1.2 充要条件-【通关练测】中等职业技术学校数学拓展模块一(上册)同步辅导与测评(高教版2021)

１３６　 数学同步辅导与测评􀅰拓展模块一·上册 q是p 的必要条件． １．２　 充要条件 【变式训练】 B 自我测评 【基础巩固】 一、选择题 １．A ２．B 【解析】异面直线一定不相交,不相交可以平 行,所以“直线a,b不相交”是“直线a,b为异面直 线”的必要不充分条件,故选B． ３．A 【解析】由a２ ＞a得a＞１或a＜０,反之,由 a＞１得a２ ＞a,则“a＞１”是“a２ ＞a”的充分不 必要条件,故选 A． ４．A 【解析】若m ⊈α,n⊆α,且m ∥n,则一定有 m ∥α,但若m ⊈α,n⊆α,且m ∥α,则m 与n有 可能异面,所以 “m ∥n”是“m ∥α”的充分不必 要条件．故选 A． ５．B 【解析】在 △ABC 中,A ＋B ＋C ＝１８０°,若 B ＝６０°,则A＋C ＝１８０°－６０°＝１２０°,故A ＋ C ＝２B,所以 △ABC 三个内角A,B,C 成等差数 列．若 △ABC 三个内角A,B,C 成等差数列,则 A＋C ＝２B,所以A＋B＋C ＝３B ＝１８０°,B ＝ ６０°．故选B． ６．B 【解析】由“x２－５x ＜０”可得“０＜x ＜５”;由 “x－１ ＜１”可得“０＜x ＜２”．由“０＜x ＜５” 不能推出“０＜x＜２”,但由“０＜x＜２”可以推出 “０＜x ＜５”,所以“x２－５x ＜０”是“x－１ ＜ １”的必要不充分条件．故选B． ７．B 【解析】根据ln(x＋１)＜０求出x 的取值范围 后判断．因为ln(x＋１)＜０,所以０＜x＋１＜１, 所以－１＜x＜０．故“x＜０”是“－１＜x＜０”的 必要不充分条件,故选B． ８．B 【解析】若α ∥β,则α 内有无数条直线与β平 行,反之不成立;若α,β 平行于同一条直线,则α 与β 可以平行也可以相交;若α,β 垂直于同一平 面,则α与β可以平行也可以相交,故A,C,D均不 是充要条件．根据平面与平面平行的判定定理 知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面 平行,则两平面平行,反之亦成立．因此 B中条件 是α ∥β 的充要条件．故选B． 二、填空题 ９．充分不必要 【解析】由不等式的性质可知,由 ac２ ＞bc２ 得a ＞b,故“ac２ ＞bc２”成立可推出 “a＞b”,而a＞b,当c＝０时,ac２ ＝bc２,所以 “a＞b”不能保证“ac２ ＞bc２”,故“ac２ ＞bc２”是 “a＞b”成立的充分不必要条件． １０．③ 【解析】① 中m ∥n,n∥α,则m ⊆α或m ∥ α,故 ① 不对;② 中,m ⊥n,n⊥α⇒m ⊆α或m ∥ α,故 ② 不对;③ 中,m ∥β,m ⊈α,α∥β⇒m ∥ α,③ 对;④ 中,m ⊥β,α⊥β⇒m ⊆α或m ∥α,④ 不对,故只有 ③ 对． １１．充要 １２．必要不充分 １３．m ＜ １ ４ 或m ＞１ １４．充要 三、解答题 １５．解:(１)因为“x ∈A”是“x ∈B”成立的充要条 件,所以A ＝B．所以m＋１＝３,即m ＝２．即实 数m 的值为２． (２)由题意可知A ⫋B,所以m＋１＞３,即m ＞ ２．所以实数m 的取值范围为{m m＞２}． 【能力提升】 证明:(１)充分性:因为a２＋b２＋c２ ＝ab＋bc＋ac, 所以a２＋b２＋c２－ab－bc－ac＝０,所以(a－b)２＋ (b－c)２ ＋(a－c)２ ＝０,即a－b＝０,b－c＝０,a－ c＝０,即a＝b＝c,故 △ABC 是等边三角形．故充 分性成立． (２)必要性:因为 △ABC 是等边三角形,所以a ＝ b＝c,a２＋b２＋c２－ab－bc－ac＝a２＋b２＋c２－a２－ b２－c２＝０,即a２＋b２＋c２＝ab＋bc＋ac．故必要性成立． 综上所述,△ABC 是等边三角形的充要条件是a２ ＋ b２＋c２ ＝ab＋bc＋ac(其中a,b,c是 △ABC的三条 边)． 第２章 　 平面向量 ２．１　 向量的概念 【变式训练】 D ４　 １．２　 充要条件 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 通过学习,了解充要条件的概念; ◎ 了解命题中条件与结论的关系; ◎ 知道条件与结论之间的充要性能根据命题及其逆 命题的真假判断命题中所给条件与结论之间的逻辑 关系． 重点:根据命题及其逆命题的真假判断命题的条件是 不是结论的充要条件． 难点:命题、逆命题的真假判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．一般地,若命题“如果p,那么q”是真命题,其逆命题“如果q,那么p”也是真命题,即p⇒q 且 p⇐q,则称p 是q的 　　　　　　　,简称充要条件． ２．将命题“如果p,那么q”中的条件p 和结论q 互换,变成“如果q,那么p”,称这个命题为原命题的 　　　　　　． 充要条件的判断 【例】 “m ≤－２”是“函数f(x)＝x２＋２mx－m＋２的图像与x 轴有公共点”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】 将二次函数f(x)＝x２＋２mx－m＋２的图像与x 轴有公共点的几何问题等价转化为代 数问题,即Δ＝(２m)２－４×１×(－m＋２)＝m２＋m－２＝(m－１)(m＋２)≥０,解得m ≤－２或m ≥１, 则m ≤－２可以推出Δ ≥０,即该函数图像与x 轴有公共点,但是Δ ≥０时,不一定能推出m ≤－２,故选A． 