2.1 向量的概念-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

６　 ２．１　 向量的概念 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解向量的概念; ◎ 理解平面向量的线性运算; ◎ 了解共线向量的充要条件． 重点:向量的线性运算． 难点:已知两个向量,求这两个向量的差向量以及非 零向量平行的充要条件． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在数学中,把既有大小又有方向的量,称为 　　　　．向量常用小写黑体英文字母a,b,c􀆺 来表示, 手写体为在字母上方加箭头,如a → ． ２．向量a 的大小也称为该向量a 的模,记为 a ．模为１的向量称为 　　　　　． ３．规定:模为零的向量为 　　　　　,记作０或０ →,零向量的方向是任意的． ４．一般地,模相等且方向相同的两个向量称为 　　　　　．向量a 与b相等时,记a＝b． ５．与非零向量a 的模相等、方向相反的向量称为a 的相反向量,记作－a． ６．规定:零向量的相反向量仍是零向量． ７．一般地,方向相同或相反的两个向量称为平行向量．当向量a 与b平行时,记a ∥b． ８．规定:零向量与任何一个向量平行,即对于任意向量a,都有０∥a． ９．任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．因此,平行向量也称共线向量． 向量的概念 【例】 下列各个量中是向量的是 (　　) ① 力;② 速度;③ 位移;④ 路程;⑤ 温度 A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【解题思路】 温度、路程是只有大小没有方向的量,这样的量称为数量;力、速度、位移是既有大小有方 向的量,这样的量称为向量．故选D． 变式训练 下列选项中都是向量的是 (　　) A．加速度,速度,质量 B．面积,位移,力 C．路程,时间,温度 D．重力,位移,速度 ７　 自 我 测 评 一、选择题 １．下列说法中,正确的个数是 (　　) ① 零向量是没有方向的; ② 向量的模是一个正实数; ③ 相等向量一定是平行向量; ④ 向量a 与b不共线,则a 与b都是非零向量． A．１ B．２ C．３ D．４ ２．下列物理量中,不能称为向量的是 (　　) A．质量 B．速度 C．位移 D．力 ３．正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a１,a２,a３,􀆺,an,则这n 个向量 (　　) A．相等 B．共线 C．不共线 D．模相等 ４．设O 是正方形ABCD 的中心,则向量AO→,BO→,OC→,OD→ 是 (　　) A．相等的向量 B．平行的向量 C．有相同起点的向量 D．模相等的向量 ５．下列说法中正确的是 (　　) A．数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 第６题图 ６．如图,在平行四边形ABCD 中,点E,F 分别是AB,CD 的中点,图中与AE→ 平行 的向量有 (　　) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ７．下列说法中正确的是 (　　) A．共线的两个单位向量相等 B．相等向量的起点相同 C．若AB→ ∥CD→,则一定有直线AB ∥CD D．若点A,B,C,D 在同一直线上,则AB→ ∥CD→ ８．某人向正东方向行进１００m 后,再向正南方向行进１００３ m,则此人位移的方向是 (　　) A．南偏东６０° B．南偏东４５° C．南偏东３０° D．南偏东１５° 二、填空题 ９．若a 是单位向量,则 a ＝ ． １０．０ ＝ ． １１．如果两个非零向量共线,那么这两个向量的方向 ． １２．在正方形ABCD 中,AB→ 与DC→ 的关系为 ．(填“相等”或“不相等”) １３．正三角形ABC 的边长为１,则 AC→ ＝ ． 第１４题图 １４．如图,B,C是线段AD 的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写 出 个互不相等的非零向量． ８　 三、解答题 １５．如图,在 △ABC 中,三边长均不相等,E,F,D 分别是AC,AB,BC 的中点． 第１５题图 (１)写出与EF→ 共线的向量; (２)写出与EF→ 长度相等的向量; (３)写出与EF→ 相等的向量． １６．O 是正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED,OCFB 都是正方形,在如图所示的向量中． 第１６题图 (１)分别找出与AO→,BO→ 相等的向量; (２)找出与AO→ 共线的向量; (３)找出与AO→ 模相等的向量; (４)向量AO→ 与CO→ 是否相等? 