量分别为AD→ ＝AB→＋BD→ ＝c＋ １２a ,BE→ ＝BC→＋ CE→ ＝a＋ １２b ,CF→ ＝CA→ ＋AF→ ＝b＋ １２c ,所以 AD→＋BE→＋CF→＝a＋b＋c＋１２ (a＋b＋c)＝０．所 以AD→＋BE→＋CF→＝０,故结论得证,即三角形的三条 中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形． ２．２．２　 向量的减法运算 【变式训练】 C 【解析】因为BC→ ＝AD→,BD→ ＝BA→＋AD→,所以 AB→＋BC→＋BD→ ＝ AB→＋BC→＋BA→＋AD→ ＝ ２ BC→ ＝２,故选C． ９　 已知飞机从A 地按北偏东３０°方向飞行２０００km到达B 地,再从B 地按南偏东３０°方向飞行２０００km到 达C 地,再从C 地按西南方向飞行１０００２km到达D 地．画图表示向量AB→,BC→,CD→,并指出向量AD→ 的模和方向． ２．２　 向量的线性运算 ２．２．１ 　 向量的加法运算 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则 和平行四边形法则作出两个向量的和向量; ◎ 掌握向量加法的运算律,并会用它们进行向量进行 计算． 重点:向量加法的运算及其几何意义． 难点:向量加法运算的几何意义． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求两个向量和的运算叫做向量的加法． 设AB→＝a,BC→＝b,则a＋b＝AB→＋BC→＝AC→． (１)０＋a＝a＋０＝a; (２)向量加法满足交换律与结合律． ２．向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (１)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条 对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量． (２)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就 表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点． 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则．向量加法的 三角形法则可推广至多个向量相加:AB→＋BC→＋CD→＋􀆺＋PQ→＋QR→＝AR→,但这时必须“首尾相连”． １０　 　　 向量加法的运算及其几何意义 【例】 设P 是 △ABC 所在平面内的一点,BC→＋BA→＝２BP→,则 (　　) A．PA→＋PB→＝０ B．PC→＋PA→＝０ C．PB→＋PC→＝０ D．PA→＋PB→＋PC→＝０ 【解题思路】 因为BC→＋BA→＝２BP→,所以点P 为线段AC 的中点,则PC→＋PA→＝０,故选B． 变式训练 设D,E,F 分别为 △ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB→＋FC→＝ (　　) A．AD→ B．１２AD → C．BC→ D．１２BC → 自 我 测 评 一、选择题 １．CB→＋AD→＋BA→＝ (　　) A．DB→ B．CA→ C．CD→ D．DC→ ２．已知a ∥b,且 a ＞ b ＞０,则向量a＋b的方向 (　　) A．与向量a 方向相同 B．与向量a 方向相反 C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反 ３．向量(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→ 化简结果为 (　　) A．BC→ B．AB→ C．AC→ D．AM→ ４．在平行四边形ABCD 中,O 是对角线的交点,下列结论中正确的是 (　　) A．AB→＝CD→,BC→＝AD→ B．AD→＋OD→＝DA→ C．AO→＋OD→＝AC→＋CD→ D．AB→＋BC→＋CD→＝DA→ 第５题图 ５．如图,在平行四边形ABCD 中,AB→＋AD→＝ (　　) A．AB→ B．AC→ C．AD→ D．BD→ ６．AB→＋OM→＋BO→＋MC→＝ (　　) A．BC→ B．AC→ C．CO→ D．AO→ ７．AO→＋OB→＋OC→＋CA→＋BO→＝ (　　) A．AB→ B．０ C．BC→ D．AC→ ８．在四边形ABCD 中,AB→＋AD→＝AC→,则四边形ABCD 一定是 (　　) A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 第９题图 二、填空题 ９．如图,在正六边形ABCDEF 中,BA→＋CD→＋FE→＝　　　　． １０．在矩形ABCD 中,AB→ ＝ ３,BC → ＝１,则向量AB→ ＋AD→ ＋AC→ 的长度 ＝ 　　　　． １１．已知正方形ABCD 的边长为１,则 AB→＋AD→ ＝ ． １１　 １２．在平行四边形ABCD 中,BC→＋DC→＋BA→＋DA→＝　　　　　． １３．a＋(－a)＝　　　　　． １４．OB→＋BC→＋CA→＝　　　　　． 三、解答题 １５．如图,在平行四边形ABCD 中,O 是AC 和BD 的交点．求: 第１５题图 (１)AB→＋AD→; (２)AC→＋CD→＋DO→; (３)AB→＋AD→＋CD→; (４)AC→＋BA→＋DA→． 第１６题图 １６．如图,求: (１)a＋d; (２)c＋b; (３)e＋c＋b; (４)c＋f＋b． １７．已知菱形ABCD 的边长为２． (１)化简向量AD→＋DC→＋CB→;(２)求向量AB→＋AD→＋CD→ 的模． 求证:三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形． 试题精讲