变式训练 “x ＝３”是“x＝３”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 自 我 测 评 一、选择题 １．“x ＞２”是“x ＞１”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．“直线a,b不相交”是“直线a,b为异面直线”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ５　 ３．设a ∈R,则“a ＞１”是“a２ ＞a”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ４．已知平面α,直线m,n 满足m ⊈α,n ⊆α,则“m ∥n”是“m ∥α”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ５．“B＝６０°”是“△ABC 三个内角A,B,C 成等差数列”的 (　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ６．设x ∈R,则“x２－５x ＜０”是“x－１ ＜１”的 (　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ７．“x ＜０”是“ln(x＋１)＜０”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ８．设α,β 为两个平面,则α ∥β 的充要条件是 (　　) A．α 内有无数条直线与β 平行 B．α 内有两条相交直线与β 平行 C．α,β 平行于同一条直线 D．α,β 垂直于同一平面 二、填空题 ９．“ac２ ＞bc２”是“a＞b”的 　　　　　　 条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不 必要”中选择一项填空)． １０．已知m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,若 ①m ∥n,n∥α;②m ⊥n,n⊥α;③m ⊄α,m ∥ β,α ∥β;④m ⊥β,α ⊥β．则其中能使m ∥α 成立的充分条件有 　　　　． １１．设集合A＝{x ∈Rx－２＞０},B＝{x ∈Rx ＜０},C＝{x ∈Rx(x－２)＞０},则“x ∈A ∪ B”是“x ∈C”的 　　　　　　　　　 条件． １２．若p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形,则p 是q的 　　　　　　 条件． １３．方程x２＋y２＋４mx－２y＋５m＝０表示圆的充要条件是 　　　　　　． １４．“一元二次方程ax２＋bx＋c＝０有一个正根和一个负根”是“ac＜０”的 　　　　　　 条件(填“充 分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)． 三、解答题 １５．已知集合A＝{x －１＜x ＜３},集合B＝{x －１＜x ＜m＋１}． (１)若x ∈A 是x ∈B 成立的充要条件,求实数m 的值; (２)若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件,求实数m 的取值范围． 证明:△ABC 是等边三角形的充要条件是a２＋b２＋c２＝ab＋bc＋ac(其中a,b,c是 △ABC的三条边)． 试题精讲 ６　 ２．１　 向量的概念 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 学习目标 重点难点 􀪋 􀪋 ◎ 了解向量的概念; ◎ 理解平面向量的线性运算; ◎ 了解共线向量的充要条件． 重点:向量的线性运算． 难点:已知两个向量,求这两个向量的差向量以及非 零向量平行的充要条件． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在数学中,把既有大小又有方向的量,称为 　　　　．向量常用小写黑体英文字母a,b,c􀆺 来表示, 手写体为在字母上方加箭头,如a → ． ２．向量a 的大小也称为该向量a 的模,记为 a ．模为１的向量称为 　　　　　． ３．规定:模为零的向量为 　　　　　,记作０或０ →,零向量的方向是任意的． ４．一般地,模相等且方向相同的两个向量称为 　　　　　．向量a 与b相等时,记a＝b． ５．与非零向量a 的模相等、方向相反的向量称为a 的相反向量,记作－a． ６．规定:零向量的相反向量仍是零向量． ７．一般地,方向相同或相反的两个向量称为平行向量．当向量a 与b平行时,记a ∥b． ８．规定:零向量与任何一个向量平行,即对于任意向量a,都有０∥a． ９．任意一组平行向量都可以平移到同一直线上．因此,平行向量也称共线向量． 向量的概念 【例】 下列各个量中是向量的是 (　　) ① 力;② 速度;③ 位移;④ 路程;⑤ 温度 A．①③⑤ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【解题思路】 温度、路程是只有大小没有方向的量,这样的量称为数量;力、速度、位移是既有大小有方 向的量,这样的量称为向量．故选D． 变式训练 下列选项中都是向量的是 (　　) A．加速度,速度,质量 B．面积,位移,力 C．路程,时间,温度 D．重力,位移,速度