第１７题图 １７．如图,已知四边形ABCD 中,M,N 分别是BC,AD 的中点,又AB→＝DC→ 且 CN→＝MA→,求证:DN→＝MB→． １８．某人从A 点出发向东走了５m到达B 点,然后改变方向沿东北方向走了１０２ m到达C 点,到达C 点后又改变方向向西走了１０m 到达D 点． (１)作出向量AB→,BC→,CD→． (２)求向量AD→ 的模． ９　 已知飞机从A 地按北偏东３０°方向飞行２０００km到达B 地,再从B 地按南偏东３０°方向飞行２０００km到 达C 地,再从C 地按西南方向飞行１０００２km到达D 地．画图表示向量AB→,BC→,CD→,并指出向量AD→ 的模和方向． ２．２　 向量的线性运算 ２．２．１ 　 向量的加法运算 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则 和平行四边形法则作出两个向量的和向量; ◎ 掌握向量加法的运算律,并会用它们进行向量进行 计算． 重点:向量加法的运算及其几何意义． 难点:向量加法运算的几何意义． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求两个向量和的运算叫做向量的加法． 设AB→＝a,BC→＝b,则a＋b＝AB→＋BC→＝AC→． (１)０＋a＝a＋０＝a; (２)向量加法满足交换律与结合律． ２．向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (１)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条 对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量． (２)三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就 表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点． 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则．向量加法的 三角形法则可推广至多个向量相加:AB→＋BC→＋CD→＋􀆺＋PQ→＋QR→＝AR→,但这时必须“首尾相连”． １３６　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 q是p 的必要条件． １．２　 充要条件 【变式训练】 B 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．A ２．B 【解析】异面直线一定不相交,不相交可以平 行,所以“直线a,b不相交”是“直线a,b为异面直 线”的必要不充分条件,故选B． ３．A 【解析】由a２ ＞a得a＞１或a＜０,反之,由 a＞１得a２ ＞a,则“a＞１”是“a２ ＞a”的充分不 必要条件,故选 A． ４．A 【解析】若m ⊈α,n⊆α,且m ∥n,则一定有 m ∥α,但若m ⊈α,n⊆α,且m ∥α,则m 与n有 可能异面,所以 “m ∥n”是“m ∥α”的充分不必 要条件．故选 A． ５．B 【解析】在 △ABC 中,A ＋B ＋C ＝１８０°,若 B ＝６０°,则A＋C ＝１８０°－６０°＝１２０°,故A ＋ C ＝２B,所以 △ABC 三个内角A,B,C 成等差数 列．若 △ABC 三个内角A,B,C 成等差数列,则 A＋C ＝２B,所以A＋B＋C ＝３B ＝１８０°,B ＝ ６０°．故选B． ６．B 【解析】由“x２－５x ＜０”可得“０＜x ＜５”;由 “x－１ ＜１”可得“０＜x ＜２”．由“０＜x ＜５” 不能推出“０＜x＜２”,但由“０＜x＜２”可以推出 “０＜x ＜５”,所以“x２－５x ＜０”是“x－１ ＜ １”的必要不充分条件．故选B． ７．B 【解析】根据ln(x＋１)＜０求出x 的取值范围 后判断．因为ln(x＋１)＜０,所以０＜x＋１＜１, 所以－１＜x＜０．故“x＜０”是“－１＜x＜０”的 必要不充分条件,故选B． ８．B 【解析】若α ∥β,则α 内有无数条直线与β平 行,反之不成立;若α,β 平行于同一条直线,则α 与β 可以平行也可以相交;若α,β 垂直于同一平 面,则α与β可以平行也可以相交,故A,C,D均不 是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理 知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面 平行,则两平面平行,反之亦成立．因此 B中条件 是α ∥β 的充要条件．故选B． 二、填空题 ９．充分不必要 【解析】由不等式的性质可知,由 ac２ ＞bc２ 得a ＞b,故“ac２ ＞bc２”成立可推出 “a＞b”,而a＞b,当c＝０时,ac２ ＝bc２,所以 “a＞b”不能保证“ac２ ＞bc２”,故“ac２ ＞bc２”是 “a＞b”成立的充分不必要条件． １０．③ 【解析】① 中m ∥n,n∥α,则m ⊆α或m ∥ α,故 ① 不对;② 中,m ⊥n,n⊥α⇒m ⊆α或m ∥ α,故 ② 不对;③ 中,m ∥β,m ⊈α,α∥β⇒m ∥ α,③ 对;④ 中,m ⊥β,α⊥β⇒m ⊆α或m ∥α,④ 不对,故只有 ③ 对． １１．充要 １２．必要不充分 １３．m ＜ １ ４ 或m ＞１ １４．充要 三、解答题 １５．解:(１)因为“x ∈A”是“x ∈B”成立的充要条 件,所以A ＝B．所以m＋１＝３,即m ＝２．即实 数m 的值为２． (２)由题意可知A ⫋B,所以m＋１＞３,即m ＞ ２．所以实数m 的取值范围为{m m＞２}． 【能力提升】 证明:(１)充分性:因为a２＋b２＋c２ ＝ab＋bc＋ac, 所以a２＋b２＋c２－ab－bc－ac＝０,所以(a－b)２＋ (b－c)２ ＋(a－c)２ ＝０,即a－b＝０,b－c＝０,a－ c＝０,即a＝b＝c,故 △ABC 是等边三角形．故充 分性成立． (２)必要性:因为 △ABC 是等边三角形,所以a ＝ b＝c,a２＋b２＋c２－ab－bc－ac＝a２＋b２＋c２－a２－ b２－c２＝０,即a２＋b２＋c２＝ab＋bc＋ac．故必要性成立． 综上所述,△ABC 是等边三角形的充要条件是a２ ＋ b２＋c２ ＝ab＋bc＋ac(其中a,b,c是 △ABC的三条 边)． 第２章 　 平面向量 ２．１　 向量的概念 【变式训练】 D 训练测评参考答案 １３７　 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．B 【解析】对于 ①,零向量的方向是任意的,故 ① 错误;对于 ②,零向量的模为０,故 ② 错误;③ 正 确,相等向量的方向相同,因此一定是平行向量; ④ 显然正确．故选B． ２．A ３．D 【解析】正n边形n条边长度相等,故这n个向 量的模相等．故选 D． ４．D 【解析】这四个向量的模相等．故选 D． ５．D 【解析】不管向量的方向如何,它们都不能比 较大小,故 A,B不正确;向量的大小即为向量的 模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故 C不 正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故 选 D． ６．C 【解析】根据向量的基本概念可知与AE→ 平行 的向量有BE→,FD→,FC→,共３个． ７．D 【解析】A错,共线的两个单位向量的方向可能 相反;B错,相等向量的起点和终点都可能不相 同;C错,直线AB 与CD 可能重合;D正确． ８．C 【解析】如图,此人从点 A 出发,经点B,到达点C, 则tan ∠BAC ＝ １００３ １００ ＝ ３,所以 ∠BAC＝６０°,即位 移的方向是东偏南６０°,即南偏东３０°,故选C． 二、填空题 ９．１ １０．０ １１．相同或相反 １２．相等 １３．１ １４．６ 【解析】模为１个单位的向量有２个,如AB→, DC→;模为２个单位的向量有２个,如AC→,DB→;模 为３个单位的向量有２个,如AD→,DA→,故共有 ６个． 三、解答题 １５．解:(１)因为E,F 分别是AC,AB 的中点,所以 EF ∥BC,故与EF→ 共线的向量为FE→,BD→,DB→, DC→,CD→,BC→,CB→． (２)因为E,F,D 分别是AC,AB,BC 的中点,所 以EF ＝ １ ２BC ,BD ＝DC ＝ １ ２BC ,故EF ＝ BD ＝DC．又因为AB,BC,AC 均不相等,所以 与EF→ 长度相等的向量为FE→,BD→,DB→,DC→,CD→． (３)与EF→ 相等的向量为DB→,CD→． １６．解:(１)AO→ ＝BF→,BO→ ＝AE→． (２)与AO→ 共线的向量有:BF→,CO→,DE→． (３)与AO→ 模相等的向量有:CO→,DO→,BO→,BF→, CF→,AE→,DE→． (４)向量AO→ 与CO→ 不相等,因为它们的方向不 相同． １７．解:因 为AB→ ＝ DC→,所 以 AB→ ＝ DC→ 且 AB ∥DC,所以四边形ABCD 是平行四边形,所 以 DA→ ＝ CB→ 且DA ∥CB．又因为DA→与CB→ 的方向相同,所以CB→ ＝ DA→．同理可证,四边形 CNAM 是平行四边形,所以CM→ ＝ NA→．因为 CB→ ＝ DA→ , CM→ ＝ NA→ , 所 以 MB→ ＝ DN→ ．又DN→与MB→的方向相同,所以 DN→ ＝ MB→． １８．解:(１)作出向量AB→,BC→, CD→,如图所示． (２)由题意得,△BCD 是直 角三角形,其中 ∠BDC ＝ ９０°,BC＝１０２m,CD＝１０m,所以BD＝１０m． △ABD 是直角三角形,其中 ∠ABD ＝９０°,AB＝ ５m,BD ＝１０m,所以 AD ＝ ５２ ＋(１０)２ ＝ ５ ５(m)．所以 AD→ ＝５ ５ m． 【能力提升】 解:以A 为原点,正东方向为x 轴正方向,正北方向 为y 轴正方向建立直角坐标系． 据题设,B 点在第一象限,C 点在x 轴正半轴上,D 点在 第四 象 限,向 量AB→,BC→, CD→ 如图所示,由已知可得: △ABC 为正三角 形,所 以 AC＝２０００km．又∠ACD＝ ４５°,CD ＝１０００ ２km,所以 △ADC 为等腰直角三 角形,所以AD ＝１０００２km,∠CAD ＝４５°．故向量 １３８　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 AD→ 的模为１０００ ２km,方向为东南方向． ２．２　 向量的线性运算 ２．２．１　 向量的加法运算 【变式训练】 A 【解析】EB→＋FC→ ＝ １２ (AB→＋CB→)＋ １２ (AC→＋ BC→)＝ １２ (AB→＋AC→)＝AD→,故选 A． 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．C 【解析】根据向量的加法运算求解即可．CB→＋ AD→＋BA→ ＝ (CB→＋BA→)＋AD→ ＝CA→＋AD→ ＝ CD→,故选C． ２．A ３．C 【解析】原式 ＝AB→＋BO→＋MB→＋BC→＋OM→＝ AO→＋OM→＋MC→ ＝AM→＋MC→ ＝AC→．故选C． ４．C 【解析】因为AO→ ＋OD→ ＝ AD→,AC→ ＋CD→ ＝ AD→,所以AO→＋OD→ ＝AC→＋CD→． ５．B 【解析】由题意得AB→＋AD→ ＝AC→．故选B． ６．B 【解析】根据向量的加法法则可得AB→＋OM→＋ BO→＋MC→＝AB→＋BO→＋OM→＋MC→＝AO→＋OM→＋ MC→ ＝AM→＋MC→ ＝AC→,故选B． ７．B 【解析】AO→＋OB→＋OC→＋CA→＋BO→ ＝ (AO→＋ OC→＋CA→)＋(BO→＋OB→)＝０＋０＝０．故选B． ８．D 【解析】由平行四边形法则可得,四边形ABCD 是以AB,AD 为邻边的平行四边形．故选D． 二、填空题 ９．BE→ 【解析】CD→＝AF→,则BA→＋CD→＋FE→＝(BA→＋ AF→)＋FE→ ＝BE→． １０．４ 【解析】在 矩 形 ABCD 中,由 AB→ ＝ ３, BC→ ＝１可得 AC→ ＝２,又因为AB→＋AD→ ＝ AC→, 所 以 AB→ ＋ AD→ ＋ AC→ ＝ ２ AC→, 故 AB→＋AD→＋AC→ ＝４． １１．２ 【解析】因为正方形ABCD 的边长为１,由平 行四边形法则得 AB→＋AD→ ＝ AC→ ＝ ２． １２．０ 【解析】在平行四边形ABCD 中,AB→ ＝DC→, BC→ ＝AD→,所以BC→＋DC→＋BA→＋DA→ ＝BC→－ AD→＋DC→－AB→ ＝０． １３．０　　１４．OA→ 三、解答题 １５．解:(１)AB→＋AD→ ＝AC→． (２)AC→＋CD→＋DO→ ＝AD→＋DO→ ＝AO→． (３)AB→＋AD→＋CD→ ＝AC→＋CD→ ＝AD→． (４)AC→＋BA→＋DA→ ＝BA→＋AC→＋DA→ ＝BC→＋ DA→ ＝０． １６．解:(１)a＋d＝d＋a＝DO→＋OA→ ＝DA→． (２)c＋b＝CO→＋OB→ ＝CB→． (３)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋CB→＝DC→＋CB→＝ DB→． (４)c＋f ＋b ＝c＋b ＋f ＝ CO→ ＋OB→ ＋ BA→ ＝CA→． １７．解:(１)AD→＋DC→＋CB→＝AC→＋ CB→ ＝AB→． (２)由向量的平行四边形法则与 三角形法则,如图,AB→＋AD→＋ CD→ ＝ AC→＋CD→ ＝ AD→ ＝２． 【能力提升】 证明:如图,设 △ABC的三边对 应的向量为a ＝BC→,b ＝CA→, c＝AB→,显然a＋b＋c＝０,设 D,E,F 分 别 为 三 边 BC,CA, AB 的中点,于是中线对应的向 量分别为AD→ ＝AB→＋BD→ ＝c＋ １２a ,BE→ ＝BC→＋ CE→ ＝a＋ １２b ,CF→ ＝CA→ ＋AF→ ＝b＋ １２c ,所以 AD→＋BE→＋CF→＝a＋b＋c＋１２ (a＋b＋c)＝０．所 以AD→＋BE→＋CF→＝０,故结论得证,即三角形的三条 中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形． ２．２．２　 向量的减法运算 【变式训练】 C 【解析】因为BC→ ＝AD→,BD→ ＝BA→＋AD→,所以 AB→＋BC→＋BD→ ＝ AB→＋BC→＋BA→＋AD→ ＝ ２ BC→ ＝２,故选C．